精品解析：山东临沂市沂水县2025-2026学年下学期期末八年级数学单元作业

八年级数学单元作业 2026年7月 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 5，6 B. 5，7 C. 6，6 D. 6，7 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列用表格表示的变量关系中，y是x的一次函数的是（　　） A. x … 1 2 3 4 … y … 8 6 6 8 … B. x … 1 2 3 4 … y … 12 10 7 3 … C. x … 1 2 3 4 … y … … D. x … 1 2 3 4 … y … … 5. 下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（ ） A. 如图中，是的函数 B. 观察表中对应关系，是的函数，也是的函数 A. B. 式子（）中，是的函数 C. 数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数 6. 已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 7. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 8. 已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是某种螺丝钉上螺纹的示意图，图中的虚线皆为水平线或铅垂线，图上标示出角度，也标示出水平线间或铅垂线间的距离．根据图中的标示，判断此种螺丝钉的螺纹深度是螺纹间距的多少倍？（ ） A. B. C. D. 10. 在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年7~8月每天的最高温度数据进行分析．下图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（ ） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某校九年级男生进行掷实心球测试，并随机抽取了部分男生的成绩（单位：米）进行整理，绘制成如下频数分布直方图（第一组，第二组，依此类推至第五组），将成绩不低于8米的评为A等级，若该校共有300名男生参加了测试，则可评为A等级的男生大约有_______人． 12. 某校选拔名学生参加济南市第一届运动会，测量心率的统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 人数/名 则这组数据的下四分位数为______． 13. 过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为________．（填一个符合要求的点的坐标即可） 14. 如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1<y2时，x的取值范围是________． 15. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知一次函数的图象经过点和点． （1）求该一次函数的解析式； （2）判断点是否在该一次函数的图象上，并说明理由． 18. 已知线段，． （1）尺规作图：求作菱形，使菱形的对角线，边长为（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求菱形的面积． 19. 如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，试判断四边形的形状，并证明． 20. “校园餐”关乎青少年的健康成长，为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”满意度的打分情况如下（单位：分，满分10分）： 小学部：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10； 初中部：9，7，9，6，10，6，8，9，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 小学部 8 8 初中部 8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：   ，   ，   ； （2）综合表中数据，小学部和初中部哪一学段学生对校园餐的满意度更高？请说明理由； （3）若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”，已知该校小学部有1200名学生，初中部有800名学生，你认为该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”？请说明理由． 21. 随着智能化家电逐渐走进千家万户，扫地机器人凭借便捷高效的清洁优势备受青睐．小明家购买了一台扫地机器人，经过多次使用后发现，该扫地机器人在工作过程中，打扫面积y（平方米）与显示电量x（）近似满足函数（，不考虑其他耗电问题），且在满电量状态下打扫30平方米后，显示电量为． （1） ； （2）为延长扫地机器人的使用寿命，建议电量剩余时开始充电．按此建议，该扫地机器人，在满电量状态下打扫多少平方米后开始充电？ （3）已知该扫地机器人电池容量为，充电功率为，其中电量（）充电功率（W）充电时间（h）．满电量的扫地机器人先打扫了100平方米后停止工作，再充电t小时，电量显示为，求t的值． 22. 如图，点，在正方形的边，上，且，交于点：连接，过点作，垂足为，连接，，交于点． （1）判断与的关系，并给出证明； （2）若，，求的长． 23. 工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期日（可取，，或）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第日单日制成的合格品的个数为，根据以往的培训经验，对于给定的，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： 时的值 时的值 时，从试制阶段的第日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图1所示． （1）观察曲线，当整数的值为            时，的值首次超过； （2）求出表中的值，并在给出的图2的平面直角坐标系中画出时的曲线； （3）新员工小云刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．若新员工单日制成不少于个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第几日可获得“优秀学员”证书？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学单元作业 2026年7月 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 2. 某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 5，6 B. 5，7 C. 6，6 D. 6，7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可． 【详解】解：这组数据排列为：3，4，5，5，6，6，6，7，7，8，处于中间的两个数据为6，6，故中位数为； 在这组数据中出现次数最多的是6，则众数为6， 故选：C． 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，对边平行且相等，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； B、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等且平分，故，原结论一定正确，符合题意； D、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； 故选C． 4. 下列用表格表示的变量关系中，y是x的一次函数的是（　　） A. x … 1 2 3 4 … y … 8 6 6 8 … B. x … 1 2 3 4 … y … 12 10 7 3 … C. x … 1 2 3 4 … y … … D. x … 1 2 3 4 … y … … 【答案】D 【解析】 【分析】本题中每次增加1，只需判断的变化量是否一致即可． 【详解】解：对于一次函数，当每增加1时，的变化量始终相等， 分别计算各选项的变化量： 选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，变化量不相等，因此不是的一次函数，不符合题意； 选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，变化量不相等，因此不是的一次函数，不符合题意； 选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，变化量不相等，因此不是的一次函数，不符合题意. D选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，从3到4，变化量为，变化量恒定相等，因此是的一次函数，符合题意． 5. 下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（ ） A. 如图中，是的函数 B. 观察表中对应关系，是的函数，也是的函数 A. B. 式子（）中，是的函数 C. 数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义“在一个变化过程中有两个变量x和y，给定x的一个值，y有唯一确定的值与其对应，则y是x的函数”判断解答即可． 【详解】解：A．根据图象可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确，不符合题意； B．根据表格可得给一个m的值，n，t都有唯一确定值，所以n，t都是m的函数，正确，不符合题意； C．根据关系式可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确，不符合题意； D．给一个x的值，y有无数个值与其对应，y不是x的函数，原说法错误，符合题意． 6. 已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】通过观察函数图象经过的坐标点以及图象的升降趋势，结合一次函数中、的几何意义进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，直线经过点和，且随的增大而减小，  ，故A选项说法正确；  图象与轴交于点， ，故B选项说法正确； 观察图象可知，当时，图象位于轴下方，即，故C选项说法错误； 当时，图象位于轴左侧，即，故D选项说法正确． 7. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． 故选C 8. 已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 【详解】∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大， ． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 故选：． 9. 如图是某种螺丝钉上螺纹的示意图，图中的虚线皆为水平线或铅垂线，图上标示出角度，也标示出水平线间或铅垂线间的距离．根据图中的标示，判断此种螺丝钉的螺纹深度是螺纹间距的多少倍？（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作，根据题意得出是等边三角形，求出螺纹间距，再求出螺纹深度，即可得解． 【详解】解：如图，作， 根据题意得：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即螺纹间距为， ∵螺纹深度， ∴此种螺丝钉的螺纹深度是螺纹间距的倍． 10. 在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年7~8月每天的最高温度数据进行分析．下图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（ ） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了统计中的中位数，箱线图，四分位数，正确理解定义是解题的关键． 从箱线图中可获取数据的最大值、最小值和四分位数以及中位数，据此进行分析比较即可． 【详解】解：①由箱线图可得，在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为，正确； ②由箱线图可得，在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数为，西安每天的最高温度的中位数为，故济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数，故②正确； ③箱线图反映的是整体分布趋势，并非“每一天”的温度都严格高于。济南的最低温度可能低于西安的最低温度，但济南的最高温度也可能高于西安的最高温度。因此“都高于”的表述过于绝对，所以结论③ 错误； ④由箱线图可得西安每天的最高温度的中位数为，西安有超过一半的天数最高温度不低于，故④错误， 正确的有2个， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某校九年级男生进行掷实心球测试，并随机抽取了部分男生的成绩（单位：米）进行整理，绘制成如下频数分布直方图（第一组，第二组，依此类推至第五组），将成绩不低于8米的评为A等级，若该校共有300名男生参加了测试，则可评为A等级的男生大约有_______人． 【答案】90 【解析】 【分析】先根据频数分布直方图求出抽取的学生人数，再利用样本估计总体思想求解． 【详解】解：由图可知，抽取的学生人数为， 300名男生可评为A等级的男生人数约为：． 12. 某校选拔名学生参加济南市第一届运动会，测量心率的统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 人数/名 则这组数据的下四分位数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了下四分位数，根据给定心率数据，先列出所有数据点并排序，然后计算下四分位数的位置，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：心率数据按从小到大排列为：，共个数据，下四分位数的位置为，即第个和第个数据的平均值， ∵第个数据为，第个数据为， ∴下四分位数为， 故答案为：． 13. 过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为________．（填一个符合要求的点的坐标即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上的点，根据一次函数上的点的横纵坐标满足函数解析式，可以令，求出函数值，进而得到点B的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点B的坐标可以为； 故答案为：（答案不唯一） 14. 如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1<y2时，x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】据函数图象，写出直线y1=k1x在直线y2=k2x+b2的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：如图，已知直线y1=k1x与直线y2=k2x+b2相交于点A（1，2），则当y1＜y2时，x的取值范围为 x＜1． 故答案是：x＜1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点H，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点H，连接， 点为的中点，点H为的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 已知一次函数的图象经过点和点． （1）求该一次函数的解析式； （2）判断点是否在该一次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）点C在该一次函数的图象上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将代入，根据计算得到的y值与的纵坐标是否相等进行判断． 【小问1详解】 解：设该一次函数的解析式为， 将点和点代入，得：， 解得， 故该一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：点C在该一次函数的图象上．理由如下： 将代入，得： ∵计算得到的y值与的纵坐标相等， 点C在该一次函数的图象上． 18. 已知线段，． （1）尺规作图：求作菱形，使菱形的对角线，边长为（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作线段，作线段的垂直平分线，以为圆心，为半径作弧交的垂直平分线于点，，连接，，四边形即为所求； （2）利用菱形的性质，勾股定理求出，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，交于点． ∵四边形是菱形， ∴， ，， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1） 证明：∵点为的中点 ∴， ∵ ∴，， 在和中 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）当时，四边形是矩形， 证明：∵ ，点是边上的中点， ∴ 即， ∵ 由（1）得四边形是平行四边形， ∴ 四边形是矩形. 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，可得，结合可得结论； （2）由，点是边上的中点，可得即，结合由（1）得四边形是平行四边形，从而可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. “校园餐”关乎青少年的健康成长，为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”满意度的打分情况如下（单位：分，满分10分）： 小学部：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10； 初中部：9，7，9，6，10，6，8，9，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 小学部 8 8 初中部 8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：   ，   ，   ； （2）综合表中数据，小学部和初中部哪一学段学生对校园餐的满意度更高？请说明理由； （3）若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”，已知该校小学部有1200名学生，初中部有800名学生，你认为该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”？请说明理由． 【答案】（1），，； （2）初中部对校园餐的满意度较高，理由： 因为初中部满意度评分的中位数和众数高于小学部， 所以初中部对校园餐的满意度较高； （3）该学校“校园餐”可评为“幸福餐”，理由如下： 小学部1200名学生中认为“校园餐”可评为“幸福餐”的人数有（人， 初中部800名学生中认为“校园餐”可评为“幸福餐”的人数有（人， 学校总体认为“校园餐”可评为“幸福餐”的比率为， 所以该学校“校园餐”可评为“幸福餐” 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数、方差的定义，分别计算a、b、c的值； （2）利用中位数，众数的意义可得到结论； （3）计算满意度的评分大于或等于8分的学生人数的占比，和比较后得出结论． 【小问1详解】 解：将小学部10个数据从小到大排列为：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10， 中位数为第5个和第6个数据的平均数， 因为初中部10个数据中出现次数最多的数据为9， 因此众数为9， 因为小学部平均数为8， 根据方差公式计算得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 随着智能化家电逐渐走进千家万户，扫地机器人凭借便捷高效的清洁优势备受青睐．小明家购买了一台扫地机器人，经过多次使用后发现，该扫地机器人在工作过程中，打扫面积y（平方米）与显示电量x（）近似满足函数（，不考虑其他耗电问题），且在满电量状态下打扫30平方米后，显示电量为． （1） ； （2）为延长扫地机器人的使用寿命，建议电量剩余时开始充电．按此建议，该扫地机器人，在满电量状态下打扫多少平方米后开始充电？ （3）已知该扫地机器人电池容量为，充电功率为，其中电量（）充电功率（W）充电时间（h）．满电量的扫地机器人先打扫了100平方米后停止工作，再充电t小时，电量显示为，求t的值． 【答案】（1）200 （2）140平方米 （3） 【解析】 【分析】（1）将已知的代入函数，通过解方程求出的值． （2）先由（1）得到完整的函数解析式，再将代入函数，求出对应的值，即为开始充电时的打扫面积． （3）先将代入函数求出此时的电量，再根据剩余电量充电电量目标电量列出方程，求解得到的值． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 所以． 【小问2详解】 解：由（1）得， 当时，． 答：建议在满电量状态下打扫140平方米后开始充电． 【小问3详解】 解：当时，代入， 得，解得：，即此时电量为． 由题意得， 解得：． 22. 如图，点，在正方形的边，上，且，交于点：连接，过点作，垂足为，连接，，交于点． （1）判断与的关系，并给出证明； （2）若，，求的长． 【答案】（1），； 证明：如图，过点作于，过点作分别交，于，， 四边形是正方形， ，． ． 四边形为矩形，四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ，，． ，，即． ，， ． ． ． ． ， ， ， ． ，． 又， ． ． ． （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于，过点作分别交，于，，证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （2）证明，得出，，再证明，在 中，利用勾股定理求出的长，由等面积法求出的长，在中，利用勾股定理求出的长，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在正方形中，，， 又∵， ． ，． ， ． ． 在中，，， ∴． ∵， ． 在中，， 由（1）可知，， ． 为等腰直角三角形． ． ． 23. 工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期日（可取，，或）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第日单日制成的合格品的个数为，根据以往的培训经验，对于给定的，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： 时的值 时的值 时，从试制阶段的第日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图1所示． （1）观察曲线，当整数的值为            时，的值首次超过； （2）求出表中的值，并在给出的图2的平面直角坐标系中画出时的曲线； （3）新员工小云刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．若新员工单日制成不少于个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第几日可获得“优秀学员”证书？说明理由． 【答案】（1）6 （2）46，； （3）解：小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书，理由如下： 单日制成不少于45个合格品的只有与， 日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ． 日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ． ， 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书． 【解析】 【分析】（1）在图象上找出的值首次超过35时的值即可； （2）根据从第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系中描点画出函数图象； （3）根据单日制成不少于45个合格品的只有与，：，时，，得；：，时，，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书． 【小问1详解】 解：由曲线看出，当整数的值为6时，的值首次超过35． 【小问2详解】 解：日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个， 相差（个，且第6日比第5日多2个， 第4日增加3个，第5日增加2个． ． 画出时的曲线 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $