精品解析：山东菏泽市东明县2025-2026学年度第二学期期末八年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期末试题 八年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 小圳在博物馆观察到一件藏品的边框为正八边形，他立马就算出了其一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的对角线相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点．若，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（ ） A. B. C. 49 D. 8. 某校为数学社团在同一商家采购数独九宫格盘，第一次用元买了若干套，第二次用元购买同款数独九宫格盘，……，求第一次购买了多少套？同学们根据题意，设第一次购买了套，列得方程，则题目省略部分的文字为（ ） A. 每套比上次降价元，多买了套 B. 每套比上次降价元，少买了套 C. 每套比上次涨价元，少买了套 D. 每套比上次涨价元，多买了套 9. “已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形的内角和定理 D. 三角形的三边关系 10. 如图，直线与分别交轴于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 要使分式有意义，则的取值范围是___________． 12. 如图所示，在数轴上点分别表示数，1，若点为线段上不与端点重合的动点，且表示的数为，则的取值范围是________． 13. 如图，在中，垂直平分，垂足为点，交于，垂直平分，垂足为，交于．若，，则的度数为______． 14. 若关于x的分式方程无解，则m的值为 _________ ． 15. 现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为_________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）因式分解：﹣x3+2x2y﹣xy2； （2）解方程：． 17. 如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，AM⊥BD，CN⊥BD，垂足分别为M、N．求证：BM=DN． 18. 先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 19. 如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下： 甲方案：分别取的中点； 乙方案：作于点于点； 请回答下列问题： （1）你认为按照甲方案得到的四边形是平行四边形吗？ 答：___________（填是或者不是）． （2）你认为按照乙的方案得到的四边形是平行四边形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由． 20. 为庆祝端午节的到来，某校计划购买一批粽子玩偶、五彩项链．已知商场某品牌粽子玩偶的单价比五彩项链的单价多元，用元购买粽子玩偶的数量等于用元购买五彩项链的数量． （1）求粽子玩偶、五彩项链的单价； （2）学校采购时若购买粽子玩偶、五彩项链共个，且总费用不超过元，请问至少购买多少个五彩项链？ 21. 在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上如图所示． （1）若与关于y轴对称，在图中的平面直角坐标系中画出，并写出点B的对应点坐标为_____． （2）若在平面内存在一点D，使得以A、B、C、D四点组成的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 22. 因式分解是整式的一种重要恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系，是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础．下图是小华对“整式乘法与因式分解”这部分知识的梳理： （1）图中有一处空白，根据本章所学知识，你认为空白处应填的内容是 ． （2）下列习题为新知识学习能力测试题，提供一个例题讲解和三个闯关问题，请同学们认真解答每一个闯关问题： 新知学习 【例题讲解】当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 问题1 ①若是完全平方式，则m的值为 ； ②若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； 问题2 ③已知：，则b的值为 ； 问题3 ④如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（） Ⅰ．若利用甲，乙，丙矩形纸片拼出来的正方形面积为，则正方形边长为 ；（有含a、b的代数式表示） Ⅱ．小新要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片 张． 23. 如图，在中，，，是边上的中线，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线分别交，于点，，连接． （1）是等边三角形吗？为什么？ （2）若的长为2，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末试题 八年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，绕图形中心旋转后与自身重合，是中心对称图形，找不到一条直线，使图形沿直线折叠后两边完全重合，不是轴对称图形，选项A错误； 选项B，把图形沿竖直中线折叠，两边能完全重合，是轴对称图形，绕图形中心旋转后，图形“倒置”，与原图形不符，不是中心对称图形，选项B错误； 选项C，把图形沿水平、竖直中线或对角线折叠，两边能完全重合，是轴对称图形，绕图形中心旋转后与自身重合，是中心对称图形，选项C正确； 选项D，有3条对称轴，是轴对称图形，绕图形中心旋转后，图形顶点位置变化，与原图形不符，不是中心对称图形，选项D错误． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：已知 A、，不等式两边同时减，不等号方向不变，，A错误，不符合题意； B、，不等式两边同时减，得，B错误，不符合题意； C、当，时，满足，但，因此不等式不一定成立，C错误，不符合题意； D、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，，D正确，符合题意． 3. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式， 因式分解要求结果必须是几个整式的积的形式． 【详解】解：A选项等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； B选项的变形是整式乘法，是将整式的积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； C选项等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； D选项将多项式化为两个整式和的积，符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意． 故选：D． 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对分子分母分别因式分解，再约去公因式得到结果． 【详解】解： ． 5. 小圳在博物馆观察到一件藏品的边框为正八边形，他立马就算出了其一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得，正八边形的每一个内角的度数是． 6. 如图，的对角线相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点．若，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，然后求出，再根据三角形的中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线与边相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，， ∴． 7. 小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（ ） A. B. C. 49 D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用提公因式法和平方差公式，逐个代入选项判断二项式能否分解因式，即可得到答案． 【详解】解：A. 当时，，可以分解，本选项不符合题意； B .当时，，该多项式不能分解因式，本选项符合题意； C .当时，，可以分解，本选项不符合题意； D .当时，，可以分解，本选项不符合题意． 8. 某校为数学社团在同一商家采购数独九宫格盘，第一次用元买了若干套，第二次用元购买同款数独九宫格盘，……，求第一次购买了多少套？同学们根据题意，设第一次购买了套，列得方程，则题目省略部分的文字为（ ） A. 每套比上次降价元，多买了套 B. 每套比上次降价元，少买了套 C. 每套比上次涨价元，少买了套 D. 每套比上次涨价元，多买了套 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式方程各部分的实际意义，分别分析购买数量和单价的关系，即可推出省略部分的条件与省略部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了套，方程中第二次购买的数量为套， ∴第二次购买数量比第一次少套，即少买了套； ∵是第一次购买的单价，是第二次购买的单价，方程满足， ∴第一次单价比第二次单价多元，即第二次每套比第一次降价元； 因此省略部分的文字为“每套比上次降价元，少买了套” ． 9. “已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形的内角和定理 D. 三角形的三边关系 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反证法的应用，结合等腰三角形性质推导假设对应的结论，再判断该结论和哪个定理矛盾即可． 【详解】解：∵ ∴ 假设 ，则 ∴ 又∵ ∴ 该结论与三角形内角和定理矛盾，因此选C． 10. 如图，直线与分别交轴于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线交点与不等式的解集，理解图示，掌握直线交点与不等式的性质是解题的关键． 根据直线的交点的特点，不等式的性质，数形结合即可求解． 【详解】解：直线与分别交轴于点， 不等式， ∴与异号， ∴当时，与异号，符合题意； 当，与同号，不符合题意； 当时，与异号，符合题意； ∴解集为或， 故选：D ． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 要使分式有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：要使分式有意义，则分式分母不能为0， ， 解得． 12. 如图所示，在数轴上点分别表示数，1，若点为线段上不与端点重合的动点，且表示的数为，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】数形结合得出不等式组，利用不等式性质求解即可． 【详解】解：由图可知，，解得． 13. 如图，在中，垂直平分，垂足为点，交于，垂直平分，垂足为，交于．若，，则的度数为______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】根据垂直平分的性质：垂直平分线上一点到线段两个端点距离相等，再结合等腰三角形性质：等边对等角，以及三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：垂直平分， ， ， 垂直平分， ， ， 在中，，，由三角形内角和定理得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形背景下求角度问题，涉及垂直平分线性质、三角形内角和定理、等腰三角形判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键． 14. 若关于x的分式方程无解，则m的值为 _________ ． 【答案】或1 【解析】 【分析】去分母原方程化为，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 当，即时，方程无解， ∵分式方程无解， ∴或， ∴或， 即或（不成立）， 解得：， 综上，m的值为或1． 15. 现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据新运算得出分式方程，将分式方程转化为整式方程求解，然后根据解为非负数得出关于m的不等式，解之即可得到m的取值范围． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵关于x的方程的解为非负数， ∴，， 解得：，， ∴m的取值范围为：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了新运算，解分式方程以及解一元一次不等式，能够根据新运算得出关于x的方程是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）因式分解：﹣x3+2x2y﹣xy2； （2）解方程：． 【答案】（1）﹣x（x﹣y）2；（2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可； （2）方程两边都乘以3（x﹣2）得出15x﹣12＝4x+10﹣3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：（1）原式＝﹣x（x2﹣2xy+y2） ＝﹣x（x﹣y）2； （2）原方程化为：＝﹣1， 方程两边都乘以3（x﹣2）得：15x﹣12＝4x+10﹣3（x﹣2）， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，3（x﹣2）＝0， 所以x＝2是增根， 即原方程无解． 【点睛】本题考查了综合提公因式法与公式法因式分解，解分式方程，解题的关键是熟练运用因式分解． 17. 如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，AM⊥BD，CN⊥BD，垂足分别为M、N．求证：BM=DN． 【答案】见详解 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，可得∠ABM=∠CND，然后利用“角角边”证明△ABM和△CDN全等，即可得到结论成立． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠ABM=∠CDN， ∵AM⊥BD，CN⊥BD， ∴∠AMB=∠CND=90°， ∵在△ABM和△CDN中， ， ∴△ABM≌△CDN（AAS）， ∴BM=DN． 【点睛】本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，一般情况下，证明边相等，就利用边所在的三角形全等证明． 18. 先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【详解】解： ， ∵，， ∴，，， ∴当时，原式． 19. 如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下： 甲方案：分别取的中点； 乙方案：作于点于点； 请回答下列问题： （1）你认为按照甲方案得到的四边形是平行四边形吗？ 答：___________（填是或者不是）． （2）你认为按照乙的方案得到的四边形是平行四边形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）是 （2）乙的方案得到的四边形是平行四边形； 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）连接，根据平行四边形的性质可得，根据的中点为点，可得，即可解答； （2）证明，可得，即可解答。 【小问1详解】 解：甲的方案得到的四边形是平行四边形； 如图，连接， 在中，点是对角线的中点， ， 分别为的中点， ， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 略 20. 为庆祝端午节的到来，某校计划购买一批粽子玩偶、五彩项链．已知商场某品牌粽子玩偶的单价比五彩项链的单价多元，用元购买粽子玩偶的数量等于用元购买五彩项链的数量． （1）求粽子玩偶、五彩项链的单价； （2）学校采购时若购买粽子玩偶、五彩项链共个，且总费用不超过元，请问至少购买多少个五彩项链？ 【答案】（1）五彩项链单价为16元，粽子玩偶单价为20元 （2）至少购买50个五彩项链 【解析】 【分析】（1）设五彩项链单价为元，则粽子玩偶单价为元，根据“用元购买粽子玩偶的数量等于用元购买五彩项链的数量”列分式方程求解； （2）设买个五彩项链，买个粽子玩偶，根据“总费用不超过元”列不等式求解． 【小问1详解】 解：设五彩项链单价为元，则粽子玩偶单价为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． ， 答：五彩项链单价为16元，粽子玩偶单价为20元． 【小问2详解】 解：设买个五彩项链，个粽子玩偶， 根据题意得，， ， 答：至少购买50个五彩项链． 21. 在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上如图所示． （1）若与关于y轴对称，在图中的平面直角坐标系中画出，并写出点B的对应点坐标为_____． （2）若在平面内存在一点D，使得以A、B、C、D四点组成的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 【答案】（1）， （2）或或 【解析】 【分析】（1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，画出，并写出点坐标即可； （2）利用平行四边形的性质和平移的性质得出D点坐标即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：平行四边形两组对边平行且相等，对应线段平移规律一致，分三种情况讨论： 解：，，，平行四边形对边平行且相等，平移变化分三类对角线讨论： ① 对角线为、， 点向右平移个单位、向下平移个单位得到点， 将点向右平移个单位、向下平移个单位得到， ， ； ② 对角线为、， 点向右平移个单位、向下平移个单位得到点， 将点向左平移个单位、向上平移个单位得到， ，， ； ③ 对角线为、， 点向右平移个单位、向上平移个单位得到点， 将点向右平移个单位、向上平移个单位得到， ， ； 综上，符合条件的点坐标为或或． 22. 因式分解是整式的一种重要恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系，是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础．下图是小华对“整式乘法与因式分解”这部分知识的梳理： （1）图中有一处空白，根据本章所学知识，你认为空白处应填的内容是 ． （2）下列习题为新知识学习能力测试题，提供一个例题讲解和三个闯关问题，请同学们认真解答每一个闯关问题： 新知学习 【例题讲解】当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 问题1 ①若是完全平方式，则m的值为 ； ②若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； 问题2 ③已知：，则b的值为 ； 问题3 ④如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（） Ⅰ．若利用甲，乙，丙矩形纸片拼出来的正方形面积为，则正方形边长为 ；（有含a、b的代数式表示） Ⅱ．小新要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片 张． 【答案】（1）公式法 （2）①8或；②9；③；④，6 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． （1）根据所学知识和图中信息提示可得空白处为公式法； （2）①根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得求解即可； ②根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得； ③先将展开，再根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得，求解即可； ④Ⅰ、直接利用完全平方公式将因式分解为即可求解； Ⅱ、设还需要x张丙纸片，由题意得，求解即可． 【小问1详解】 解：根据所学知识和图中信息提示可得空白处为：公式法， 故答案为：公式法； 【小问2详解】 ①∵是完全平方式， ， 根据多项式对应项的系数相等得：， 或， 故答案为：或； ②是完全平方式， ， 根据多项式对应项的系数相等得：， 故答案为：9； ③， 则根据多项式对应项的系数相等得：，， 解得：，， 故答案为：； ④Ⅰ、， 正方形的边长为， 故答案为：； Ⅱ、设还需要x张丙纸片， 由题意得：， ， 又x不能为负数， ， 故答案为：6． 23. 如图，在中，，，是边上的中线，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线分别交，于点，，连接． （1）是等边三角形吗？为什么？ （2）若的长为2，求的长． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先运用三角形内角和性质算出，因为是的垂直平分线，所以，则，故，再结合在中，，是边上的中线，即可作答; （2）因为是的垂直平分线，则，结合，，得，因为，得，因为是等边三角形，得，，即可作答． 【小问1详解】 解：是等边三角形． 理由是：在中，，，， 以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线分别交，于点，， 是的垂直平分线， ， ， ． 在中，，是边上的中线， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：由（1）知，是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，三角形内角和性质，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $