二次函数区间最值专项过关卷----2026年初升高新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦初高中二次函数衔接，以分类讨论和数形结合为核心方法，系统构建轴定区间动、轴动区间定等问题的解题体系，培养从具体到抽象的数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础最值|选择1-2、填空7-8|闭区间端点与顶点比较法|初中二次函数性质到高中区间最值基础| |含参分类讨论|选择3-6、填空9-10、解答11-13|参数分界点讨论法|从具体到抽象参数问题的思维进阶| |实际应用|解答14|数学建模与定义域分析|函数模型在现实问题中的应用表达|

2026年初升高数学衔接·二次函数区间最值专项过关卷（解析卷） 一、选择题（每题5分，共30分） 第1题 函数 在区间 上的最大值和最小值分别是（　　） A. 3，-1　　B. 0，-1　　C. 3，0　　D. 0，-2 【答案】A 【详细解析】 第一步：求对称轴与顶点。 二次函数 ，开口向上（）。 对称轴： 顶点纵坐标： 第二步：判断顶点是否在区间内。 区间为 ，对称轴 在区间内（）。 因为开口向上，顶点处取得最小值： 第三步：比较两端点函数值，求最大值。 左端点： 右端点： 因为 ，所以最大值： 结论：最大值为3，最小值为-1，选A。 第2题 函数 在 上的最大值是（　　） A. 5　　B. 3　　C. 2　　D. -1 【答案】B 【详细解析】 第一步：分析开口方向与对称轴。 ，开口向下（）。 对称轴： 第二步：判断顶点位置。 对称轴 在区间 内。 开口向下，顶点处取得最大值。 第三步：验证端点值。 结论：最大值为3，选B。 【易错提醒】开口向下时，顶点是最高点，对应最大值，不要与开口向上混淆。 第3题 若函数 在区间 上的最大值为3，最小值为2，则 的取值范围是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【答案】C 【详细解析】 第一步：分析函数基本性质。 ，开口向上。 对称轴：，顶点坐标 。 顶点函数值 ，这是函数的最小值。 第二步：分析左端点函数值。 第三步：由最大值为3，确定右端点位置。 令 ，即 ，，解得 或 。 即 。 第四步：结合图像分析m的范围。 要使最小值为2：区间必须包含对称轴 ，即 。 要使最大值为3：区间右端点不能超过 ，即 。 结论：，选C。 第4题 已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为（　　） A. 　　B. 　　C. 7或-7　　D. 5或-5 【答案】C 【详细解析】 这是一道轴动区间定问题，需要分类讨论。 ，开口向上，对称轴 。 情况一：对称轴在区间左侧（，即 ） 此时函数在 上单调递增，最小值在左端点： 令 ，解得 。 验证：，符合条件。✓ 情况二：对称轴在区间内（，即 ） 此时最小值在顶点处： 令 ，即 ， 但 都不在 范围内，舍去。 情况三：对称轴在区间右侧（，即 ） 此时函数在 上单调递减，最小值在右端点： 令 ，解得 。 验证：，符合条件。✓ 结论： 或 ，选C。 第5题 函数 在区间 上的最小值为 ，当 时，（　　） A. 　　B. 　　C. 1　　D. 2 【答案】A 【详细解析】 这是一道轴定区间动问题。 ，开口向上，对称轴 （固定）。 分析：当 t < 0 时，区间位置 因为 ，所以区间右端点 。 即整个区间 都在对称轴 的左侧。 判断单调性： 开口向上，对称轴左侧函数单调递减。 所以在区间 上，函数单调递减。 求最小值： 单调递减区间上，右端点处取得最小值： 结论：当 时，，选A。 第6题 已知 ，且 ，则 的最小值为（　　） A. 　　B. 　　C. 1　　D. 【答案】A 【详细解析】 这是条件最值问题，用消元法转化为单变量二次函数最值。 第一步：消元。 由 ，得 。 第二步：确定y的取值范围。 因为 ，所以 ，即 。 又 ，所以 。 第三步：代入目标函数。 设 ，。 第四步：求二次函数在闭区间上的最小值。 开口向上，对称轴：。 对称轴 在区间右侧（）。 所以函数在 上单调递减。 最小值在右端点处取得： 结论：最小值为 ，选A。 二、填空题（每题5分，共20分） 第7题 函数 在区间 上的最小值为________，最大值为________。 【答案】-3；9 【详细解析】 第一步：求对称轴。 ，开口向上。 对称轴： 第二步：判断对称轴与区间的位置关系。 区间为 ，对称轴 在区间右侧。 所以函数在 上单调递减。 第三步：求最值。 最大值在左端点： 最小值在右端点： 结论：最小值为-3，最大值为9。 第8题 函数 在 上的最大值与最小值之和为________。 【答案】-3 【详细解析】 第一步：分析函数性质。 ，开口向下。 对称轴： 第二步：求最大值。 对称轴 在区间 内。 开口向下，顶点处取得最大值： 第三步：比较两端点，求最小值。 因为 ，所以最小值： 第四步：求和。 最大值 + 最小值 = 结论：最大值与最小值之和为-3。 第9题 若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是________。 【答案】 【详细解析】 第一步：分析函数开口方向与对称轴。 ，开口向上。 对称轴： 第二步：分析单调性。 开口向上的二次函数：对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。 第三步：根据题意列不等式。 函数在 上是减函数，说明对称轴必须在 的右侧（或重合）： 第四步：解不等式。 ，即 结论：实数a的取值范围是 。 第10题 函数 在区间 上的最小值为 ，则 ________。 【答案】-2或3 【详细解析】 轴动区间定问题，分类讨论。 ，开口向上，对称轴 。 情况一：对称轴在区间左侧（） 函数在 上单调递增，最小值在左端点： 令 。验证：，符合条件。✓ 情况二：对称轴在区间内（） 最小值在顶点处： 令 ，即 ，解得 或 。 都不在 内，舍去。 情况三：对称轴在区间右侧（） 函数在 上单调递减，最小值在右端点： 令 ，解得 。验证：，符合条件。✓ 结论： 或 。 三、解答题（每题10分，共50分） 第11题 已知函数 。 （1）求 在区间 上的最大值和最小值； （2）若 在区间 上的最小值为5，求 的值。 【答案】（1）最大值为10，最小值为1；（2） 或 【详细解析】 （1）求 在 上的最值 ，开口向上，对称轴 。 对称轴 在区间 内。 开口向上，顶点处取得最小值： 比较两端点：， 因为 ，所以 。 结论（1）：最大值为10，最小值为1。 （2）若最小值为5，求a的值 轴定区间动问题。顶点函数值为1（<5），说明对称轴不在区间内。 情况一：区间在对称轴左侧（，即 ） 函数单调递减，最小值在右端点： 令 ，即 ，解得 或 。 验证： ✓， 舍去。 情况二：区间在对称轴右侧（） 函数单调递增，最小值在左端点： 令 ，即 ，解得 或 。 验证： ✓， 舍去。 结论（2）： 或 。 第12题 求函数 在区间 上的最大值 。 【答案】 【详细解析】 轴动区间定问题，开口向下，求最大值。 ，开口向下，对称轴 。 情况一：对称轴在区间左侧（） 函数在 上单调递减，最大值在左端点： 情况二：对称轴在区间内（） 开口向下，顶点处取得最大值： 情况三：对称轴在区间右侧（） 函数在 上单调递增，最大值在右端点： 综上： 第13题 已知函数 ，，求 的最小值 与最大值 。 【答案】 最小值： 最大值： 【详细解析】 轴定区间动问题。，开口向上，对称轴 。 一、求最小值 g(t) 情况1：区间在对称轴左侧（，即 ） 函数单调递减，最小值在右端点： 情况2：区间包含对称轴（） 最小值在顶点处： 情况3：区间在对称轴右侧（） 函数单调递增，最小值在左端点： 二、求最大值 h(t) 开口向上，端点最大。比较两端点到对称轴的距离： 左端点距离：，右端点距离： 令 ，解得 。 情况1： 左端点离对称轴更远，最大值在左端点： 情况2： 右端点离对称轴更远，最大值在右端点： 第14题 某商品每件成本为20元，经调查发现，在某段时间内，销售量 （件）与销售单价 （元）之间的关系为 。设这段时间内该商品的销售利润为 （元）。 （1）求 与 的函数关系式，并写出定义域； （2）销售单价定为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？ （3）若物价部门规定该商品销售单价不得高于28元，求最大利润。 【答案】（1），定义域 ；（2）单价30元时，最大利润200元；（3）单价28元时，最大利润192元 【详细解析】 （1）求函数关系式与定义域 利润 = （单价 - 成本）× 销售量 每件利润： 元，销售量： 件 总利润： 定义域：单价不低于成本：；销售量非负： 所以定义域： （2）求利润最大值 ，开口向下，对称轴 。 对称轴在定义域内，顶点处取得最大值： （元） 结论：销售单价定为30元时，利润最大，最大利润为200元。 （3）单价不高于28元时的最大利润 此时定义域变为 ，对称轴 在区间右侧。 函数在 上单调递增，最大值在右端点： （元） 结论：单价定为28元时利润最大，最大利润为192元。 第15题 已知函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为 。 （1）求实数 的值； （2）求 的表达式并求其最小值。 【答案】（1）；（2），最小值为1 【详细解析】 （1）求a的值 ，开口向上，对称轴 ，区间 。 情况一：（对称轴在区间左侧） 函数单调递增，最小值：，舍去。 情况二：（对称轴在区间内） 最小值在顶点处： 令 ，即 ，。 因为 ，所以 ✓ 情况三：（对称轴在区间右侧） 函数单调递减，最小值： 令 ，解得 。 但 ，不满足 ，舍去。 结论（1）：。 （2）求 g(a) 的表达式并求其最小值 由（1）知 ，对称轴在区间内。 开口向上，最大值在端点处取得，比较两端点： ， 因为 ，所以最大值 。 结论（2）：，其最小值就是1。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初升高数学衔接·二次函数区间最值专项过关卷（原题版） 一、教材定位 本专题属于初中二次函数向高中函数性质过渡的核心衔接内容。初中阶段侧重二次函数的图像、性质与简单最值，高中阶段则进一步研究含参区间、分类讨论思想下的函数最值问题。二次函数区间最值是高中函数单调性、值域、导数应用的重要基础，也是初高中数学思维方式衔接的关键节点——从"套公式"转向"分类讨论、数形结合"的高阶思维。 二、学情分析 知识基础：学生已掌握二次函数的一般式、顶点式、对称轴公式、顶点坐标，能求简单区间上的最值，但对"顶点不在区间内时最值出现在端点"的理解不够深刻。 思维难点：含参数问题中，学生普遍缺乏分类讨论意识，容易遗漏端点情况；轴动区间定、轴定区间动两类问题容易混淆；对"最大值/最小值分别讨论"的双最值问题把握不准。 易错点：①直接代入顶点求最值，忽略区间范围；②分类讨论时分界点判断错误；③只考虑最小值忽略最大值；④实际问题中定义域考虑不全。 三、考察重难点 重点：①闭区间上二次函数最值的求法；②轴定区间动与轴动区间定两类问题的分类讨论；③数形结合思想在最值问题中的应用。 难点：①含参数二次函数的分类讨论标准；②双参数最值问题；③二次函数最值在实际问题中的综合应用。 核心思想：分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想。 一、选择题（每题5分，共30分） 1、　函数 在区间 上的最大值和最小值分别是（　　） A. 3，-1　　B. 0，-1　　C. 3，0　　D. 0，-2 2、　函数 在 上的最大值是（　　） A. 5　　B. 3　　C. 2　　D. -1 3、　若函数 在区间 上的最大值为3，最小值为2，则 的取值范围是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4、　已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为（　　） A. 　　B. 　　C. 7或-7　　D. 5或-5 5、　函数 在区间 上的最小值为 ，当 时，（　　） A. 　　B. 　　C. 1　　D. 2 6、　已知 ，且 ，则 的最小值为（　　） A. 　　B. 　　C. 1　　D. 二、填空题（每题5分，共20分） 7、　函数 在区间 上的最小值为________，最大值为________。 8、　函数 在 上的最大值与最小值之和为________。 9、　若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是________。 10、　函数 在区间 上的最小值为 ，则 ________。 三、解答题（每题10分，共50分） 11、　已知函数 。 （1）求 在区间 上的最大值和最小值； （2）若 在区间 上的最小值为5，求 的值。 12、　求函数 在区间 上的最大值 。 13、　已知函数 ，，求 的最小值 与最大值 。 14、　某商品每件成本为20元，经调查发现，在某段时间内，销售量 （件）与销售单价 （元）之间的关系为 。设这段时间内该商品的销售利润为 （元）。 （1）求 与 的函数关系式，并写出定义域； （2）销售单价定为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？ （3）若物价部门规定该商品销售单价不得高于28元，求最大利润。 15、　已知函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为 。 （1）求实数 的值； （2）求 的表达式并求其最小值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $