第04讲：二次函数与不等式-【初升高暑假衔接】2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第04讲：二次函数与不等式 【考点梳理】 · 考点一：一元二次不等式的解法 · 考点二：分式不等式和含绝对值的不等式 · 考点三：一元二次不等式求参数 · 考点四：含参数的一元二次不等式的解法 · 考点五：一元二次方程根的分布问题 · 考点六：一元二次不等式恒成立问题 【知识梳理】 知识点一、一元二次不等式及其解法 1．形如的不等式称为关于的一元二次不等式． 2．一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)． 以二次函数为例： (1) 作出图象. (2)图象与轴的交点是，即当时，． 就是说对应的一元二次方程的两实根是． (3) 当时，，对应图像位于轴的上方． (4) 就是说的解是． 当时，，对应图像位于轴的下方．就是说的解是． 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数. (2) 观察相应的二次函数的图象． ①如果图象与轴有两个交点， 此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ． 那么(图1)： ②如果图象与轴只有一个交点， 此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图2)： 无解 ③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图3)： 取一切实数 无解 解一个一元二次不等式的话，也可以按以下步骤处理： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解． 知识点二、简单分式不等式的解法 说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0． (2) 也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号(比如例(2))： . 考点三、含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为的形式． (1) 当时，不等式的解为：； (2) 当时，不等式的解为：； (3) 当时，不等式化为：； ① 若，则不等式无解；② 若，则不等式的解是全体实数． 【题型归纳】 题型一：一元二次不等式的解法 1．（24-25高一上·全国）解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或． (3)一切实数． (4)． 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可得答案. 【详解】（1），方程的解是． 不等式的解为． （2）整理得，． ，方程的解为. 原不等式的解为或． （3）整理，得． 由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数． （4）整理，得． 由于当时，成立；而对任意的实数都不成立， 原不等式的解为． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）解下列一元二次不等式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)无解． 【分析】（1）（2）分解因式后可解不等式；（3）由二次不等式对应二次函数图象与x轴的交点情况可解不等式. 【详解】（1）原不等式可化为，所以不等式的解为； （2）原不等式可化为，所以原不等式的解为； （3）原不等式可化为，，则图象恒在x轴上方，则原不等式无解． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或； (2) (3)或． (4) 【分析】首先变形不等式的形式，再求对应方程的实数根，再结合二次函数的图象，即可求解. 【详解】（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或； （2）原不等式可化为． 解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （3）原不等式可化为． 方程两根为2和-3． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （4）由原不等式得． 原不等式等价于． 解方程，得． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． 题型二：分式不等式和含绝对值的不等式 4．（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)或. 【分析】（1）（2）把分式不等式转化成一元二次不等式求解即得. （3）变形给定的不等式，再转化成一元二次不等式组求解. 【详解】（1）不等式，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，即， 则或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 5．（24-25高一上·江苏·期中）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）解一元二次不等式可得结果. （2）分式型不等式等价转化为一元二次不等式可得结果. （3）讨论的取值范围，去绝对值，解不等式可得结果. 【详解】（1）由得， 即， 解得或， 故不等式的解集为或. （2）由得，即， 等价于， 解得或， 故不等式的解集为或. （3）当时，原不等式可以化为，解得. 当时，原不等式可以化为，即，恒成立. 当时，原不等式可以化为.解得. 综上，原不等式的解集为. 6．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）（2）两题用一元二次不等式解法即可求解； （3）（4）（10）三题用解分式方程的解法即可求解； （5）（8）用解绝对值不等式的解法即可求解； （6）（7）（9）解高阶不等式用穿针引线法可以求解； 【详解】（1）由，得，即， 所以，所以不等式的解集为. （2）原不等式可化为或， 所以解集为{或}. （3）由题得 由可得：或，又， 则得或，即不等式的解集为. （4）由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. （5）当，即时，，得，此时，， 当，即时，，得，此时，， 综上所述，，即不等式的解集为. （6）原不等式可化为或， 即或． 由图可知，原不等式的解集为或． （7）原不等式可化为，即， 即或，即或． 由图可知，原不等式的解集为或. （8），令，则，原不等式为：，即， 由，则或，即. （9）对于， 当时，，原不等式等价于， 等价于，解得或，即； 当时，，原不等式成立，所以是原不等式的一个解； 综上，原不等式的解集为. （10）对于，变形为，即，与同解， ，即. 题型三：一元二次不等式求参数 7．（2025高一·全国·专题练习）若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方程的两根为，即可求解. 【详解】由题意可知：的两根为， 所以解得：， 经检验符合条件， 故选：A 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由题意知，1为方程的两根，所以解得则不等式可化为，即，解得． 9．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可. 【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D. 题型四：含参数的一元二次不等式的解法 10．（2026高三·全国·专题练习）求下列关于的不等式的解集：． 【答案】答案见解析 【分析】分解因式后，根据与的大小关系分类讨论求解. 【详解】由，得， 因为，所以， 当时，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． 11．（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 12．（24-25高一上·江西·期末）设函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系来确定系数； （2）先将不等式化简，再通过因式分解求解集，需要对参数的取值进行分类讨论。 【详解】（1）由题意，不等式的解集为，则-1和3是方程的两个根， 得解得，所以. （2）若，则，即， 因为，所以，是方程的两个实数根， ①当时，，不等式的解集为， ②当时，解集为， ③当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 题型五：一元二次方程根的分布问题 13．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 14．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 15．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 题型六：一元二次不等式恒成立问题 16．（24-25高一上·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式恒成立的条件可得结果. 【详解】由一元二次不等式，可得， 从而，解得：. 故选：A. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，原不等式为，符合题意；当时，要使关于的不等式的解集为，只需解得．综上，． 18．（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 【专题归纳】 一、单选题 1．（2025高一·全国）不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式解法求解即可. 【详解】因为， 所以不等式的解集为. 故选：D 2．（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一元二次不等式的充要条件，再结合子集关系得出充分不必要条件即可. 【详解】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 3．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先根据不等式的解集求出的值，可求出的解集. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的两个根. 所以，解得. 所以不等式化简得. 所以. 故选：B. 4．（2025高二下·天津南开·学业考试）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】将二次项系数为负的一元二次不等式转化为二次项系数为正的一元二次不等式，利用十字相乘法因式分解，再根据同号为正，异号为负列出不等式组，解不等式组即可得到解集. 【详解】可化为， 即， 可得或， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：A. 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式解得结构可得，且，不等式同时除以后即可得出解集. 【详解】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 6．（25-26高一·全国·假期作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出不等式的解集. 【详解】不等式可化为， 则解集为， 故选：A. 7．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式恒成立得出判别式范围即可求解. 【详解】不等式对一切实数恒成立， 则 则实数. 故选：B. 8．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】利用绝对值的意义，分和两种情况，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为， 故选：A. 9．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：. 10．（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集. 【详解】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D 11．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，及根与系数的关系，求出，从而求出不等式的解集. 【详解】不等式的解集为， 和是的解， ， 解得， ， 整理的， ， 故不等式的解集为：， 故答案为：B. 12．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】C 【分析】利用三个二次的关系分析得到，，即可判断AB；对于C，由或可得；对于D，利用前面已得结论，消元后解一元二次不等式即得. 【详解】由题意知，和3是方程的两根，且， 则有，故得. 对于AB，由和，可推得，故AB均错误； 对于C，因或故，故C正确； 对于D，由上分析，不等式可化为， 因，故可解得，即的解集为，故D错误. 故选：C. 二、多选题 13．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据原不等式解集，判断的正负，以及由韦达定理求得关系；再对每个选项，逐一分析，即可判断和选择. 【详解】的解集为，故，且，即； 对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对CD：不等式，即，又，故， 也即，解得，即不等式解集为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 14．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．当时，方程有两个相等实根 B．是方程有实根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 【答案】AC 【分析】当时，计算判别式可判断A选项；由求出的取值范围，利用集合的包含关系可判断B选项；利用韦达定理可判断CD选项. 【详解】对于A选项，当时，方程为，则， 因此，当时，方程有两个相等实根，A对； 对于B选项，若关于的方程有实根， 则，解得或， 因为是或的真子集， 所以，是方程有实根的充分不必要条件，B错； 对于CD选项，若方程有两个不等的实根， 则，解得或， 设关于的方程的两个不等实根分别为、， 若方程有两个不等正根，则，无解，C对； 若方程有两个不等负根，则，解得，则， 所以，方程可能有两个不等负根，D错. 故选：AC. 15．（24-25高一上·陕西西安·期末）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集得到，同时和是的两个根，进而得到 ，，逐项判断即可； 【详解】由一元二次不等式得解集结构可得： 且和是的两个根， 故，，得，， A选项：由可判断A正确； B选项：，故B错误； C选项：由得得，故C正确； D选项：由得，得，得或，故D正确； 故选：ACD 16．（24-25高一上·四川巴中·期末）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由韦达定理得根与系数的关系，对选项逐一判断即可得. 【详解】由题意可得，且， 则，，即，故A、B正确； 由，，故，， 即，， 又，，故，，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 17．（2025高一·全国·专题练习）（1）不等式的解集为 ； （2）不等式的解集为 ； （3）不等式的解集为 ． 【答案】 或 或 【分析】（1）根据二次不等式的解法求解；（2）移项通分，然后转化为二次不等式组求解；（3）先判定分母恒为正，然后转化求解. 【详解】（1）不等式化为，分解因式得，解得或， 所以原不等式的解集为或； （2）不等式化为，即，解得或， 所以原不等式的解集为或； （3）因为，所以原不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为：或；或；. 18．（2025高一·全国·专题练习）已知不等式的解集为或，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】根据不等式的解集为,可知是方程的两个根，利用韦达定理可求的值，进而可求答案． 【详解】根据不等式的解集为, 可知是一元二次方程的两个根， 利用韦达定理可得,解得 故答案为：；. 19．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集为 . 【答案】或 【详解】①当时，得，则有，解得；②当时，得.因为，所以，且，所以恒成立.综上所述，原不等式的解集为或. 20．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的方程的两个实数根都大于0，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】因为有两个实数根，所以，又因为是两个正根，由韦达定理得到根与系数的关系，联立即可求解. 【详解】因为关于的方程有两个实数根，所以， 因为两个实数根都大于0，所以， 联立解得，所以实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 21．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)设，解关于的不等式． 【答案】(1)或 (2)或 (3) (4) (5)或 (6)答案见解析 【详解】解：（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （2）原不等式可化为，方程的两根分别为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （3）原不等式为，整理得．解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （4）不等式可化为．因为方程的两根为，．又二次函数的图象开口向上，所以不等式的解集是． （5）原不等式等价于不等式组不等式①可化为，解得或．不等式②可化为，解得．故原不等式的解集为或． （6）①当时，不等式可化为，原不等式的解集为． ②当时，方程的两根分别为2和．a．当时，解不等式得，故原不等式的解集为；b．当时，不等式无解，故原不等式的解集为；c．当时，解不等式得，故原不等式的解集为．综上所述，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为． 22．（24-25高一上·湖北·期末）已知关于实数的函数． (1)若的解集为，求的值； (2)解关于实数的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由不等式的解集求得参数值； （2）根据一元二次函数的性质分类讨论解不等式． 【详解】（1）若的解集为，则，， ，， ∴； （2）整理可得，配方得 分以下情况讨论： 1．时，，解得或 2．时，，解得 3．时，，解得或 综上所述：当时解集为；当时解集为；当时解集为 23．（24-25高一上·湖南张家界·期末）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或. 【分析】（1）依题意可得，再根据一元二次不等式的解法计算可得； （2）令，则，解得即可。 【详解】（1）当时，， 不等式，即，解得或， 不等式的解集为或. （2）在上有两个不相等实根， 令， 则，即，解得或， 实数的取值范围为或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲：二次函数与不等式 【考点梳理】 · 考点一：一元二次不等式的解法 · 考点二：分式不等式和含绝对值的不等式 · 考点三：一元二次不等式求参数 · 考点四：含参数的一元二次不等式的解法 · 考点五：一元二次方程根的分布问题 · 考点六：一元二次不等式恒成立问题 【知识梳理】 知识点一、一元二次不等式及其解法 1．形如的不等式称为关于的一元二次不等式． 2．一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)． 以二次函数为例： (1) 作出图象. (2)图象与轴的交点是，即当时，． 就是说对应的一元二次方程的两实根是． (3) 当时，，对应图像位于轴的上方． (4) 就是说的解是． 当时，，对应图像位于轴的下方．就是说的解是． 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数. (2) 观察相应的二次函数的图象． ①如果图象与轴有两个交点， 此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ． 那么(图1)： ②如果图象与轴只有一个交点， 此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图2)： 无解 ③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图3)： 取一切实数 无解 解一个一元二次不等式的话，也可以按以下步骤处理： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解． 知识点二、简单分式不等式的解法 说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0． (2) 也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号(比如例(2))： . 考点三、含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为的形式． (1) 当时，不等式的解为：； (2) 当时，不等式的解为：； (3) 当时，不等式化为：； ① 若，则不等式无解；② 若，则不等式的解是全体实数． 【题型归纳】 题型一：一元二次不等式的解法 1．（24-25高一上·全国）解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）解下列一元二次不等式． (1)； (2)； (3)． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：分式不等式和含绝对值的不等式 4．（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 5．（24-25高一上·江苏·期中）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3). 6．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10). 题型三：一元二次不等式求参数 7．（2025高一·全国·专题练习）若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 9．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型四：含参数的一元二次不等式的解法 10．（2026高三·全国·专题练习）求下列关于的不等式的解集：． 11．（24-25高一上·江西）解关与x的不等式： 12．（24-25高一上·江西·期末）设函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，，求不等式的解集． 题型五：一元二次方程根的分布问题 13．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 15．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 题型六：一元二次不等式恒成立问题 16．（24-25高一上·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 17．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【专题归纳】 一、单选题 1．（2025高一·全国）不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 2．（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2025高二下·天津南开·学业考试）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一·全国·假期作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 7．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 9．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 二、多选题 13．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 14．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．当时，方程有两个相等实根 B．是方程有实根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 15．（24-25高一上·陕西西安·期末）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 16．（24-25高一上·四川巴中·期末）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 17．（2025高一·全国·专题练习）（1）不等式的解集为 ； （2）不等式的解集为 ； （3）不等式的解集为 ． 18．（2025高一·全国·专题练习）已知不等式的解集为或，则 ， ． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集为 . 20．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的方程的两个实数根都大于0，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 21．（25-26高一上·全国）解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)设，解关于的不等式． 22．（24-25高一上·湖北·期末）已知关于实数的函数． (1)若的解集为，求的值； (2)解关于实数的不等式． 23．（24-25高一上·湖南张家界·期末）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$