专题2.1 用字母表示数（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦“用字母表示数”核心知识点，搭建从具体数字运算到抽象代数表达的学习支架，系统涵盖书写规范、运算律与公式等数量关系表示，以及数列和图形规律探究等内容。 资料特色在于结合机器人采摘、全运会吉祥物等实际情境培养数学眼光，通过V形槽铅笔数量、月历数字规律等问题发展推理意识，题型分层设计典例与变式练习，助力课中教学与课后查漏补缺，强化符号意识与应用能力。

专题2.1 用字母表示数 教学目标 1.理解用字母表示数的意义，体会字母表示数的优越性； 2.掌握含字母的式子的书写规范，能正确书写代数式； 3.会用含字母的式子表示数量关系(运算律、公式、价格、行程等数量关系); 4.会用含字母的式子表示数列规律和图形规律； 教学重难点 1.重点 书写规范 2.难点 用字母表示具有规律性的数量关系 知识点01 用字母表示数的书写规范 (1)字母与字母相乘时，“×”号通常省略不写或写成“·”; (2)字母与数相乘时，数通常写在字母的前面； (3)带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数； (4)字母与字母相除时，要写成分数的形式. (5)当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号. 【即学即练】 1.下列用字母表示数的式子书写规范的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查用字母表示数的式子书写规范，根据在含有字母的式子中数字与字母相乘时，数字写在字母前；如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“⋅”或省略不写；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式；代数式为和差形式且带有单位时，应加上括号，逐一判断即可，解题的关键是正确理解代数式的书写要求． 【详解】解：①应写成； ②书写正确； ③书写正确； ④应写成； ⑤，书写正确． 正确的有②③⑤，共3个， 故选：C． 知识点02 用字母表示常见的数量关系 1. 用字母表示运算律 ①加法交换律—— ②加法结合律—— ③乘法交换律—— ④乘法结合律——bc ⑤乘法分配律—— 2. 用字母表示常见的公式 ①三角形的周长公式：C=a+b+c，面积公式：S=2ah ②长方形的周长公式：C=2(a+b)，面积公式：S=ab; ③正方形的周长公式C=4a，面积公式：S=a²; ④平行四边形的面积公式：S=ah; ⑤梯形的面积公式：s=(a+b)h, ⑥圆的周长公式：C=2πr，面积公式：S=πr² 3. 用字母表示常见的数量关系 ①工程问题 工作总量“1”=工作效率（P）工作时间（t）。即1=Pt； 工作效率(P，工作总量常用单位“1”表示。即P=； ②行程问题 路程（S）=速度（v）时间（t）,即s=vt； 速度（v）=路程（s）时间（t）,即； ③经济问题 利润（y）=售价（x）-进价（a），即y=s-a； 销售总额（w）=售价（x）销售量（y）,即w=xy； 【即学即练】 1. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果．若该机器人搭载了个机械手（），则它工作可以采摘 个苹果． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，掌握知识点是解题的关键．先求每个机械手的采摘速率，再求m个机械手的总速率，最后乘以工作时间得到总采摘数． 【详解】解：每个机械手每秒采摘苹果数为个． m个机械手每秒采摘苹果数为个． 工作80秒，采摘苹果数为（个）． 故答案为． 2. 第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在广东省、香港特别行政区、澳门特别行政区举行，开幕式及闭幕式分别在广州和深圳举办．“喜洋洋”和“乐融融”作为第十五届全运会的吉祥物，为了满足群众需求，每天生产的吉祥物数量与需要的天数如下表； 每天生产的吉祥物数量/万个 时间/天 若每天生产的吉祥物数量用表示，需要的天数用表示．则与成 比例关系；用式子表示与的数量关系为： ． 【答案】 反 【分析】本题考查反比例关系，熟练掌握反比例的定义是解题的关键． 通过计算每天生产数量与需要的天数的乘积，发现乘积均为，根据反比例的定义可判断与成反比例关系，再根据每天组装的数量需要的天数生产总量，代入对应的字母即可． 【详解】解：， 又每天生产的数量用表示，需要的天数用表示， ， 与成反比例关系； 故答案为：反；． 题型01 用字母表示数的书写规范 【典例1】下列各式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A、 不符合规范，应写为； 选项B、 不符合规范，应写为 ； 选项D、 不符合规范，带分数应化为假分数 ； 选项C、 符合所有书写规范， 故选C． 【变式1】下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据代数式的书写规范，逐一判断每个式子，统计符合要求的个数即可．代数式书写规则为：乘号通常省略不写或写为 ，数字需写在字母前方；除法运算写成分数形式；系数为 时省略不写；带分数需化为假分数． 【详解】解：逐个判断式子：∵ 保留乘号 ，不符合书写要求； 中系数的未省略，不符合书写要求； 未将除法写为分数形式，不符合书写要求； 中数字未写在字母前方，不符合书写要求； 未将带分数化为假分数，不符合书写要求； 只有符合所有书写要求，共个符合要求． 【变式2】下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求． ∴符合书写要求的式子共1个，故选C． 【变式3】下列各式中，书写格式正确的是（   ） A． B． C． D．ab×5 【答案】B 【分析】本题考查代数式的书写规范，代数式书写需遵循以下规则：数字与数字相乘，不能将乘号简写为；带分数与字母相乘，需先化为假分数；数字与字母相乘时，数字写在字母前，字母与字母相乘可省略乘号．掌握代数式的基本书写规则即可判断出正误，得到答案． 【详解】解：A选项是数字与数字相乘，乘号简写错误，不符合书写要求． B选项是字母与字母相乘，省略乘号，书写格式正确，符合要求． C选项带分数未化为假分数，书写错误，不符合要求． D选项数字未写在字母前，书写错误，不符合要求． 【变式4】以下各式书写规范的是（    ） A． B． C． D．厘米 【答案】B 【分析】根据代数式书写要求逐一判断选项即可． 【详解】解：A．书写时，应当省略，故该选项不符合书写规范，不符合题意； B．符合书写规范，符合题意； C．书写时，系数不能用带分数，需化为假分数，故该选项不符合书写规范，不符合题意； D．书写时，“÷”号应写为分数线的形式，即厘米，故该选项不符合书写规范，不符合题意． 题型02 用字母表示常见的数量关系 【典例1】王大伯在庭院里整理出一块长方形菜园，为方便种植，王大伯把它分为宽度不等的四块小长方形菜地，各部分的长度如图所示． (1)用表示这块长方形菜园的面积，请你用两种不同的方法求出这块菜园的面积； (2)根据（1）的结果，你能得到什么结论？这个结论验证了有理数的哪个运算律？ 【答案】(1)见解析 (2)，这个结论验证了有理数的乘法分配律 【分析】本题考查了列代数式，有理数的乘法运算律．熟练掌握列代数式，有理数的乘法运算律是解题的关键． （1）根据长乘宽求面积，根据大长方形的面积等于小长方形面积的和求解即可； （2）根据乘法运算律作答即可． 【详解】（1）解：方法一：由题意知，这块长方形菜园的长为，宽为， ∴菜园的面积为； 方法二：由题意知，菜园的面积为； （2）解：由（1）的结果可得， ∴这个结论验证了有理数的乘法分配律． 【变式1】用字母表示运算律：如果用a、b、c分别表示有理数，那么加法交换律可以表示成：__________；加法结合律可以表成：__________；乘法交换律可以表示成：__________；乘法结合律可以表成：__________；乘法对加法的分配律可以表示成：__________． 【答案】 【解析】略 【变式2】用含字母的式子表示分数的基本性质：__________． 【答案】 【变式3】（1）“的一半与3的差是负数”，用不等式表示其不等关系正确的是（     ） A． B． C． D． （2）“x减去y的差的2倍不大于x的一半”列不等式：___________． 【详解】（1）解：的一半可表示为， ∴可得不等式， ∴选A． （2）解：∵减去的差为， ∴减去的差的倍为， 又∵x的一半， 因此列出不等式为． 【变式4】如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类） (1)由图2可以得到等式：_______（用字母a，b表示）； (2)图3中阴影部分的正方形的边长是_______； (3)图3中阴影部分的面积有两种不同计算方法，可得下列三个代数式，，之间的数量关系是_______； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用两种方法用代数式表示图2长方形的面积即可； （2）根据拼图可得答案； （3）用两种方法用代数式表示图3的面积即可； 【详解】（1）解：图2整体上是长为，宽为的长方形，因此面积为，拼成图2的各个部分的面积和为， 所以有； （2）解：图3中阴影部分正方形的边长为； （3）解：图3中整体上是边长为的正方形，因此面积为， 图3中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 四个空白长方形的面积和为， 所以有； 题型03 用字母表示实际问题中的数量关系 【典例1】一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数可以表示为______（用含a，b的代数式表示） 【答案】/ 【详解】解：由题意得，十位数字为，个位数字为， 这个两位数可表示为． 【典例2】某工厂有煤m吨，计划每天用n吨，现响应国家节能减排的号召，实际每天用煤节约了a吨，则这些煤实际可用______天，（其中）． 【答案】 【分析】先求出实际每天的用煤量，再根据总天数等于总煤量除以每天用煤量，即可得到所求代数式． 【详解】解：由题意可知，总煤量为吨，实际每天节约吨，因此实际每天用煤量为吨， 根据实际可用天数， 可得实际可用天数为：． 【典例3】以特色农产品助力乡村振兴．某特产超市销售的苹果礼盒售价为20元/盒，冬枣礼盒售价为30元/盒，2026年春节期间，该超市在网上售出苹果礼盒a盒，冬枣礼盒b盒，总收入为_____元．（用含、的式子表示） 【答案】 【详解】解：由题意得，总收入为元． 【变式1】某快递公司使用A、B两种型号机器人分拣包裹，A型机器人每小时分拣数量是B型机器人的4倍多1件．若B型机器人每小时分拣x件，则A型机器人每小时分拣__________件． 【答案】 【详解】解：∵A型机器人每小时分拣数量是B型机器人的4倍多1件 ∴当B型机器人每小时分拣x件时，A型机器人每小时分拣件 ． 【变式2】某文具厂通过线上销售定制学生书包，经过功能改进，利润由原来的每个8元增加到23元．该文具厂通过网上售出个学生书包，则它的利润增加了____元（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】先计算单个书包利润增加的量，再乘以售出书包的总数量，即可得到总利润的增加量，得到含的代数式． 【详解】解：首先计算单个书包利润增加量： 售出个书包的总利润增加量为单个增加利润乘以销售量： 【变式3】某班开展“书香润心灵，阅读伴成长”读书活动，小华积极参与活动，选择了一本页的书，他计划用天读完这本书，则他平均每天需阅读的页数是________． 【答案】 【分析】根据平均每天阅读页数等于总页数除以阅读天数，据此列出对应代数式即可． 【详解】解：根据题意，已知书的总页数为，计划阅读天数为， 由平均每天阅读页数等于总页数除以阅读天数，可得：平均每天需阅读的页数为． 【变式4】填空： （1）已知操场环形跑道一圈长，甲、乙两人同时同地出发，沿跑道同向跑步，甲的速度为，乙的速度为，甲跑步超过乙一圈需_________s； （2）巧克力糖的单价为每千克a元，奶糖的单价为每千克b元，将巧克力糖和奶糖混合，这样得到的混合糖的平均单价是每千克_________元． 【答案】 【分析】（1）本题是同向追及行程问题，甲超过乙一圈时，两人的路程差为环形跑道一圈的长度，根据时间等于路程差除以速度差可求解； （2）本题考查混合糖平均单价的计算，先求出混合糖的总价和总质量，再根据平均单价等于总价除以总质量可求解． 【详解】解：（1）设甲跑步超过乙一圈需要，根据题意，得： ， 解得； （2）根据题意，巧克力糖的总价为元，奶糖的总价为元，因此混合糖的总总价为元，混合糖的总质量为， 因此平均单价为元每千克． 题型04 用含字母的式子表示数列或图形中的规律问题 【典例1】 观察下列数列，用含 的式子表示第 个数： （1） （2） （3）2，4，8，16，32， 【答案】 （1）；（2）1+2（n-1）=2n+1；（3）2n 【分析】 本题考查了用字母表示数列规律。第（1）、（2）问中相邻两项的差相等，是等差数列. 第（3）问中，观察数列与 的幂的关系，发现每项等于 。 【详解】略 【典例2】有一种放铅笔的V形槽，如图所示，第一层放1支，第二层放2支，依次每层增放1支，只要数一数顶层的支数n就可用公式算出槽内铅笔的支数． (1)根据图示你能推出这个公式吗？ (2)你还有没有其他方法推出这个公式？ (3)利用公式分别计算当时，槽内铅笔的支数． 【答案】(1) (2)有，见解析 (3)21，66 【分析】（1）由题意和图直接写出等式即可； （2）看作上底为1，下底为n，高为n的梯形，计算即可； （3）将代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）由题意和图可知：铅笔总数. （2）可以看作上底为1，下底为n，高为n的梯形， 根据梯形的面积公式得：． （3）当时，槽内铅笔的总数为(支)； 当时，槽内铅笔的总数为(支)． 【变式1】．观察下列数列，第 个数是_____： 【答案】 【知识点】 用字母表示数列规律 【分析】 本题考查了二阶等差数列的通项公式。相邻两项的差依次为 ，构成等差数列，这类数列称为二阶等差数列。可将其看作三角形数 来求解。 【详解】 解： 相邻两项的差：，，，，。 差分别为 ，依次增加 1。 观察可得：第1项 ；第2项 ；第3项 ；第4项 ； 因此第 项 。 【变式2】．观察下列数列，用含 的式子表示第 个数： （1） （2）（提示：观察与 的幂的关系） 【答案】 （1）；（2） 【分析】 本题考查了用字母表示数列规律。第（1）问中，相邻两项的差相等，是等差数列，利用等差数列通项公式求解。第（2）问中，观察数列与 的幂的关系，发现每项等于 减去 1。 【详解】 解：（1） 相邻两项的差：，，，，公差为 3。 首项为 2，第 项 ； 验证：当 时，，正确。 （2） 观察各项与 的关系： ，，，，， 因此第 项为 ； 验证：当 时，，正确。 【变式3】．2024年4月21日，安阳马拉松赛燃情开跑．为防止选手个人信息泄露，马拉松参赛选手随身穿戴的计时芯片会把选手参赛号码利用公式加密后上传．某选手参赛号码为1626，如果加密公式为选手参赛号码乘以n再加6，则利用公式加密后上传数据为__________． 【答案】 【分析】此题考查了列代数式，读懂题目信息，理解加密公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，利用公式加密后上传数据为， 故答案为： 【变式4】月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 题型05 初步理解字母的取值范围 【典例1】．“数 的与数 的差”可以用含m,n的代数式子表示为____________．这里的m、n可以取什么数？ 【答案】，任意数。 【分析】根据题意确定运算顺序，先求出数 的，再计算该结果与数 的差，即可列出所求代数式． 【详解】解：由题意可知，数 的可表示为 ， ∴用代数式表示“数 的与数 的差”为． m,n可以代表任意数。 【变式1】用含m,n字母的数学式子表示有理数的除法法则，并指出m,n所代表数的取值范围。 【详解】解：由题意可知，， m可以代表任意有理数，n只能代表不为0的有理数。 【变式2】两个非零的个位数a，b组成一个三位数，其中a在个位又在百位，b在十位上，（1）这个三位数是________________________． （2）并指出m,n所代表数的取值范围。 【答案】 （1）（2） 【详解】（1）根据数位的意义可知，百位上的数字a表示的数值为，十位上的数字b表示的数值为，个位上的数字a表示的数值为a， 将各数位数值相加合并同类项得：． （2） 【变式3】摆一摆，找规律 摆第7个图形需要用_____根小棒． 【答案】15 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】由图可知，每一个图像都是在前一个三角形的基础上再加2根火柴，所以第一个是3根小棒，第二个是根小棒，第三个是根小棒，第个就是根小棒． 【详解】解：∵①由3根小棒组成； ②由根小棒组成； ③由根小棒组成； ④由根小棒组成； ∴⑦由根小棒组成． 【变式4】如图是一组有规律的图案，第1个图案中有4个三角形，第2个图案中有7个三角形，第3个图案中有10个三角形，…，依此规律，第个图案中正方形的个数是_________，三角形的个数是_______． 【答案】n， 【分析】本题考查了图形中规律问题，根据第一个图形中三角形个数为；第二个图形三角形个数为；第三个图形中三角形个数为；第四个图形中三角形个数为；故第个图案中，三角形的个数为． 【详解】解：（1）第几个图形中就有几个正方形，所以第n个图形中有n个正方形； （2）第一个图形中三角形个数为， 第二个图形三角形个数为， 第三个图形中三角形个数为， 第四个图形中三角形个数为， …， ∴第个图案中，三角形的个数为：． 故答案为：． 1．下列书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式的书写规范，需依据代数式书写的相关规则逐一判断各选项． 代数式书写规范要求：数字与字母相乘时乘号可省略或用、带分数需化为假分数、除法运算要写成分数形式、字母相乘可直接书写． 【详解】A选项应写成或，故该选项不符合题意； C选项应写成，故该选项不符合题意； D选项应写成，故该选项不符合题意； B选项符合字母相乘的书写规范，故该选项符合题意； 故答案为：B． 2．按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别分析代数式的系数和字母部分的变化规律，归纳即可得到第个代数式． 【详解】解：观察给出的代数式依次分析： ∵第1个代数式：， 第2个代数式：， 第3个代数式：， 第4个代数式： ，... ， 依次类推，所有代数式的字母部分均为 ，第个代数式的系数为， ∴第个代数式为． 3．按照一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别找出系数、的指数的变化规律，推导得到第个代数式，对应选项判断即可． 【详解】解：分别观察系数和的指数的变化规律： 当时，第1个代数式为； 当时，第2个代数式为； 当时，第3个代数式为； 当时，第4个代数式为； ∴第个代数式是． 4．在日历上，某些数满足一定的规律，某年月份的日历如图所示，用方框框住任意个数，设右上角的数字为，则下列说法正确的是（    ） A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中的个数相加，结果是的倍数 【答案】D 【详解】解：日历中的数字规律是：同一行中后面的数字比前面大；同一列中下面的数字比上面大． 用方框框住任意个数，设右上角的数字为，则左上角数字为，故A选项错误； 左下角的数字为，故B选项错误； 右下角的数字为，故C选项错误； 综上所述方框中的四个数字和为，故D选项正确． 5．某文创店售卖马年纪念徽章，若每个售价为5元，则x个纪念徽章的销售总价为_____元． 【答案】 【分析】根据总价等于单价乘以数量即可求解． 【详解】解：x个纪念徽章的销售总价为元． 6．如图，某小区规划在边长为米的正方形场地上，修建两条互相垂直的宽为米的甬道，其余部分种草，则草地面积为______平方米． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意得出“阴影部分大正方形面积个甬道面积”，列出代数式即可，读懂图形，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：阴影部分面积为， 故答案为：． 7．一个两位数，十位上的数字是3，个位上的数字是a，用含a的代数式表示这个两位数是____________． 【答案】/ 【分析】此题考查用字母表示数．一个两位数，十位上数字是3，表示3个十，即30，个位上的数字是a，所以此数为． 【详解】解：一个两位数，十位上数字是3，个位上的数字是a，此数为． 故答案为：． 8．已知数轴上的点A、B所表示的数分别为m、n，则到点A、B的距离相等的点所表示的数为___．(用含m、n的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了数与数轴的对应关系，列代数式，解决本题的关键是数轴上要求的是的中点所表示的数，根据数轴上的中点公式解题即可． 【详解】解：数轴上的点A、B所表示的数分别为m、n，则到点A、B的距离相等的点所表示的数为． 故答案为：． 9．如图，用长的篱笆围成一面靠墙（墙长10M，另三边由篱笆围成）的长方形生物圈（鸡舍），如果生物圈的宽(与墙垂直的那条边)为，那么生物圈的面积是______．a的取值范围是__________    【答案】, 【分析】本题考查了列代数式的知识，解题的关键是根据总长和一边长表示出另一边的长．由题目分析可以知道，篱笆总长是一定的，可以假设出边长，再根据矩形面积公式列出解析式作答． 【详解】(1)解：假设长方形园子宽为， 则长为， 则由题目可得面积是：， 故答案为：． (2)因为长方形的长必须大于0，所以a小于8； 因为长方形的长要小于墙长，所以a大于3； 所以. 10．观察下图，并完成下表： 六边形的个数 图案 所需火柴棍根数 1 6 2 6+5=11 3 6+5×2=16 4 6+5×__________=___________ … … … m（m为正整数） … __________ 【答案】，， 【分析】本题考查了找规律问题，根据题意得出规律是解题的关键． 根据题意得出规律，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，当有个六边形时，所需火柴根数为（根）， 当有个六边形时，所需火柴根数为， 故答案为：，，． 1．下列代数式书写正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A的书写符合代数式书写规范，选项A正确； 选项B中，除法运算应写成分数形式，正确书写为，故B不符合要求； 选项C中，数字因数应写在字母前面，正确书写为，故C不符合要求； 选项D中，字母与字母相乘，乘号应省略，正确书写为，故D不符合要求. 2．代数式表示的意义是（   ） A．与3的和的2倍 B．的2倍与3的和 C．与3的和的平方 D．的平方与3的和 【答案】A 【分析】本题考查代数式的意义，需根据代数式的运算顺序，分析各选项对应的代数式并与题干代数式对比判断． 【详解】解：∵代数式的运算顺序为：先求与3的和，再将该和乘以2，即表示与3的和的2倍 故选：A． 3．观察下列各数：，1，，，⋯，按此规律，第12个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据前4个数的数字变化特点得出规律，再根据规律解答． 【详解】解：第1个数为：； 第2个数为：； 第3个数为：； 第4个数为：； …； 第n个数是， 第12个数是． 4．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为，，例如1，2对应的密文是，4．那么明文4，1时对应的密文是（   ） A．5，1 B．3，3 C．2，9 D．1，7 【答案】C 【分析】根据给出的加密规则，将明文的值代入计算即可得到对应密文． 【详解】解：根据题意，加密规则为明文，对应的密文为， ∵明文为， ∴代入计算得 第一个密文： 第二个密文： 因此明文4，1对应的密文为2，9． 5．代数式可以表示不同实际问题中的数量关系，下列赋予实际意义的例子中，错误的是（    ） A．一个两位数的十位数字为5，个位数字为x，则这个两位数可以表示为 B．一箱苹果的售价为x元，则5箱苹果的售价为元 C．一列动车的速度为x千米/小时，则这列动车5小时行驶了千米 D．一块长方形木板的宽为x，长是宽的倍，则长方形的周长为 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的实际意义，掌握实际问题中数量间的关系是解答本题的关键．根据代数式表示的实际意义分别判断每个选项，从而得出答案． 【详解】解：由题意得： A、若一个两位数的十位数字为5，个位数字为x，则表示这个两位数，选项中说法不正确，故符合题意； B、若一箱苹果的售价为x元，则5箱苹果的售价为元，此说法正确，故不符合题意； C、一列动车的速度为x千米/小时，则这列动车5小时行驶了千米，此说法正确，故不符合题意； D、一块长方形木板的宽为x，长是宽的倍，则长方形的周长为，此说法正确，故不符合题意． 故选：A． 6．如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第20个图案中三角形的个数是（   ） A．88 B．78 C．68 D．58 【答案】B 【分析】先根据前几个图案中三角形的个数，找出其变化规律，推导出第个图案中三角形的个数与n的关系，将代入计算即可． 【详解】解：第①个图案有个三角形， 第②个图案有个三角形， 第③个图案有个三角形， ∴第个图案中三角形的个数为个． 将代入，得： ， ， （个）． 7．某种细菌每分钟由1个分裂成2个，1个细菌经过分裂成__________个细菌，再经过后分裂成__________个细菌． 【答案】 /32 【分析】根据规律，细菌每分钟分裂一次，1个细菌经过1分钟分裂成2个，经过分钟分裂成个，据此求解即可． 【详解】解：由题意知道：5 分钟后，总共分裂了5次，有个细菌； 再经过后，总共分裂了次，共有个细菌． 8. 根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，从而缩短了工期．设原计划每天修建盲道x米，那么实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了（     ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【分析】根据“工期=总长度÷每天修建长度”，分别求出原计划工期和实际工期，再用原计划工期减去实际工期，即可得到缩短的工期． 【详解】∵ 原计划每天修建盲道米，盲道总长为米， ∴ 原计划修建工期为天， ∵ 实际每天修建盲道的长度比原计划增加米， ∴ 实际每天修建长度为 米，实际修建工期为天， ∴ 缩短的工期 = 原计划工期实际工期，即缩短了天． 9．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现，此贺卡的日销售单价（单位：元）与日销数量（单位：个）之间有如下关系，则与成______关系（选填“正比例”或“反比例”）． 日销售单价/元 … 3 4 5 6 … 日销售量个 … 20 15 12 10 … 【答案】反比例 【分析】本题考查了根据实际问题抽象反比例关系，解答本题的关键是仔细观察所给数据． 通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例． 【详解】解：∵ ∴x与y的乘积是相同的， ∴y与x成反比例关系． 故答案为：反比例． 10．如图，图1中有3个圆点，图2中有6个圆点，图3中有9个圆点，……按照这一规律，图中的圆点个数为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察图形可知，图n的圆点个数为，据此可得答案． 【详解】解：图1中有个圆点， 图2中有个圆点， 图3中有个圆点， ……， 以此类推，可知图n中有个圆点， 11．观察下图，找出小正方体个数与露在外面的面数变化的规律，将表格填写完整． 小正方体的个数 1 2 3 4 … … a 露在外面的面数 5 9 … … 【答案】 小正方体的个数 1 2 3 4 … … a 露在外面的面数 5 9 … … 【分析】根据题意可得露在外面的面数＝顶面数＋侧面数，据此列式求解即可． 【详解】解：①4个正方体的立体包含一个顶面和4组侧面，也就是（个）面； ②先从个面中减去顶面：（个），再根据一个正方体有4个侧面，用除法得出正方体的个数：（个）； ③露在外面的面数＝顶面数＋侧面数，顶面数是1，当小正方体的个数为时，侧面数是小正方体个数的倍即，此时露在外面的面数为． 12．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知等式，找到等式和序号的对应关系即可求解； （2）根据已知等式，找出规律即可； （3）先代入，再利用裂项相消的方法求解即可． 【详解】（1）解：观察等式可知，第5个等式：． （2）解：观察等式可知，第个等式：． （3）解：由题意得： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 用字母表示数 教学目标 1.理解用字母表示数的意义，体会字母表示数的优越性； 2.掌握含字母的式子的书写规范，能正确书写代数式； 3.会用含字母的式子表示数量关系(运算律、公式、价格、行程等数量关系); 4.会用含字母的式子表示数列规律和图形规律； 教学重难点 1.重点 书写规范 2.难点 用字母表示具有规律性的数量关系 知识点01 用字母表示数的书写规范 (1)字母与字母相乘时，“×”号通常省略不写或写成“·”; (2)字母与数相乘时，数通常写在字母的前面； (3)带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数； (4)字母与字母相除时，要写成分数的形式. (5)当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号. 【即学即练】 1.下列用字母表示数的式子书写规范的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点02 用字母表示常见的数量关系 1. 用字母表示运算律 ①加法交换律—— ②加法结合律—— ③乘法交换律—— ④乘法结合律——bc ⑤乘法分配律—— 2. 用字母表示常见的公式 ①三角形的周长公式：C=a+b+c，面积公式：S=2ah ②长方形的周长公式：C=2(a+b)，面积公式：S=ab; ③正方形的周长公式C=4a，面积公式：S=a²; ④平行四边形的面积公式：S=ah; ⑤梯形的面积公式：s=(a+b)h, ⑥圆的周长公式：C=2πr，面积公式：S=πr² 3. 用字母表示常见的数量关系 ①工程问题 工作总量“1”=工作效率（P）工作时间（t）。即1=Pt； 工作效率(P，工作总量常用单位“1”表示。即P=； ②行程问题 路程（S）=速度（v）时间（t）,即s=vt； 速度（v）=路程（s）时间（t）,即； ③经济问题 利润（y）=售价（x）-进价（a），即y=s-a； 销售总额（w）=售价（x）销售量（y）,即w=xy； 【即学即练】 1. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果．若该机器人搭载了个机械手（），则它工作可以采摘 个苹果． 2. 第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在广东省、香港特别行政区、澳门特别行政区举行，开幕式及闭幕式分别在广州和深圳举办．“喜洋洋”和“乐融融”作为第十五届全运会的吉祥物，为了满足群众需求，每天生产的吉祥物数量与需要的天数如下表； 每天生产的吉祥物数量/万个 时间/天 若每天生产的吉祥物数量用表示，需要的天数用表示．则与成 比例关系；用式子表示与的数量关系为： ． 题型01 用字母表示数的书写规范 【典例1】下列各式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式3】下列各式中，书写格式正确的是（   ） A． B． C． D．ab×5 【变式4】以下各式书写规范的是（    ） A． B． C． D．厘米 题型02 用字母表示常见的数量关系 【典例1】王大伯在庭院里整理出一块长方形菜园，为方便种植，王大伯把它分为宽度不等的四块小长方形菜地，各部分的长度如图所示． (1)用表示这块长方形菜园的面积，请你用两种不同的方法求出这块菜园的面积； (2)根据（1）的结果，你能得到什么结论？这个结论验证了有理数的哪个运算律？ 【变式1】用字母表示运算律：如果用a、b、c分别表示有理数，那么加法交换律可以表示成：__________；加法结合律可以表成：__________；乘法交换律可以表示成：__________；乘法结合律可以表成：__________；乘法对加法的分配律可以表示成：__________． 【变式2】用含字母的式子表示分数的基本性质：__________． 【变式3】（1）“的一半与3的差是负数”，用不等式表示其不等关系正确的是（     ） A． B． C． D． （2）“x减去y的差的2倍不大于x的一半”列不等式：___________． 【变式4】如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类） (1)由图2可以得到等式：_______（用字母a，b表示）； (2)图3中阴影部分的正方形的边长是_______； (3)图3中阴影部分的面积有两种不同计算方法，可得下列三个代数式，，之间的数量关系是_______； 题型03 用字母表示实际问题中的数量关系 【典例1】一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数可以表示为______（用含a，b的代数式表示） 【典例2】某工厂有煤m吨，计划每天用n吨，现响应国家节能减排的号召，实际每天用煤节约了a吨，则这些煤实际可用______天，（其中）． 【典例3】以特色农产品助力乡村振兴．某特产超市销售的苹果礼盒售价为20元/盒，冬枣礼盒售价为30元/盒，2026年春节期间，该超市在网上售出苹果礼盒a盒，冬枣礼盒b盒，总收入为_____元．（用含、的式子表示） 【变式1】某快递公司使用A、B两种型号机器人分拣包裹，A型机器人每小时分拣数量是B型机器人的4倍多1件．若B型机器人每小时分拣x件，则A型机器人每小时分拣__________件． 【变式2】某文具厂通过线上销售定制学生书包，经过功能改进，利润由原来的每个8元增加到23元．该文具厂通过网上售出个学生书包，则它的利润增加了____元（用含的代数式表示）． 【变式3】某班开展“书香润心灵，阅读伴成长”读书活动，小华积极参与活动，选择了一本页的书，他计划用天读完这本书，则他平均每天需阅读的页数是________． 【变式4】填空： （1）已知操场环形跑道一圈长，甲、乙两人同时同地出发，沿跑道同向跑步，甲的速度为，乙的速度为，甲跑步超过乙一圈需_________s； （2）巧克力糖的单价为每千克a元，奶糖的单价为每千克b元，将巧克力糖和奶糖混合，这样得到的混合糖的平均单价是每千克_________元． 题型04 用含字母的式子表示数列或图形中的规律问题 【典例1】 观察下列数列，用含 的式子表示第 个数： （1） （2） （3）2，4，8，16，32， 【典例2】有一种放铅笔的V形槽，如图所示，第一层放1支，第二层放2支，依次每层增放1支，只要数一数顶层的支数n就可用公式算出槽内铅笔的支数． (1)根据图示你能推出这个公式吗？ (2)你还有没有其他方法推出这个公式？ (3)利用公式分别计算当时，槽内铅笔的支数． 【变式1】．观察下列数列，第 个数是_____： 【变式2】．观察下列数列，用含 的式子表示第 个数： （1） （2）（提示：观察与 的幂的关系） 【变式3】．2024年4月21日，安阳马拉松赛燃情开跑．为防止选手个人信息泄露，马拉松参赛选手随身穿戴的计时芯片会把选手参赛号码利用公式加密后上传．某选手参赛号码为1626，如果加密公式为选手参赛号码乘以n再加6，则利用公式加密后上传数据为__________． 【变式4】月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 题型05 初步理解字母的取值范围 【典例1】．“数 的与数 的差”可以用含m,n的代数式子表示为____________．这里的m、n可以取什么数？ 【变式1】用含m,n字母的数学式子表示有理数的除法法则，并指出m,n所代表数的取值范围。 【变式2】两个非零的个位数a，b组成一个三位数，其中a在个位又在百位，b在十位上，（1）这个三位数是________________________． （2）并指出m,n所代表数的取值范围。 【变式3】摆一摆，找规律 摆第7个图形需要用_____根小棒． 【变式4】如图是一组有规律的图案，第1个图案中有4个三角形，第2个图案中有7个三角形，第3个图案中有10个三角形，…，依此规律，第个图案中正方形的个数是_________，三角形的个数是_______． 1．下列书写规范的是（   ） A． B． C． D． 2．按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 3．按照一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 4．在日历上，某些数满足一定的规律，某年月份的日历如图所示，用方框框住任意个数，设右上角的数字为，则下列说法正确的是（    ） A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中的个数相加，结果是的倍数 5．某文创店售卖马年纪念徽章，若每个售价为5元，则x个纪念徽章的销售总价为_____元． 6．如图，某小区规划在边长为米的正方形场地上，修建两条互相垂直的宽为米的甬道，其余部分种草，则草地面积为______平方米． 7．一个两位数，十位上的数字是3，个位上的数字是a，用含a的代数式表示这个两位数是____________． 8．已知数轴上的点A、B所表示的数分别为m、n，则到点A、B的距离相等的点所表示的数为___．(用含m、n的代数式表示) 9．如图，用长的篱笆围成一面靠墙（墙长10M，另三边由篱笆围成）的长方形生物圈（鸡舍），如果生物圈的宽(与墙垂直的那条边)为，那么生物圈的面积是______．a的取值范围是__________    10．观察下图，并完成下表： 六边形的个数 图案 所需火柴棍根数 1 6 2 6+5=11 3 6+5×2=16 4 6+5×__________=___________ … … … m（m为正整数） … __________ 1．下列代数式书写正确的是（   ） A． B． C． D． 2．代数式表示的意义是（   ） A．与3的和的2倍 B．的2倍与3的和 C．与3的和的平方 D．的平方与3的和 3．观察下列各数：，1，，，⋯，按此规律，第12个数为（   ） A． B． C． D． 4．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为，，例如1，2对应的密文是，4．那么明文4，1时对应的密文是（   ） A．5，1 B．3，3 C．2，9 D．1，7 5．代数式可以表示不同实际问题中的数量关系，下列赋予实际意义的例子中，错误的是（    ） A．一个两位数的十位数字为5，个位数字为x，则这个两位数可以表示为 B．一箱苹果的售价为x元，则5箱苹果的售价为元 C．一列动车的速度为x千米/小时，则这列动车5小时行驶了千米 D．一块长方形木板的宽为x，长是宽的倍，则长方形的周长为 6．如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第20个图案中三角形的个数是（   ） A．88 B．78 C．68 D．58 7．某种细菌每分钟由1个分裂成2个，1个细菌经过分裂成__________个细菌，再经过后分裂成__________个细菌． 8. 根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，从而缩短了工期．设原计划每天修建盲道x米，那么实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了（     ） A．天 B．天 C．天 D．天 9．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现，此贺卡的日销售单价（单位：元）与日销数量（单位：个）之间有如下关系，则与成______关系（选填“正比例”或“反比例”）． 日销售单价/元 … 3 4 5 6 … 日销售量个 … 20 15 12 10 … 10．如图，图1中有3个圆点，图2中有6个圆点，图3中有9个圆点，……按照这一规律，图中的圆点个数为____． 11．观察下图，找出小正方体个数与露在外面的面数变化的规律，将表格填写完整． 小正方体的个数 1 2 3 4 … … a 露在外面的面数 5 9 … … 12．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $