精品解析：北京二中教育集团2025一2026学年度第二学期七年级数学试题

北京二中教育集团2025-2026学年度第二学期 初一数学期末考试试卷 考查目标 知识技能：人教版七年级下册各章内容； 运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 核心素养：空间观念、几何直观、运算能力、推理能力、模型观念与应用意识． 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡．全卷共三道大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．在答题卡上作答，判断题、选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用黑色字迹签字笔书写． 5．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共20分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共20分） 1. 的算术平方根为（ ） A. B. C. D. 2. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试，采用抽样调查 B. 调查一批比亚迪新能源汽车电池的使用寿命，采用全面调查 C. 调查“神舟二十一号”的零部件质量，采用抽样调查 D. 调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用全面调查 5. 若点在y轴上，则点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 6. 已知的解集是，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下表记录了一些数的平方： 通过分析表格，小美得到的结论是：算术平方根在的整数有3个；小丽得到的结论是：的整数部分为11．以下判断正确的是（ ） A. 只有小美的结论正确 B. 只有小丽的结论正确 C. 两人的结论都正确 D. 两人的结论都不正确 8. 已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 9. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 10. “低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（ ） A. 2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B. 2023年低空经济市场规模增量最多 C. 从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D. 2026年低空经济市场规模将突破万亿元 第Ⅱ卷（非选择题共80分） 二、填空题（共16分，每题2分） 11. 写出一个比3大的正无理数__________． 12. 如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段去公路边，那么他的这一选择体现的数学基本事实是________． 13. 已知正数的两个平方根是和，则等于___________． 14. 已知：如图所示，直线，相交于点，，平分，则的度数为________． 15. 在平面直角坐标系中，点到两坐标轴的距离相等，则m的值为______． 16. 如图所示的趋势图描述了一家公司某种产品销售收入随着广告支出增加的变化趋势，根据这个趋势图预测当广告支出为10万元时，该产品的销售收入约为______万元（结果保留整数）． 17. “抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为_______． 18. 某工厂生产一种零件，需要甲、乙、丙三种配件，配件的包装规格与成本如表所示： 配件名称 每盒装量（个） 每盒成本（元） 甲 2 4 乙 3 3 丙 4 5 现生产一批零件，需采购甲、乙、丙配件的盒数依次为x，y，z（x，y，z均为正整数）．生产这批零件所需三种配件的总数量N（单位：个）______（用含x，y，z的代数式表示）；为满足订单要求，规定总数量，当x，y，z的值依次为______时，总成本最低． 三、解答题（共64分，其中第19题10分，第20-21题每题5分，第22-26题每题6分，第27-28题每题7分） 19. 计算、求的值： （1）； （2）． 20. 解方程组：． 21. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 22. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D．与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与靠背的夹角的度数．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据． 解：∵， ∴，（①_____） ∵， ∴②_____，（③______） 又∵， ∴， ∵，， ∴，（④______） ∴．（⑤______） 23. 如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，．点是三角形的边上任意一点，三角形经过平移后得到三角形，点的对应点为． （1）写出点的坐标：点________； （2）在图中画出平移后的三角形； （3）若在轴上有一点，使三角形的面积与三角形的面积相等，则点的坐标为_______． 24. 2025年春晚名为《秧》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； 型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、两种型号智能机器人共10台，费用不超过700万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 25. 某校为了了解该校初一年级学生阅读课外书籍的情况，随机抽取了该年级的部分学生，对他们某月阅读课外书籍的情况进行了调查，并根据调查的结果绘制了如下的统计图表． 阅读课外书籍人数分组统计表 分组 阅读课外书籍时间n（小时） 人数 A 3 B 10 C D 13 E F 请你根据以上信息解答下列问题： （1）这次共调查了学生______人，E组人数所占的百分比是_______； （2）表1中a的值是________，请补全图1； （3）若该年级共有学生1200人，请你估计该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少于12小时的学生约有多少人． 26. 若一个不等式（组）有解且解集为，则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式（组）的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）对于不等式（组）中点包含． （1）已知关于的不等式组：，以及不等式：，请判断不等式对于不等式组是否中点包含：____（填“是”或“否”）； （2）已知关于的不等式组：和不等式：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围． （3）关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为，求的取值范围． 27. 已知直线，直线分别交、于、两点，射线平分，点是射线上一动点（不与点，重合），作平分，交射线于点，过点作，交于点． （1）如图1，若，， ①补全图形，的度数为_____； ②求出的度数； （2）在点运动的过程中，直接写出与之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，若满足（m，n为常数且），则称点是点P的“限距点”· （1）已知点， ①在，，中，点____是点P的“限距点”； ②点Q在一三象限的角平分线上，且点Q是点P的“限距点”，写出一个满足条件的点Q的坐标； （2）已知点，，若线段上存在点P的“限距点”，求a的取值范围； （3）已知点，，，以为一边在x轴上方作正方形，若正方形的边上始终存在点，使点是点P的“限距点”，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中教育集团2025-2026学年度第二学期 初一数学期末考试试卷 考查目标 知识技能：人教版七年级下册各章内容； 运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 核心素养：空间观念、几何直观、运算能力、推理能力、模型观念与应用意识． 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡．全卷共三道大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．在答题卡上作答，判断题、选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用黑色字迹签字笔书写． 5．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共20分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共20分） 1. 的算术平方根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的算术平方根为． 2. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，熟练掌握图形平移不变性的性质是解答此题的关键．由题意根据图形平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：由图可知A不是平移得到，B不是平移得到，D不是平移得到， C是利用图形的平移得到． 故选：C． 3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，对各选项逐一判断，即可得到正确答案． 【详解】解：已知 ， 对选项A：举反例，若，，满足，但，，，即，因此A不成立； 对选项B：举反例，若，，满足，但，因此B不成立； 对选项C：∵不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，∴由可得，因此C成立； 对选项D：∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变，∴由可得，因此D不成立． 4. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试，采用抽样调查 B. 调查一批比亚迪新能源汽车电池的使用寿命，采用全面调查 C. 调查“神舟二十一号”的零部件质量，采用抽样调查 D. 调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用全面调查 【答案】D 【解析】 【分析】对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A、企业招聘，对应聘人员进行面试，应采用全面调查，故本选项不符合题意； B、调查一批比亚迪新能源汽车电池的使用寿命，应采用抽样调查，故本选项不符合题意； C、调查“神舟二十一号”的零部件质量，应采用全面调查，故本选项不符合题意； D、调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用全面调查，故本选项符合题意． 5. 若点在y轴上，则点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】根据y轴上点的横坐标为0，先求出n的值，再得到点B的坐标，即可判断点B所在象限． 【详解】解：∵y轴上点的横坐标为，点在轴上， ， 解得， 将代入点的纵坐标，得， 点的坐标为， ∵横坐标小于，纵坐标小于的点在第三象限， 点在第三象限． 6. 已知的解集是，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，不等式的解集不等号方向发生改变，判断不等式系数的正负，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等号方向发生改变， ∴根据不等式的基本性质，可得，解得． 7. 下表记录了一些数的平方： 通过分析表格，小美得到的结论是：算术平方根在的整数有3个；小丽得到的结论是：的整数部分为11．以下判断正确的是（ ） A. 只有小美的结论正确 B. 只有小丽的结论正确 C. 两人的结论都正确 D. 两人的结论都不正确 【答案】B 【解析】 【详解】解： ， ∴算术平方根在的整数有279， 280， 281， 282，共4个， ∴小美的结论错误； ， ， ， ∴ ， 的整数部分为11，小丽的结论正确． 8. 已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将待解方程组整理为和已知解的原方程组结构一致的形式，利用整体替换的思路，令对应整体等于原方程组的解，即可求解新方程组． 【详解】解：将方程组整理为， ∵已知原方程组的解是， ∴对应可得， 解得． 9. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 10. “低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（ ） A. 2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B. 2023年低空经济市场规模增量最多 C. 从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D. 2026年低空经济市场规模将突破万亿元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与折线统计图，根据统计图逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、2021至2026年低空经济市场规模逐年上升，说法正确，不符合题意； B、2022年低空经济市场规模增量（亿元）， 2023年低空经济市场规模增量（亿元）， 2024年低空经济市场规模增量（亿元）， 2025年低空经济市场规模增量（亿元）， 所以2025年低空经济市场规模增量最多，选项说法错误，符合题意； C、从2024年开始低空经济市场规模增长率变小，说法正确，不符合题意； D、2026年低空经济市场规模约亿元，将突破万亿元，说法正确，不符合题意； 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题共80分） 二、填空题（共16分，每题2分） 11. 写出一个比3大的正无理数__________． 【答案】（答案不唯一，大于3的正无理数均可） 【解析】 【分析】由，即可得出结果． 【详解】解：是正无理数，且，满足题意要求． 12. 如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段去公路边，那么他的这一选择体现的数学基本事实是________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意；根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 13. 已知正数的两个平方根是和，则等于___________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据一个正数的两个平方根是互为相反数可得，求出，即可得出这两个平方根，即可得出答案． 【详解】解：∵正数x的两个平方根是和， ∴， 解得， ∴两个平方根是． ∵9的平方根是， ∴x等于9． 14. 已知：如图所示，直线，相交于点，，平分，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角的和差计算，对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握对顶角相等． 根据对顶角的性质以及邻补角的性质得到，，再由角平分线得到，最后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点到两坐标轴的距离相等，则m的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点到轴的距离为，到轴的距离为，由点到两坐标轴距离相等列出绝对值方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：， 解得； 情况2：， 解得； ∴的值为或． 16. 如图所示的趋势图描述了一家公司某种产品销售收入随着广告支出增加的变化趋势，根据这个趋势图预测当广告支出为10万元时，该产品的销售收入约为______万元（结果保留整数）． 【答案】49（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，由统计图可得，广告费用每增加一万元，销售收入大约增加3万元，据此求解即可． 【详解】解：由统计图可得，广告费用每增加一万元，销售收入大约增加3万元， 所以根据这个趋势图预测当广告支出为10万元时，该产品的销售收入约为万元， 故答案为：49（答案不唯一）． 17. “抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和． 根据平行线的性质得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 18. 某工厂生产一种零件，需要甲、乙、丙三种配件，配件的包装规格与成本如表所示： 配件名称 每盒装量（个） 每盒成本（元） 甲 2 4 乙 3 3 丙 4 5 现生产一批零件，需采购甲、乙、丙配件的盒数依次为x，y，z（x，y，z均为正整数）．生产这批零件所需三种配件的总数量N（单位：个）______（用含x，y，z的代数式表示）；为满足订单要求，规定总数量，当x，y，z的值依次为______时，总成本最低． 【答案】 ①. ②. ，， 【解析】 【分析】首先根据每盒的装量和盒数求出总数量的代数式，再根据x，y，z均为正整数和的条件，计算不同组合下的总成本，找到总成本最低时的x，y，z取值． 【详解】解：总数量为甲配件总数加乙配件总数加丙配件总数，甲每盒2个，共x盒，总数为，乙每盒3个，共y盒，总数为，丙每盒4个，共z盒，总数为， 因此； 设总成本为，由表格可得， ∵单个配件成本：甲为元/个，乙为元/个，丙为元/个， ∴甲成本最高，乙成本最低， ∴要使最小，优先保证y尽可能大，保证尽可能小， ∵x，y，z均为正整数， ∴， ∵， ∴当，时，，解得，符合条件的正整数最小，此时（元）； 当，时，，解得，符合条件的正整数最小，此时（元）； 因此总成本最低时． 三、解答题（共64分，其中第19题10分，第20-21题每题5分，第22-26题每题6分，第27-28题每题7分） 19. 计算、求的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【分析】（1）本题考查实数混合运算，分别计算乘方、算术平方根、绝对值、立方根，再合并即可得到结果； （2） 本题考查解方程，先将方程化简为完全平方式等于常数的形式，再利用平方根的性质开方分情况求解即可 【小问1详解】 解： ， ， ； 【小问2详解】 解：  ，   或   解得：， 20. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组．，得，得到，代入①即可． 【详解】解：， ，得， 解得：． 把代入①，得， ∴原方程组的解为：． 21. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】则不等式组的解集是﹣1＜x≤3， 不等式组的解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】 解不等式①得：x＞﹣1， 解不等式②得：x≤3， 则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3， 不等式组的解集在数轴上表示为： . 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知确定解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.也考查了在数轴上表示不等式组的解集. 22. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D．与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与靠背的夹角的度数．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据． 解：∵， ∴，（①_____） ∵， ∴②_____，（③______） 又∵， ∴， ∵，， ∴，（④______） ∴．（⑤______） 【答案】解：∵， ∴，（①垂直的定义） ∵， ∴②，（③两直线平行，内错角相等） 又∵， ∴， ∵，， ∴，（④平行于同一条直线的两直线平行） ∴．（⑤两直线平行，同位角相等） 【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定进行求解即可． 【详解】略 23. 如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，．点是三角形的边上任意一点，三角形经过平移后得到三角形，点的对应点为． （1）写出点的坐标：点________； （2）在图中画出平移后的三角形； （3）若在轴上有一点，使三角形的面积与三角形的面积相等，则点的坐标为_______． 【答案】（1） （2）如图，三角形即为所求， （3）或 【解析】 【小问1详解】 解：点的对应点为， ∴平移规律为横坐标，纵坐标， ∴点的对应点的坐标为即； 【小问2详解】 解：点的对应点的坐标为即； 点的对应点的坐标为即； 在坐标系中描出，，，依次连接三点即可； 【小问3详解】 解：， 如图，设与轴交于点， 由图可知，设，则， ， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得或， ∴点坐标为或． 24. 2025年春晚名为《秧》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； 型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、两种型号智能机器人共10台，费用不超过700万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】（1）型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元 （2）购买A型号智能机器人5台，购买B型号智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出方程组和函数表达式成为解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设每天分拣快递的件数为万件，购买A型号智能机器人，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，根据题意可得，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， ，解得． 答：A型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元． 【小问2详解】 解：设每天分拣快递的件数为万件，购买A型号智能机器人，且为整数）台，则购买型号智能机器人台， 根据题意得：， ，解得：， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值． （台）， ∴购买A型号智能机器人5台，购买B型号智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多． 25. 某校为了了解该校初一年级学生阅读课外书籍的情况，随机抽取了该年级的部分学生，对他们某月阅读课外书籍的情况进行了调查，并根据调查的结果绘制了如下的统计图表． 阅读课外书籍人数分组统计表 分组 阅读课外书籍时间n（小时） 人数 A 3 B 10 C D 13 E F 请你根据以上信息解答下列问题： （1）这次共调查了学生______人，E组人数所占的百分比是_______； （2）表1中a的值是________，请补全图1； （3）若该年级共有学生1200人，请你估计该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少于12小时的学生约有多少人． 【答案】（1）50； （2）15，补全图1如下： （3）216人 【解析】 【分析】（1）根据统计图可知B组的人数为10人，所占百分比为，则可求出调查的总人数，然后问题可求解； （2）由（1）可进行作图； （3）根据题意直接列式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：这次共调查了学生人数为人，F组人数所占的百分比是， ∴E组人数所占的百分比是； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， 补全图1略； 【小问3详解】 解：由题意得：（人）； 答：该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少于12小时的学生约有216人． 26. 若一个不等式（组）有解且解集为，则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式（组）的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）对于不等式（组）中点包含． （1）已知关于的不等式组：，以及不等式：，请判断不等式对于不等式组是否中点包含：____（填“是”或“否”）； （2）已知关于的不等式组：和不等式：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围． （3）关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为，求的取值范围． 【答案】（1）是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出不等式组的解集，进而得出的解集中点值，根据“中点包含”的定义即可得出答案； （2）解不等式组，进而得出的解集中点值为，，解不等式组得出，根据不等式组对于不等式组中点包含得出，解不等式得出，即可得出答案； （3）先解不等式组和不等式组，求出的解集中点值为，再根据“中点包含”的定义求得，然后根据整数之和为，得到的可能取值，进而得出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集中点值为， ∵不等式：， ∴不等式组的解集中点值是不等式的解， ∴不等式对于不等式组是中点包含． 【小问2详解】 解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴，不等式组的解集中点值为， ∴， 解不等式组：得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 【小问3详解】 解：， ∴不等式组的解集为：， ∴的解集中点值为， ， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴， ∴， ∵所有符合要求的整数之和为， ∴取、、、、或取、、、、、， 当m取5、4、3、2、1时，； 当m取5、4、3、2、1、0时，需满足， ∴． 27. 已知直线，直线分别交、于、两点，射线平分，点是射线上一动点（不与点，重合），作平分，交射线于点，过点作，交于点． （1）如图1，若，， ①补全图形，的度数为_____； ②求出的度数； （2）在点运动的过程中，直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）①；；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①由角平分线定义求，结合，根据内错角相等即可得出的度数；②由，利用同旁内角互补求，由和平行线性质得，通过角的和差求，再由、分别平分对应角，求与后并作差得，最后由，根据内错角相等即可得的度数； （2）分两种情况讨论：点在延长线上时，由得，由角平分线结合推导得，代换得；点在线段上时，由得，即，同①得，代换得． 【小问1详解】 解：①∵平分，， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：点是射线上一动点（不与点，重合），故分两种情况讨论： ①当点在的延长线上时，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； ②当点在线段上时，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， 同①得， ∴； 综上，与的数量关系为或． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，若满足（m，n为常数且），则称点是点P的“限距点”· （1）已知点， ①在，，中，点____是点P的“限距点”； ②点Q在一三象限的角平分线上，且点Q是点P的“限距点”，写出一个满足条件的点Q的坐标； （2）已知点，，若线段上存在点P的“限距点”，求a的取值范围； （3）已知点，，，以为一边在x轴上方作正方形，若正方形的边上始终存在点，使点是点P的“限距点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①；②（答案不唯一，合理即可） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）①按照定义，分别代入，根据范围判断即可； ②由一三象限的角平分线，设，按照定义，得到关于q的不等式组，分类讨论q的范围，去掉绝对值符号，求出q的范围即可； （2）根据点，利用小学所学的变量之间的关系，得到上的点满足，按照定义，得到关于a，x的不等式组，通过分类讨论a和x的大小关系，去掉绝对值符号，根据x的取值范围，求出满足题意的a的最大上限与最小下限，即当线段上存在点P的“限距点”时a的取值范围； （3）仿照（2）中的思路，分类讨论点Q在正方形的不同边上时，对应t和x的不等式组，解出t对应的最大上限和最小下限即可． 【小问1详解】 解：①对于，， ∵， ∴不是点P的“限距点”， 对于，， ∵， ∴是点P的“限距点”， 对于，， ∵， ∴不是点P的“限距点”； ②由题意，可设， 则， 当时，， ∵， ∴不符合题意， 当时，， 令，解得， 当时，， ∵， ∴不符合题意， 故只要所写的的坐标满足即可； 【小问2详解】 解：∵线段经过原点， ∴对于线段上的点，y与x成正比例关系， ∵点， ∴对于线段上的点，满足， 令，由，，整理可得， 当，则，即， ∵， ∴，此时符合的条件， ∴当时，存在，使得，即线段上存在点，使得该点是点P的“限距点”， 当，则，即， ∵， ∴，此时符合的条件， ∴当时，存在，使得，即线段上存在点，使得该点是点P的“限距点”， 综上，或； 【小问3详解】 解：， 由题意，得，， 假设点是正方形上的点， 当点Q在上时，，，则， 令，则， 同（2）理可知，，即时，正方形的边上始终存在点，使点是点P的“限距点”， 当点Q在上时，，，则， 令，则， ∴， ∴， 同（2）理可知，时，正方形的边上始终存在点，使点是点P的“限距点”， 当点Q在上时，，，则， 令，则， 同（2）理可知，，即时，正方形的边上始终存在点，使点是点P的“限距点”， 当点Q在上时，，，则， 令，则， ∴， ∴， 同（2）理可知，时，正方形的边上始终存在点，使点是点P的“限距点”， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $