第06讲 直线的倾斜角与斜率 讲义-2026年新高二暑假数学人教A版选择性必修第一册

第06讲直线的倾斜角与斜率 目录 知识点1直线的倾斜角.… …1 知识点2直线的斜率… …2 知识点3直线斜率的坐标公式 .2 知识点4两条直线平行… 2 知识点5两条直线垂直………… .2 题型一 斜率的定义 .3 题型二 斜率与倾斜角的变化关系 .4 题型三 两点斜率公式 7 题型四 直线与线段相交求范围， 9 题型五 两条直线的平行问题…11 题型六 两条直线的垂直问题， 12 题型七 直线平行垂直与几何. 13 1 学习新知 知识点1直线的倾斜角 1.倾斜角的定义 当直线1与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线1向上的方向之间所成的角 叫做直线I的倾斜角. 2.倾斜角的范围 当直线1与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角的取值范围 为0°≤a<180°.直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 a=0° 0°<<90° a=90° 90°<a<180° 直线 平行于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 图示 知识点2直线的斜率 1.斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示， 即k=tana.倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.。 2.斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为0，斜率为k 的大小 0° 0<0<90° 90° 90°<C<180° k的范围 k=0 ⊙0 不存在 k<0 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 知识点3直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点P(x,),B(x2,y2)(x≠2)，那么 tana=y-当 x2-x'k=tana k=少出 可得如下的斜率公式： x2-x 2 知识点4两条直线平行 如图，若1川，则h与h的倾斜角%1与a2相等，由%=，可得 tan%1=tana2,即k1=k2.因此，若l∥l2,则k=k2 反之，当k1=k2时，tan%=tanc2,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知， 01=02,因此11/2 于是，对于斜率分别为，的两条直线1，，有2台k1=k2. 知识点5两条直线垂直 当直线或的倾斜角为90°时，若112，则另一条直线的倾斜角为0°：反之亦然. 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于一1；反之，如果两条 直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直.即上12台kk2=-1. 4 经典题型 题型一斜率的定义 1.若直线I的斜率为k,且k2=3,则直线的倾斜角为() A.30°或150°B.60°或120° C.45°或135° D.90°或180° 3 2.已知直线1的倾斜角是直线l,的倾斜角的2倍，且1的斜率为~4，则1的斜率为() 1 1 A.3或3 B.3 C.3或3 D.3 3.已知-3,5)是直线'的一个方向向量，则直线的倾斜角为() A君 B. 2π 5π C.3 D.6 题型二斜率与倾斜角的变化关系 4.(多选)在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是() A.任意一条直线都有倾斜角和斜率 B.直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C.若一条直线的倾斜角为a,则该直线的斜率为tanc D.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° 5. 已知两条直线，马的斜率分别为心，与，领斜角分别为，B若a<登<月。则下列关系 正确的是() A0<片<6 B.k<6<0 C.k<0<6 D.店<0<( 5 6.如图，已知直线 山，山的斜率分别为 k,则《） k<k2<ks B.<斤< C,<k< D.4<k<后 7.己知直线l的倾斜角为a,并且0°≤α<120°，直线l的斜率k的范围是() A.-3<k≤0 B.k>-3 C.k≥0或k<-V5 D.k≥0或 <、3 3 8若直线的斜率k的变化范国是[-1v, 则它的倾斜角的变化范围是() A.0°≤au≤60 B.135≤a<180 C.60°≤a<135 D.0≤a≤60°或135≤au<180 9.直线1-a)x+y+1=0的倾斜角的取值范围是() A.别 8.0 6 [贵卧 etno]g 题型三两点斜率公式 10.判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不 存在，求出倾斜角 1C-3,4),D2,4). 2P0,0,0-l,v3). 3M-3v2,.w-5,3),4E7.0,07,-2) 1(多选)直线1过4(2,1，B(3mm∈R)两点，那么直线'的倾斜角有可能是《) A B.2 π C.3 5π D.6 12.过点A(2,b)和点B(3,-2)的直线的倾斜角为135°，则b的值是一 13.已知点 42,0,若在坐标轴上存在一点P,使直线P4的斜率为1，求点P的坐标 题型四直线与线段相交求范围 14.设点4(4，-3)，B(-2,-2),直线I过点P1,)且与线段AB相交，则直线I的斜率k的取值范围 是() A.≥1或k≤4B.≥1或≤青 C.-4≤k<1 4k≤1 D.- 15已知4(，2)，B(-2,0),过点C-14)的直线'与线段4B不相交，则直线斜率*的取值范围 是() A.-1<k<4 B.-4<k<1 C.k>1或k<-4 D.k>4或k<-1 16.己知△ABC的顶点A,-),B(-1,),C(3,),点P在线段BC上运动，若直线AP的斜率k存 在，则k的取值范围为() A.（-0,-1]U[4,+oo) B.-1,4] C.(-0,4] D.[-1,+0) 9 题型五两条直线的平行问题 17.已知直线的倾斜角为30，直线，则直线的斜率为一 18.下列给定的条件，判断直线与直线？是否平行 阳经过点1(2,3)B(40)经过点M(-3,.N(-2,2), (2)1的斜率为2,1，经过点A(4,2),B(2,3): ③)1平行于'轴。经过点P0,-2)(0,5), ④经过点E(0,1).F(-2-1)经过点G3,4)H2,) 19.已知经过点A3,m,B5,m)的直线1与经过点P(-m,0),0(0,n2)mn≠0)的直线1，平行，则m 的值为() A.-1 B.-2 C.-1或2 D.-2或1 10 题型六两条直线的垂直问题 20.已知两直线女的斜率分别为，，且，是方程+x-1=0的两根，则与的位置关 系为() A.平行 B.相交且垂直 C.重合 D.相交且不垂直 21,判断下列各题中与是否垂直 @h经过点1(-1-2)，B(L2):4经过点M(-2,-,w(2,1 ②5的斜率为-10，经过点110,2)，B(20,3). ③经过点43,4B(3,10):4经过点M(10,40),N(040) 22.(多选)已知点 (0,2)B(-1,0) 下列结论正确的是（） A,若直线B的方向向量为L),则k=习 1 B.若直线的斜率为2，则1LAB C,若CL-),则a1BC为直角三角形 D.若CL,-),D(3,3),则四边形ABCD是平行四边形 11 题型七直线平行垂直与几何 23、已知点1-2,2)，B(64),H62),H是△4BC的垂心.则点C的坐标为() A(6,2) B.（-2,2) c.（4,-2) D.(6,-2) 24.已知四边形MNP2的顶点M(1,1),N(3,-1),P(4,0),Q(2,2). ()求斜率Kw与斜率p, (2)求证：四边形MWPO为矩形 13 25.已知11,2)B(5,0)c3,4) (1)若A,B,C,D可以构成平行四边形，求点D的坐标； (2)在(1)的条件下，判断A,B,C,D构成的平行四边形是否为菱形 14 第06讲 直线的倾斜角与斜率 目录 知识点1 直线的倾斜角 2 知识点2 直线的斜率 2 知识点3 直线斜率的坐标公式 2 知识点4 两条直线平行 3 知识点5 两条直线垂直 3 题型一 斜率的定义 4 题型二 斜率与倾斜角的变化关系 5 题型三 两点斜率公式 8 题型四 直线与线段相交求范围 10 题型五 两条直线的平行问题 12 题型六 两条直线的垂直问题 13 题型七 直线平行垂直与几何 14 01 学习新知 知识点1 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 知识点2 直线的斜率 1．斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 知识点3 直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 知识点4 两条直线平行 如图,若,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则. 反之,当时, ,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知, ,因此 于是,对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有． 知识点5 两条直线垂直 当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即． 02 经典题型 题型一 斜率的定义 1. 若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】设直线的倾斜角为，则 因为，所以， 当时，即，则； 当时，即，则， 所以直线的倾斜角为或. 故选：B. 2. 已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为（    ） A．3或 B．3 C．或 D． 【答案】B 【详解】设的倾斜角为，由， 即，解得或， 因为，所以，所以， 易得的倾斜角为锐角，所以的斜率为3． 故选:B. 3. 已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为， 由直线的方向向量可知直线的斜率，所以. 故选：D. 题型二 斜率与倾斜角的变化关系 4. （多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ABC 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确. 故选：ABC. 5. 已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 6. 如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ， .故选：D. 7. 已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为斜率，且，其中时直线无斜率， 当时，得； 当时，得； 故选：C. 8. 若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】作出正切函数在的图象如下图，    如图所示，当，即， 解得或， 即或， 故选：D. 9. 直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的倾斜角为，由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以.故选：C. 题型三 两点斜率公式 10. 判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)存在，斜率为，倾斜角为；(2)存在，斜率为，倾斜角为； (3)存在，斜率为，倾斜角为；(4)不存在. 【解析】(1)解：因为，所以经过的直线斜率存在， 所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为 (2)解：因为，所以经过的直线斜率存在， 所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为. (3)解：因为，所以经过的直线斜率存在， 所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为. (4)解：因为，所以经过的直线斜率不存在， 11. （多选）直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设的倾斜角分别为，直线的斜率， ，又， 直线的倾斜角的取值范围是. 故选：AD. 12. 过点和点的直线的倾斜角为，则的值是 . 【答案】 【详解】解：，， ，则， 解得． 故答案为：． 13. 已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 【答案】或 【详解】若点在轴上，设，又点， 则直线的斜率，解得，. 若点在轴上，设， 则直线的斜率，解得. 故点的坐标为或. 题型四 直线与线段相交求范围 14. 设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 15. 已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为，， 所以直线的斜率分别为， 由图形知，当或，即或时，直线l与线段AB相交， 所以直线与线段不相交时，直线l斜率k的取值范围为. 故选：A. 16. 已知△ABC的顶点，点P在线段BC上运动，若直线AP的斜率k存在，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，故或． 故选：A． 题型五 两条直线的平行问题 17. 已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为 ． 【答案】 【详解】因为直线的倾斜角为，所以， 又，所以. 故答案为： 18. 下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行(2)平行或重合(3)平行(4)重合 【解析】（1），，，所以与不平行． （2）的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以. （4）由题意，知，, ，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合． 19. 已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（　　） A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 【答案】C 【详解】由题意得， 因为，所以，即，化简得，所以或， 又由得＝－1或2，故选:C. 题型六 两条直线的垂直问题 20. 已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【答案】B 【详解】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．故选：B． 21. 判断下列各题中与是否垂直． (1)经过点；经过点； (2)的斜率为；经过点； (3)经过点；经过点． 【答案】(1)不垂直(2)垂直(3)垂直 【解析】（1），，与不垂直． （2），． （3）由的横坐标相等得的倾斜角为，则轴， 又，则轴，因此． 22. （多选）已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 【答案】BC 【详解】对于A，，所以直线的方向向量为，A错误. 对于B，因为，所以，B正确. 对于C，因为，所以，C正确. 对于D，因为， 所以四边形不是平行四边形，D错误. 故选：BC. 题型七 直线平行垂直与几何 23. 已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为．故选:. 24. 已知四边形的顶点. (1)求斜率与斜率； (2)求证：四边形为矩形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以，即. （2）因为，所以. 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以， 所以四边形为矩形. 25. 已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 【解析】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6），因为，， 所以，所以，所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2），因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $