第09讲 直线的方程（培优讲义）新高二数学人教A版

第09讲 直线的方程（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 直线的点斜式方程 2 知识点02 直线的斜截式方程 3 知识点03 直线的两点式方程 4 知识点04 直线的截距式方程 5 知识点05 直线的一般式方程 5 剖题型·讲技巧 6 题型1 直线的点斜式方程 6 题型2 直线的斜截式方程 8 题型3 直线的两点式方程 10 题型4 直线的截距式方程 12 题型5 直线的一般式方程 14 题型6 直线的定点问题 17 题型7 研究直线的平行与垂直问题 19 释疑惑·重难拓展 20 题型1 直线与坐标轴围成的三角形面积、周长问题 20 练好题·提分培优 24 课标要点 1．结合图像推导点斜、斜截、两点、截距、一般式五种直线方程，掌握各形式适用条件。 2．理解斜率、截距几何意义，明晰直线与二元一次方程一一对应的关系。 3．会各类直线方程互相转化，能依据条件灵活选用方程列式。 4．学会分类讨论斜率存在与不存在情况，辨析不等价直线方程，体会解析几何数形结合思想。 知识点01 直线的点斜式方程 1、点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2、直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. （3）方程与方程不等价，第一类代表完整直线，另一类是除去某一点的直线。 （4）含参数k的直线方程，参数k取任意实数时，所有直线均经过同一个定点。 练习 1．已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【详解】设直线的倾斜角为且， 则，故. 故选：A 2．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 知识点02 直线的斜截式方程 1、斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2、直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 直线在轴上的截距也常叫做纵截距,直线在轴上的截距也常叫做横截距. 练习 3．过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 【答案】 【详解】过点且斜率为2的直线的斜截式方程为. 4．倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为__________． 【答案】 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线的方程，即. 故答案为：. 知识点03 直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 注：两点式、直线方程适用范围存在区别：分式分母不能为0，无法表示垂直坐标轴的直线；整式方程可表示任意两点确定的直线。 练习 5．已知直线的两点式方程为，则的斜率为______． 【答案】 【详解】原方程即为，此即，所以的斜率为． 故答案为：. 6．若三点，，在同一条直线上，则的值为___________. 【答案】 【详解】由题意得直线的方程为，即， 将代入直线中，则，解得. 故答案为： 知识点04 直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 练习 7．已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】因为直线的方程为，当时，， 故直线在轴上的截距为. 故选：B. 8．直线在轴、轴上的截距分别是，，写出直线的斜截式方程． 【答案】 【详解】因为直线在轴、轴上的截距分别是和，所以直线的方程为， ，化简整理得，所以直线的斜截式方程为. 知识点05 直线的一般式方程 1、直线与二元一次方程的对应关系 （1）平面内任意一条直线，都能用x、y的二元一次方程进行表示。 （2）任意一个含x、y的二元一次方程，在平面中都对应一条直线。 2、直线一般式定义 关于的二元一次方程（不同时为0），称作直线的一般式方程。 3、一般式适用范围与注意事项 （1）适用范围：平面直角坐标系中全部直线都能用一般式表示。 分别为的系数，为常数项，限定不能同时等于0。 （3）特殊取值对应的直线特征：时直线过原点；时直线斜率为0；时直线不存在斜率。 4、一般式方程变形拓展理解 对移项变形： ①，可化为斜截式，斜率为，y轴截距； ②，方程化为，代表垂直于x轴的竖直线。 斜截式、点斜式、两点式、截距式全部都能转化为直线一般式。 练习 9．直线的倾斜角为（    ）． A．0° B．75° C．90° D．不存在 【答案】C 【详解】直线的斜率不存在， 所以直线的倾斜角为. 10．直线的斜率为________． 【答案】 【详解】已知直线的一般式方程为，当时，直线的斜率公式为. 本题中直线方程为，对应参数，，代入斜率公式可得： . 题型1 直线的点斜式方程 【例1】直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 【答案】 【详解】由直线l经过点，斜率是，可得其点斜式为. 【例2】已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 【答案】 【详解】解：因为，，，所以直线的斜率， 又直线与直线垂直，设直线的斜率为，则，所以， 因为直线过点，代入直线点斜式方程得，化简得. 【变式1-1】已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 【答案】 【详解】线段的垂直平分线，垂直于直线，且过直线的中点， 设的中点为，则， 设直线的斜率为，则，解得， 直线方程为，一般形式为． 【变式1-2】直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以A C错； 当时，，故B对； 故选：B 【变式1-3】若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设不经过第四象限， 则. 故选：B 题型2 直线的斜截式方程 方法技巧 明确为斜率，是y轴截距，截距是坐标数值，可正、可负、可为0，不等于线段长度。 已知平行、垂直条件先求斜率，代入直线上一点列方程算出；一般式可移项化为斜截式，快速读取参数。 一次函数解析式可直接对应斜截式，借助参数快速画出简易直线图像辅助分析。 【例3】已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知直线的斜截式方程为，因此直线的斜率. 由直线斜率与倾斜角的关系， 可得， 结合，解得. 【例4】直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，A错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，D错误. 【变式2-1】若直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，回到原来的位置，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后， 得到的直线方程为，即. ∴，∴. 故选：B. 【变式2-2】在平面直角坐标系中，直线l过点，则直线l在y轴上的截距为______． 【答案】7 【详解】根据题意，设直线l的方程为， ，解得， 即直线l的方程为，与y轴的交点为， 故直线l在y轴上的截距为． 故答案为：． 【变式2-3】直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】因为直线经过点， 则可得， 直线方程为， 因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数，可知， 令，得；令，得； 则，化为，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选： 题型3 直线的两点式方程 易错点 两点横/纵坐标相同，依旧使用两点式，出现分母为0无意义；坐标代入顺序混乱，计算出错。 【例5】已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 【例6】已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. 【变式3-1】已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 【变式3-2】四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程． 【答案】边所在直线方程为，边所在直线方程为， 边所在直线方程为，边所在直线方程为 【详解】如图，由截距式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即， 由两点式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即． 【变式3-3】在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【答案】 【详解】设，由，，的中点，的中点， 则，． 因为点在轴上，所以，所以． 因为点在轴上，所以， 所以，即， 所以，， 所以直线的方程为，即． 题型4 直线的截距式方程 方法技巧 仅直线与两轴交于非原点时使用，直线过原点、平行坐标轴，换用点斜式或一般式。 已知截距能直接写出坐标轴交点，方便计算三角形面积、周长；结合面积求截距时，考虑截距正负两组解。 【例7】两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，， 选项A，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误． 【例8】（多选）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 又直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或． 【变式4-1】过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【答案】或 【详解】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 【变式4-2】经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【答案】或 【详解】依题意，该直线的截距不能为0，则可设其方程为， 因为直线过点，所以， 整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． 【变式4-3】以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为2的正方形的四条边的方程为__________. 【答案】， 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为2的正方形，所以正方形所对应四个顶点坐标分别为， 所以边对应方程为：，即，, 边对应方程为：，即，， 边对应方程为：，即，， 边对应方程为：，即，， 故方程为， 故答案为：， 题型5 直线的一般式方程 【例9】直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 【答案】 【详解】直线方程可以化为， 由得， 直线方程化为， 则直线的斜率为， 因为，所以，则 ， 即， 设直线的倾斜角为，则， 则， 所以倾斜角的最小值是. 故答案为： 【例10】已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 【答案】D 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 【变式5-1】已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为__________. 【答案】. 【详解】由直线，可得， 则， 所以直线总是经过定点， 故答案为：. 【变式5-2】若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 【答案】或 【详解】直线过定点，如图，    由，， 由直线与线段相交，可得的取值范围是或. 【变式5-3】已知点，，直线l：上总存在一点P，使得（），则实数k的取值范围为________． 【答案】 【详解】直线l：过定点. 由题意直线l：与线段相交， 临界情况为恰好经过点或经过点时， 由图可知，或. 故答案为：. 题型6 直线的定点问题 方法技巧 拆分含参直线，参数项、常数项分组，分别令两组式子等于0，联立方程求出定点。 算出定点后代回原式检验；无思路时可取两个特殊参数，联立两条直线求交点即为定点。 【例11】若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【详解】由题可得：直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 【例12】求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的直线方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为. 【变式6-1】已知，则直线与垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以直线的斜率存在， 故两条直线的斜率分别为与， 由垂直可知，即. 故选：A 【变式6-2】（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由直线，令，可得，所以直线过定点，所以A正确； 由直线，可得， 联立方程组，解得，所以恒过定点，所以B不正确； 由和，可得，所以，所以C正确，D不正确； 故选：AC. 【变式6-3】经过点C（－1,－1），与x轴平行的直线方程为_____；经过点D（1,1），与x轴垂直的直线方程为___． 【答案】 y＝－1 x＝1 【详解】经过点C（－1,－1），与x轴平行的直线方程为y＝－1； 经过点D（1,1），与x轴垂直的直线方程为x＝1． 题型7 研究直线的平行与垂直问题 【例11】若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【详解】由题可得：直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 【例12】求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的直线方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为. 【变式6-1】已知，则直线与垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以直线的斜率存在， 故两条直线的斜率分别为与， 由垂直可知，即. 故选：A 【变式6-2】已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由直线，令，可得，所以直线过定点，所以A正确； 由直线，可得， 联立方程组，解得，所以恒过定点，所以B不正确； 由和，可得，所以，所以C正确，D不正确； 故选：AC. 【变式6-3】经过点C（－1,－1），与x轴平行的直线方程为_____；经过点D（1,1），与x轴垂直的直线方程为___． 【答案】 y＝－1 x＝1 【详解】经过点C（－1,－1），与x轴平行的直线方程为y＝－1； 经过点D（1,1），与x轴垂直的直线方程为x＝1． 释疑惑·重难拓展 题型1 直线与坐标轴围成的三角形面积、周长问题 方法技巧 先求出直线横、纵截距，取绝对值作为直角三角形两条直角边。 面积用两截距绝对值乘积除以2；周长借助勾股算出斜边，三边相加求和。 含参数直线结合面积条件列方程求解参数。 【例13】过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【详解】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 【例14】已知的顶点坐标是，为的中点． (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 所以的方程是， 即. （2）因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为， 即， 设其与轴交点为，与轴交点为，令，得，令，得， 所以，所以， 故经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形面积为． 【变式7-1】已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】ABC 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线的方程为， 其中a，b分别为在x轴，y轴上的截距，，， 又点在直线上，所以， 又的面积为2，所以，即或． 当时，，即，解得或； 当时，，即，解得． 故选：ABC． 【变式9-2】四条不重合直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是为，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【详解】设直线与与两坐标轴交于，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时取面积最小值，所以. 故选：D. 【变式9-3】已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)求与原点距离最大的直线方程； (3)过点引直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由可得：， 令，解得， 经检验，满足， 所以直线过定点． （2）由（1）知直线过定点，当时，原点到直线的距离最大， 又，所以直线的方程为，即， 所以与原点距离最大的直线方程为. （3）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 一、单选题 1．已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以. 2．已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则线段的垂直平分线的方向向量为， 又线段中点为，则线段的垂直平分线为. 3．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设该直线的倾斜角为，则由题意， 又，所以. 4．在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为； 直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为， A.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； B.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故正确； C.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； D.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； 故选：B 5．已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】分析充分性： 已知，设直线的方程为：， 当时，，在轴上的截距为， 当时，，在轴上的截距为， 所以直线在两坐标轴上的截距相等，即充分性成立； 分析必要性： 已知直线在两坐标轴上的截距相等，分两种情况： （1）截距不为0时，设两截距均为，则直线方程为，即，此时斜率； （2）截距为0时，直线过原点，此时斜率不一定为. 所以必要性不成立. 6．若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 二、多选题 7．已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 【答案】BD 【详解】由，得，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，故A错误； 过与直线平行的直线方程是，即，故B正确； 直线，令，得；令，得， 即直线在轴上的截距为，在轴上的截距为1，故C错误； 由，得，所以直线的斜率为，直线的斜率为， ，所以，故D正确. 8．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】若两截距都为，则该直线过原点，其方程为，即； 若截距不为，不妨设其在横轴上的截距为，则在纵轴上的截距为， 此方程为，代入得，解得，整理得． 三、填空题 9．直线在轴上的截距为_____________. 【答案】 【详解】令，得，所以直线在轴上的截距为. 10．若方程表示一条直线，则实数满足_________． 【答案】 【详解】解：当时，或； 当时，或． 要使方程表示一条直线， 则，不能同时为0，所以． 11．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 四、解答题 12．求下列直线的方程，并把它化为一般式． (1)过点，斜率为； (2)在轴、轴上的截距分别为和4． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）由点斜式可得直线方程为． 化为一般式为． （2）由截距式可得直线方程为． 化为一般式为． 13．已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)当时，直线与重合；当时，直线与相交 (2)的最小值为，此时直线的方程为。 【分析】 【详解】（1）直线，即， 直线，即， 当时，直线即为，此时两直线重合； 当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交. （2）直线：， 当时，直线：，显然不满足题意，所以， 令，得，令，得，即，． 依题意得，解得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，此时直线的方程为． 14．已知的三个顶点分别为，是的重心． (1)试求点的坐标； (2)试求的值； (3)试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析 【分析】 【详解】（1）因为的三个顶点分别为，是的重心 所以重心坐标为，即. （2）因为的三个顶点分别为， 所以. 所以. （3）以为顶点的平行四边形有三种情况，对应三组对角线： ①对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ②对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ③对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. 15．已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. (1)若为正三角形，求直线的斜率； (2)设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 【答案】(1)或. (2)（i）证明见解析；（ii）或. 【分析】 【详解】（1）因为在轴上，所以，因为直线的倾斜角为， 若为正三角形，则直线的倾斜角为或， 故斜率为， 或. （2）（i）设，设中点， 由为的重心，故，解得. ，，解得，故始终在直线上. （ii）因为为的重心，所以，故， ，解得或， 故代入的坐标得或. 16．已知顶点，，. (1)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程； (2)求角的平分线所在直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）设的纵截距为， 当时，则； 当时，则， 代入点可得，可得， 所以直线的方程为或. （2）设角的平分线所在直线为，其斜率为， 由题意可得，， 根据倾斜角的正切值表示的意义和两角差的正切公式可得： 直线到直线的角的正切为，直线到直线的角的正切为， 所以， 化简可得，解得或， 若，则直线的倾斜角为钝角，但，不符合题意， 所以， 所以由点斜式可得，即. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 直线的方程（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 直线的点斜式方程 2 知识点02 直线的斜截式方程 3 知识点03 直线的两点式方程 4 知识点04 直线的截距式方程 5 知识点05 直线的一般式方程 5 剖题型·讲技巧 6 题型1 直线的点斜式方程 6 题型2 直线的斜截式方程 8 题型3 直线的两点式方程 10 题型4 直线的截距式方程 12 题型5 直线的一般式方程 14 题型6 直线的定点问题 17 题型7 研究直线的平行与垂直问题 19 释疑惑·重难拓展 20 题型1 直线与坐标轴围成的三角形面积、周长问题 20 练好题·提分培优 24 课标要点 1．结合图像推导点斜、斜截、两点、截距、一般式五种直线方程，掌握各形式适用条件。 2．理解斜率、截距几何意义，明晰直线与二元一次方程一一对应的关系。 3．会各类直线方程互相转化，能依据条件灵活选用方程列式。 4．学会分类讨论斜率存在与不存在情况，辨析不等价直线方程，体会解析几何数形结合思想。 知识点01 直线的点斜式方程 1、点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2、直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. （3）方程与方程不等价，第一类代表完整直线，另一类是除去某一点的直线。 （4）含参数k的直线方程，参数k取任意实数时，所有直线均经过同一个定点。 练习 1．已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 知识点02 直线的斜截式方程 1、斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2、直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 直线在轴上的截距也常叫做纵截距,直线在轴上的截距也常叫做横截距. 练习 3．过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 4．倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为__________． 知识点03 直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 注：两点式、直线方程适用范围存在区别：分式分母不能为0，无法表示垂直坐标轴的直线；整式方程可表示任意两点确定的直线。 练习 5．已知直线的两点式方程为，则的斜率为______． 6．若三点，，在同一条直线上，则的值为___________. 知识点04 直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 练习 7．已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．1 B． C．5 D． 8． 直线在轴、轴上的截距分别是，，写出直线的斜截式方程． 知识点05 直线的一般式方程 1、直线与二元一次方程的对应关系 （1）平面内任意一条直线，都能用x、y的二元一次方程进行表示。 （2）任意一个含x、y的二元一次方程，在平面中都对应一条直线。 2、直线一般式定义 关于的二元一次方程（不同时为0），称作直线的一般式方程。 3、一般式适用范围与注意事项 （1）适用范围：平面直角坐标系中全部直线都能用一般式表示。 分别为的系数，为常数项，限定不能同时等于0。 （3）特殊取值对应的直线特征：时直线过原点；时直线斜率为0；时直线不存在斜率。 4、一般式方程变形拓展理解 对移项变形： ①，可化为斜截式，斜率为，y轴截距； ②，方程化为，代表垂直于x轴的竖直线。 斜截式、点斜式、两点式、截距式全部都能转化为直线一般式。 练习 9．直线的倾斜角为（    ）． A．0° B．75° C．90° D．不存在 10．直线的斜率为________． 题型1 直线的点斜式方程 【例1】直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 【例2】已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 【变式1-1】已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 【变式1-2】直线可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型2 直线的斜截式方程 方法技巧 明确为斜率，是y轴截距，截距是坐标数值，可正、可负、可为0，不等于线段长度。 已知平行、垂直条件先求斜率，代入直线上一点列方程算出；一般式可移项化为斜截式，快速读取参数。 一次函数解析式可直接对应斜截式，借助参数快速画出简易直线图像辅助分析。 【例3】已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 【例4】直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-1】若直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，回到原来的位置，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，直线l过点，则直线l在y轴上的截距为______． 【变式2-3】直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型3 直线的两点式方程 易错点 两点横/纵坐标相同，依旧使用两点式，出现分母为0无意义；坐标代入顺序混乱，计算出错。 【例5】已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【例6】已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程． 【变式3-3】在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 题型4 直线的截距式方程 方法技巧 仅直线与两轴交于非原点时使用，直线过原点、平行坐标轴，换用点斜式或一般式。 已知截距能直接写出坐标轴交点，方便计算三角形面积、周长；结合面积求截距时，考虑截距正负两组解。 【例7】两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 【例8】（多选）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【变式4-2】经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【变式4-3】以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为2的正方形的四条边的方程为__________. 题型5 直线的一般式方程 【例9】直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 【例10】已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 【变式5-1】已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为__________. 【变式5-2】若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 【变式5-3】已知点，，直线l：上总存在一点P，使得（），则实数k的取值范围为________． 题型6 直线的定点问题 方法技巧 拆分含参直线，参数项、常数项分组，分别令两组式子等于0，联立方程求出定点。 算出定点后代回原式检验；无思路时可取两个特殊参数，联立两条直线求交点即为定点。 【例11】若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 【例12】求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【变式6-1】已知，则直线与垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】经过点C（－1,－1），与x轴平行的直线方程为_____；经过点D（1,1），与x轴垂直的直线方程为___． 题型7 研究直线的平行与垂直问题 【例11】若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 【例12】求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【变式6-1】已知，则直线与垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】经过点C（－1,－1），与x轴平行的直线方程为_____；经过点D（1,1），与x轴垂直的直线方程为___． 释疑惑·重难拓展 题型1 直线与坐标轴围成的三角形面积、周长问题 方法技巧 先求出直线横、纵截距，取绝对值作为直角三角形两条直角边。 面积用两截距绝对值乘积除以2；周长借助勾股算出斜边，三边相加求和。 含参数直线结合面积条件列方程求解参数。 【例13】过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【例14】已知的顶点坐标是，为的中点． (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【变式7-1】已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（    ） A． B． C．-2 D．2 【变式9-2】四条不重合直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是为，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式9-3】已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)求与原点距离最大的直线方程； (3)过点引直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 一、单选题 1．已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 2．已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 3．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（   ） A． B． C． D． 5．已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 二、多选题 7．已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 8．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．直线在轴上的截距为_____________. 10．若方程表示一条直线，则实数满足_________． 11．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 四、解答题 12．求下列直线的方程，并把它化为一般式． (1)过点，斜率为； (2)在轴、轴上的截距分别为和4． 13．已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 14．已知的三个顶点分别为，是的重心． (1)试求点的坐标； (2)试求的值； (3)试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 15．已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. (1)若为正三角形，求直线的斜率； (2)设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 16．已知顶点，，. (1)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程； (2)求角的平分线所在直线的方程. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $