第12章 概率初步（单元测评卷）新高二数学沪教版

**基本信息** 聚焦高中数学第12章概率初步单元，通过120分钟150分的测评，覆盖随机现象、样本空间、概率计算等核心知识，梯度设计适配暑假复习，培养数学抽象、逻辑推理与数据应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|随机现象（1题）、样本空间（2题）、互斥/独立事件（6、11题）|基础巩固，如第5题放回抽样概率，第12题构造非独立事件，考查抽象思维| |选择题|4题18分|对立/互斥事件（13题）、概率意义（14题）|辨析能力，如16题结合取球情境判断事件独立性与互斥性| |解答题|5题78分|样本空间构建（17题）、不放回抽样（18题）、创新应用（21题含参数m）|分层递进，21题两罐子取球概率探究，体现数学建模与逻辑推理，契合核心素养|

第12章 概率初步 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，则“取出的球是白球”为 __现象（填“随机”或“确定性”）． 【答案】随机 【分析】利用随机现象的定义直接求解． 【详解】解：在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球， 有可能取出的球是红球，也有可能取出的球是白球， 则“取出的球是白球”为随机现象． 故答案为：随机． 2．做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验的样本空间共有________个样本点． 【答案】36 【分析】利用古典概型和样本空间的性质求解即可. 【详解】由题意得，一个骰子有6个面，抛两次，基本事件有种， 故这个试验的样本空间共有36个样本点. 故答案为：36 3．出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事______发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）. 【答案】可能 【分析】根据题意，由随机事件的定义即可得到结果. 【详解】根据概率的意义，刮出500元的概率是， 表示刮出500元的可能性是，所以这件事可能发生. 故答案为：可能 4．若等可能的样本空间，则事件发生的概率________． 【答案】 / 【详解】已知等可能的样本空间， 则事件发生的概率． 5．一个不透明口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为 ______． 【答案】 【分析】画出树状图,借助古典概型计算即可. 【详解】画出树状图: 由树状图可知：基本事件的总数共有16种， 其中第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号有6种， 所以第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为. 故答案为：. 6．事件、互斥，它们都不发生的概率为，且，则______． 【答案】/0.2 【分析】利用对立事件和互斥事件的概率公式即可求解． 【详解】、互斥，它们都不发生概率为，则， ，又，联立解得 故答案为：． 7．已知事件两两互斥，若，则__________. 【答案】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】因为事件两两互斥， 所以， 又因为， 所以， 同理可得， 所以. 故答案为：. 8．甲、乙两人下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.8，则他们下成和棋的概率为________． 【答案】0.4 【分析】设事件，分析事件的关系，即可求得结果. 【详解】“甲获胜”为事件，“甲、乙和棋”为事件， 则，∴ 所以 故答案为：0.4 9．编号为的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过0.2的概率是__________. 【答案】/0.375 【分析】根据排列知识可求基本事件的总数为64，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】因为放回的抽取小球，所以基本事件总数为， 设抽取的前两个球的号码为，第三个球的号码为， 根据题意有， 则， 整理得，即， 当时，，此时为，3种情况； 当时，，此时为，9种情况； 当时，，此时为，9种情况； 当时，，此时为，3种情况； 综上得，满足条件的共有，所以满足条件的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据题意构造不等式，然后结合抽出的前两个球号码为正整数，再对第三个球号码进行分类讨论即可得出符合条件的的数量，再结合基本事件总数即可得出结果. 10．盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取个球.设事件表示“个球中有个红球、个白球”，事件表示“个球中有个红球、个白球”.已知，.则“个球中既有红球又有白球”的概率是__________. 【答案】 【分析】记事件为“个球中既有红球又有白球”，则它包含事件和事件，而且事件是互斥的，根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】由题可知事件是互斥的，记事件为“个球中既有红球又有白球”， 所以， 代入已知​，，​ 得. 11．甲、乙两人罚球时，“甲命中”与“乙命中”相互独立，已知甲罚球命中的概率是0.6，两个人中至少有一人罚球命中的概率是0.9，则乙罚球命中的概率是______． 【答案】/ 【分析】利用独立事件概率的乘法公式计算即可. 【详解】设乙罚球命中的概率为p，则. 故答案为： 12．若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件_____(填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相互独立事件以及“两两相互”的定义对问题进行分析，先判断相互独立，确定构造事件，使“与”或“与”不相互独立，根据事件包含的基本事件的个数进行分类讨论，由此求得符合题意的时间. 【详解】元素或有且仅有一个属于C，剩余的中任选两个属于，都满足条件要求． 因为，，，则， 若不满足事件两两独立，只需构造事件， 使得和至少有一个成立， 设事件包含的基本事件个数为（且），（且）， 当成立时，有，得， 所以或． （i）若，则，， 此时，，满足， 又，，，； ，，，， 又因为，所以事件两两独立，不满足要求， （ii）若，则， 因为，，所以必有且、且两种情况． 当且时，，，， 所以，， 所以若事件两两独立，则存在事件使得且， 此时，，不符合题意，所以不可能两两独立． 所以构造集合使得，且均满足题意， 故满足要求的为：、、、、、． 当且时，同理符合要求的集合为：、、、、、． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设事件包含的基本事件个数为（且），（且），根据题设得到或，再利用古典概率公式及条件，即可求解. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可. 【详解】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D 14．投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据概率的概念和随机事件的概念逐一判断. 【详解】①掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是，故①正确； ②“出现1点”是随机事件，故②错误； ③概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故③错误； ④连续掷3次，每次都出现最大点数6时三次出现的点数之和为18， 所以连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19，故④正确． 故选：B． 15．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立重复实验可求出试验出现正面朝上的频率，再根据每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上机会相等求出正面朝上的概率． 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 又每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故选：B． 16．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当甲丙同时发生时，取出的恰是，此时， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当甲乙同时发生时，取出的恰是，此时，， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：当第二次取出的球的数字是2时，第一次不可能取2，即两次取出的数字之和不能为4，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 【详解】（1）从名同学中选取名同学参赛，这个随机试验的样本空间为 . （4分） （2）由事件为“参赛的2名同学都是女同学”知，共1个样本点， 由（1）知样本点个数为，所以. （4分） （3）设 “参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共个样本点. 所以. （6分） 18．（14分）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为. （8分） （2）两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． （6分） 19．（14分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （8分） （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . （6分） 20．（18分）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球． (1)写出这个试验的一个等可能的样本空间； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”．判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由． 【详解】（1）依题意，样本空间为 （6分） （2）事件A和事件B相互独立，理由如下： 因为，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以事件A和事件B相互独立. （12分） 21．（18分）设m为一个至少为2的正整数．在两个罐子中，各有m个形状和质地均相同的小球，都分别标记为1到m号．现在两个罐子中各任取一个小球，记两球上的数字的乘积可以被m整除的概率为， (1)当时，求两小球上的数字的乘积为奇数的概率； (2)求； (3)若恒成立，且有无数个m可以使得等号成立，求的表达式，并说明理由． 【详解】（1）由题意，时，抽取一个小球为奇数的概率为，设两小球上的数字的乘积为奇数为 事件A，则，故乘积为奇数的概率为． （4分） （2）设取出两数为，乘积能被10整除的情况可分类计数： 1、至少一个数为10，共有种， 2、两数均不为10，则一个为5，另一个为偶数，共有种， 共计种，故． （6分） （3）由题意，满足两球数字的乘积可以被整除的有序数对个数为， 设，根据题意对所有恒成立， 且无数个使得， 故不妨设取出小球编号为有序数对，，，，m为ab的因数， 当为质数时，由整除可得整除或整除，又因为， 所以，故， 故取，则此时成立； 当m为合数时，必然存在，，使之成立，故， 故此时，故恒成立满足题意，故． （8分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 概率初步 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，则“取出的球是白球”为 __现象（填“随机”或“确定性”）． 2．做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验的样本空间共有________个样本点． 3．出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事______发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）. 4．若等可能的样本空间，则事件发生的概率________． 5．一个不透明口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为 ______． 6．事件、互斥，它们都不发生的概率为，且，则______． 7．已知事件两两互斥，若，则__________. 8．甲、乙两人下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.8，则他们下成和棋的概率为________． 9．编号为的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过0.2的概率是__________. 10．盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取个球.设事件表示“个球中有个红球、个白球”，事件表示“个球中有个红球、个白球”.已知，.则“个球中既有红球又有白球”的概率是__________. 11．甲、乙两人罚球时，“甲命中”与“乙命中”相互独立，已知甲罚球命中的概率是0.6，两个人中至少有一人罚球命中的概率是0.9，则乙罚球命中的概率是______． 12．若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件_____(填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 14．投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 16．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 18．（14分）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 19．（14分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 20．（18分）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球． (1)写出这个试验的一个等可能的样本空间； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”．判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由． 21．（18分）设m为一个至少为2的正整数．在两个罐子中，各有m个形状和质地均相同的小球，都分别标记为1到m号．现在两个罐子中各任取一个小球，记两球上的数字的乘积可以被m整除的概率为， (1)当时，求两小球上的数字的乘积为奇数的概率； (2)求； (3)若恒成立，且有无数个m可以使得等号成立，求的表达式，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 概率初步 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 随机 2. 36 3 可能.4./ . 5. 6./0.2 7. 8. 0.49. /0.375 10. 11./ 12.（答案不唯一） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13. D 14. B 15.B16.B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）【详解】（1）从名同学中选取名同学参赛，这个随机试验的样本空间为 . （4分） （2）由事件为“参赛的2名同学都是女同学”知，共1个样本点， 由（1）知样本点个数为，所以. （4分） （3）设 “参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共个样本点. 所以. （6分） 18．（14分）【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为. （8分） （2）两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． （6分） 19．（14分）【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （8分） （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . （6分） 20．（18分）【详解】（1）依题意，样本空间为 （6分） （2）事件A和事件B相互独立，理由如下： 因为，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以事件A和事件B相互独立. （12分） 21．（18分）【详解】（1）由题意，时，抽取一个小球为奇数的概率为，设两小球上的数字的乘积为奇数为 事件A，则，故乘积为奇数的概率为． （4分） （2）设取出两数为，乘积能被10整除的情况可分类计数： 1、至少一个数为10，共有种， 2、两数均不为10，则一个为5，另一个为偶数，共有种， 共计种，故． （6分） （3）由题意，满足两球数字的乘积可以被整除的有序数对个数为， 设，根据题意对所有恒成立， 且无数个使得， 故不妨设取出小球编号为有序数对，，，，m为ab的因数， 当为质数时，由整除可得整除或整除，又因为， 所以，故， 故取，则此时成立； 当m为合数时，必然存在，，使之成立，故， 故此时，故恒成立满足题意，故． （8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $