第11章 简单几何体（单元测评卷）新高二数学沪教版

**基本信息** 高中数学第11章简单几何体单元测评卷，满分150分，覆盖棱柱、棱锥、圆锥等几何体的体积、表面积及空间关系，通过基础计算与实际情境（如炒勺容积推导）结合，培养空间观念、几何直观与应用意识，适配暑假单元复习与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|异面直线、正四棱锥高、圆锥体积等|基础概念与公式应用，如第3题圆锥体积计算，强化空间形式认知| |选择题|4题/18分|蚂蚁爬行最短路径、粮仓表面积等|情境化问题，如第13题长方体表面路径，体现数学眼光观察现实| |解答题|5题/78分|四棱锥体积、二面角、炒勺容积推导等|综合应用与创新，如第20题模仿教材推导炒勺容积，培养数学思维与表达；第21题拼接四棱柱，发展创新意识|

第11章 简单几何体 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有__________条. 【答案】 【详解】三棱柱如下图所示， 根据三棱柱的几何特征以及异面直线的定义，可知、与直线异面， 所以三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有条. 2．已知是正四棱锥，，则该棱锥的高为________． 【答案】 【分析】设点在底面的射影为点，求出的长，结合勾股定理可求得该棱锥的高. 【详解】设点在底面的射影为点， 因为四棱锥是正四棱锥，所以点是正方形的对角线、的交点，连接， 由正方形的几何性质可知为的中点，所以， 故该四棱锥的高为. 3．已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的体积为______． 【答案】 【详解】由题意得圆锥的高为， 所以该圆锥体积为. 4．已知圆台上、下底面的半径分别为、、高为h.则圆台体积公式是_______. 【答案】 【分析】由圆台体积公式，结合题干中的字母，可得答案. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 5．若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 【答案】 【分析】由球的表面积和圆柱的表面积相等得出圆柱的底面半径，再计算圆柱的侧面积即可. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为. 由题， 故，即 故（负根舍去）， 所以. 6．边长为2的正方形ABCD绕边BC旋转一周形成一个几何体，则该几何体的体积为____________. 【答案】 【分析】由题意得所得几何体为圆柱，根据圆柱的体积公式得出结果. 【详解】由题意得几何体为圆柱，圆柱的底面半径为2，高为2， 则圆柱的体积为. 故答案为：. 7．在正四棱台中，，则该棱台的体积为__________． 【答案】28 【分析】根据棱台的体积公式计算即可. 【详解】记该棱台的高为，易得，， 由勾股定理可得11，得， 于是棱台的体积． 8．在如图所示的几何体中，平面ABC，，，，，则该几何体ABCDE的体积是_________. 【答案】/ 【分析】先证明平面，再结合三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】因为平面，平面，平面 所以， 又因为，即，，所以平面， 所以该几何体ABCDE的体积， 故答案为：. 9．已知用一个通过圆锥的轴的平面去截一个圆锥，得到的截面是面积为的正三角形.则此圆锥内切球的半径为______. 【答案】 【分析】作出截面正三角形，根据题意建立方程，即可求解. 【详解】 如图，设圆锥的轴截面是正三角形， 则此圆锥的内切球的球心也是的内切圆的圆心， 设圆锥内切球与的三边的切点分别为， 设此圆锥的内切球的半径为，则的高为， 的边长为， 又的面积为，所以， 所以. 故此圆锥内切球的半径为. 故答案为：. 10．下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为_____. 【答案】/ 【分析】设正四棱台的高为，侧面与底面所成二面角为，上底为，利用几何关系构建方程组解出，再求表面积即可. 【详解】 设正四棱台的高为，侧面与底面所成二面角为，上底为， 由题意可得， 结合侧棱关系可得， 联立两方程可得， 所以正四棱台的斜高为， 所以，该几何体的表面积为. 故答案为：. 11．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器的高为米，盖子边长为米，则关于的函数解析式是________. 【答案】且 【分析】应用正四棱锥的表面积求法得侧面等腰三角形的高为，结合正四棱锥的结构特征求容器的高，即可得. 【详解】由题意，盖子的面积为，则侧面等腰三角形的面积为， 所以侧面等腰三角形的高为，且， 则正四棱锥的高. 所以，且， 故答案为：且. 12．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________. 【答案】 【分析】设是底面的中心，是正四面体的中心，也是正四面体的外接球球心，设正四面体外接球的半径为是高，根据正四面体的性质，求得的长，在直角中，列出方程求得，进而求得勒洛四面体的内切球半径. 【详解】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体4个弧面都相切，即为勒洛四面体的内切球， 由对称性知，勒洛四面体的内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心， 设是底面的中心，是正四面体的中心， 也是正四面体的外接球球心，正四面体外接球的半径为是高，如图1所示， 由正四面体的棱长为，可得， 则，所以， 在直角中，由，得，解得， 因此，如图2所示，勒洛四面体的内切球半径． 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】展开可能走过的长方体平面，由两点之间线段最短求出各个最短距离比较即可求解. 【详解】第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是和 则所走的最短线段是； 第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短. 故选：A. 14．如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是，则制作这样一个粮仓(不含底面)的用料面积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的母线为，底面半径为高为，根据题意列出方程求出的值，再计算圆柱和圆锥侧面积之和即可得解. 【详解】设圆锥的母线为，圆锥的底面半径为，高为， 由圆锥的侧面积是得，解得， 所以圆柱的侧面积为， 故制作这样一个粮仓的用料面积为. 故选：D. 15．如图，可任意转动的正方体容器（忽略容器的器壁厚度）内部装满了水，为的中点，在点的位置凿出三个小洞（将三个小洞视为质点），则这个容器最多可盛原来水的（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要使容器可盛水最多，需让平面为水平面，取的中点，则所在平面为，所以容器可盛水最多时水的体积等于正方体体积减去三棱锥的体积和四棱锥的体积之和，求出体积即可求解. 【详解】根据题意可知要使容器可盛水最多，需让平面为水平面， 取的中点，连接，，，，由于，所以四点共面，    则所在平面为，所以容器可盛水最多时水的体积等于正方体体积减去三棱锥的体积和四棱锥的体积之和. 不妨设正方体的棱长为2，则正方体的体积， 因为为的中点，所以点到平面的距离为2，， 所以， 点到平面的距离为1，， 所以， 所以容器最多可盛原来水的， 故选：B 16．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的个数是（    ） ①若平面是面积为的等边三角形，则 ②若，则 ③若，则球面的体积 ④若平面为直角三角形，且，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，劣弧，的弧长分别记为， 记为球面，设，，， 若平面是面积为的等边三角形， 则，则，，故①不正确； 若，则，则，故②正确； 若，则，， 则平面的外接圆半径为，则到平面的距离， 则三棱锥的体积， 则球面的体积，故③正确； 由余弦定理可知 因为，所以，则， 取，，则，， 则，故④不正确. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）如图，四棱锥中，底面为矩形，，，且平面底面. (1)求该四棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的大小. 【详解】（1） 取中点为，因为，所以， 又因为，所以， 又因为平面底面，平面底面，平面， 所以底面，即该四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为； （7分） （2） 因为底面， 所以就是直线与平面所成角的平面角， 因为，所以， 即直线与平面所成角的大小为. （7分） 18．（14分）如图，在正四棱台中，，，M为AB边上一点，且，P为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)求的最小值； (3)在BC边上求一点N，使得平面，并说明理由． 【详解】（1），故，正方形的面积为， 正方形的面积为， 连接，则， 过点作⊥平面于点，则点在上， 且， 由勾股定理得， 所以四棱台的体积为； （5分） （2）将梯形与梯形沿着折到同一平面内，如图所示， 在上取点，使得，又，故， 连接，则， 其中，所以，同理可得，， 连接，交于点，此时取得最小值，最小值为， 由余弦定理得， 所以，的最小值为； （5分） (3)在上取点，使得，则， 因为，则，且， 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面. （4分） 19．（14分）如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥．已知圆锥的底面半径为3cm，圆锥的侧面积．设、是底面圆周上的两点，线段不经过点． (1)求圆锥的体积； (2)求证：直线与直线是异面直线； (3)二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小． 【详解】（1）设圆锥的母线长为，底面半径为， 由题意可得：， 所以， 所以圆锥的体积 （4分） (2)证明如下： 因为平面，平面， 所以直线与直线是异面直线； （3分） （3）因为二面角的大小为， 由圆锥的结构可知：， 所以即为二面角的平面角， 所以，又， 所以， 过点作于，连接， 因为，为平面两条相交直线， 所以平面 所以即为直线与平面所成角， 又， 又平面，在平面内， 所以， 所以， 所以， 即直线与平面所成角大小为. （7分） 20．（18分）李华同学用如下左图所示的炒勺做蛋饺，在学习立体几何后，他打算研究炒勺（不考虑勺柄，下同）的容积与表面积.如图所示，取定球面上一点N，连接N与球心，在线段上取一点，过垂直于的平面（记作）将球面分成了两部分；李华同学将炒勺抽象为其中含有点N的那部分曲面，并设球面半径为R.    (1)若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），求炒勺的容积； (2)李华记得必修三教材中，半球体积是利用如图所示的圆柱、圆锥以及祖暅原理推导所得.模仿教材中的方法，，求炒勺的容积V，并写出推导过程；    (3)设厘米，厘米，利用必修三教材中近似地推导球的表面积公式的方法，帮助李华同学推测炒勺的内表面面积S（近似到0.01平方厘米），并写出推导过程. 【详解】（1）若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），则炒勺的容积为； （3分） （2）    如图：先证明对任意高度，图中的阴影部分面积相等， 图（1）中阴影部分圆的半径设为，则由垂径定理可知：， 所以图（1）中阴影部分圆的面积为：， 图（2）中阴影部分为圆环，设内圆半径为，则， 所以图（2）中阴影部分圆环的面积为：， 此时对任意的高度，都有，则根据祖暅原理， 可知炒勺的容积V等于一个高为的圆柱体积减去一个圆台体积， 即 ， 故炒勺的容积； （9分） （3）    当厘米，厘米，先计算炒勺的容积， 再计算阴影部分圆的半径 图中阴影部分下方的圆锥体积， 再根据推导球的表面积公式的方法，将炒勺的球面分割成微小的 n 个部分，每一个部分与球心形成的锥体的高都近似看成球的半径， 从而可将这 n 个锥体的体积之和等于炒勺和圆锥组成的几何体体积，最后可近似求出炒勺的表面积，设炒勺的表面积为， 则 故炒勺的表面积为. （6分） 21．（18分）如图，在四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，侧棱 底面ABCD，，，，， ，    (1)求证:直线与直线是异面直线； (2)若二面角的余弦值为 求k的值； (3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案.试问共有几种不同的拼接方案?请简要说明.在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，求的表达式. 【详解】（1）因为直线平面，平面，平面，， 所以直线与直线是异面直线. （4分） （2）过点B作于点H，连接,    在中，， ，解得， 因为底面，故底面ABCD，则， 因为，平面， 所以平面，则, 所以是二面角的平面角，所以， 因为， 所以，解得，则. （7分） （3）两个四棱柱的表面积为： ， 根据题意，要拼接得新四棱柱，共三种拼接方法： ①底面与底面拼接，新四棱柱的表面积为：； ②以平面进行拼接，新四棱柱的表面积为：； ③以平面进行拼接，新四棱柱的表面积为：； 因为，所以不可能为最小值， 令，解得， . （7分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 简单几何体 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有__________条. 2．已知是正四棱锥，，则该棱锥的高为________． 3．已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的体积为______． 4．已知圆台上、下底面的半径分别为、、高为h.则圆台体积公式是_______. 5．若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 6．边长为2的正方形ABCD绕边BC旋转一周形成一个几何体，则该几何体的体积为____________. 7．在正四棱台中，，则该棱台的体积为__________． 8．在如图所示的几何体中，平面ABC，，，，，则该几何体ABCDE的体积是_________. 9．已知用一个通过圆锥的轴的平面去截一个圆锥，得到的截面是面积为的正三角形.则此圆锥内切球的半径为______. 10．下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为_____. 11．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器的高为米，盖子边长为米，则关于的函数解析式是________. 12．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 14．如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是，则制作这样一个粮仓(不含底面)的用料面积为（     ）    A． B． C． D． 15．如图，可任意转动的正方体容器（忽略容器的器壁厚度）内部装满了水，为的中点，在点的位置凿出三个小洞（将三个小洞视为质点），则这个容器最多可盛原来水的（   ）    A． B． C． D． 16．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的个数是（    ） ①若平面是面积为的等边三角形，则 ②若，则 ③若，则球面的体积 ④若平面为直角三角形，且，则 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）如图，四棱锥中，底面为矩形，，，且平面底面. (1)求该四棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的大小. 18．（14分）如图，在正四棱台中，，，M为AB边上一点，且，P为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)求的最小值； (3)在BC边上求一点N，使得平面，并说明理由． 19．（14分）如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥．已知圆锥的底面半径为3cm，圆锥的侧面积．设、是底面圆周上的两点，线段不经过点． (1)求圆锥的体积； (2)求证：直线与直线是异面直线； (3)二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小． 20．（18分）李华同学用如下左图所示的炒勺做蛋饺，在学习立体几何后，他打算研究炒勺（不考虑勺柄，下同）的容积与表面积.如图所示，取定球面上一点N，连接N与球心，在线段上取一点，过垂直于的平面（记作）将球面分成了两部分；李华同学将炒勺抽象为其中含有点N的那部分曲面，并设球面半径为R.    (1)若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），求炒勺的容积； (2)李华记得必修三教材中，半球体积是利用如图所示的圆柱、圆锥以及祖暅原理推导所得.模仿教材中的方法，，求炒勺的容积V，并写出推导过程；    (3)设厘米，厘米，利用必修三教材中近似地推导球的表面积公式的方法，帮助李华同学推测炒勺的内表面面积S（近似到0.01平方厘米），并写出推导过程. 21．（18分）如图，在四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，侧棱 底面ABCD，，，，， ，    (1)求证:直线与直线是异面直线； (2)若二面角的余弦值为 求k的值； (3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案.试问共有几种不同的拼接方案?请简要说明.在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，求的表达式. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 简单几何体 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 2. 3 .4. . 5. 6. 7. 28 8./ 9. 10. / 11.且 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13. A 14. D 15.B16.B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）【详解】（1） 取中点为，因为，所以， 又因为，所以， 又因为平面底面，平面底面，平面， 所以底面，即该四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为； （7分） （2） 因为底面， 所以就是直线与平面所成角的平面角， 因为，所以， 即直线与平面所成角的大小为. （7分） 18．（14分）【详解】（1），故，正方形的面积为， 正方形的面积为， 连接，则， 过点作⊥平面于点，则点在上， 且， 由勾股定理得， 所以四棱台的体积为； （5分） （2）将梯形与梯形沿着折到同一平面内，如图所示， 在上取点，使得，又，故， 连接，则， 其中，所以，同理可得，， 连接，交于点，此时取得最小值，最小值为， 由余弦定理得， 所以，的最小值为； （5分） (3)在上取点，使得，则， 因为，则，且， 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面. （4分） 19．（14分）【详解】（1）设圆锥的母线长为，底面半径为， 由题意可得：， 所以， 所以圆锥的体积 （4分） (2)证明如下： 因为平面，平面， 所以直线与直线是异面直线； （3分） （3）因为二面角的大小为， 由圆锥的结构可知：， 所以即为二面角的平面角， 所以，又， 所以， 过点作于，连接， 因为，为平面两条相交直线， 所以平面 所以即为直线与平面所成角， 又， 又平面，在平面内， 所以， 所以， 所以， 即直线与平面所成角大小为. （7分） 20．（18分）【详解】（1）若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），则炒勺的容积为； （3分） （2）    如图：先证明对任意高度，图中的阴影部分面积相等， 图（1）中阴影部分圆的半径设为，则由垂径定理可知：， 所以图（1）中阴影部分圆的面积为：， 图（2）中阴影部分为圆环，设内圆半径为，则， 所以图（2）中阴影部分圆环的面积为：， 此时对任意的高度，都有，则根据祖暅原理， 可知炒勺的容积V等于一个高为的圆柱体积减去一个圆台体积， 即 ， 故炒勺的容积； （9分） （3）    当厘米，厘米，先计算炒勺的容积， 再计算阴影部分圆的半径 图中阴影部分下方的圆锥体积， 再根据推导球的表面积公式的方法，将炒勺的球面分割成微小的 n 个部分，每一个部分与球心形成的锥体的高都近似看成球的半径， 从而可将这 n 个锥体的体积之和等于炒勺和圆锥组成的几何体体积，最后可近似求出炒勺的表面积，设炒勺的表面积为， 则 故炒勺的表面积为. （6分） 21．（18分）【详解】（1）因为直线平面，平面，平面，， 所以直线与直线是异面直线. （4分） （2）过点B作于点H，连接,    在中，， ，解得， 因为底面，故底面ABCD，则， 因为，平面， 所以平面，则, 所以是二面角的平面角，所以， 因为， 所以，解得，则. （7分） （3）两个四棱柱的表面积为： ， 根据题意，要拼接得新四棱柱，共三种拼接方法： ①底面与底面拼接，新四棱柱的表面积为：； ②以平面进行拼接，新四棱柱的表面积为：； ③以平面进行拼接，新四棱柱的表面积为：； 因为，所以不可能为最小值， 令，解得， . （7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $