25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根，通过人体雕像高度比例和矩形铁皮制作方盒问题导入，引导学生列方程并化简，结合问题链与步骤解析，搭建从实际问题到数学概念的学习支架，衔接一元一次方程知识。 其亮点是以现实情境为载体发展数学眼光（抽象实际问题为方程）和数学思维（推理化简过程），通过含参数方程系数确定等例题及强化训练，结合结构化小结（概念、形式、系数），帮助学生规范数学语言表达，提升抽象能力与运算能力，也为教师提供系统资源，提高教学效率。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第25章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 练习题 知识点回顾：一元二次方程是只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，一般形式为$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，其中$$a$$为二次项系数，$$b$$为一次项系数，$$c$$为常数项。能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（） A. $$x+2y=1$$ B. $$x^2+3x=0$$ C. $$x^2+\frac{1}{x}=2$$ D. $$2x+5=0$$ 2. 一元二次方程$$3x^2-5x+1=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A. 3、-5、1 B. 3、5、1 C. 3、-5、-1 D. -3、5、1 3. 若方程$$(m-2)x^2+3x+1=0$$是一元二次方程，则$$m$$的取值范围是（） A. $$m eq2$$ B. $$m=2$$ C. $$m\gt2$$ D. $$m\lt2$$ 4. 下列数值中，是方程$$x^2-4=0$$的根的是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 将方程$$2x(x-1)=3$$化为一般形式后，常数项为（） A. -3 B. 3 C. -1 D. 2 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程的一般形式是__________。 2. 方程$$x^2-6x=0$$的一次项系数是__________，常数项是__________。 3. 若$$x=1$$是方程$$x^2+ax+2=0$$的根，则$$a$$的值为__________。 4. 将方程$$(x+2)(x-3)=1$$化成一元二次方程的一般形式为__________。 5. 若方程$$kx^2-2x+1=0$$是一元二次方程，则$$k$$需满足__________。 三、解答题（共60分） 1.（18分）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）$$5x^2=3x+1$$ （2）$$(x-1)^2=4$$ （3）$$3x(x+2)=2(x-1)$$ 2.（12分）判断下列哪些数是方程$$x^2+2x-8=0$$的根：-4、-2、2、4。 3.（15分）根据题意列一元二次方程（无需求解）。 （1）一个正方形的面积为36，若边长增加$$x$$，面积变为64，列方程求$$x$$； （2）已知直角三角形的两条直角边相差3cm，斜边长15cm，设较短直角边长为$$x$$cm，列方程求直角边长度。 4.（15分）已知方程$$(m+1)x^{|m|+1}+3x-2=0$$是一元二次方程，求$$m$$的值。 参考答案 一、选择题：1.B 2.A 3.A 4.B 5.A 二、填空题：1.$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$ 2.-6、0 3.-3 4.$$x^2-x-7=0$$ 5.$$k eq0$$ 三、解答题：1.（1）一般形式$$5x^2-3x-1=0$$，系数5、-3、-1；（2）一般形式$$x^2-2x-3=0$$，系数1、-2、-3；（3）一般形式$$3x^2+4x+2=0$$，系数3、4、2。2. 根为-4和2。3.（1）$$(6+x)^2=64$$；（2）$$x^2+(x+3)^2=15^2$$。4. $$m=1$$ 25.1 一元二次方程的概念 学习目标 理解一元二次方程的概念.(重点) 2.掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方 程转化为一般形式 3. 确定出二次项系数、一次项系数和常数项. (难点) 学习目标 新课导入 导入课题 情景：要设计一座高2m的人体雕像,使 它的上部(腰以上)与下部(腰以 下)的高度比等于下部与全身的 高度比,则雕像的下部应设计多 少米高? 思考问题 问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？ 问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？ 问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？ 问题4：设雕像下部高BC = xm ,请说出你所列的方 程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？ 它有什么特点？ 审、 设、 列、 解、 验、 答 x2+2x-4=0 2m x 2-x 学习目标 （1）会设未知数，列一元二次方程. （2）了解一元二次方程及其根的概念. （3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地 指出各项系数. 推进新课 知识点1 寻找等量关系列方程并化简 问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒. 如果要制作无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去 一个相同的正方形，我们设正方形边长为 cm，则 盒底的宽为 cm，盒底的长为 cm， 根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2，可列方程为 . (50-2x) x (100-2x) (100-2x)(50-2x)=3600 你能把它整理成形如x2+bx+c=0的形式吗？ (100-2x)(50-2x)=3600 5000－100x－200x+4x2=3600 4x2－300x+1400=0 x2－75x+350=0 先去括号 移项、合并同类项 系数化为1 问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为 场. 设邀请 支队参赛，则每支队与其余 支队 都要赛一场.根据题意，你列出的方程是 . 整理为 . 28 x (x-1) x(x-1)=28 x2-x=56 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之 间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 知识点1 一元二次方程的定义 1. 下列方程：; ; ;; ; 中，属于一元二次方程的是( ) C A. ①和② B. ②和⑤ C. ③和④ D. ③和⑥ 中考考法 10 2.关于的方程 是一元二次方程， 则 的值为_____. 【点拨】注意一元二次方程中二次项系数不为0. 解题支架 中考考法 11 强化训练 ①一个圆的面积是2πm2，求半径r. ②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积9cm2，求 较长的直角边x的长. ③把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等 于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. πr2=2π   x=(1-x)2 知识点2 一元二次方程的概念 下列方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ x2+2x-4=0 ① x2－75x+350=0 ② x2-x=56 ③ 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2. 结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义： 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程. 若方程（m-1）x2+ x=1是关于 x 的一元二次方程， 则m的取值范围是 . m≥0且m≠1 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？ 因为a=0时，未知数的最高次数小于2. 知识点3 一元二次方程的一般形式 a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号。 例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 知识点4 一元二次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 下面哪些数是方程x2+3x-10=0的根？ -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5. 分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数x的值分别代入方程x2+3x-10=0中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验可知，当且仅当x=-5或2时，方程x2+3x-10=0左右两边相等. 知识点2 一元二次方程的一般形式 3. 把方程化成一般形式，则 的 值是( ) B A. B. 7 C. D. 1 4. 关于的一元二次方程 化为一 般形式后不含一次项，则 的值为( ) D A. 0 B. C. 4 D. 中考考法 19 知识点3 一元二次方程的解 5. [2026汕头期中] 若关于 的一元二次方程 的一个根是，则 的值为( ) C A. 2 B. C. 2或 D. 中考考法 20 6. 若是关于的方程 的解，则 代数式 的值是____. 【点拨】 先求出的值,再代入 比较困难，本题根据解的 定义将代入方程,得 ,变形 为,最后将待求式子变形为 后， 将 整体代入求解. 中考考法 21 7. 已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的 一次项系数是 ，写出一个符合要求的方程： _______________________________. （答案不唯一） 【点拨】由题意可设方程为，将 代入 ，得， 该方程 可为 . 中考考法 22 课堂小结 一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0) a + b + c 二次项系数 一次项系数 常数项 一元二次方程 概念 一个未知数 最高次是2 整式方程 $