25.1 一元二次方程的概念-课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程概念，通过雕像比例、矩形铁皮制作方盒等实际问题列整式方程，对比一元一次方程引出定义，搭建从一次到二次的知识递进支架，帮助学生理解概念形成过程。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过归纳方程共同点发展推理意识，结合例题规范一般形式表达强化符号意识。如排球邀请赛问题引导抽象建模，拓展练习“倒方程”提升创新思维，助力学生建立模型观念，也为教师提供结构化教学资源。

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 1．结合实际问题列整式方程，对比一元一次方程，理解一元二次方程的定义． 2．掌握一元二次方程一般形式，能准确识别二次项、一次项、常数项及各项系数． 3．能依据定义判断方程是否为一元二次方程，会将整式方程整理为标准一般形式． 方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达，我们已经学习过利用一元一次方程解决现实生活中具有等量关系的问题，下面再来考虑一个更为复杂的问题. 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为，按照上述比例，雕像腰部以下为多长? 雕像腰部以上的身长与腰部以下的身长满足如下等量关系: 设雕像腰部以下的身长为，根据上述等量关系，就可以列出方程，整理得 . 解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长. 4 . ① 与一元一次方程相比较，上述方程也只含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，这样的方程就是本章要学习的一元二次方程. 在本章中，我们将探究一元二次方程的解法、根与系数的关系，并运用一元二次方程解决一些实际问题，增强模型观念.学习本章后，你对方程的认识将会得到进一步提升. 问题1：如图1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒(如图2).如果要制作的无盖方盒的底面积为3600，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮? 图1 图2 图1 图2 解：设各角切去的正方形铁皮的边长为，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为.根据方盒的底面积为，可列得方程 整理并化简，得 ② 由方程②可以得出各角所切正方形铁皮的边长. 方程②中未知数的个数和最高次数各是多少? 方程②中未知数的个数是1个，最高次数是2. 问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场，则此次邀请赛共需进行场，所以可列得方程 整理并化简，得 ③  由方程③可以得出应邀请的球队数. 为什么需进行场? 方程③中未知数的个数和最高次数各是多少? 方程③中未知数的个数是1个，最高次数是2. 思考：方程①②③有什么共同点？ ① ② ③ 共同点： 1．只含有_______个未知数； 2． 含有未知数的式子是 ________； 3．未知数的最高次数是______． 整式 一 2 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是 其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项. 为什么规定？ 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 例：将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解:去括号，得 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】选做题： 【综合拓展类练习】 【综合拓展类练习】 解（根） 概念 一般形式 一元二次方程 只含有一个未知数； 且含有未知数的式子都是整式； 未知数的最高次数是2 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 使方程左右两边相等的未知数的值 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】选做题： 【综合拓展类作业】 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． A 2．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 1 3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)．(2)．(3)． 解：（1）整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 4．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 5．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 解：（1）根据新定义，方程的倒方程是：； （2）由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，，解得； （3）由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 1．下列是一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． C 2．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 1 3．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； 3．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． （2）， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； 3．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． （3） ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； 3．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． （4） ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 4．若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为______． 5 5．若是关于x的一元二次方程，求a，b的值．张敏是这样考虑的：满足条件的a，b必须满足，你说张敏的这种想法全面吗？若不全面，请你说明其余满足的条件． 解：张敏的这种想法不全面． 由是关于x的一元二次方程，得 或或或或． $