第二十三章 一次函数 暑假复习作业 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学八升九暑假作业，聚焦一次函数，通过基础、能力、拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用再到创新探究的递进，培养抽象能力、模型意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|一次函数概念、图象性质、待定系数法基础|以选择、填空、简单解答题巩固单一知识点，如函数类型判断、图象平移计算，强化抽象能力| |能力提升|函数与几何综合、实际问题建模（计费/行程）|通过函数图象分析、面积计算、方案选择等题型，整合多知识点，发展推理意识与模型意识| |拓展探究|新定义问题、复杂情境应用（进货/行程规划）|设计“倍函数三角形”“不动点”等创新题及多变量实际问题，提升应用意识与创新思维|

第二十三章 一次函数 八升九暑假复习作业 一、知识梳理 （一）一次函数与正比例函数的概念 一次函数：一般地，形如（、是常数，）的函数，叫做一次函数.其中，是自变量. 正比例函数：当时，一次函数变为（是常数，），这时叫做的正比例函数.正比例函数是特殊的一次函数. 注意： （1）一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为1；常数项可为任意实数. （2）判断一个函数是否为一次函数，必须化简后看是否符合（）的形式. （二）正比例函数与一次函数的图象与性质 正比例函数的图象与性质： 一般地，正比例函数(是常数，)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当k>0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k<0时，直线.经过第二、四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小. 一次函数的图象与性质： 一次函数（）的图象是一条直线. 图象的画法：两点法——通常取与轴的交点和与轴的交点. 系数、对图象的影响： 口诀：定增减，定上下.当时，直线从左向右上升，y随x的增大而增大；当时，直线从左向右下降，y随x的增大而减小；当时，直线交轴正半轴，当时，直线交轴负半轴，当时，直线经过原点. 图象的平移：一次函数的图象可以由直线平移个单位长度得到（向上平移，向下平移）.平移规律：上加下减（常数项），左加右减（自变量）. （三）待定系数法求一次函数解析式 步骤：设代解写. 设：设一次函数解析式为（）； 代：将已知两点的坐标（或一对、值）代入解析式，得到关于、的方程组； 解：解方程组，求出、的值； 写：将、的值代回解析式，写出完整的解析式. 注意：正比例函数只需除原点外的一个点，一次函数需要两个点. （四）一次函数与方程（组）、不等式 一次函数与一元一次方程：方程的解一次函数的图象与轴交点的横坐标.如图1，直线与轴交于点（，0），方程的解是. 图1 图2 一次函数与二元一次方程组：两个一次函数图象的交点坐标对应的二元一次方程组的解.如图2，两条直线的交点坐标为（，），对应方程组的解是. 一次函数与一元一次不等式： 的解集直线在轴上方部分对应的取值范围； 的解集直线在轴下方部分对应的取值范围. 如图1，直线与轴交于点（，0），不等式的解集是；不等式的解集是. （五）一次函数的实际应用 建模步骤：审题设变量列解析式求解检验作答. 常见类型：行程问题、方案选择问题、利润最值问题、分段计费问题、图象信息题等. 注意：实际问题中要特别注意自变量的取值范围（非负、整数、实际限制等）. 二、基础训练 1.下列函数中，是一次函数的是（　　） A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　D. 2.若函数是一次函数，则的值为（　　） A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 3.下列函数中，是正比例函数的是（　　） A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 4.关于的一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是（　　） A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 5.对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A.图象与轴交于点　　　　 B.随的增大而减小 C.图象经过第一、二、三象限　　　　 D.当时， 6.已知点、均在一次函数的图象上，则与的大小关系是（　　） A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.无法确定 7.把直线向下平移个单位长度，所得直线的函数解析式为______________. 8.已知关于的函数是正比例函数，则______. 9.直线与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________. 10.若一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为__________. 11.如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于、的二元一次方程组的解是__________. 12.已知与成正比例，且当时，. （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值. 13.一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点. （1）求、两点的坐标； （2）求的面积. 14.已知一次函数的图象经过点，且与轴交于点. （1）求该一次函数的解析式； （2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由. 三、能力提升 15．已知函数y＝kx（k≠0）中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx+k2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 16．在物理实验课上，小明利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F（N）和所悬挂物体的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），当滑轮组悬挂物体时，所用拉力F与重力G的关系式为（　　） A． B． C． D． 17．如图，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数且a≠0）与正比例函数y2＝kx（k为常数且k≠0）的图象交于点P（﹣4，﹣2），则关于x的方程ax+b＝kx的解是（　　） A．x＝﹣4 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝4 18．如图，一次函数y＝k1x+b经过点A（0，4），与x轴交于点B，与正比例函数y＝k2x交于点P（1，2），则下列结论正确的是（　　） A．k1﹣k2＞0 B．P为AB的中点 C．方程k1x+b＝k2x的解是x＝2 D．当x＜1时，k1x+b≥k2x 19．在直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（1，7），C（3，a）在同一条直线上，则a的值为　 　． 20．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则kx+b﹣（x+a）≤0的解集是　 　． 21.某市出租车收费标准为：起步价元（千米以内），超过千米后每千米收费元（不足千米按千米计算）.设行驶路程为千米（），应付车费为元，则与的函数解析式为____________. 22．A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则当t＝3时，甲、乙两人相距 　 　 km． 23．已知一次函数. （1）当、满足什么条件时，随的增大而增大？ （2）当、满足什么条件时，函数图象经过原点？ （3）若图象经过第一、二、三象限，求、的取值范围. 24．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，0）和B（0，2）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标． 25．如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点． （1）求A点坐标； （2）在x轴上是否存在点D，使得S△ACD＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 26．如图，直线l1：与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点E；直线l2：y＝kx+b经过点B（﹣2，0）和点C（0，1），且与l1相交于点D，连接AB． （1）求直线l1和l2的函数表达式； （2）当x取何值时，y1＞y2？ （3）求△ABD的面积． 27．洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，入口酥松绵软，而且具有促进人体代谢，降低胆固醇及防止细胞老化等功能，深受广大市民喜爱．小梅假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给亲朋好友品尝，已知甲、乙两家超市都以25元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动： 甲超市：办理本超市会员卡（卡费50元），食品全部打八折销售； 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若小梅分别按活动方式在甲、乙超市购买牡丹饼x盒，所需费用分别为y1元、y2元，y2与x之间的函数关系如图所示． （1）分别求y1，y2与x之间的函数解析式； （2）若小梅准备购买20盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算？ 四、拓展探究 28．我们定义一种三角形——倍函数三角形：如果一个三角形的三个顶点坐标满足、、（、为常数，），则称为一次函数三角形.若的三个顶点坐标分别为、、，判断是否为一次函数三角形，并说明理由. 29．【新定义】若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数的“不动点”. （1）判断函数是否存在“不动点”？若存在，求出“不动点”的坐标； （2）若函数存在“不动点”，求的值； （3）若函数（）的图象经过点，且存在“不动点”，求、的值. 30．某网店准备购入一批快充手机充电器（简称：快充）和慢充手机充电器（简称：慢充）进行销售，已知每个快充的进价比每个慢充的进价多20元，购进10个快充和5个慢充需花费350元，这两种充电器的进价和售价如表所示． 快充充电器 慢充充电器 进价（元/个） a b 售价（元/个） 40 15 （1）求这两种充电器的进价； （2）“双十一”前夕，该网店准备购入这两种充电器100个进行试销，根据市场需求，快充需要购入75个及以上，且快充的数量不超过慢充数量的4倍，有几种进货方案？并说明理由； （3）“双十一”期间，网店开展优惠促销活动，决定对每个快充售价优惠m（3≤m≤10）元，慢充售价不变，在（2）的条件下，要使销售完这100个充电器所获总利润最大，应如何进货？ 31．已知小华的学校、书店、博物馆依次在同一条直线上，书店离学校6km，博物馆离学校18km．小华从学校出发，和同学一起乘车匀速前往博物馆，lh到达博物馆，在博物馆参观学习一段时间，之后匀速骑行1h到书店，在书店停留1h后，再用0.5h匀速骑车回学校．下面图中x表示时间，y表示离学校的距离．图象反映了这个过程中小华离学校的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （I）①填表： 小华离开学校的时间/h 0.2 1 2 4.5 小华离学校的距离/km 　3.6　 18 　18　 　6　 ②填空：小华在博物馆参观学习的时间为　2　 h； ③填空：小华从书店返回学校的速度为　12　 km/h； ④当3≤x≤5.5时，请直接写出小华离学校的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅱ）在小华离开博物馆前0.5h，同学李明从博物馆出发匀速步行返回学校，和小华同时到达学校．在从博物馆到学校的过程中，对于同一个x的值，小华离学校的距离为y1，李明离学校的距离为y2，当y1＜y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 第1页共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 1.D 解析：A 为常数函数，B 为反比例函数，C 为二次函数，D 为一次函数。 2.C 解析：由一次函数定义， 且 ，得 即 ，又 ，故 。 3.A 解析：正比例函数形如 （），A 符合。 4.D 解析：图象经过第一、二、四象限，则 ，即 。 5.D 解析：A 与 轴交点为 ；B 中 ， 随 增大而增大；C 经过第一、三、四象限；D 中 得 ，正确。 6.A 解析：， 随 增大而减小，，故 。 7. 解析：向下平移 4 个单位，常数项减 4。 8. 解析：正比例函数须满足 且 ，得 。 9.； 解析：与 轴交点令 得 ；与 轴交点令 得 。 10. 解析：图象与 轴交点为 ，故方程解为 。 11. 解析：两直线交点坐标为 ，即方程组的解。 12.解： （1）设 （），将 ， 代入得 ，。 。 （2）当 时，。 13.解： （1）令 ，，，。 令 ，，。 （2）。 14.解： （1）将 和 代入 ，得 ，解得 。 一次函数解析式为 。 （2）当 时，， 点 不在该函数图象上。 15.A 解析： 中 随 增大而减小，。 则 中 ，，图象经过第一、二、四象限，故选 A。 16.D． 解：设一次函数的解析式为：F＝kG+b（k≠0）， 把（2，1），（4，1.5）代入F＝kG+b，得： ， 解得， ∴． 故选：D． 17.A 解：∵一次函数y1＝ax+b（a，b为常数且a≠0）与正比例函数y2＝kx（k为常数且k≠0）的图象交于点P（﹣4，﹣2）， ∴关于x的方程ax+b＝kx的解是x＝﹣4． 故选：A． 18.B 解：由图象可知，k1＜0，k2＞0， ∴k1﹣k2＜0，故选项A错误，不符合题意； ∵一次函数y＝k1x+b经过点A（0，4），点P（1，2）， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣2x+4， 当y＝0时，x＝2， ∴点B的坐标为（2，0）， ∵， ∴线段AB的中点坐标为（1，2）， ∴P为AB的中点，故选项B正确，符合题意； ∴方程k1x+b＝k2x的解是x＝1，故选项C错误，不符合题意； 当x＜1时，k1x+b＞k2x，原选项D错误，不符合题意； 故选：B． 19. 解析：三点共线，设直线 ， 将 、 代入得 ，解得 。 ，将 代入得 。 ∴。 20.x≥﹣1 解：kx+b﹣（x+a）≤0的解集，即kx+b≤x+a的解集为x≥﹣1． 故答案为：x≥﹣1． 21.（） 解析：。 22. 解：设甲的解析式为s甲＝kt+b，代入（1，0）、（3，80）， 得， 解得， 则s甲＝40t﹣40， 设乙的解析式为s乙＝pt，代入（1.5，20）， 得20＝， 解得p＝， 则s乙＝t， 当t＝3时，s甲＝80，s乙＝t＝40， 则s甲﹣s乙＝40， 则3h时，甲、乙两人相距40km， 故答案为：40． 23.解： （1） 随 增大而增大 ，即 ， 为任意实数。 （2）图象经过原点 且 ，即 ，。 （3）图象经过第一、二、三象限 ，即 。 24.解： （1）将 、 代入 ，得 ，解得 。 一次函数解析式为 。 （2）设 ，则 ， ， ， 或 。 点 坐标为 或 。 25.解： （1）令 ，，，。 （2）令 ，，， 是 中点，。 。 设 ，则 ， ， ， 或 。 点 坐标为 或 。 26.解： 解：（1）由条件可得6＝m， ∴直线l1的表达式为：； ∵直线l2：y＝kx+b经过点B（﹣2，0）和点C（0，1）， ∴， ∴， ∴直线l2的表达式为：； （2）联立， 解得， ∴点D（4，3）， 结合图象可知x＜4时，y1＞y2； （3）由条件可得到，解得x＝8， ∵直线l1与x轴交于点E； ∴点E（8，0）， ∵B（﹣2，0）， ∴BE＝10， ∴△ABD的面积＝． 27.解： 解：（1）超市：办理本超市会员卡（卡费50元），食品全部打八折销售； 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 根据题意，得y1＝0.8×25x+50＝20x+50（x≥0）， 当0≤x≤10时，设y2＝k1x， 代入（10，250）得，250＝10k1， 解得k1＝25， ∴y2＝25x； 当x＞10时，设y2＝k2x+b， 由题意可得： ， 解得， ∴y2＝17.5x+75； ∴综上，y1＝20x+50（x≥0），； （2）当x＝20时， y1＝20×20+50＝450， y2＝17.5×20+75＝425， ∵450＞425， ∴在乙超市购买更划算． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/13 10:15:38；用户：18183704378；邮箱：18183704378；学号：43037871 28.解： 设一次函数 （）， 将 、 代入得 ，解得 。 。 将 代入：， 不在此直线上。 不是一次函数三角形。 29.解： （1）设不动点为 ，则 ，解得 。 存在不动点，坐标为 。 （2）设不动点为 ，则 ， ，。 存在不动点即 时总有解，。 （3）函数过 ：； 存在不动点 ：。 联立 ，解得 。 30. 解：（1）设快充的进价为x元/个，则慢充的进价为（x﹣20）元/个， 由题意可得，10x+5（x﹣20）＝350， 解得x＝30， ∴x﹣20＝10， 答：快充的进价为30元/个，慢充的进价为10元/个； （2）共有6种进货方案， 理由：设快充购进a个，则慢充购进（100﹣a）个， ∵快充需要购入75个及以上，且快充的数量不超过慢充数量的4倍， ∴， 解得75≤a≤80， ∵a为正整数， ∴a＝75，76，77，78，79或80， ∴共有6种进货方案； （3）设总利润w元， 由题意可得，w＝（40﹣m﹣30）a+（15﹣10）（100﹣a）＝（5﹣m）a+500， ∵3≤m≤10， ∴当3≤m＜5时，w随a的增大而增大，a＝80时，w取得最大值，此时w＝900﹣80m＞500，100﹣a＝20； 当m＝5时，w＝500； 当5＜m≤10时，w随a的增大而减小，a＝75时，w取得最大值，此时w＝875﹣75m＜500，100﹣a＝25； 由上可得，要使销售完这100个充电器所获总利润最大，当3≤m＜5时，需要购进快充80个，慢充20个；当m＝5时，六种进货方案一样；当5＜m≤10时，需要购进快充75个，慢充25个． 31. 解：（1）①根据图象可知，小华匀速骑行到博物馆的速度为18÷1＝18km/h， 则当h＝0.2，小华离学校的距离为0.2×18＝3.6km， 当h＝2，小华在博物馆参观学习，离学校的距离为18km， 当h＝4.5，小华在书店，离学校的距离为6km； ②根据图象可知，小华在博物馆参观学习的时间为：3﹣1＝2（h）； ③小华从书店到学校的距离为6km，用时0.5h，则速度为6÷0.5＝12km/h． ④当3≤x≤4， 设y＝kx+b，将 （3，18），（4，6）代入， 可得， 解得， 则函数解析式为 y＝﹣12x+54； 当4＜x≤5，函数解析式为y＝6； 当5＜x≤5.5，设函数解析式为y＝kx+b， 将 （5，6），（5.5，0）代入，可得， 解得， 则函数解析式为y＝﹣12x+66， 综上，y关于时间x的函数解析式为， 故答案为：①3.6，18，6；②2；③12； （2）设李明离学校的距离y关于时间x的函数解析式为y2＝kx+b， 根据题意，可知该函数图象过（2.5，18）和（5.5，0），代入可得， ， 解得， 则y2＝﹣6x+33， 据（1）可知，y1关于时间x的函数解析式为， 当3≤x≤4，y1＜y2可得﹣6x+33＞﹣12x+54， 解得x＞3.5， 当4＜x≤5，y1＜y2可得﹣6x+33＞6， 解得x＜4.5， 综上，当y1＜y2x的取值范围为3.5＜x＜4.5． 学科网（北京）股份有限公司 $