8.3 简单几何体的表面积与体积-2023-2024学年高一下学期数学暑假作业（知识回顾+基础训练+提升训练+培优训练）（人教A版2019专用）

8.3简单几何体的表面积与体积（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础训练】 3 【提升训练】 7 【培优训练】 13 知识回顾 1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 (1)多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 2. 棱柱、棱锥、棱台的体积 (1)棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. (2)棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. (3)棱台：棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h. 3. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 4. 圆柱、圆锥、圆台的体积 V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)， V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)， V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′、r分别是上、下底面半径，h是高). 5. 球的表面积与体积 前提条件 球的半径为R 球的表面积公式 S球＝4πR2 球的体积公式 V球＝πR3 球的表面积公式与体积公式的联系 V球＝S球R 基础训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高一下·山东临沂·期中）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（    ） A．27 B． C．9 D． 3．（2024高一下·全国·专题练习）如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A到平面的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 4．（23-24高一下·浙江·期中）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知圆锥的底面圆心为，半圆，表面积为，设母线PB中点为，从点沿圆锥表面到的最近路线长为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川凉山·三模）已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河南新乡·三模）已知球的半径为5，点到球心的距离为3，则过点的平面被球所截的截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一下·新疆昌吉·期末）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的表面积是 D．该正六棱台的高是 10．（22-23高一下·山东枣庄·期中）已知正四棱台中，，则关于该正四棱台，下列说法正确的是（    ） A． B．高为 C．体积为 D．表面积为 11．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（    ）    A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的体积为 . 13．（23-24高一下·安徽·期中）如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，切割这个正四棱柱，得到四棱锥，则这个四棱锥的表面积为 . 14．（2024高三·全国·专题练习）底面边长为6的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，则所得棱台的体积为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高一下·全国·专题练习）已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 16. (15分) （23-24高一下·天津·期中）如图，已知正方体的体积为8. (1)求正方体的表面积; (2)设上底面的中心为，求三棱锥的体积; (3)求三棱锥内切球(与所有面均相切的球)的半径. 17. (15分) （22-23高一下·山东·期中）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特殊的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵，将一个堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，即四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体，即三棱锥）．在如图所示的堑堵中，已知，若鳖臑的体积等于12，求： (1)求堑堵的侧棱长； (2)求阳马的体积； (3)求阳马的表面积． 18. (17分) （23-24高一下·浙江·期中）如图，在直角梯形中，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.    (1)求该几何体的表面积； (2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离. 19. (17分) （23-24高一下·安徽·阶段练习）如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为. (1)求圆柱的表面积； (2)求三棱锥外接球的体积. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京房山·期中）如图是一个圆柱与圆锥的组合体的直观图（圆锥的底面与圆柱的上底面重合），已知圆锥的高为，圆柱的高为2，底面半径为1，则该组合体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁大连·一模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积(单位：)是（   ）    A． B． C． D． 4．（2024·云南昆明·三模）某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·贵州黔西·期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）设，，，是同一个半径为的球的球面上四点，是斜边为的直角三角形，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．64 C． D．128 7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知某圆锥的底面半径长为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥内部最大球的半径为（    ） A． B． C．1 D． 8．（23-24高一下·重庆渝中·期中）已知正四棱台的高为，其所有顶点均在同一个表面积为的球面上，且该球的球心在底面上，则棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高一下·山东潍坊·期末）已知正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长为，则（    ） A．正四棱台的高为 B．正四棱台的斜高为 C．正四棱台的表面积为 D．正四棱台的体积为 10．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，圆台，在轴截面ABCD中，，下面说法正确的是（    ） A．线段 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5 11．（23-24高一下·广东广州·期中）下列命题中正确的是（ ） A．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为 B．圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为 C．正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为 D．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量蜋食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为 . 13．（23-24高一下·福建泉州·期中）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，，，，，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为 . 14．（23-24高一下·吉林白城·期中）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一·全国·课堂例题）如图，正四棱锥的底面边长为4，顶点S到底面中心O的距离为4，求它的表面积．    16. (15分) （23-24高一下·云南昆明·期中）如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥，求    (1)截去的三棱锥的表面积； (2)剩余的几何体的体积； (3)在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积. 17. (15分) （21-22高一下·江苏无锡·期中）如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径， 下底面半径，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点，求：    (1)求圆台的侧面积和体积； (2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 18. (17分) （23-24高一下·山东·期中）已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为. (1)求该圆锥的侧面积； (2)求圆锥的内切球的表面积； (3)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值. 19. (17分) （23-24高一下·福建福州·期中）如图所示，正方体的棱长为2，连接，，，，，得到一个三棱锥.求： (1)三棱锥的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥的外接球的表面积和体积. 培优训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·广东广州·期中）已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（    ） A．3 B． C． D．48 2．（2024·山西临汾·三模）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东潍坊·二模）如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·安徽六安·期末）如图，将两个相同大小的圆柱垂直放置，两圆柱的底面直径与高相等，且中心重合，它们所围成的几何体称为“牟合方盖”，已知两圆柱的高为2，则该“牟合方盖”内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一补四脚帐篷的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 7．（2024·江苏南通·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东广州·模拟预测）已知正方体的边长为1，现有一个动平面，且平面，当平面截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为，周长为，则（    ） A．不为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．与均为定值 D．与均不为定值 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高三上·江苏·阶段练习）正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体．则（    ） A．是正六面体 B．正方体的边长为2 C．与正方体的表面积之比是 D．平面与相交所得截面的面积是 10．（2023·广西南宁·模拟预测）如图，透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（    ） A．当底面水平放置后，固定容器底面一边于水平地面上，将容器绕着转动，则没有水的部分一定是棱柱 B．转动容器，当平面水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点 C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥 D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为 11．（23-24高一下·重庆·期中）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（    ） A．设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形 B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则 C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则 D．设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2023·江西南昌·三模）已知正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为 . 13．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，棱长为2的正方体容器中，，分别是棱，的中点，在，，处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为 .    14．（21-22高一下·广东广州·期中）已知棱长为的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱侧面积的最大值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·广东广州·期中）如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．    (1)求旋转体的表面积； (2)求旋转体的体积； (3)求图中所示圆锥的内切球体积． 16. (15分) （22-23高一下·贵州·阶段练习）如图一，将边长为2的正方形剪去四个全等的等腰三角形后，折成如图二所示的正四棱锥.记该正四棱锥的斜高为（侧面三角形的高），. (1)求证：； (2)将折起来后所得正四棱锥的表面积记为，请将表示为的函数，并求的范围. 17. (15分) （21-22高一下·浙江温州·期中）（1）现有3张不同形状的纸片：平行四边形、正三角形、矩形（尺寸如图所示），要求选择其中2张，设计两种方案，每张纸折成一个正三棱锥模型，使它的全面积都与原纸片的面积相等，用虚线标示在图中，并作简要说明；（如多选，按前两种给分） （2）用（1）中正三角形的纸片，剪拼成一个正三棱柱模型，使它的全面积与原三角形面积相等，用虚线标注在图中，并作简要说明，求出你折成的正三棱锥和正三棱柱体积的大小．          18. (17分) （21-22高二上·上海黄浦·期中）如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O． (1)若圆柱的底面圆半径为，求几何体的体积； (2)若，求几何体的表面积． 19. (17分) （23-24高一下·浙江温州·期中）早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.    (1)如图一所示，在一个半径为的半球体中，挖去一个半径为的球体，求剩余部分的体积. (2)如图二，由抛物线跟线段围成一个几何形，将该几何形绕轴旋转得到一个抛物线旋转体，请运用祖暅原理求该旋转体的体积. (3)将两个底面半径为1，高为3圆柱体按如图三所示正交拼接在一起，构成一个十字型几何体.求这个十字型的体积，等价于求两个圆柱公共部分几何体的体积，请运用祖暅原理求出该公共部分几何体的体积. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3简单几何体的表面积与体积（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础训练】 3 【提升训练】 18 【培优训练】 34 知识回顾 1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 (1)多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 2. 棱柱、棱锥、棱台的体积 (1)棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. (2)棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. (3)棱台：棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h. 3. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 4. 圆柱、圆锥、圆台的体积 V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)， V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)， V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′、r分别是上、下底面半径，h是高). 5. 球的表面积与体积 前提条件 球的半径为R 球的表面积公式 S球＝4πR2 球的体积公式 V球＝πR3 球的表面积公式与体积公式的联系 V球＝S球R 基础训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高一下·山东临沂·期中）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（    ） A．27 B． C．9 D． 3．（2024高一下·全国·专题练习）如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A到平面的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 4．（23-24高一下·浙江·期中）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知圆锥的底面圆心为，半圆，表面积为，设母线PB中点为，从点沿圆锥表面到的最近路线长为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川凉山·三模）已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河南新乡·三模）已知球的半径为5，点到球心的距离为3，则过点的平面被球所截的截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一下·新疆昌吉·期末）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的表面积是 D．该正六棱台的高是 10．（22-23高一下·山东枣庄·期中）已知正四棱台中，，则关于该正四棱台，下列说法正确的是（    ） A． B．高为 C．体积为 D．表面积为 11．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（    ）    A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的体积为 . 13．（23-24高一下·安徽·期中）如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，切割这个正四棱柱，得到四棱锥，则这个四棱锥的表面积为 . 14．（2024高三·全国·专题练习）底面边长为6的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，则所得棱台的体积为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高一下·全国·专题练习）已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 16. (15分) （23-24高一下·天津·期中）如图，已知正方体的体积为8. (1)求正方体的表面积; (2)设上底面的中心为，求三棱锥的体积; (3)求三棱锥内切球(与所有面均相切的球)的半径. 17. (15分) （22-23高一下·山东·期中）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特殊的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵，将一个堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，即四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体，即三棱锥）．在如图所示的堑堵中，已知，若鳖臑的体积等于12，求： (1)求堑堵的侧棱长； (2)求阳马的体积； (3)求阳马的表面积． 18. (17分) （23-24高一下·浙江·期中）如图，在直角梯形中，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.    (1)求该几何体的表面积； (2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离. 19. (17分) （23-24高一下·安徽·阶段练习）如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为. (1)求圆柱的表面积； (2)求三棱锥外接球的体积. 参考答案： 1．D 【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 【详解】解：设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体，则棱长为， 它的表面积是， 正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 2．A 【分析】利用已知条件求解斜高，然后求解正三棱锥的侧面积． 【详解】由题意可知底面正三角形的中心到底面正三角形的边的距离为：， 所以正三棱锥的斜高为：， 所以这个正三棱锥的侧面积为：. 故选：. 3．B 【分析】先得到，设点A到平面的距离为h，得到方程，求出答案. 【详解】设点A到平面的距离为h，因为直四棱柱的体积为8， 则直三棱柱的体积为4，故， 即， 又因为， 所以，故点A到平面的距离为. 故选：B 4．D 【分析】利用圆锥的侧面为半圆，求出圆锥的半径进而得高，进一步求出圆锥的体积， 【详解】由于圆锥的侧面展开面为半圆，设圆锥的底面半径为，高为，故， 得,则 所以圆锥的体积为. 故选：D. 5．B 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 6．D 【分析】利用表面积公式求出母线长，然后将侧面展开，利用余弦定理可得. 【详解】设圆锥的母线长为，由题知，解得， 将圆锥侧面展开如图，因为，所以， 所以， 所以. 故选：D 7．C 【分析】先计算底面面积，进而得到该六棱锥的高，即可得出外接球的球心及半径，根据球的体积公式计算即可． 【详解】由正六棱锥得，底面为正六边形，设底面的中心为，连接， 则，底面，为正六棱锥的高， 所以， 因为正六棱锥的体积为，所以，即， 故点为外接球的球心，半径为2， 故外接球的体积， 故选：C． 8．C 【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质求出截面小圆半径即得. 【详解】由点到球心的距离为3，得球心到过点的平面距离的最大值为3， 因此过点的平面被球所截的截面小圆半径最小值为， 所以过点的平面被球所截的截面面积的最小值是. 故选：C 9．ACD 【分析】画出该几何体，利用已知条件分别计算正六棱台的上底面积、侧面面积、表面积、正六棱台的高即可. 【详解】如图在正六棱台中，    因为， 所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为： ， 所以梯形的面积为：， 故正六棱台的侧面积为: ，故B选项错误； 由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成， 所以该正六棱台的上底面积为：，故A正确； 同理下底面积为：， 所以该正六棱台的表面积是,故C正确； 正六棱台的高为，D正确. 故选：ACD. 10．BC 【分析】根据正四棱台的结构特征逐项分析判断. 【详解】过分别作底面、的垂线，垂足分别为、， 则， 可得. 对于A：在Rt中，可得， 且为锐角，则，故A错误； 对于B：正四棱台的高即为，故B错误； 对于C：正四棱台的体积，故C正确； 对于D：四棱台的表面积，故D错误； 故选：BC. 11．BCD 【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由台体的侧面积公式可判断C选项；由圆台的体积公式即可判断D选项. 【详解】   如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误； 圆台的轴截面面积为，B正确； 圆台的侧面积为，故C正确； 圆台的体积为，D正确. 故选：BCD 12． 【分析】将直三棱柱补成长方体，计算出长方体的体对角线长，可得出球的半径，利用球的体积公式计算可得结果. 【详解】在直三棱柱中，， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示： 所以，球的直径为， 可得， 因此，球的体积为. 故答案为：. 13． 【分析】根据题意，结合正方体的几何特征，分别求得四棱锥的各个面的面积，即可求解. 【详解】由正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为， 可得矩形的面积为， 的面积为， 的面积为， 的面积为， 中，因为，则边上的高为， 其面积为， 所以四棱锥的表面积为. 故答案为：. 14．104 【分析】由题意求出原正四棱锥的高，利用棱锥的体积公式或者棱台的体积公式，即可求得答案. 【详解】由题意知截去的正四棱锥与原正四棱锥的底面边长的比， 而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为9， 所以原正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. （或棱台的体积为）， 故答案为：104 15． 【分析】根据勾股定理求解侧面的高，即可利用表面积公式求解. 【详解】如图所示，画出正三棱台， 其中为正三棱台上、下底面的中心，分别为的中点， 则为正三棱台的高，为侧面梯形的高，四边形为直角梯形， ,, 所以, 所以此三棱台的表面积,    16．(1)24 (2) (3) 【分析】（1）根据体积求出棱长，然后可得表面积； （2）利用等体积转化为求即可； （3）先根据等体积求三棱锥的体积，然后根据求解可得. 【详解】（1）设， 由题意可知，，则 则正方体的表面积. （2）根据等体积公式可知， ， 所以三棱锥的体积为. （3）根据等体积公式可知，. 因为， 所以三棱锥的表面积为， 设三棱锥内切球半径为，由 得， 所以三棱锥内切球半径为. 17．(1)6 (2)24 (3) 【分析】（1）根据题意，由三棱锥的体积公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由四棱锥的体积公式代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由四棱锥的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题设，则，且面， 设，因为，所以，所以. （2）由题意面，面，则， 又，且都在面内，故面， 所以. （3）由（1）可知，， 则， 所以，即为直角三角形， . 18．(1) (2)6. 【分析】（1）得到几何体为上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，求出表面积； （2）将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，作出辅助线，设，根据弧长得到方程，求出，进而得到为等边三角形， 求出最短路径为线段，得到答案. 【详解】（1）如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周， 形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台， 其表面积为.    （2）将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，    因为圆台上下底面半径的关系为， 所以，， 又∵， ∴， ∴， 设，则的弧长， 解得， 连接，为等边三角形， ∴ 所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周，回到点A的最短路径即为线段， 所以蚂蚁爬行的最短距离为6. 19．(1) (2) 【分析】（1）首先求出、，即可得到，再由求出，最后根据圆柱的表面积公式计算可得； （2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，求出外接球的半径，再根据球的体积公式计算可得. 【详解】（1）∵在中，， ∴， 又在中，，，∴， 而点的圆柱的底面圆上，∴， 所以， 于是由，得， ∴， ∴圆柱的表面积. （2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球， 则外接球的球心是的中点，半径， 所以三棱锥外接球的体积. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京房山·期中）如图是一个圆柱与圆锥的组合体的直观图（圆锥的底面与圆柱的上底面重合），已知圆锥的高为，圆柱的高为2，底面半径为1，则该组合体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁大连·一模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积(单位：)是（   ）    A． B． C． D． 4．（2024·云南昆明·三模）某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·贵州黔西·期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）设，，，是同一个半径为的球的球面上四点，是斜边为的直角三角形，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．64 C． D．128 7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知某圆锥的底面半径长为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥内部最大球的半径为（    ） A． B． C．1 D． 8．（23-24高一下·重庆渝中·期中）已知正四棱台的高为，其所有顶点均在同一个表面积为的球面上，且该球的球心在底面上，则棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高一下·山东潍坊·期末）已知正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长为，则（    ） A．正四棱台的高为 B．正四棱台的斜高为 C．正四棱台的表面积为 D．正四棱台的体积为 10．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，圆台，在轴截面ABCD中，，下面说法正确的是（    ） A．线段 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5 11．（23-24高一下·广东广州·期中）下列命题中正确的是（ ） A．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为 B．圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为 C．正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为 D．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量蜋食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为 . 13．（23-24高一下·福建泉州·期中）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，，，，，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为 . 14．（23-24高一下·吉林白城·期中）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一·全国·课堂例题）如图，正四棱锥的底面边长为4，顶点S到底面中心O的距离为4，求它的表面积．    16. (15分) （23-24高一下·云南昆明·期中）如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥，求    (1)截去的三棱锥的表面积； (2)剩余的几何体的体积； (3)在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积. 17. (15分) （21-22高一下·江苏无锡·期中）如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径， 下底面半径，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点，求：    (1)求圆台的侧面积和体积； (2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 18. (17分) （23-24高一下·山东·期中）已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为. (1)求该圆锥的侧面积； (2)求圆锥的内切球的表面积； (3)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值. 19. (17分) （23-24高一下·福建福州·期中）如图所示，正方体的棱长为2，连接，，，，，得到一个三棱锥.求： (1)三棱锥的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥的外接球的表面积和体积. 参考答案： 1．C 【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积. 【详解】正六棱柱的底面边长为2，体对角线， 则高为，它的表面积为 . 故选：C. 2．C 【分析】由圆柱的体积和圆锥的体积公式求解即可. 【详解】该组合体的体积为圆柱的体积加上圆锥的体积，即 ， 故选：C. 3．C 【分析】由题意先求圆锥的母线长，结合圆柱和圆锥的侧面积公式分析求解. 【详解】由题意可知：圆锥的母线长为， 所以这个陀螺的表面积是. 故选：C. 4．C 【分析】由题意做出该艺术吊灯的主视图，确定正方形的外接圆圆心为，连接，由勾股定理及球体积公式计算即可． 【详解】如图，作出该艺术吊灯的主视图，由已知得四边形为正方形，则， 设正方形的外接圆圆心为，连接交球面于点，如图所示，则， 所以， 因为该艺术吊灯总高度为14，，所以， 设球半径为，则， 在中，，解得， 所以球的体积为， 故选：C． 5．B 【分析】求出正三棱锥侧面三角形的高即可求解. 【详解】如图，    正三棱锥中，底面，则为正三角形的中心， 连接并延长交于，则为的中点，且， 依题意，，正三角形的边长为2， 所以，，， ， 所以该三棱锥的侧面积为. 故选：B 6．C 【分析】依题意可得的外接圆的半径，即可求出球心到平面的距离，求出面积的最大值，及点到平面的距离的最大值，最后根据锥体体积公式计算可得. 【详解】是斜边为的直角三角形， 的外接圆的半径，又球的半径， 球心到平面的距离， 又面积的最大值为， 点到平面的距离的最大值为， 三棱锥体积的最大值为． 故选：C． 7．C 【分析】根据圆锥表面积公式求出母线长，再由圆锥轴截面图象中相似三角形,可得圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径. 【详解】设母线长为，依题意，解得， 所以圆锥的高为， 作出圆锥轴截面图象， 设圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径为， 由于，则， 可得，解得.    故选：C． 8．C 【分析】利用棱台及其外接球的特征结合台体体积公式计算即可. 【详解】设球心为，球的半径为，棱台高为， 则，所以， 由于在底面上，底面为正方形， 易得正方形的边长为，面积为16； 设底面的外接圆半径为，则， 易得正方形的边长为，面积为4； 所以正四棱台的体积为. 故选:C． 9．BCD 【分析】由正四棱台的结构特征可知其高即为对角面的等腰梯形的高，斜高即为侧面等腰梯形的高，由上下底长度和腰长可确定AB正误；根据棱台表面积和体积的求法可确定CD正误. 【详解】对于A，正四棱台上下底面对角线长为， 正四棱台的高，A错误； 对于B，正四棱台的斜高，B正确； 对于C，正四棱台侧面积为，上下底面面积分别为， 正四棱台的表面积，C正确； 对于D，正四棱台的体积，D正确. 故选：BCD. 10．ACD 【分析】结合等腰梯形的性质及余弦定理求解判断A，代入圆台表面积公式求解判断B，代入圆台体积公式求解判断C，将圆台的侧面展开，利用直线距离最短求解判断D. 【详解】对于A，如图： 在截面ABCD中，， 因为为CD的中点，所以，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以为等边三角形， 所以，， 在等腰中，，正确； 对于B，设圆台上底面半径为，下底面半径为，母线为l，则，，， 则圆台的表面积，错误； 对于C，由B知圆台的高为， 所以圆台的体积，正确； 对于D，将圆台一半侧面展开，如图中ABCD，且E为AD的中点， 而圆台对应的圆锥体侧面展开为扇形COD，且，， 所以在中，，即C到AD中点的最短距离为5，正确. 故选：ACD. 11．BCD 【分析】利用球的截面小圆性质计算判断A；利用球及圆柱的体积公式计算判断B；利用棱台的体积公式计算判断C；求出圆锥的体积判断D. 【详解】对于A，截面小圆半径为1，则球半径，该球的表面积为，A错误； 对于B，设容器内水面下降的高度为，则，解得，B正确； 对于C，正四棱台的高，体积为，C正确； 对于D，圆锥底面圆半径，则，解得，圆锥的高， 体积为，D正确. 故选：BCD 12． 【分析】根据棱台表面积公式，结合正方形的面积公式、等腰梯形的面积公式进行求解即可． 【详解】如下图所示：，，， 所以， 所以该四棱台的表面积为：， 故答案为：． 13． 【分析】将沿翻折到与共面得到平面四边形如图①所示，设，利用余弦定理求出，将三棱锥补成长方体如图②所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外接球的半径，即可求出其体积. 【详解】将沿翻折到与共面时，得到平面四边形如图①所示， 设，即， 由题意得，， 在中，由余弦定理得 即 即， 解得或（舍去）， 所以， 将三棱锥补成长方体如图②所示， 该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径， 所以外接球的体积. 故答案为：. 14． 【分析】根据题意设顶点在底面圆的射影点为，利用三角形面积公式和母线SA，SB所成角求出半径和母线长度，再利用扇形面积公式即可求解． 【详解】如图，设顶点在底面圆的射影点为，连接，，， 因为圆锥的母线是底面半径的倍，设，则， 因为母线SA，SB所成角的余弦值为， ， 又的面积为， ， ， 该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 15． 【分析】根据正棱锥的性质求得正棱锥的斜高后可得表面积． 【详解】作，垂足为点E，连接OE． 因为，所以． 因为，，,平面SOE， 所以平面SOE，而平面SOE， 所以，故．又，所以． 又底面周长，所以正棱锥侧． 又底，因此，该正四棱锥的表面积为表． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用三角形面积公式，求得各个面的面积，即可求解； （2）根据题意，结合分割补形法，利用柱体和锥体的体积公式，即可求解； （3）根据题意，结合四棱锥的体积公式，即可求解． 【详解】（1）解：在正方体中，因为棱长为，可得， 所以截去的三棱锥的表面积为： . （2）解：在正方体中，因为棱长为，可得正方体的体积为， 又因为平面，即为三棱锥的高， 可得， 所以几何体的体积为. （3） 解：在正方体中，因为四边形为正方形，可得， 又因为平面且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为， 又因为矩形的体积为， 所以四棱锥的体积为. 17．(1)， (2)4 cm 【分析】（1）根据圆台的侧面积公式以及体积公式，可得答案； （2）由题意，作圆台的侧面展开图，利用弧度制的定义，建立方程，解得圆心角以及半径，利用等面积法，可得答案. 【详解】（1）由题可知上底面半径为，下底面半径为，母线长， ， 设圆台的高为h，则， . （2）如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，    设，，则，，解得，， ∴，， ∴，即绳子最短长度为50cm， 作于点Q，交弧于点P，则PQ为所求的最短距离， ∵，∴，故(cm)， 即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，依题意可得，再由的面积求出，即可得到，从而求出侧面积； （2）作出轴截面，利用三角形相似求出内切球的半径，即可求出球的面积； （3）令正四棱柱的底面边长为，高为，由三角形相似得到，再由侧面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、， 由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得， 又，所以， 又因为的面积为， ，解得（负值舍去）， 又，所以， 圆锥的侧面积. （2）作出轴截面如图所示： 根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点， 设内切球半径为，即，则， 所以， 由（1）可知，圆锥的高，， 则有，解得， 所以圆锥的内切球的表面积； （3）由（1）知圆锥的高， 令正四棱柱的底面边长为，高为， 则， 由得， ， 所以正四棱柱的侧面积 ，当且仅当，即时等号成立， 所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为. 19．(1)； (2)，. 【分析】（1）求出三棱锥的各条棱长，再求出三棱锥及正方体的表面积即可. （2）求出三棱锥外接球半径，再求出球的表面积和体积. 【详解】（1）正方体的棱长为2，则， 显然三棱锥是正四面体，其表面积为，而正方体的表面积为， 所以三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为 （2）显然三棱锥的外接球即为正方体的外接球，设球半径为， 则，即， 所以三棱锥的外接球的表面积为，体积为. 培优训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·广东广州·期中）已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（    ） A．3 B． C． D．48 2．（2024·山西临汾·三模）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东潍坊·二模）如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·安徽六安·期末）如图，将两个相同大小的圆柱垂直放置，两圆柱的底面直径与高相等，且中心重合，它们所围成的几何体称为“牟合方盖”，已知两圆柱的高为2，则该“牟合方盖”内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一补四脚帐篷的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 7．（2024·江苏南通·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东广州·模拟预测）已知正方体的边长为1，现有一个动平面，且平面，当平面截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为，周长为，则（    ） A．不为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．与均为定值 D．与均不为定值 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高三上·江苏·阶段练习）正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体．则（    ） A．是正六面体 B．正方体的边长为2 C．与正方体的表面积之比是 D．平面与相交所得截面的面积是 10．（2023·广西南宁·模拟预测）如图，透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（    ） A．当底面水平放置后，固定容器底面一边于水平地面上，将容器绕着转动，则没有水的部分一定是棱柱 B．转动容器，当平面水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点 C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥 D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为 11．（23-24高一下·重庆·期中）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（    ） A．设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形 B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则 C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则 D．设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2023·江西南昌·三模）已知正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为 . 13．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，棱长为2的正方体容器中，，分别是棱，的中点，在，，处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为 .    14．（21-22高一下·广东广州·期中）已知棱长为的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱侧面积的最大值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·广东广州·期中）如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．    (1)求旋转体的表面积； (2)求旋转体的体积； (3)求图中所示圆锥的内切球体积． 16. (15分) （22-23高一下·贵州·阶段练习）如图一，将边长为2的正方形剪去四个全等的等腰三角形后，折成如图二所示的正四棱锥.记该正四棱锥的斜高为（侧面三角形的高），. (1)求证：； (2)将折起来后所得正四棱锥的表面积记为，请将表示为的函数，并求的范围. 17. (15分) （21-22高一下·浙江温州·期中）（1）现有3张不同形状的纸片：平行四边形、正三角形、矩形（尺寸如图所示），要求选择其中2张，设计两种方案，每张纸折成一个正三棱锥模型，使它的全面积都与原纸片的面积相等，用虚线标示在图中，并作简要说明；（如多选，按前两种给分） （2）用（1）中正三角形的纸片，剪拼成一个正三棱柱模型，使它的全面积与原三角形面积相等，用虚线标注在图中，并作简要说明，求出你折成的正三棱锥和正三棱柱体积的大小．          18. (17分) （21-22高二上·上海黄浦·期中）如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O． (1)若圆柱的底面圆半径为，求几何体的体积； (2)若，求几何体的表面积． 19. (17分) （23-24高一下·浙江温州·期中）早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.    (1)如图一所示，在一个半径为的半球体中，挖去一个半径为的球体，求剩余部分的体积. (2)如图二，由抛物线跟线段围成一个几何形，将该几何形绕轴旋转得到一个抛物线旋转体，请运用祖暅原理求该旋转体的体积. (3)将两个底面半径为1，高为3圆柱体按如图三所示正交拼接在一起，构成一个十字型几何体.求这个十字型的体积，等价于求两个圆柱公共部分几何体的体积，请运用祖暅原理求出该公共部分几何体的体积. 参考答案： 1．B 【分析】根据已知先求斜高，然后可得表面积. 【详解】如图，作平面，，垂足分别为，连接. 由题可知，，所以， 所以表面积. 故选：B 2．D 【分析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案. 【详解】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米， 下圆台的高为厘米， 故上圆台的体积为立方厘米， 下圆台的体积为立方厘米， 故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米. 故选：D 3．D 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】如图所示，作出轴截面， 分别为上下底面圆的圆心，为侧面切点，为内切球球心， 则为的中点， ， 因为，所以， 则 过点作，垂足为， 则， 在中，由勾股定理得， 即，解得或， 因为，所以，，故， 所以圆台的侧面积为. 故选：D. 4．D 【分析】将两个互相垂直的圆柱放到棱长为2的正方体内，则正方体的内切球与这两个圆柱的侧面和底面都相切，故可求得内切球半径，故得答案 【详解】如图，将两个互相垂直的圆柱放到棱长为的正方体内， 则正方体的内切球与这两个圆柱的侧面和底面都相切， 又因为牟合方盖上下两个顶点和侧面的四个曲面刚好与正方体的侧面相切， 故正方体的内切球内切于牟合方盖， 所以正方体内切球即为牟合方盖的内切球，其半径为， 所以该“牟合方盖”内切球的体积为. 故选：D. 5．A 【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为， 设底面中心为，截面中心为，则，， 所以，所以截面为的面积为. 设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 故选：A. 6．D 【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，此时三棱锥体积也最大，利用圆锥体积公式求解即可判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用，求的范围，即可判断C；利用图形展开及两点之间线段最短即可判断选项D. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积为：，故A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为，故B错误； 对于C，因为为等腰三角形，，又，所以， 当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值， 又因为与不重合，则，又，可得，故C错误； 对于D，由，得，又， 则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，，如图可知， 因为， ， 则，故D正确； 故选：D. 7．D 【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可. 【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，    因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切， ，则，则， 过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则， 则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，    即该正四棱台内半径最大的球半径，球的表面积为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相切的，再求出其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径. 8．A 【分析】利用正方体棱的关系，判断平面所成的角都相等的位置，可知截面边数最多时为六边形.如图所示，可计算出周长为定值，计算正三角形的面积和截而为正六边形时的截面面积通过比较即可得答案. 【详解】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，与面平行的面且截面是六边形时满足条件，如图所示， 正方体边长为1，即 设，则， ， 同理可得六边形其他相邻两边的和均为， 六边形的周长为定值， 正三角形的面积为. 当均为中点时，六边形的边长相等即截面为正六边形时截面面积最大， 此时,截面面积为， 截面从平移到的过程中，截面面积的变化过程是由小到大，再由大到小，故可得周长为定值，面积不为定值. 故选：A 9．BCD 【分析】画出图形可判断A；设正方体的边长为a，求出的体积，求出可判断B；求出正方体的表面积，的表面积可判断C；画出截面，且是菱形，求出面积可判断以D． 【详解】对于A，如图，是各棱长均相等的正八面体，所以A错误； 对于B，设正方体的边长为a，是正八面体，且是底面是对角线长为的正方形，上下两个四棱锥的高都为，则的体积为，所以，所以B正确； 对于C，正方体的表面积是，的各个侧面的棱长都为等边三角形，所以的表面积是，所以，所以C正确； 对于D，如图平面与相交所得截面，分别是的中点， 且相等，，四边形是菱形，，其面积为，所以D正确． 故选：BCD. 10．AD 【分析】根据直观想象，结合棱柱、三棱锥的概念即可判断AC；根据棱柱和棱台的体积公式计算，即可判断B；根据题意确定棱柱的外接球，结合外接球的体积公式，利用基本不等式计算即可判断D. 【详解】 A：当平面水平放置时（始终保持水平），则平面平面， 所以有水的部分是棱柱，由图可知，没有水的部分也是棱柱，故A正确； B：当平面水平放置时，假设都为所在棱的中点， 设水面到底面的的距离为，， 所以水的体积为， 又转动前水的体积为， 所以不为所在棱的中点，故B错误； C：在翻滚､转动容器的过程中， 当平面水平放置时，三棱锥的体积取到最大值，如图， 此时， 而水的体积为，所以有水的部分不可能是三棱锥，故C错误； D：取的中点，连接，取的中点O，连接OA， 则D为的外接圆圆心，O为三棱柱外接球的球心， 所以为外接球的半径，且， 所以直三棱柱外接球体积. 由选项B可知，容器中水的体积为， 又，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 则水的体积与直三棱柱外接球体积之比为， 即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为，故D正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查立体图形和旋转体知识.根据直观想象，结合棱柱、三棱锥的概念即可判断AC；根据棱柱和棱台的体积公式计算，即可判断B；根据题意确定棱柱的外接球，结合外接球的体积公式，利用基本不等式计算即可判断D. 11．ABD 【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得为等边三角形，设球心为（即为的重心），即可求出的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A、B，由圆锥及球的体积公式判断C，所对的圆心角为（在圆上），设的中点为，即可求出，不妨设为上的点，连接，过点作交于点，利用三角形相似求出，即可求出截面圆的半径，从而判断D. 【详解】作出圆锥的轴截面如下：    因为圆锥的内切球和外接球的球心重合，所以为等边三角形，故A正确； 又，所以， 设球心为（即为的重心），所以，， 即内切球的半径为，外接球的半径为，所以，故B正确； 设圆锥的体积为，则， 内切球的体积为，则，所以，故C错误； 设、是圆锥底面圆上的两点，且，则所对的圆心角为（在圆上）， 设的中点为，则，不妨设为上的点，连接，则， 过点作交于点，则，所以， 即，解得， 所以平面截内切球截面圆的半径， 所以截面圆的面积为，故D正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是由题意得到圆锥的轴截面三角形为等边三角形，从而确定外接球、内切球的半径. 12． 【分析】设，则可表示出正四棱柱的体对角线，从而可表示出外接球的半径，再结合已知可求得，再利用基本不等式可求得，从而可求出正四棱柱的侧面积的最大值. 【详解】设，则正四棱柱的体对角线长为， 所以正四棱柱外接球的半径为， 因为球的表面积为，所以， 化简得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以该四棱柱的侧面积为，当且仅当，即时取等号， 所以该四棱柱的侧面积的最大值为， 故答案为： 13．6 【分析】分类讨论水平面经过点，，的个数，结合体积公式以及基本不等式运算求解. 【详解】1.当，，处的小孔都在水平面时，如图一，    三棱台的体积为， 所以容器所装水的多面体的体积； 2.当只有1个小孔在水平面上方时， （1）当处的小孔在水平面上方时，如图二； 当处的小孔在水平面上方时，图三； 显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体的体积小，不会最大；    （2）当处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为， ①当在线段上时，如图四，设，，则， 因为正方体的体积为， 棱台的体积为，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以棱台的体积无最小值，此时该容器可装水的体积小于6.    ②当在线段上时，如图五，设，，的中点为，    可知：水平面为平行四边形，且四棱锥与四棱锥的体积相同， 可知：多面体的体积与三棱柱的体积相同， 所以三棱柱的体积为，此时该容器可装水的体积为. 综上所述：该容器可装水的最大体积为6. 故答案为：6. 【点睛】关键点睛：分类讨论水平面经过点，，的个数，结合图形分析求解. 14． 【分析】由题意，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，根据正方体的性质即可求解． 【详解】解：由题意，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切，由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过点的三个面相切，且切点分别在线段，，上， 设线段上的切点为，面，，圆柱上底面的圆心为，即半径， 则，， 由知，所以， 则圆柱的高为， 所以圆柱的侧面积． 故答案为：． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）由图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，旋转体的表面积，计算即可； （2）由旋转体的体积计算即可； （3）设圆锥的内切球球心为，半径为，则点在直线上，设球切于点，连接，求出内切球半径代入球体积公式计算即可． 【详解】（1）由图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的， 在直角梯形中，，，过点作于点， 则四边形和四边形为矩形，，如图所示， 在中，由得，， ， 所以，， 因为旋转体的表面积， 所以． （2）因为旋转体的体积， 所以旋转体的体积． （3）设圆锥的内切球球心为，半径为，则点在直线上， 设球切于点，连接， 则，， 因为，所以， 在中，，解得， 所以圆锥的内切球体积．    16．(1)证明见解析 (2)，； 【分析】（1）作，垂足分别为M，N，然后在中利用三角函数定义可得； （2）用正方形面积减去4个全等的等腰三角形面积可得. 【详解】（1）作，垂足分别为M，N， 由题可知，M，N分别为EF，AB的中点， 所以在中，，， 所以， 易知，在中， 所以， 即 （2）在中，易知， 所以， 又正方形ABCD的面积为， 所以正四棱锥的表面积记 因为，所以， 所以 17．（1）作图见解析；（2）作图见解析，正三棱锥和正三棱柱体积分别为，. 【分析】（1）根据给定的平行四边形、正三角形、矩形的图形特征，结合正三棱锥的结构特征进行分割即可. （2）利用正三角形图形特征，结合正三棱柱的结构特征进行分割即可，再借助锥体、柱体体积公式计算作答. 【详解】（1）选平行四边形：取平行四边形长为2a的这组对边中点，并连接这两点，将原平行四边形分成两个全等的菱形， 作出两个菱形较短的对角线，如图，再沿图中虚线折起，可得一个正三棱锥； 选正三角形：顺次连接正三角形各边中点，如图，再沿图中虚线折起，可得一个正三棱锥； 选矩形：取矩形边长为2a的一边中点，及其对边上靠近这边端点的两个4等分点，再连接成如图中虚线， 然后沿图中虚线折起，可得一个正三棱锥；    （2）取正三角形每一边靠近端点的两个4等分点，再过这些点作所在边的垂线，这些垂线在三角形内有3个交点， 顺次连接这3个点及对应的垂线段，如图，再将原正三角形角上的3个四边形沿虚线剪下拼成一个边长为a的正三角形， 最后沿虚线将3个矩形折起到与虚线三角形垂直，并把拼成的三角形放在上面可得一个正三棱柱. 如图，三棱锥ABCD是折成的正三棱锥，其各条棱长均为a，令P为的中心，则， AP是正三棱锥的高，， 所以三棱锥的体积； 折成的正三棱柱底面是边长为a的正三角形，高为， 所以正三棱柱的体积为. 【点睛】关键点睛：几何体展开图还原成几何体，了解几何体的结构特征，熟悉不同条件下其展开图的形状是解决问题的关键. 18．(1) (2) 【分析】（1）分别计算圆锥的体积与圆柱的体积，体积和即为所求； （2）根据比例关系，可分别求出圆锥与圆柱的高及底面半径，再利用表面积公式即可求解. 【详解】（1）如图可知，过P、、的截面为五边形，其中四边形为矩形，三角形为等腰三角形， 在直角中，，，则 故圆锥的底面半径为，高为，其体积为 圆柱的底面半径为，高为，其体积为 所以几何体的体积为 （2）若，设，则，故， 在直角中，，，则 故圆锥的底面半径为，高为，其母线长为， 圆锥的侧面积为 圆柱的底面半径为，高为，其侧面积为 所以几何体的表面积为 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据球的体积公式计算可得； （2）利用祖暅原理求出图二中阴影部分旋转得到的几何体的体积，而抛物线旋转体是由圆柱减去刚刚的几何体的体积，从而得解； （3）首先证明“牟合方盖”的体积公式，利用公式计算可得. 【详解】（1）依题意该几何体的体积. （2）图1阴影部分是由长方形（长为，宽为）和抛物线围成， 图2阴影部分是由半径为3的半圆和直径为3的圆围成的，    将图1绕轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分的几何体记为， 将图2以小圆的直径为轴旋转一周可得一个半球挖去一个小球的几何体记为， 将两个几何体放在同一水平面上，用与圆柱下底面或与半球大圆距离为的平面截两个几何体，可得截面都为圆环，纵截面图如下，    几何体的截面面积为， 几何体的截面面积为，又两几何体等高， 由祖暅原理可得两几何体的体积相等，结合（1）可知几何体的体积， 而由抛物线跟线段围成一个几何形， 将该几何形绕轴旋转得到一个抛物线旋转体，是由一个圆柱（底面半径为，高为）减去几何体， 所以所求的体积. （3）首先证明“牟合方盖”的体积公式为（为圆柱的底面半径）： “牟合方盖”是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分， 计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图四）． 记正方形的边长为，设，过点作平面平行于平面． 又，由勾股定理有， 故此正方形面积是． 如果将图四的几何体放在棱长为的正方体内（如图五），不难证明图五中与图四等高处阴影部分的面积等于． （如图六）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为，不难发现对于任何高度，此截面面积必为，      由棱锥， 由祖暅原理图五中“牟合方盖”外部的体积等于棱锥 所以图四中几何体体积为， 所以“牟合方盖”的体积为． 又圆柱的底面半径为， 所以两个圆柱公共部分几何体的体积为. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将不规则的几何体转化为熟悉的、规则的几何体. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$