精品解析：山东省济南市长清区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

八年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 我国已经启动第二阶段技术试验，人工智能逐渐融入人类生活下列设计的人工智能图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 2. 有理数、在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由数轴可知，，， 则，，，， 只有C选项正确 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解需满足两个条件：一是结果为几个整式的乘积形式，二是变形前后等式成立，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A．该变形是整式乘法，不是因式分解，错误； B．右边结果不是整式乘积的形式，不是因式分解，错误； C．，等式不成立，错误； D．提取公因式x得，是多项式化为整式乘积的形式，等式成立，符合因式分解的定义，正确． 4. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同分母分式相减的法则，分母不变，分子相加减，再把计算结果化为最简分式． 【详解】解： ． 5. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，若点恰好落在轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标平移规律得到点B的坐标表达式，利用y轴上点的横坐标为0求出a的值，即可得到点B的坐标． 【详解】解：点坐标为，向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， 的坐标为，即， 又点在轴上，轴上所有点的横坐标为， ，解得， 将代入点的纵坐标，得纵坐标为， 点的坐标为． 6. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质，勾股定理求出，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，，是对角线， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 7. 若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 8. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，，则对角线的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 首先证明出是等边三角形，然后得到，然后利用，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴． 故选：A． 9. 如图，绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转得，，，，故，又，故，在中，． 【详解】解：由旋转得，，，， ， ， ， 在中，． 10. 如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A. B. C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 11. 若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，解题思路为将分式方程转化为整式方程求解，再检验得到原方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得，， 移项得，， 检验：当时，，故是原分式方程的解． 12. 把多项式分解因式时，应提取的公因式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据公因式的确定，一看系数：各项系数为整数时，提取各项系数的最大公因数；二看字母：取各项都含有的相同字母；三看字母指数：取相同字母的最低次幂，进行解答，即可． 【详解】解：多项式中，系数与的最大公因数是，两项都含有的相同字母是，的最低次数是， ∴分解因式时应提取的公因式是． 13. 如图1，跷跷板是常见的游戏设施，在其静止时，可以抽象出图2的模型，其中为跷跷板，垂直地面于点，支撑杆的端点分别是，的中点，若末端离地面的高度为，则支撑杆的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知、分别为、的中点，利用三角形中位线定理可得与的数量关系，代入的长度即可求解． 【详解】解：∵支撑杆的端点分别是，的中点，  是的中位线， ， 末端离地面的高度为，即， ． 14. 如图，函数的图象过点，则不等式的解集是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】观察图象可得当时，，即可求解． 【详解】观察图象得：当时，，即， ∴不等式的解集为． 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，理解题意，利用数形结合思想求解是解题关键． 15. 如图，已知菱形的顶点，，点在轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，交于点，连接，若恰好经过点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作轴于点，作轴于点，勾股定理求出的长，证明为等边三角形，推出为含30度角的直角三角形，进行求解即可. 【详解】解：连接，作轴于点，作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，， 由作图可知，垂直平分， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为. 三、解答题（本题共10个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解与解方程 （1）因式分解：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 经检验，当时，， 分式方程的解为． 17. 解不等式组：，并写出它的最大整数解． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为，最大整数解为1． 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用菱形的性质得出角相等，再通过全等三角形的判定证明两个三角形全等，进而得到对应角相等． 利用菱形对角线平分一组对角的性质，得到；再利用“边角边”定理证明两三角形全等，从而得到其对应角相等． 【详解】证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先进行括号内的分式加减运算，同时将分子分母进行因式分解，并将除法化为乘法，结果化为最简分式，代值计算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点、、均在格点上． （1）将向左平移6个单位长度得到，请画出； （2）将绕点按逆时针方向旋转得到，请画出； （3）若点的坐标为，点的坐标为，建立平面直角坐标系，并在坐标系中找出一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质即可将向左平移6个单位长度得到； （2）根据旋转的性质即可将绕点O按逆时针方向旋转得到； （3，画出符合题意的平行四边形，再由平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当为边时，则，而， ∴，即；，即； 当为对角线时， ∴，即， ∴点的坐标为或或． 21. 如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据勾股定理得到，由得到．在中，利用勾股定理得到，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ∴的面积为． 22. “颗粒归仓，饭碗更牢”．夏收是农业四季里的关键一环，冬小麦是夏收的主体粮食，每年的五、六月份是我国冬小麦的收割时间．某农业合作社租用小型收割机和大型收割机参与冬小麦收割，已知每台大型收割机1小时比每台小型收割机多收割4亩小麦，若分别用1台收割机收割完15亩小麦，1台小型收割机所用时间是1台大型收割机所用时间的2倍． （1）求每台小型、大型收割机1小时分别收割多少亩小麦； （2）该合作社计划租用小型收割机、大型收割机共10台来收割小麦，要求两种型号的收割机都租用，且租用小型收割机的数量大于5台，若它们同时工作1小时收割小麦不少于48亩，那么有多少种租用方案？请列出所有可能的方案． 【答案】（1）每台小型收割机1小时收割亩小麦，每台大型收割机1小时收割亩小麦； （2）共有种租用方案，分别为：方案一：租用小型收割机台，大型收割机台；方案二：租用小型收割机台，大型收割机台；方案三：租用小型收割机台，大型收割机台. 【解析】 【分析】（1）设每台小型收割机1小时收割亩小麦，根据“1台小型收割机收割完15亩小麦所用时间是1台大型收割机所用时间的2倍”，列分式方程求解即可； （2）设租用小型收割机台，大型收割机台，根据“租用小型收割机的数量大于5台”和“同时工作1小时收割小麦不少于48亩”列不等式组，确定的可能范围，再结合是正整数得到可能取值，即可得解． 【小问1详解】 解：设每台小型收割机1小时收割亩小麦，则每台大型收割机1小时收割亩小麦； 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解， ， 答：每台小型收割机1小时收割亩小麦，每台大型收割机1小时收割亩小麦； 【小问2详解】 解：设租用小型收割机台，大型收割机台， 由题意得：， 解得：， 是正整数， 的可能取值为6、7、8， 共有种租用方案，分别为：方案一：租用小型收割机台，大型收割机台；方案二：租用小型收割机台，大型收割机台；方案三：租用小型收割机台，大型收割机台． 23. 【定义新运算】对正实数，，定义运算“”，满足．例如：当时，． （1）当时，计算：_______；_______． （2）当，时，求的值是多少？ （3）【应用新运算】如图，在线段上取一点，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，连接、，，．若的面积为3，，求的值． 【答案】（1），a； （2）； （3）． 【解析】 【分析】(1) 根据新定义的运算法则计算即可； (2) 首先根据新定义的运算法则计算，然后把的值代入化简即可； (3) 根据新定义的运算先计算 ，根据已知图形可得，，然后根据完全平方公式求出，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：当时， ， ； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：∵ ， ∴ ， 的面积为3， ，即． ， ． ， 或（不合题意，舍去）， 24. 如图，在直角梯形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，若一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为（秒）． （1）_____，_____（用含的代数式表示）； （2）①写出_____； ②当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若改变点的运动速度，使运动过程中的某一时刻，四边形为菱形，请你求出点的运动速度应为多少？ 【答案】（1）； （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意即可列代数式； （2）①过点作，先得到四边形是矩形，然后对运用勾股定理求解即可； ②可知点在上，由平行四边形得到，据此列出关于的方程求解即可； （3）设的速度为，在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：①过点B作于点G，则，如图， ∵，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，； ②∵， ∴当四边形是平行四边形时，点在上， ∴ ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：设的速度为，由（2）可知，在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由题意得，，， ∴， 解得， 当点的速度为时，四边形为菱形． 25. 在北师大版九上数学课本第12页中，我们一起学习了如下定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）【推理证明】已知：如图1在中，，点是边的中点．求证：． 请你补全证明过程： 证明：如图2，延长至，使，连接，． ∵点是边的中点， ∴ ， 又， ∴四边形是 ， ∴四边形为 ， ， ． （2）【探究问题】如图3，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由； （3）【拓展思考】如图4，在四边形中，，点是的中点．若，直接写出的度数． 【答案】（1）证明：如图，延长至，使，连接，． ∵点是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形为矩形， ， ． （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中线， ∴； ∵， ∴， ∵点是的中点 ∴ ∴， ∴平行四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得，四边形是矩形，推出对角线相等，即可得到； （2）根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出；，根据菱形的判定，即可； （3）连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，等边对等角，得到，，，根据三角形的外角，求出，，根据三角形的内角和，得到，求出，最后根据，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴，，， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 我国已经启动第二阶段技术试验，人工智能逐渐融入人类生活下列设计的人工智能图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 有理数、在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，若点恰好落在轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，，则对角线的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 如图，绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A. B. C. 10 D. 12 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 11. 若，则______． 12. 把多项式分解因式时，应提取的公因式是_____． 13. 如图1，跷跷板是常见的游戏设施，在其静止时，可以抽象出图2的模型，其中为跷跷板，垂直地面于点，支撑杆的端点分别是，的中点，若末端离地面的高度为，则支撑杆的长度为_____． 14. 如图，函数的图象过点，则不等式的解集是_______． 15. 如图，已知菱形的顶点，，点在轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，交于点，连接，若恰好经过点，则点的坐标为________． 三、解答题（本题共10个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解与解方程 （1）因式分解：； （2）解方程：． 17. 解不等式组：，并写出它的最大整数解． 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点、、均在格点上． （1）将向左平移6个单位长度得到，请画出； （2）将绕点按逆时针方向旋转得到，请画出； （3）若点的坐标为，点的坐标为，建立平面直角坐标系，并在坐标系中找出一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 21. 如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的面积． 22. “颗粒归仓，饭碗更牢”．夏收是农业四季里的关键一环，冬小麦是夏收的主体粮食，每年的五、六月份是我国冬小麦的收割时间．某农业合作社租用小型收割机和大型收割机参与冬小麦收割，已知每台大型收割机1小时比每台小型收割机多收割4亩小麦，若分别用1台收割机收割完15亩小麦，1台小型收割机所用时间是1台大型收割机所用时间的2倍． （1）求每台小型、大型收割机1小时分别收割多少亩小麦； （2）该合作社计划租用小型收割机、大型收割机共10台来收割小麦，要求两种型号的收割机都租用，且租用小型收割机的数量大于5台，若它们同时工作1小时收割小麦不少于48亩，那么有多少种租用方案？请列出所有可能的方案． 23. 【定义新运算】对正实数，，定义运算“”，满足．例如：当时，． （1）当时，计算：_______；_______． （2）当，时，求的值是多少？ （3）【应用新运算】如图，在线段上取一点，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，连接、，，．若的面积为3，，求的值． 24. 如图，在直角梯形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，若一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为（秒）． （1）_____，_____（用含的代数式表示）； （2）①写出_____； ②当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若改变点的运动速度，使运动过程中的某一时刻，四边形为菱形，请你求出点的运动速度应为多少？ 25. 在北师大版九上数学课本第12页中，我们一起学习了如下定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）【推理证明】已知：如图1在中，，点是边的中点．求证：． 请你补全证明过程： 证明：如图2，延长至，使，连接，． ∵点是边的中点， ∴ ， 又， ∴四边形是 ， ∴四边形为 ， ， ． （2）【探究问题】如图3，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由； （3）【拓展思考】如图4，在四边形中，，点是的中点．若，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $