精品解析： 山东省济南市长清区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷-

2024-2025学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 第33届夏季奥林匹克运动会上，中国体育健儿展现了强大的中国自信与中国力量，共获得40枚金牌．下列体育运动图标中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若m－n＝2，则代数式的值是（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 5. 下列说法正确的是（　　） A. 对角线互相垂直平分的四边形的正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 6. 已知关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在边长为2的菱形中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在矩形中，，，点E、F分别是边，上的动点，且，则的最小值为（ ） A. 10 B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 分解因式： _______． 13. 正六边形和正方形如图所示摆放，连接，则图中的度数为______． 14. 如图，点坐标为，点为坐标原点，线段沿轴向右平移得到线段，连接，若四边形的面积为，则点的坐标为______． 15. 如图，在菱形中，，点和分别是和上一点，沿将折叠，点恰好落在边的中点上．若，则的长为______． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 16. 先化简，再求值：（）∙，其中x=2． 四、解答题：本题共9小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算 （1）因式分解：； （2）解方程： 18. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 19. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； （2）若和关于原点成中心对称，画出； （3）在轴上找一点，使得的面积等于的面积，直接写出点的坐标． 21. 如图，在中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接、、、 （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，，，求的长． 22. 在年月份举办的第九届世界无人机大会上，众多企业展示了新型无人机，其中、两款无人机备受关注．已知款无人机比款无人机每架多万元，用万元购买款无人机与用万元购买款无人机的数量相等． （1）求、两款无人机的单价各是多少？ （2）某企业打算购买、两款无人机共架，且款无人机的购买数量不少于款无人机购买数量的倍，求该企业购买多少架款无人机时花费最少？最少费用是多少万元？ 23. 【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 （1）函数，y的最小值为______，此时，______． （2）当时，的最小值为______，此时，______． （3）如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点 （1）求直线的解析式和线段，的长． （2）在线段上有一动点不与点，重合，过点作轴于点，于点，以，为邻边作 ①求的周长． ②当为菱形时，直接写出点的坐标． 25. 综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了以下的数学活动． （1）如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”填“是”或“不是” （2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与相交于点判断四边形是否是“垂美四边形”，并请说明理由． （3）在（2）的条件下，正方形的边长为，正方形的边长为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 第33届夏季奥林匹克运动会上，中国体育健儿展现了强大的中国自信与中国力量，共获得40枚金牌．下列体育运动图标中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项符合题意； B．是中心对称图形，故B选项不合题意； C．是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A． 2. 已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，观察数轴可知：，A、B选项均根据不等式的性质判断正误即可；C选项根据有理数的乘法法则进行计算即可；D．根据有理数的加减法则进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：， A．，，此选项的判断错误，故此选项不符合题意； B．，，此选项的判断错误，故此选项不符合题意； C．，，，此选项的判断正确，故此选项符合题意； D．，，，此选项的判断错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解的定义，是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】A. ，左边是单项式，因式分解对象应为多项式，不符合定义． B. ，属于整式乘法，与因式分解方向相反，不符合． C. ，右边为乘积与常数项的和，未完全转化为积的形式，不符合． D. ，左边是多项式，右边为两个一次整式的乘积，符合平方差公式，属于因式分解． 故选：D． 4. 若m－n＝2，则代数式的值是（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：原式• ＝2（m-n）， 当m-n＝2时，原式＝2×2＝4． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 5. 下列说法正确的是（　　） A. 对角线互相垂直平分的四边形的正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊的平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形的菱形，故A错误； 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B错误； 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故C错误； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形，解题的关键是正确理解特殊平行四边形的性质，本题属于基础题型． 6. 已知关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将增根代入整式方程，进行求解即可． 此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念，准确计算是解题关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 整理得， ∴ ， ∵ 方程有增根，且增根为 ， ∴ ， 解得：， ∴ ， 故k的值为， 故选：B． 7. 如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先根据三角形内角和定理计算出，再根据旋转的性质得到，接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，然后计算即可． 【详解】解：在中， ，， ， 绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上， ， ， ， ． 故选：C． 8. 如图，在ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到DF=5，由三角形中位线的性质得到DE=8，最后由线段的和差解题即可． 【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点， ∴DF= AB=5， ∵BC= 16，D、E分别是AB，AC的中点， ∴DE=BC=8， ∴EF=DE-DF=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键． 9. 如图，在边长为2的菱形中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， ， ． 故选：A． 10. 在矩形中，，，点E、F分别是边，上的动点，且，则的最小值为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，连接，根据矩形的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，要求的最小值，即求的最小值，作D点关于的对称点，连接交于E，则的值最小，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 要求的最小值，即求的最小值， 作D点关于的对称点，连接交于E， 则的值最小， ，， ，， ， 即的最小值为， 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】要使分式有意义，则分母，解得． 故答案为：． 12. 分解因式： _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查提公因式进行因式分解，找出多项式中各项的公因式是解题的关键． 13. 正六边形和正方形如图所示摆放，连接，则图中的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，等腰三角形的判定与性质，求出，是解题的关键．根据正多边形的每条边都相等，每个角都相等得出，，，，继而得出，，即可求出的度数． 【详解】解：多边形是正六边形， ，， 多边形是正方形， ，， ，， ， 故答案为：． 14. 如图，点坐标为，点为坐标原点，线段沿轴向右平移得到线段，连接，若四边形的面积为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移及平行四边形的面积，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质及四边形的面积，得出平移的距离，据此得出点坐标即可． 【详解】解：由平移可知， ，， 所以四边形是平行四边形． 又因为点坐标为， 所以， 则， 所以点坐标为 故答案为： 15. 如图，在菱形中，，点和分别是和上一点，沿将折叠，点恰好落在边的中点上．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．作交的延长线于点，由，求得，则，所以，，由菱形的性质得，则，由折叠得，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，则， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，，点为的中点， ， ， 由折叠得， ，且， ， 解得， ， ， 故答案为： 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 16. 先化简，再求值：（）∙，其中x=2． 【答案】，8 【解析】 【分析】先计算括号中的异分母分式减法，再计算乘法，最后代入字母的值计算即可． 【详解】解：原式= = = 当x=2时，原式=2×2+4=8． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 四、解答题：本题共9小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算 （1）因式分解：； （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，因式分解，熟练掌握解方程及因式分解的方法是解题的关键． （1）提公因式后再利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原方程去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 18. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】，它的所有正整数解为1， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为， 它的所有正整数解为1， 19. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到边平行且相等的关系，进而推出三角形全等，从而证明线段相等．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行以及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； （2）若和关于原点成中心对称，画出； （3）在轴上找一点，使得的面积等于的面积，直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，一次函数的平移以及待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）延长交轴于点，此时点即为满足题意的点，可得点的坐标为；过点作的平行线，与轴相交于点，待定系数法求得直线的解析式，进而得出的解析式，令，可得点的坐标，进而可得答案． 【小问1详解】 如图，即为所求． 【小问2详解】 如图，即为所求． 【小问3详解】 延长交轴于点，可得点的坐标为； ∵ ∴此时的面积等于的面积， 过点作的平行线，与轴相交于点， 此时的面积等于的面积， 设的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴的解析式为 设直线的解析式为代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： 点的坐标为 综上所述，点的坐标为或 21. 如图，在中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接、、、 （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，即可求，即可求解； （2）由勾股定理可求，再由勾股定理可求的长． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 22. 在年月份举办的第九届世界无人机大会上，众多企业展示了新型无人机，其中、两款无人机备受关注．已知款无人机比款无人机每架多万元，用万元购买款无人机与用万元购买款无人机的数量相等． （1）求、两款无人机的单价各是多少？ （2）某企业打算购买、两款无人机共架，且款无人机的购买数量不少于款无人机购买数量的倍，求该企业购买多少架款无人机时花费最少？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）万元，万元 （2）， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）设款无人机的单价为万元，则款无人机的单价为万元，根据题意列关于的分式方程并求解即可； （2）设该企业购买架款无人机，则购买架款无人机，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，设总花费元，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时值最小，求出其最小值即可． 【小问1详解】 解：设款无人机的单价为万元，则款无人机的单价为万元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， 万元 答：款无人机的单价为万元，款无人机的单价为万元． 【小问2详解】 设该企业购买架款无人机，则购买架款无人机． 根据题意，得， 解得， 设总花费万元，则， ， 随的增大而增大， ， 当时值最小， 答：该企业购买架款无人机时花费最少，最少费用是万元． 23. 【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 （1）函数，y的最小值为______，此时，______． （2）当时，的最小值为______，此时，______． （3）如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 【答案】（1）6；3； （2）；； （3）10； 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、配方法的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为6，进而可以判断得解； （2）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为，进而可以判断得解； （3）依据题意，由米，则米，则篱笆的总长度，又，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为40，最后可以判断得解． 【小问1详解】 由题意，当时，， ，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：6； 【小问2详解】 由题意，当时， ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：； 【小问3详解】 由题意，米，则米， 篱笆的总长度 ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 答：当这个矩形花园的宽为米时，所用的篱笆的总长度最短，最短为米． 故答案为：； 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点 （1）求直线的解析式和线段，的长． （2）在线段上有一动点不与点，重合，过点作轴于点，于点，以，为邻边作 ①求的周长． ②当为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为；， （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①连接，利用等积法求出； ②由①可得，则是的中位线，求出，设，再由，求出的值即可求点坐标． 【小问1详解】 解：将点代入， ， ， 直线的解析式为； 直线与轴的交点为， ∴ ， 直线与轴的交点为， ； 【小问2详解】 ①连接， ， ， ， 的周长； ②四边形是菱形， ， ， ， 将代入得 ， ， 设， ， 解得， ， 25. 综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了以下的数学活动． （1）如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”填“是”或“不是” （2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与相交于点判断四边形是否是“垂美四边形”，并请说明理由． （3）在（2）的条件下，正方形的边长为，正方形的边长为，求的长． 【答案】（1）是 （2）四边形是“垂美四边形”，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，通过勾股定理得出“垂美四边形”四边的关系是本题解题的关键． （1）根据垂直平分线的判定得出垂直平分即可得出结论； （2）根据四边形和四边形为正方形，推出和全等，再根据三角形内角和定理得出为直角即可判断； （3）根据勾股定理求出，，，在四边形中，对四个直角三角形列出勾股定理等式，通过变形即可得到的长． 【小问1详解】 ，， 为的垂直平分线， ， 四边形是“垂美四边形”； 故答案为：是； 【小问2详解】 四边形是“垂美四边形”，理由如下： 以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形， ，，，， ， ， ， ， ， 四边形是“垂美四边形”； 【小问3详解】 ，， ，，， 由勾股定理可得：，，，， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $