精品解析：广东河源市2025-2026学年普通高中供题训练高一数学

2025—2026学年普通高中供题训练 高一数学 2026.07 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得. 2. 已知复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式后由充分必要条件的概念即可求解. 【详解】解得， 可以推出，但不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以仅有1个零点. 5. 若空间中三条不同的直线，，满足，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. ，既不垂直也不平行 D. ，的位置关系不确定 【答案】D 【解析】 【分析】通过作正方体将直线转化为正方体的边，并结合垂直的判定与性质寻找符合条件的不同情况即可求解. 【详解】如图， 若，此时满足，，则， 若，此时满足，，则 取的中点，因为，所以平面， 因为平面，所以，易得， 且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 此时，此时满足，，则，既不垂直也不平行， 综上，，的位置关系不确定. 6. 已知平面向量，将绕起点顺时针旋转角得到向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将顺时针旋转转化为负角，再利用正弦奇函数、余弦偶函数的性质直接得出新向量的坐标. 【详解】由题意得. 7. 已知的面积是，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据面积求出或，分两种情况，由余弦定理得到答案 【详解】，即，解得， 因为，所以或， 当时，， 当时，， 经检验，均满足要求，故或. 8. 已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令求出，由题中所给等式通过取特殊值可分别求出、，相加即可. 【详解】令，得，解得， 令，得，所以， 由题意知，所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关系式与化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由三角函数诱导公式结合三角函数恒等变换依次验证选项即可. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误. 10. 如图，正八面体的八个面都是正三角形，且四边形是边长为4的正方形，则（ ） A. 该几何体的所有顶点在同一个球面上 B. 直线与是异面直线 C. 直线平面 D. 该几何体的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正八面体对称的特征，寻找中心求出外接球半径以验证球面，借助截面内的平行四边形与空间直线定义判定线面关系，并将其拆分为两个正四棱锥的组合体来计算总体积. 【详解】设正方形的中心为，因为是正八面体，连接，点在直线上， 连接也交于点，且平面，， 则， 且，且， 所以， 所以该几何体的所有顶点在同一个球面上，故A正确， 若直线与共面，则四点共面，则直线与共面， 但平面，而平面且不经过中心，所以与是异面直线， 即直线与是异面直线，故B正确， 因为且，所以是平行四边形，则， 因为平面，且平面，所以平面，故C正确， 该正八面体可以看作是两个完全相同的正四棱锥拼接而成， 底面的面积，高，则， 则整个正八面体的体积，故D错误. 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最小值为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 当为偶数时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查三角函数的图象与性质，通过化简函数表达式，结合对称性、单调性、最值判断方法逐项分析即可． 【详解】对于A，， 当，即时，取最小值，A正确； 对于B， 因为 ， 所以函数的图象关于直线对称，B正确； 对于C， ， 令，得， 开口向下，对称轴为，所以在上单调递减， 在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”得在区间上单调递减，C错误； 对于D，当为偶数时，，， 当时，或，此时， 当为偶数时，的最大值在时取到，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在一次射击选拔赛中，某选手射击次，命中的环数分别为，则该选手这次射击成绩的方差为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先计算次射击成绩的平均数，再根据方差的定义公式计算结果即可． 【详解】平均数， 方差． 13. 已知函数是定义域上的奇函数，则的值为__________． 【答案】##0.5 【解析】 【详解】令得，故定义域为， 因为是定义域上的奇函数，所以， 即， 故，所以. 14. 在中，已知，，，连接，交于点，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合向量的线性表示以及向量数量积的运算可得，由三点共线的性质可得，分别表示出， ，结合向量模和夹角的运算公式求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 化简得：， 因为，所以， 所以，即 设， 因为三点共线，且，所以， 因为三点共线，且，所以， 则，解得：， 所以， 由于， ， 所以， 即 ， 所以， ， 所以， 因为，则， 所以， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数． （1）判断函数奇偶性并证明； （2）用单调性定义证明：函数在上单调递增． 【答案】（1）为奇函数，证明如下. （2）证明如下. 【解析】 【分析】(1)用奇函数的性质证明即可. (2)用定义证明单调性即可. 【小问1详解】 为奇函数； 证明：由题意知的定义域关于原点对称， 且，故得证； 【小问2详解】 证明：设任意的， 则因为， 所以， 故函数在上单调递增 16. 某中学为了解高一年级学生的身高情况，采用分层抽样的方法从高一年级男生和女生中抽取一个容量为100的样本进行调查．已知高一年级男生有600人，女生有400人． （1）求抽取的男生和女生的人数； （2）将样本中100名学生的身高（单位：）数据整理后，得到的频率分布直方图如图： （ⅰ）估计高一年级全体学生身高在内的人数； （ⅱ）估计高一年级全体学生身高的第60百分位数（结果保留一位小数）． 【答案】（1）男生60人，女生40人 （2）（ⅰ）500；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用分层抽样比列式求解. （2）（ⅰ）由给定的频率分布直方图求出指定区间的频率，进而求出频数；（ⅱ）利用第60百分位数的意义求解. 【小问1详解】 高一年级男生有600人，女生有400人，利用分层抽样的方法抽取容量为100的样本中， 抽取的男生人数为，抽取的女生人数为. 【小问2详解】 （ⅰ）由频率分布直方图，得身高在内频率为， 所以高一年级全体学生身高在内的人数约为. （ⅱ）身高在内的频率为，在内的频率为， 学生身高的第60百分位数，因此，解得， 所以高一年级全体学生身高的第60百分位数约为. 17. 如图，在平行四边形中，，，点为线段的中点，点为线段上的动点（含端点）． （1）求； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 如图，过作,以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系, ，则，，过作交于, ，则,，所以 所以,所以, ,所以； 【小问2详解】 ，，由，，得 为中点，故。 点在线段上，纵坐标恒为，设，其中， ，因为， 又在上单调递减， 所以当，，，，所以 故的取值范围为. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，点为的内心，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和的正弦公式展开，再通过正弦定理把边化角求解；（2）利用余弦定理和基本不等式综合求解. 【小问1详解】 得， 由正弦定理，得 由三角形内角和， 故 ，得 整理得： 因为，，两边同除以得 得，又，因此； 【小问2详解】 已知，，由余弦定理得，即，所以 由基本不等式，得，当且仅当取等号，所以 所以，所以，当且仅当取等号， 又，所以 设内切圆半径为，则的面积为 ，所以，所以 设，则，则， 设，则在上单调递增，当，取得最小值为， 所以， 从而，即 从而， 则的面积，所以面积的最大值为. 19. 如图，已知三棱锥的体积为，是边长为4的等边三角形，，点，分别是棱，上的动点，当时，平面平面． （1）证明：平面； （2）当三棱锥的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）因为， 所以，因此，取中点，如图， 连接，则， 又平面平面，平面平面平面，所以平面， 而平面，因此， 故，解得， 又，， 因此， 由余弦定理可知，，所以， 由余弦定理可知，， 由，得， 同理可得，， 又平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，根据面面垂直的性质定理得，再结合余弦定理和勾股定理逆定理得，最后利用线面垂直的判定即可证明； （2）设，再利用体积比得，再根据余弦定理和换元法即可得到线面角范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记，则， 另一方面，设点到平面的距离为，， 因此， 由余弦定理可得， 由（1）知，由余弦定理得， 因此， 注意到： ， 将代入得：， 又， 故， 设，则， ，由得， 因此，而在上单调递增， 故，设到平面的距离为， 则，得， 设与平面所成的角为， 则． 故直线与平面所成的角的正弦值的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年普通高中供题训练 高一数学 2026.07 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 若空间中三条不同的直线，，满足，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. ，既不垂直也不平行 D. ，的位置关系不确定 6. 已知平面向量，将绕起点顺时针旋转角得到向量，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的面积是，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关系式与化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正八面体的八个面都是正三角形，且四边形是边长为4的正方形，则（ ） A. 该几何体的所有顶点在同一个球面上 B. 直线与是异面直线 C. 直线平面 D. 该几何体的体积为 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最小值为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 当为偶数时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在一次射击选拔赛中，某选手射击次，命中的环数分别为，则该选手这次射击成绩的方差为_____． 13. 已知函数是定义域上的奇函数，则的值为__________． 14. 在中，已知，，，连接，交于点，若，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数． （1）判断函数奇偶性并证明； （2）用单调性定义证明：函数在上单调递增． 16. 某中学为了解高一年级学生的身高情况，采用分层抽样的方法从高一年级男生和女生中抽取一个容量为100的样本进行调查．已知高一年级男生有600人，女生有400人． （1）求抽取的男生和女生的人数； （2）将样本中100名学生的身高（单位：）数据整理后，得到的频率分布直方图如图： （ⅰ）估计高一年级全体学生身高在内的人数； （ⅱ）估计高一年级全体学生身高的第60百分位数（结果保留一位小数）． 17. 如图，在平行四边形中，，，点为线段的中点，点为线段上的动点（含端点）． （1）求； （2）求的取值范围． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，点为的内心，求面积的最大值． 19. 如图，已知三棱锥的体积为，是边长为4的等边三角形，，点，分别是棱，上的动点，当时，平面平面． （1）证明：平面； （2）当三棱锥的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $