精品解析：广东省河源市2024-2025学年高一下学期教学质量检测数学试题

2024-2025学年第二学期普通高中非毕业班教学质量检测 高一数学 2025.6 本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卡上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数= （ ） A. i B. -i C. l D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则求解即可． 【详解】 故选B 点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用，属于基础题. 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可求. 【详解】，. 故选：C. 3. 把函数图象上的所有点往右平移个单位长度，得到图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数平移前后解析式的变化可求. 【详解】往右平移个单位长度后得到. 故选：A. 4. 已知为第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式，结合为第四象限角即可求. 【详解】，， 又为第四象限角，，. 故选：C. 5. 如图，与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由绕旋转一周形成的面所围成的几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，利用柱体与锥体的体积公式求解即可. 【详解】与直线在同一平面，垂直于，， 则绕旋转一周形成的面所围成的几何体是如图所示的一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥， 圆柱与圆锥的底面半径都等于，高都等于， 所以该几何体体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积： ， 故选：B. 6. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校学生每周体育运运时间的情况，甲同学从男生中用简单随机抽样的方法调查了200人，得到每周体育运动时间的平均值为；乙同学从女生中用简单随机抽样的方法调查了100人，得到每周体育运动时间的平均值为，则下列哪个数值作为全校学生每周体育运动时间的估计值最合理（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率平均数计算公式计算即可. 【详解】因为甲同学从男生中用简单随机抽样的方法调查了200人，得到每周体育运动时间的平均值为， 则可认为学校男生800人每周体育运动时间的平均值为， 乙同学从女生中用简单随机抽样的方法调查了100人，得到每周体育运动时间的平均值为， 则可认为学校女生600人每周体育运动时间的平均值为， 而全校男生占总人数的，女生占总人数的， 故全校学生每周体育运动时间的估计值最合理的是. 故选：D 7. 在中，内角所对的边分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理，由边化角，根据三角形内角和以及两角和的正弦公式，化简等式，依据辅助角公式求出结果. 【详解】由题意得， 因为，所以， 代入得， 化简得， 化简得，得， 得， 因为，所以， 所以，解得. 故选：C. 8. 如图，在梯形中，，， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用坐标法建系，写出坐标，再用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】 如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，， ，， 设，，，解得， ，，. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于正方体，下列说法正确的是（ ） A. 正方体内切球的直径等于正方体的棱长 B. 正方体外接球的直径等于的长 C. 与正方体的各条棱所成的角不全相等 D. 与正方体的各个面所成的角不全相等 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正方体的性质结合线线角、线面角可逐一判断. 【详解】对于A、B，正方体内切球的球心到正方体各面的距离相等，等于棱长的一半；正方体外接球的球心到各顶点的距离相等，等于正方体体对角线的一半.故正方体内切球的直径等于正方体的棱长，正方体外接球的直径等于的长，故A、B正确； 对于C、D，设正方体的棱长为，,, 如图，由题意知与棱所成的角分别为, 与面，面，面所成的角分别为，， 因为，所以与棱所成的角相等； 因为，所以与面，面，面所成的角相等， 因正方体的相对的棱互相平行；相对的面互相平行，所以与正方体的各条棱所成的角都相等；与正方体的各个面所成的角都相等.故CD不正确. 故选：AB. 10. 2025年4月23日，在第四届全民阅读大会上正式发布了2024年度中国数字阅读报告.统计了我国近五年数字阅读用户规模和网民规模数据，如图所示，则（ ） A. 2024年，我国数字阅读用户规模占网民规模的五成以上 B. 近五年，我国数字阅读用户规模的增长量比网民规模的增长量大 C. 从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模逐年递增 D. 从2020年至2024年，我国网民规模的增长率逐年递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据条形图，逐项判断即可. 【详解】对于A，根据条形图，2024年，我国数字阅读用户规模为6.7亿，网民规模为11.1亿，数字阅读用户规模约占网民规模的，故A正确； 对于B，近五年，我国数字阅读用户规模的增长量为亿，网民规模的增长量为亿， 数字阅读用户规模的增长量大于网民规模的增长量，故B正确； 对于C，根据条形图，可以看出，从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模在逐年递增，故C正确； 对于D，根据条形图，从2020年至2021年，我国网民规模的增长率为， 从2023年至2024年，我国网民规模的增长率为，增长率减小了，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知平面向量满足，则（） A. B. C. 的取值范围为 D. 的最大值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，题目条件可转化为，.对于B，对条件进行平方即可求解；对于A，先求平方再开方，结合A即可求解；对于C，通过分析可知点在以的中点为圆心，为半径的圆上，数形结合即可判断CD. 【详解】令，则，， 对于B，，，即，即，故B错误； 对于A，，故A正确； 对于C，如图所示，设，的中点为，则， 则， 即，解得， 点在以的中点为圆心，为半径的圆上， 当点与点或重合时，取得最小值为， 由B可知，所以， 当且仅当时等号成立，由上图可知，当时，有， 故的最大值为，故的取值范围为，故C正确； 对于D，， ，， ， 当点与点重合时，取最小值，为， ，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分. 12. __________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数模的公式计算即可 【详解】， 故答案为：5. 13. 已知向量，且的夹角为，则向量在上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义可求得，利用，可求得量在上的投影向量的坐标. 【详解】因为，所以，又，且的夹角为， 所以， 所以向量在上的投影向量为. 所以向量在上投影向量的坐标为. 故答案为：. 14. 已知三棱锥的体积为74，底面中，内角所对的边分别为.当时，到平面的距离为__________；当时，到平面距离的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出面积，再由棱锥的体积公式求到平面的距离；应用三角形面积公式及同角三角函数平方关系、余弦定理可得，结合，变换主元并结合二次函数性质求面积最大值，注意等号成立条件，最后应用棱锥体积公式求到平面距离的最小值. 【详解】令到平面距离为，且， 当，则为等边三角形，故， 所以，可得， 当，由， 所以 ， 由 ， 综上，，，时，取等号， 所以，故最小. 故答案为：， 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间距离为. （1）求的值： （2）若，且，求值； 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据函数图象性质即可求解参数的值； （2）由（1）中结论结合得，再根据由两角和的余弦公式结合同角三角函数关系即可求解. 【小问1详解】 ， 因为的相邻两条对称轴之间距离为， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可得，则， 所以， 又，所以，所以， 所以. 所以 16. 如图，在直三棱柱中，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，可证平面，从而可得结论； （2）由题意可得是二面角的平面角，求解即可. 小问1详解】 因为是直三棱柱，所以 又已知，所以， 又因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面，且平面， 又由（1）知，所以是二面角的平面角， 在中，， 在中，， 由图可知是锐角，所以， 即平面与平面所成二面角为. 17. 某果园2024年苹果产量约为100吨，通过抽样，按照苹果的横径大小（单位：），将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）估计该批苹果横径不小于90的频率和苹果横径的上四分位数（即第75百分位数）； （2）若该批苹果销售有两个方案，方案一：全部苹果按每吨3000元销售；方案二：分级销售，分级销售的价格表如下.假设苹果均可以全部售完，哪一种方案的销售总额更高？ 品级 65苹果 75苹果 85苹果 精品苹果 苹果横径大小 价格（元/吨） 2000 3000 3500 4000 【答案】（1）横泾不小于90的频率为0.4，上四分位数为96. （2）方案二的总销售额格更高，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求得该批苹果横径不小于90的频率，设苹果横径的上四分位数，由题意知，再列式即可求得的值； （2）根据分级销售的价格求出方案二总收入的平均值的估值并与方案一的销售总额比较，即可得答案. 【小问1详解】 根据题意得，该批苹果横径不小于90的频率为， 设苹果横径的上四分位数，由题知， 所以， 解得.所以苹果横径的上四分位数为96. 【小问2详解】 方案一：按每吨苹果3000元销售，则销售总额为元. 根据方案二，各类苹果价格的频率分布表如下 品级 65苹果 75苹果 85苹果 精品苹果 苹果横径大小 价格（元/吨） 2000 3000 3500 4000 频率 0.1 0.15 0.35 0.4 每吨苹果售价的平均值的估计值为. 所以该批苹果的总销售收入为（元）. 由于，所以方案二的总销售额格更高. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，点是的中点.点到平面的距离为. （1）证明：平面； （2）若，平面平面，且交面于，求； （3）若与平面所成角为，求直线到平面的距离的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）取PA的中点，证明，再由线面平行的判定即可证得平面. （2）由（1）所得结论，利用线面平行的性质可得，由题意可知平面，从而，利用中点结合平面几何知识可求，进而求得. （3）过点作的垂线，垂足为，连接，由题意为与平面所成角.由平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 由得，即得直线到平面的距离的最小值. 【小问1详解】 设点为的中点，连接. 因为为中点，所以，且 根据题意可知，且. 从而可得，且. 即可得四边形为平行四边形. 即可得平面平面. 所以平面； 【小问2详解】 由第（1）问可知平面平面，平面平面. 所以，因为交面于，所以直线与直线重合，即可得. 在中，点是的中点，所以. 由第（1）问可知. 又点到平面的距离为，且，所以平面， 而平面，所以. 在中，，根据勾股定理可得. 从而可得. 【小问3详解】 过点作的垂线，垂足为，连接. 因为平面平面，平面平面，所以平面， 所以为与平面所成角. 由题意可得.在中，，所以. 从而可得.点到平面的距离为. 所以，从而可得的最小值为1，即点到平面的距离的最小值为1. 由第（1）问可知平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 故直线到平面的距离的最小值为1. 19. 如果一个四边形的四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边均在其同侧，则称该四边形为凸四边形.如图，在凸四边形中，和的面积分别为和. （1）若，求四边形的面积； （2）求的取值范围； （3）求的最大值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得，利用余弦定理可求得，进而求得，的面积，可得四边形的面积； （2）由三角形的三边关系可得，但三点共线，利用余弦定理可求得，从而可得的取值范围； （3）法一：在，中，由余弦定理可得，又，代入可求得取得最大值；法二：设，则，即，在中，过点作，垂足为，进而可得，利用二次函数的性质求得最大值即可. 【小问1详解】 若，在中，，所以， 所以的面积为 在中，，所以， 所以的面积为. 所以四边形的面积为. 【小问2详解】 显然，且，即； 如图，当三点共线时，， 满足，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 在中，由余弦定理可得 在中，由余弦定理可得， 所以，整理得， 所以 由（2）可知，所以当时，取得最大值，最大值为 解法二：设，则，即， 在中，过点作，垂足为， 则为中点，， 所以 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 当，即时，取得最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期普通高中非毕业班教学质量检测 高一数学 2025.6 本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卡上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数= （ ） A. i B. -i C. l D. -1 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. 2 D. -2 3. 把函数图象上的所有点往右平移个单位长度，得到图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校学生每周体育运运时间的情况，甲同学从男生中用简单随机抽样的方法调查了200人，得到每周体育运动时间的平均值为；乙同学从女生中用简单随机抽样的方法调查了100人，得到每周体育运动时间的平均值为，则下列哪个数值作为全校学生每周体育运动时间的估计值最合理（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角所对的边分别为，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在梯形中，，， ，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于正方体，下列说法正确的是（ ） A. 正方体内切球的直径等于正方体的棱长 B. 正方体外接球的直径等于的长 C. 与正方体各条棱所成的角不全相等 D. 与正方体的各个面所成的角不全相等 10. 2025年4月23日，在第四届全民阅读大会上正式发布了2024年度中国数字阅读报告.统计了我国近五年数字阅读用户规模和网民规模数据，如图所示，则（ ） A. 2024年，我国数字阅读用户规模占网民规模的五成以上 B. 近五年，我国数字阅读用户规模的增长量比网民规模的增长量大 C. 从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模逐年递增 D. 从2020年至2024年，我国网民规模的增长率逐年递增 11. 已知平面向量满足，则（） A. B. C. 取值范围为 D. 的最大值为5 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分. 12. __________. 13. 已知向量，且的夹角为，则向量在上的投影向量的坐标为__________. 14. 已知三棱锥的体积为74，底面中，内角所对的边分别为.当时，到平面的距离为__________；当时，到平面距离的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间距离为. （1）求的值： （2）若，且，求的值； 16. 如图，直三棱柱中，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小. 17. 某果园2024年苹果产量约为100吨，通过抽样，按照苹果横径大小（单位：），将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）估计该批苹果横径不小于90的频率和苹果横径的上四分位数（即第75百分位数）； （2）若该批苹果销售有两个方案，方案一：全部苹果按每吨3000元销售；方案二：分级销售，分级销售的价格表如下.假设苹果均可以全部售完，哪一种方案的销售总额更高？ 品级 65苹果 75苹果 85苹果 精品苹果 苹果横径大小 价格（元/吨） 2000 3000 3500 4000 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，点是的中点.点到平面的距离为. （1）证明：平面； （2）若，平面平面，且交面于，求； （3）若与平面所成角为，求直线到平面的距离的最小值. 19. 如果一个四边形四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边均在其同侧，则称该四边形为凸四边形.如图，在凸四边形中，和的面积分别为和. （1）若，求四边形的面积； （2）求的取值范围； （3）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $