精品解析：山东潍坊市2025-2026学年高一下学期学业质量评价数学试题

高一下学期学业质量评价 数学试题 2026.7 注意事项： 1.答题前、考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束、考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若为终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由终边上一点求出，再利用化简即可. 【详解】由题意，点在角的终边上，则,所以. 又因为，所以，. 因此. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行可知对应坐标成比例，故可由求得. 【详解】因为，，且，所以对应坐标成比例，得。解得，所以应选A. 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知三角形的两边及两边的夹角，直接利用余弦定理求解第三边. 【详解】由题，在中，，，，， 由余弦定理可得，即  ， 故，即. 5. 函数，的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦函数的性质，令， 所以，又， 所以函数在内的单调递减区间为. 6. 如图，某地水文监测站为测量河道对岸两处观景台M，N之间的直线距离，监测人员在河道同侧选取两个观测点A、B，测得AB=12m，在A处测得，，在B处测得，，则观景台M、N之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得四点共圆，从而可得三角形为顶角为的等腰三角形，据此可得答案. 【详解】因，则四点共圆，从而. 由题可得，结合，， 可得，.又，可得， 则为等腰三角形，. 7. 已知矩形中，，，且交于点，若，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】设，以这两个向量为基底， ，故点位于上靠近的四分之一处， ，故， . 在上，， 在上，， 同时，. 即， 则. 8. 已知关于的方程在区间上有唯一实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦和余弦的二倍角公式，结合同角的三角函数关系式、换元法、对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】， 令，因为，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以当时，， 因为关于的方程在区间上有唯一实根， 所以有，因此的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 若为纯虚数、则实数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的模、几何意义、共轭复数、纯虚数的相关知识，逐一判断选项. 【详解】 对于A：，A错误； 对于B：复数在复平面内对应的点坐标为，横坐标为正、纵坐标为负，位于第四象限，B正确； 对于C：由共轭复数的定义可知，C正确； 对于D：，若为纯虚数，则，解得，D错误. 10. 已知函数的部分图象如图所示.则（ ） A. B. 的最小正周期为2π C. 当函数为偶函数时，的最小值为 D. 当在区间上恰有三个零点时，的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：由分析求解即可；对于B：由结合图象分析求解；对于CD：由函数的图象可求出，然后分析判断． 【详解】对于A：由图知，，得，而，得，故A项正确； 对于B：由，得， 由图知，点在单调减区间上，则， 得， 而，得，得，故， 则的最小正周期为，故B项错误； 对于C：：对于由，得， 当函数为偶函数时， 得，得， 当时，取得最小值为，故C项正确； 对于D：，由，得， 当在区间上恰有三个零点时，得， 得，故D项正确． 11. 在锐角中，，则（ ） A. 当时， B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用正弦定理得；B利用倍角公式；C利用化简；D利用余弦定理和，结合对勾函数求范围. 【详解】设所对的边为， 因为以及正弦定理得， 若，则， 则，则，故A正确； ，故B正确； 因为为锐角三角形，所以，则， 得，故C错误； 因为， 因为在上单调递减，在上单调递增， ， 所以，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，在上的投影的数量为，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设结合投影的数量计算方式可得答案. 【详解】由题可得，，又， 则. 13. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据三角函数图像平移的“左加右减”规则，写出平移后得到的函数表达式.利用三角函数诱导公式，将平移后的正弦型函数转化为余弦型函数，与题目给出的形式对比，得到和的关系式.将代入的相位，令其等于（），建立关于的方程.结合的条件，选取合适的整数，求出的最小值. 【详解】根据三角函数平移“左加右减”规则，将向左平移个单位，得：  由诱导公式，得： ， 即，符合题目要求. 余弦函数在对称轴处相位满足，将对称轴代入得：   整理得：. 由，取，得的最小值为 14. 已知函数，则的最大值为______；若图象上相邻最高点与最低点的距离为，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过讨论和去掉绝对值求解，利用正弦函数和余弦函数的图像和性质得到的最大值.求出的最小正周期和值域，得到最高点取时，相邻的最低点为，由相邻最高点与最低点的距离得到的等式，解得的值. 【详解】， 当时，即时， 解得，即时， ， 当时，即时， 解得，即时， ， 所以， 因为的最大值为，的最大值为， 所以的最大值为. ， 的最小正周期为， 当时， 因为， 所以， 所以，所以， 当时， 因为， 所以，所以， 当最低点取时，相邻的最高点为或， 因为相邻最高点与最低点的距离为， 所以，所以. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦二倍角公式和同角关系式弦化切，再代入求值. （2）先利用两角和正切公式求，再根据范围求. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 因为，所以，因此. 16. 已知向量，满足，. （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的运算律得，结合已知求数量积； （2）利用垂直关系及数量积的运算律求得，，再应用向量数量积的运算律求与的数量积和模长，最后应用夹角公式求余弦值. 【小问1详解】 由，可得， 【小问2详解】 由题设，得， 结合 ，得， 设与的夹角为，则， ， ， ， 所以. 17. 记的内角的对边分别为．已知，，． （1）求； （2）设的角平分线交于点． （i）求； （ⅱ）若点满足，，，求． 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和诱导公式求出，再通过余弦定理算出边长，发现后再次用余弦定理求得； （2）（i）依据三角形面积公式求出长度，在中结合，用余弦定理计算；（ⅱ）以为原点建平面直角坐标系，写出坐标与向量，根据向量关系表示横坐标，由得横坐标相等列方程解出． 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理得，得， 所以，， 所以． 【小问2详解】 （i） ， 因为的角平分线交于点， 所以，即， 因为，所以， 所以， 又，所以，， 在中，，由余弦定理得， 所以； （ⅱ） 如图，以为原点，为轴正方向建系，则， 由，，得，，， 所以， 因为在上，且，所以，， 设，所以 由，得， 解得，，即 因为且在轴上，所以， 即，解得． 18. 已知函数. （1）若，； （i）求； （ⅱ）若对，成立，求的最小值； （2）已知函数，若对，，使得，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用两角和差公式和辅助角公式化简，结合三角函数求值； （ⅱ）令，利用参变分离求最值； （2）先求两个函数的值域，将问题转化为值域的包含关系求解. 【小问1详解】 ， （i），则， 因为，所以，则，得； （ⅱ）对，成立， 则对，成立， 因为，所以， 则对，成立， 令，则， 则对，成立， 因为在上单调递增，所以，则， 故的最小值为； 【小问2详解】 若，则，所以， 若，则， 因为对，，使得， 所以或或， 则或 或， 得或或， 综上，的取值范围为. 19. 已知向量，，记，. （1）若，求，； （2）设，证明：； （3）设为正实数，函数的最大值为，若的值域为D，当时，，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）因为， 要证，只需证 因为 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意及数量积的公式计算得结果； （2）分析法证明得证结论； （3）化简，分析最大值，结合值域条件计算得到参数的范围； 【小问1详解】 若，， ，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为 且， 所以 因为，所以 因为，所以 所以 其中， 因此，是关于的一次单调递增函数， 故， 所以，因为， 故， 所以 结合，解得，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期学业质量评价 数学试题 2026.7 注意事项： 1.答题前、考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束、考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若为终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数，的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某地水文监测站为测量河道对岸两处观景台M，N之间的直线距离，监测人员在河道同侧选取两个观测点A、B，测得AB=12m，在A处测得，，在B处测得，，则观景台M、N之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知矩形中，，，且交于点，若，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知关于的方程在区间上有唯一实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 若为纯虚数、则实数 10. 已知函数的部分图象如图所示.则（ ） A. B. 的最小正周期为2π C. 当函数为偶函数时，的最小值为 D. 当在区间上恰有三个零点时，的取值范围是 11. 在锐角中，，则（ ） A. 当时， B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，在上的投影的数量为，则_______. 13. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为_______. 14. 已知函数，则的最大值为______；若图象上相邻最高点与最低点的距离为，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求； （2）求. 16. 已知向量，满足，. （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值. 17. 记的内角的对边分别为．已知，，． （1）求； （2）设的角平分线交于点． （i）求； （ⅱ）若点满足，，，求． 18. 已知函数. （1）若，； （i）求； （ⅱ）若对，成立，求的最小值； （2）已知函数，若对，，使得，求的取值范围. 19. 已知向量，，记，. （1）若，求，； （2）设，证明：； （3）设为正实数，函数的最大值为，若的值域为D，当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $