滚动训练(3)试题范围：1.1-1.4-2026-2027学年北师大版数学九年级上册周测卷

**基本信息** 聚焦四边形（正方形、菱形、矩形）的性质判定及折叠、旋转综合应用，通过基础辨析与探究题梯度设计，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|特殊四边形定义与性质（如正方形对角线垂直平分、矩形中点四边形）|基础概念辨析，结合图形直观| |填空题|5/15|特殊四边形计算（如菱形面积、正方形折叠线段长）|几何量计算，强化空间观念| |解答题|5/61|综合证明与探究（如正方形中四边形判定、旋转转化线段关系）|分层设计，融合推理与创新意识|

滚动训练3)试题范围：1.1-1.4 一、选择题：本大题共8小题，共24分。 1.下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是() A.平行四边形 B.正方形 C.菱形 D.矩形 2.顺次连接矩形各边的中点，所得的四边形一定是() A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,添加下列条件不能判定矩形ABCD是正方形的是 () D C 0 2 A.AB=BC B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠1=∠2 4.如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形ADE,则∠AEB的度数为() E D A.30 B.20 C.15 D.10 第1页，共1页 5.学习了四边形之后，王老师用如图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“”和 “N”分别表示() 四边形 平行四边形 矩形MN A.M表示菱形，N表示正方形 B.M表示正方形，N表示菱形 C.M表示正方形，N表示梯形 D.M表示菱形，N表示梯形 6.如图，在矩形纸片ABCD中，AC=6,点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角 线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA,则BC的长是() D B E C A.3V3 B.4 c.5 D.6 7,如图，将一边长为15的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E,使DE=8,折痕为PO,则 PQ的长为() D E C B A.15 B.16 C.17 D.18 第2页，共1页 8.如图，正方形ABCD的面积为24，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一 点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为() D E B A. B 2V6 C.3 2V3 D.6 二、填空题：本大题共5小题，共15分。 9.如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE.若AB=2,则AE的长为一 D B 10.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,BD=8,AC=4,则该菱形的面积是 B 第3页，共1页 11.如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF,若∠BEC=60, 则∠DFE的大小为口°. E 12.如图，在△ABC中，E是AC边的中点，点D,F分别在AB,DE上，且∠AFB=90°，AD=DF,若 AB=10,BC=16,则EF的长为一 E B 13.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为AD的中点，P为AB上的一个动点，则PE+PC的最小值 为一 A D B 三、解答题：本大题共5小题，共61分。 第4页，共1页 14.若正方形的边长为a,M是BC的中点，AE=2EM,则图中阴影部分的面积是多少？ D 15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，CE/1AD,AE/BC.求证：四边形ADCE 是菱形 B D 第5页，共1页 16如图，E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN. (1)求证：四边形EFMN是正方形； (2)若AB=7,AE=3,求四边形EFMN的周长. 17.在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点E是AB边上一点，连接CE,把△BCE沿CE折叠，使点B落 在点B处 E B B D B 图1 图2 (1)当点B在边CD上时，如图1所示，求证：四边形BCBE是正方形 (2)当点B在对角线AC上时，如图2所示，求BE的长. 第6页，共1页 18 图1 图2 图3 (1) 如图1，在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，且∠APB=150°，猜想PA,PB,PC三条线段之间有 何数量关系，并说明理由 小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 想法一，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△APB,连接PP,寻找PA,PB,PC三条线段 之间的数量关系； 想法二，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△APC,连接PP,寻找PA,PB,PC三条线段 之间的数量关系；…. 请参考小明同学的想法，补充图形，并完成该问题的解答过程（一种方法即可） (2)如图2，点P是正方形ABCD内一点，若∠APB=135°，PA,PB,PC三条线段之间又有何数量关系？ 请说明理由 (3)如图3，点P是正方形ABCD外一点，若PA,PB,PC三条线段满足“类比探究”中的数量关系，请 直接写出∠APB的度数. 第7页，共1页 答案和解析 1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】A 7.【答案】C 【解析】如图，过点P作PM⊥BC于点M, 由折叠得到PQ⊥AE,∴.∠DAE+∠APQ=90°， 又∠DAE+∠AED=90°，∴.∠AED=∠APQ. .'AD//BC,∴.∠APQ=∠PQM, ∴.∠PQM=∠APQ=∠AED .∠D=∠PMQ,PM=AD, △PQM≌△AED'PQ=AE=8+15=17.故选C. 8.【答案】B 【解析】如图，连接BD,与AC交于点F. ,点B与点D关于AC对称，.PD=PB, ∴.PD+PE=PB+PE=BE最小 ,正方形ABCD的面积为24，.AB=2V6. 又.'△ABE是等边三角形， 第8页，共1页 .BE=AB=2V6.∴.所求最小值为2V6.故选B. D E P C 9.【答案】5 10.【答案】16 11.【答案】15 12.【答案】3 13.【答案】3√13 【解析】如图，延长DA到点E'使AE'=AE,连接PE',CE'. E D B .四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AD的中点， .BA是EE'的垂直平分线，AE'=AE=3,∴.PE'=PE, ∴.PE+PC=PE'+PC≥CE',.PE+PC的最小值为CE'. 在Rt△CDE中，CD=6,DE'=DA+AE'=6+3=9, 由勾股定理，得CE'=VCD2+DE严=V62+g=313 ∴.PE+PC的最小值为3V13.故答案为3V13. 14.【答案】解：设SAABET=S,.'AE=2EM,△ABE和△BEM同高， SS.M是BC的中点 第9页，共1页 12 29 4 s=1a. 6 :'△ABM与△BMD等底同高，∴.S△ABM=S△BMD, .S△ABM-SABME=SA BMD-S△ME,即S△ABE=S△DME: .阴影部分的面积= x2- 6 15.【答案】证明：.CE//AD,AE//BC, 四边形ADCE是平行四边形， 又'.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点， :.AD=BC=CD,故四边形ADCB是菱形 16.【答案】【小题1】 解：.'AE=BF=CM=DN,AB=BC=CD=AD, ∴.AN=DM=CF=BE..'∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴.△ANE≌△DMN≌△CFM≌ △BEF(SAS).∴.EF=EN=NM=MF,∴.四边形EFMN是菱形..'∠ENA=∠DMN, ∠DMN+∠DNM=90°，∴.∠ENA+∠DNM=90°，.∠ENM=90°.∴.四边形EFMN是正方形： 【小题2】 :AB=7'AE=3'.AN=BE=AB-AE=4'EN=VAE2+AW=5':.正方形EPN的月长 =4×5=20. 17.【答案】【小题1】 证明：，四边形ABCD为矩形，∴.∠B=∠DCB=90°. .△BCE沿CE折叠，∴.∠EBC=∠B=90°， .∴.四边形BCBE是矩形 .BC=BC,∴.四边形BCBE是正方形 【小题2】 解：，AB=8,BC=6,∴.根据勾股定理，得AC=10. 第10页，共1页 .'△BCE沿CE折叠，.BC=BC=6,BE=BE, .'AB=4,AE=AB-BE=8-BE. 在Rt△ABE中，AE2=BA+BE2, ∴.(8-BE)2=16+BE2 解得BE=3,∴.BE=BE=3. 18.【答案】【小题1】 解：结论：PA2+PB2=PC2. 理由：方法一：如图1，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△APB,连接PP,.△APP 是等边三角形， ∴.PP=AP,∠APP=∠APP=60°. .∠APB=150°，.∠PPB=90°，∴.PP2+PB2=PB2 PP=PA,PC=P B,.PA2+PB2=PC2 B 图1 方法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△APC,连接PP, .△APP是等边三角形，∠APC=∠APB=150°， ∴.PP=AP,∠APP=∠APP=60°，∴.∠PPC=90°， .PP+PC2=PC2..PP=PA,PC=PB,.PA2+PB2=PC2. 第11页，共1页 图2 【小题2】 2BP2+PA2=PC2. 想法一：如图3，将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBP,则△ABP≌△CBP, BP=BP,∠PBP=90°，PA=PC,∠APB=∠BPC=135, ∴△BPP是等腰三角形，.∠BPP=45°，PP2=2BP2. .∠APB=135,∴.∠APP=135°-45=90°， .PP2+P C2=PC2,..2BP2+PA2=PC2. D D C 图3 想法二：如图4，将△CPB绕点B按逆时针方向旋转90°，得到△APB,则△CPB≌△APB, BP=BP,∠PBP=90°， ∴.△BPP是等腰三角形，∴.∠BPP=45,PP2=2BP2. .∠APB=135,∴.∠APP=135°-45°=90°， 第12页，共1页 .PP2+PA2=AP2,..2BP2+PA2=PC2. D B 图4 【小题3】 ∠APB=45°. 【解析】 如图5，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BPA,连接PP,则△ABP≌△CBP,AP=CP, BP=BP,∠PBP=90°，∴.PP2=2BP2. 图5 .PA2+2PB2=PC2,.PA2+PP2=AP2, ∠APP=90°. .'△PBP是等腰直角三角形， ∴.∠BPP=45°，∴.∠APB=∠APP-∠BPP=45°. 第13页，共1页