阶段微测试(1)[范围：1.1～1.3]（周测小卷）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 贵州专版）

:x十-2=3，∴m十2-2m=3.解得m=-1.21.解：1)子(2)画树状图如下： 开始 共有16种等可能结果，小凯和小丽两人抽到研究方向 A BC DAB C D A B C DAB C D 不同的结果有共12种，“这两个小组研充方向不同的概率为号=是。21)证明：四 边形ABCD是平行四边形，.DF∥EB,AB=CD.又CF=AE,.CD-CF=AB一AE,即 DF=BE.∴.四边形BFDE是平行四边形.：DE⊥AB,∠DEB=9O°.∴.四边形BFDE是 矩形.(2)解：AF平分∠DAB,.∠DAF=∠BAF..DC∥AB,.∠DFA=∠BAF. ∠DAF=∠DFA.DF=AD.:DF=6,AD=6.∴BC=AD=6.:四边形BFDE是 矩形，.∠DFB=90°，.∠BFC=180°一∠DFB=90°.在Rt△BCF中，CF=4,.BF= √BC一CF产=2√5,23.解：（任务1）设该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平 均增长率为a.根据题意，得500(1十a)2=720.解得a1=0.2=20%,a2=-2.2(不符合题 意，舍去).答：该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为20%.（任务2） 设每件泥塑的售价应定为x元.根据题意，得(x一20)[450一15(x一40)]=9240.解得x1= 42,x2=48.尽可能让顾客得到实惠，..x=42.答：每件泥塑的售价应定为42元. 24.解：(1)6(2)如图②，A BPE连接BD.,四边形ABCD为矩形，.AB∥ DC,CD=AB=8,∠ADC=90°，AC=BD.AD=6,.BD=AC=√AD+CD=10.易得 △PMACQM,△PNN8N-品祭-器别-吕器=÷QM= 冬QP,QN=子QR.:BP=QD,BP/DQ,四边形BDQP是平行四边形，QP=BD 10MN=QN-QM=号QP-卓(8)是定值设BD=x由2)可知器-品祭 8 器器若器=÷aM=QP.QN=Qr,MN=QN-QM= 8 QP-8-OP-8-QP.MN-16 QP 器"，=∴禁为定值25，解：1)将A( 8 0).C0.3)代入y一工+十，得一1十=0，解得2：抛物线的表达式为y=一十 c=3, c=3. 2x十3.：y=-x2+2x十3=-(x-1)十4，.抛物线的顶点坐标为(1,4).(2)存在.如图， y 连接BC交抛物线的对称轴于点P,连接AP,AC.此时△PAC的周长最 小，最小值为AC十CP+AP=AC+CP+BP=AC+BC.当y=0时，有-x2十2x十3=0，解 得x1=-1,x2=3.∴.点B的坐标为(3,0).y=一x2十2x十3=-(x-1)2十4，∴.抛物线的 对称轴为直线x=1.设直线BC的表达式为y=kx十t(k≠0)，将B(3,0),C(0,3)代入，得 13k+t=0 0解得=-1直线BC的表达式为y=-x十3.：当x=1时，y=-工十3=2， t=3, 1t=3. .当△PAC的周长最小时，点P的坐标为(1,2).(3)：点M在抛物线的对称轴上，设点 M的坐标为(1，m).由勾股定理，得AW=(1十1)十m=4十m2,CM=(1-0)2+(m-3)2= m2-6m十10，AC2=[0-(-1)]十(3-0)2=10.此时分三种情况考虑：①当∠ACM=90° 时，有Af=AC十CM,即4十m=10十m-6m十10，解得m=号.∴点M的坐标为(1， 号)，②当∠AMC=90时，有AC=AM+CM,即10=4+㎡+m-6m十10，解得m- 1,2=2,∴.点M的坐标为(1,1)或(1,2).③当∠CAM=90时，有CP=AF十AC,即m2 6m十10=4m+10,解得m=一号.点M的坐标为(1，-号)，综上所述，当△MAC是直 角三角形时，点M的坐标为1,1)或1,2)或(1，号)或(1，-号)】 97 周测小卷 阶段微测试（一） 1.D2.C3.B4.C5.C6.A7.对角线相等的平行四边形是矩形8.40° 9.1210.1211.证明：.四边形ABCD是菱形，.AB=AD,∠B=∠D..∠AEB= ∠AFD,.△ABE≌△ADF(AAS)..BE=DF.12.解：(1)四边形ABCD是矩形， .AC=BD,AO=CO,BO=DO..AO=BO.AE⊥BD,∠1=∠2，.∠ABO=∠AOB. .AB=AO.∴AO=BO=AB.△AB0是等边三角形.∴∠AOB=60°.∴∠BOC=180° ∠AOB=120°.(2)：△ABO是等边三角形，∴.AB=AO=BO=6cm.∴.AC=2AO=12cm. :四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°..BC=√AC-AB=6V5cm.∴.SE形ABCD= AB·BC=363cm2.13.(1)证明：∠ABO=∠DCO=90°，OB=OC,∠AOB=∠DOC, ∴.△AOB≌△DOC(ASA).∴.AB=CD.(2)解：答案不唯一，如：添加条件BC=EF.理由如 下：由(1)知△AOB≌△DOC,.OA=OD.:BE,CF分别是△AOB,△DOC的中线，∴.OE= 号OA,OF=子OD.OE=OR.:OB=OC.四边形BBCF是平行四边形.：BC=EF, .四边形BECF是矩形.14.(1)证明：由折叠的性质，得∠CEB=∠FEB,FE=CE.,FG∥ CE,∠FGE=∠CEB..∠FGE=∠FEG.∴.FG=FE..FG=CE..四边形CEFG是平行四边 形.又：CE=FE,∴.四边形CEFG是菱形.(2)解：·四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D= 90°，BC=AD=10,CD=AB=8.由折叠的性质，得BF=BC=10,.AF=V√BF-AB=6. .DF=AD-AF=4.设EF=x,则CE=x,.DE=CD-CE=8-x.在Rt△DEF中， DF2十DE2=EF2,即42十(8-x)2=x2,解得x=5..CE=5. 基本功专练（一）特殊平行四边形的性质与判定 1.解：：M,N分别是边AD,CD的中点，∴.MN是△ACD的中位线.∴AC=2MN=12. :四边形ABCD是菱形，∴ACLBD,OA=号AC=6,OB=BD.∠AOD=90.AD 20M=10.在R△A0D中.0D=VAD-0A=8.BD=20D=16.∴S装eUm=号AC· BD=96.2.解：：四边形ABCD是正方形，.∠ABC=90°，即∠CBF+∠ABE=90°， AB=BC.:CF⊥BE,∴.∠BFC=90.∴.∠CBF+∠BCF=90°.∴.∠BCF=∠ABE ∠AEB=∠BFC, AE⊥BE,∠AEB=∠BFC=9O°.在△ABE和△BCF中，∠ABE=∠BCF,∴△ABE AB=BC, ≌△BCF(AAS).∴.BE=CF=3.∴.AB=√AE十BE区=√I0.3.(1)证明：：四边形 ABCD是矩形，∴.AD∥BC,∠B=∠ADC=90°..∠AEB=∠DAF.:DF⊥AE,∴∠DFA= 90°=∠B.又，AD=AE,.△ADF≌△EAB(AAS)..DF=AB.(2)解：由(1)知∠DFA= 90°，∠DAF+∠ADF=90°.：∠ADC=90°，即∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF= ∠FDC=30°.AD=2DF.由(1)知DF=AB,AD=2AB=2×4=8.4.(1)证明：：四 边形ABCD是平行四边形，.CD∥AB.∠DAM=∠NDA.E为AD的中点，AE= DE.,∠AEM=∠DEN,∴.△AEM≌△DEN(ASA).∴.AM=DN..四边形AMDN是平 行四边形.：BD⊥AD,M为AB的中点，DM=AB=AM..四边形AMDN是菱形. (2)解：当△ABD是等腰直角三角形时，四边形AMDN是正方形.理由如下：，△ABD是 等腰直角三角形，∴.AD=BD.:M是AB的中点，∴.DM⊥AB.∴.∠AMD=90°.由(1)知四 边形AMDN是菱形，.四边形AMDN是正方形.5.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， .AD∥BC,AD=BC.,BE=CF,.BE+CE=CF+CE,即BC=EF..AD=EF.∴.四边 形AEFD是平行四边形.：AE⊥BC,∴∠AEF=90°，.四边形AEFD是矩形.(2)解：，四 边形ABCD是菱形，BC=AB=13,AC⊥BD,OA=OC=号AC,OB=OD=号BD:AE BC,.∠AEC=90°..AC=2OE=4/13,OA=OE=2/13.在Rt△AOB中，OB= AB-OAF-3.BD=208-6SA BD AC-BC AE.AE- BD:AC=12.6.(1)解：4°(2)①证明：过点A作AG⊥EF于点G.:AB⊥CE,AD 2BC 98 CF,∴∠B=∠D=90°=∠C.∴四边形ABCD是矩形.：∠CEF,∠CFE的外角平分线交 于点A,AB=AG,AD=AG.AB=AD..四边形ABCD是正方形.②解：：BE=CE= 3,.BC=6.由①知四边形ABCD是正方形，∴.CD=BC=6.在Rt△ABE和Rt△AGE中， AE-AE, R△ABE≌Rt△AGE(HL).∴.EG=BE=3.同理可得GF=DF.设DF=t, AB-AG. 则GF=x,CF=CD-DF=6-x,.EF=GF+EG=x十3.在Rt△CEF中，CE十CF= EF,即32十(6-x)=(x十3)，解得x=2..DF=2. 阶段微测试（二） 1.D2.D3.D4.B5.A6.C7.40°8.AE=AF(答案不唯一)9.1010.2√2-2 11.证明：：D是AC的中点，∴.AD=CD.:AF∥BC,.∠FAD=∠ECD,∠AFD= ∠CED.∴.△AFD≌△CED(AAS)..AF=CE.∴.四边形AECF是平行四边形.，EF⊥ AC,.四边形AECF是菱形.12.证明：：BF∥CE,CF∥BE,.四边形BECF是平行四 边形..四边形ABCD是矩形，.∠ABC=∠BCD=90°..BE平分∠ABC,CE平分 ∠BCD,∠EBC=号∠ABC=45,∠ECB=号∠BCD=45.∠EBC=∠ECB ∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=90°，BE=CE.∴.四边形BECF是正方形.13.(1)证明： 四边形ABCD是菱形，.AD∥BC,AC⊥BD,AD=BC.:BE=BC,.AD=BE.∴四边 形AEBD是平行四边形..AE∥BD.:BF∥AC,∴.四边形AFBO是平行四边形.：AC⊥ BD,.∠AOB=90°.∴.四边形AFBO是矩形.(2)解：，四边形AFBO是矩形，.∠AFB= ∠OAF=90°，OF=AB.∴.∠BFE=180°-∠AFB=90°..∠E=30°，BF=1,.BE=2BF=2. 在R△AEC中，BE=BCAB=CE=BE=2.0F=AB=2.4.(ID①解：45°@证 明：过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.∴∠PEB=∠PEC=∠PFC=90°.：四边 形ABCD是正方形，∴∠ACD=∠ACB,∠ECF=90°..PE=PF,四边形PECF是矩形. .四边形PECF是正方形.∠EPF=90°=∠BPQ.∠BPE=∠QPF,.△BPE≌ △QPF(ASA).·.PB=PQ.(2)解：由(1)可知△BPE≌△QPF,四边形PECF是正方形， .BE=FQ,CE=CF,S△PE=S△aPF.∴.BC+CQ=CE+CQ+FQ=CE+CF=6.∴.CE=CF =3.又：S△BPE=S△oPF,∴S四边形QP=SE方形PEF=9. 基本功专练（二）解一元二次方程 1.解：1)整理，得-空两边开平方，得x=士号“=号。=一号.(2)移项，得2十 6x=1,配方，得x2十6x十3=1十32，即(x十3)2=10.两边开平方，得x十3=士√10，即x十 3=√/10，或x十3=-√10..x=-3十√10，x2=-3一√0.(3)原方程可变形为(x-1十 2)(x-1-2)=0,即(x十1)(x-3)=0,x十1=0，或x-3=0.∴x=-1,x=3.(4)将原方 程化为一般形式，得9.x2十7x十2=0.这里a=9,b=7,c=2.B-4ac=7-4X9×2=一23< 0.方程没有实数根，（5)移项得r-8x=1.两边都除以4，得d一2x=子.配方，得 2x+1=子+1，即(x-12=号两边开平方，得x-1=士号，即x-1=号，或x-1 2z25.26原方程可变形为(x一2=2x2)=0.÷(x一2工 22= 2 2-2)=0,即(x-2)(x-4)=0..x-2=0,或x-4=0.∴.x=2,x2=4.(7)整理，得(x-3)2= (5-2x)2.两边开平方，得x-3=士(5-2x),即x-3=5-2x,或x-3=一5+2x.六1=3， x2=2.(8)原方程可变形为(x十2)(x一3)一4(x十2)=0..∴.(x十2)(x一3一4)=0，即(x十 2)(x-7)=0.∴.x十2=0，或x-7=0.∴.1=-2，x2=7.(9)将原方程化为一般形式，得 2x2+2√2x十1=0.这里a=2,b=2√2，c=1.b2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0，.x= 220=-2,即x4==-号.10)整理，得y-5y-6=0.这里a=1,b=-5,c=一6 2×2 2 :5-4c=（-5-4X1X(-6)=49>0y=二（0厘-5号，即y=6,0=-1. 2×1 2.解：(1)配方法二(2)公式法：这里a=1,b=8,c=-9.b-4ac=82-4×1×(-9)= -99阶段微测试（一） (范围：1.1一1.3时间：40分钟 满分：100分) 一、选择题（每小题5分，共30分） 6.如图，在□ABCD中，E,F分别为边AB 1.要使□ABCD为菱形，需要添加的条件是 CD的中点，BD是对角线.下列说法错误 的是 ( A.AC=BD B.AD=BC A.当AB=2AD时，四边形DEBF是菱形 C.AB=CD D.AB=BC B.当∠ADB=90时，四边形DEBF是菱形 2.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点 C.当AD=BD时，四边形DEBF是矩形 O,∠CAB=35°，则∠ADB的度数为( D.当DE平分∠ADB时，四边形DEBF是 A.35° B.45 C.55° D.65 矩形 D B (第6题图) (第8题图) (第2题图) (第3题图) 二、填空题（每小题5分，共20分） 3.如图，一架梯子AB斜靠在墙上，点M为梯 7.工人师傅常常通过测量平行四边形零件 子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到 的对角线是否相等来检验零件是否为矩 CD位置时，滑动过程中，OM长的变化规律 形，此种检验方法依据的数学道理是 是 A.变小 B.不变 8.如图，在菱形ABCD中，∠D=50°，E,F分别为 C.变大 D.先变小再变大 边AB和CD上的两个动点.当四边形AECF 4.如图，在矩形ABCD中，E为BA延长线 为矩形时，∠BCE的度数为 上一点，F为CE的中点，以点B为圆心、 9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD, BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点 垂足为O,E,F,G,H分别为边AD,AB, G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG的 BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边 长为 ( 形EFGH的面积为 A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 D (第4题图) (第5题图) (第9题图) (第10题图) 5.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角 10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD为 线的交点，过点O的三条直线将菱形ABCD AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点 分成阴影和空白两部分.当菱形ABCD的两 E,过点A作BD的平行线，交CE的延长 条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的 线于点F,在AF的延长线上截取FG 面积为 ( BD,连接BG,DF.若AG=26,BG=10,则 A.48 B.24 C.12 D.6 CF的长为· 三、解答题（共50分） (2)连接CE,BF.请添加一个条件，使四边 11.(10分)如图，在菱形ABCD中，点E,F分 形BECF是矩形，并说明理由， 别在BC,CD上，∠AEB=∠AFD.求证： BE=DF. 12.(12分)如图，矩形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,∠1= ∠2，BO=6cm. 14.(14分)如图，在矩形ABCD中，点E在边 (1)求∠BOC的度数； CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落 (2)求矩形ABCD的面积. 在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD, 交BE于点G,连接CG (1)求证：四边形CEFG是菱形； (2)若AB=8,AD=10,求CE的长. 13.(14分)如图，AD和BC相交于点O, ∠ABO=∠DCO=90°，OB=OC,BE,CF 分别是△AOB,△DOC的中线. (1)求证：AB=CD. 。2·