湖南娄底市部分学校2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

保密★启用前 2026年上学期f。一十龙·§一￡期末考试 高二数学试卷及答案 命题人：伍勇 审稿人：吴潇 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合M={x2x-1>5,N=1,2,3},则MON=() A.{1,2,3} B.{2,3} C.3} D.⑦ 2.已知复数z满足：=3-（其中1为虚数单位），则日=() 1+i A.√ B.2 c.5 D.10 3.不等式-4 2的解集是() x-1 A.{x-2≤x≤1} B.{xx≤-2} C.{x-2≤x<1} D.{xx>1} 4.在平面直角坐标系中，已知向量ā=(1,2)，b=(2,y),若a/16,则y=() A.4 B.-4 C.1 D.-1 5.基本再生数R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者 传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段， 可以用指数模型：I(t)=e描述累计感染病例数（©随时间t(单位：天）的变化规律，指数增长 率r与Ro,T近似满足Ro=1+rT.有学者基于己有数据估计出R=3.28,T=6据此，在新冠肺 炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为20.69)() A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 6.记a=l1og023,b=0.32,c=32,则() A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 7.已知f(x)=x+32+bx+a在x=-1处有极值0，则a-b=() A.-2或-7 B.-4或-11 C.11 D.-7 高二数学第1页，共4页 &已知酷圆C号卡=a>b0的左、石焦点分别为只，月，上原点为P.离率为 过点且垂直于PF的直线与C交于M,N两点，MW=6,则PM+PW=() A.4 B.5 C.6 D.7 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分) 9.已知角α的终边经过点P(-3,4),则() 3 A.cosa=- B.tana=-3 c.cosa+)-号 D.sima-2)厂5 10.下列说法正确的有() A.若随机变量X的数学期望E()=4,则E(2X-1)=9 B.若随机变量Y的方差D(Y)=3,则D(2Y+5)=12 C.将一枚质地均匀的硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X,则X服从二项分布 D.从7男3女共10名学生干部中随机选取5名学生干部，记选出女学生干部的人数为X, 则X服从超几何分布 11.如图，已知正方体ABCD-AB,C1D的棱长为2，则下列说法正确的是() D A D------- B A.BC1⊥CA B.BC1‖平面ACD C.直线CA与平面ABCD所成的角为45° D.点D与平面4CD的距离为25 3 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设函数f(x)=lnx+2x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为 高二数学第2页，共4页 的展开式中常数项为 14.1202年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci,,约1170-约1250)以兔子繁殖 问题，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，即耳==1， F=F-1+F-2(n≥3，n∈N).人们在自然界中发现了许多斐波那契数列的例子.斐波那契数 列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域也有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成 一个新数列{a},则数列{a}的前2025项的和为 四、解答题（本题共5小题，共77分.15题13分，16,17各15分，18,19各 17分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸 的指定区域内) 15.在△ABC中，√3 bcosA-asin B=0. (1)求A: (2)若c=2,且△ABC的面积为√3，求a的值. 16.已知数列{a}为等差数列，且4+4=6,4+4=10. (1)求数列{a}的通项公式： 4 (2)求数列 一〉的前n项和S. aa4+ 17.如图，在四棱台ABCD-ABCD中，下底面是边长为2的正方形，侧棱DD与底面垂 直，且DD=DC=1 高二数学第3页，共4页 D C A B (I)证明：BB/平面ACD: (2)求平面ACD与平面BCC,B的夹角的大小. 18已知预C若芳1a>b0的右顶长为A20,陕心率e 2 (1)求椭圆C的方程： (2)设直线：y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,点Q(4,0),若直线MQ的斜率与直线 NQ的斜率互为相反数，求实数m的值 19.已知函数f(x)=e*-x-1. (1)求y=f(x)在x=0处的切线方程： (2)若fnx)≥a-xlnx-1恒成立，求实数k的取值范围； 3)当a≥1时，讨论g)=fx)在区间（兀，）上零点的个数. 高二数学第4页，共4页 《2025-2026学年度高二第二学期数学期末考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 D C A 0 AD BCD 题号 11 答案 ABD 1.D 【分析】先求出集合M,再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为M={x2x-1>5}={x|x>3},所以MnN=☑， 故选：D 2.C 【详1代司21效 所以H=2+(-2)2-V5 3.C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可， 【详解1二4之2即为+2s0即c12r-1)≤0，故-2≤<1， x-1 x-1 x-1≠0 故解集为{d-2≤x<1} 故选：C. 4.A 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解 【详解】已知向量ā=(1,2)，b=(2,y),若ā1B,则1y-2.2=0,解得y=4,故A正确 5.B 【分析】根据题意可得I(t)=e=e8t,设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1倍需要的时间为1天，根据e38c+)=2e38r,解得5即可得结果 【详解】因为R=3.28,T=6,R=1+T,所以r=328-1=0,38,所以I0)=e=e. 6 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则e38t+)=2e38r,所以e38i=2,所以0.38t1=h2, 答案第1页，共11页 n20.69≈1.8天 所以4=0.380.38 故选：B. 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 6.c 【分析】根据函数性质判断可得a<0,0<b(1,c1,即得答案， 【详解】a=log023<log021=0,b=0.32>0,c=302>30=1, 又b=0.32<0.3°=1， 所以c>b>a. 7.D 【分析】由极值点和极值，列出关于4，b的方程组，再验证条件，即可求解. 【详解】根据题意，f'(x)=3x2+6ax+b, :函数f(x)在x=-1处有极值0， .f(-1)=3-6a+b=0且f(-1)=-1+3a-b+a2=0, .a=1,b=3或a=2,b=9, a=1,b=3时f'(x)=3x+6x+3≥0恒成立，此时函数无极值点， 当a=2,b=9时，f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3), 此时x=-1是函数的极值，满足条件， .a=2,b=9,.a-b=-7 故选：D 8.D 【分析】由条件可得△PF为正三角形，继而得出直线MN为线段P耳，的垂直平分线，写出 直线MW的方程为y3x+C)并与椭圆方程联立，得到韦达定理，由W=6利用弦长 公式推出a=,结合图形将PM州PW化简转化，利用椭圆的定义即可求得。 【详解】 答案第2页，共11页 如图，连接明识因为e日克即a女，心=i-c3, 因PR=P引=a=2c=|RE引，则△PR乃为正三角形. 又N⊥P,则直线MN为线段PE的垂直平分线，故PM=M引，PM=N,且 N网民看 故直线N的方程为y= ?(x+c),代入椭圆c的方程x+y 4c+3C-1,得13x2+8cr-32c2=0 设M(5y),N(5,),则+，= 13’55=32c 13 13 解得c 8,则a=2c=13 1 PM+PN=ME+INE=ME+NE+MR+NE-MN =4a-6=13-6=7, 故选：D. 9.AD 【分析】直接由三角函数定义、诱导公式验算即可. -3 【详解】由题意cos0= 、3 4 V-3)2+42 V(-3)2+425 3. 从而cos(a+D)=-cos&= =-c0s0a= 3 故选：AD 10.BCD 【详解】对于选项A,因为E(2X-1)=2E(X)-1=2×4-1=7,故A错误： 对于选项B,因为D(2Y+5)=4D()=4×3=12,故B正确： 答案第3页，共11页 对于选项C,根据二项分布的概念可知随机变量X服从3)， 故C正确； 对于选项D,根据超几何分布的概念可知X服从超几何分布，故D正确. 11.ABD 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，计算出BCCA=0,得到BC1⊥CA;B选项，证 明出四边形ABCD为平行四边形，故BC‖AD,从而得到线面平行：C选项，求出平面ABCD 的法向量，由线面角的求解公式进行求解；D选项，求出平面ACD的法向量，由点到平面 的距离公式求出答案 【详解】A选项，以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角 坐标系， B(2,2,0),C1(0,2,2),C(0,2,0),A(2,0,2), 故BC=(-2,0,2),CA=(2,-2,2), 故BCCA=(-2,0,2)(2,-2,2=4+0+4=0,所以BC⊥CA, 故BC⊥CA,A正确： D A D B选项，因为AB=CD,AB∥CD,所以四边形ABC,D为平行四边形， 故BCI‖AD 又BC文平面ACD,ADC平面ACD,故BC1‖平面ACD,B正确； C选项，平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1)， 答案第4页，共11页 又C4=(2,-2,2),故 设直线CA与平面ABCD所成的角大小为B, 则sn0=os(C4,m=2-22)-Q.01.2-5 V4+4+4 2V53 故直线CA与平面ABCD所成的角不为45°，C错误： D选项，A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2),D(0,0,0), 则AC=(-2,2,0),CD1=(0,-2,2),DA=(2,0,0), 设平面ACD的一个法向量为n=(a,b,c), 则，4C-a6cj(-2201-2a+2h=0 i.CD=(a,b,c)(0,-2,2)=-2b+2c=0 令a=1,则b=1,c=1,故n=(1,1,1) 故点D与平面ACD的距离为 .a音9E V1+1+1 故选：ABD 12.3x-y-1=0 【分析】根据条件，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再利用点斜式，即可求解 【详解】因为f(x=上+2，所以f)=1+2=3,又f四)=n1+2=2, 所以曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0, 故答案为：3x-y-1=0. 13.60 【详解1-的限开式的通项为=C(“气引=6yz号，-01.2 6, 令3-=0，得r=2,所以-2 的展开式中常数项为（←1）2C×2=60. 2 14.1350 【分析】由题意可得出新数列，判断出周期性，即可求得答案. 答案第5页，共11页 【详解】由题意知数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…， 被2除后的余数构成一个新数列{a}:1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,, 即数列{a}是以3为周期的数列，一个周期内的三项和为2， 因为2025=675x3,故数列{an}的前2025项的和为675×2=1350， 故答案为：1350 15.(1) 3 (2) 2 【分析】(1)利用正弦定理边化角求解 (2)利用三角形面积公式求解. 【详解】(1)在△ABC中，由√3 bcos4-asin B=0及正弦定理，得 3sin B cos A-sin Asin B=0,3 而sinB>0,则tanA=√5，又0<A<元，1 所以12 (2)由c=2及△ABC的面积为√5,1 得SBC= cm4=b25-5,2 2 22 解得b=2,2 因此b=c=2,即△ABC为正三角形，所以a=2.2 16.(1)a.=2n 回8=本 【分析】(1)设公差为d,利用已知条件建立方程组求解a和d; (2)将 4裂项为上 a,du n7+1'再求和 【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d, 由4+43=6得24+d=6, 答案第6页，共11页 由a2+43=10得24+3d=10, 解得d=2,4=2.4 所以a=a+(-1)d=2+2(n-1)=2n.2 (2)4=21,则a1=201+1),1 4 4 111 a.aH21-201+0n0a+1)nn+14 所 n 17.(1) 连接BD交AC于点E,连结DB,DE 因为底面ABCD是正方形，所以E是BD的中点， 又DC=2DC,所以DB=2DB,故EB=DB. 由棱台的定义，DD与BB,共面，因为棱台的上、下底面平行，所以它们与平面BDDB,的 交线平行，即DBIIDB 所以四边形EBBD为平行四边形，故BBED. 又因为BB文平面ACD,EDC平面ACD,所以BB,∥平面ACD.6 @8 【分析】(1)作辅助线构造平行四边形EBBD,得到线线平行通过线面平行的判定定理可 证： (2)以D为原点建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量进而求法向量夹角的余弦值即 可 【详解】(1)略 (2)以D为原点，分别以DA,DC,DD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的 空间直角坐标系 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,1,1),D(0,0,1).2 答案第7页，共11页 D A B 故AC=（-2,2,0),AD=(-2,0,1),CB=(2,0,0),CC=(0,-1,1) 设平面ACD的法向量=(：，，)，由 mAC=0a∫s=乃 得 m-AD=02x=9 取x=1,得平面ACD的一个法向量m=(1,1,2).2 设平面BCCB的法向量i=(5,y,2),由 元cB=0符5=0 i.CC=0 取y2=1,得平面BCC,D的一个法向量i=(0,1,1)2 故cosm元=m:方三1+2。V5 例网6V522 所以平面ACD与平面BCCB夹角的大小为乃1 6 18.a5+y=1 (2)m=-1 【分析】(1)根据条件确定a,b,c的值，可求椭圆C的方程， (2)把直线方程与椭圆方程联立，消去y,得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表 示出x+x,x2,再表示出直线MQ和Ng的斜率，利用k0+k%=0列式，求m的值即可. 【详解】(1)由题知a=2, 且e=c=3 a 2 ,得c=5, 又a2=b2+c2,代入可得a2=4,b2=1, ∴椭圆c的方程为天+少=14 4 （2)如图： 答案第8页，共11页 y=x+m 联立x +y2-1'得5r+8+4m2-4=0,2 4 由题意，△=64m2-80(m2-1)>0,即162<80，解得-√5<m<√5.2 设M(..可得5+名，西=如4,2 5 由0+k知=0，得.片十2=5++5+W=-0,2 5-46-45-4七2-4 即26+046+5》8-0，即255+m-405+）-8=03 (x1-4)(x2-4) 即8m-1)-8n0m-4)-40m=0,解得m=-1.2 J 19.(1)y=0: (2)(-0,1]: (3)3个. 【分析】(1)应用导数的几何意义求切线方程： (2)法一：应用分离参数法有ks1+x-n,再应用导数研究右侧的单调性求最小值，即 可得参数范围；法二：应用必要性探路，问题化为h(x)=(x-1)lx+(1-)x≥0，令 h(I)≥0→k≤1，再证明k≤1，x>0时，(x)≥0恒成立，确保充分性成立，即可得： (3)山s设得x=0是商数的-个零点，时论-（(0写、(-到】 并利用导数研究函数的零点个数，即可得 【详解】(1)由f(x)=e-x-1,则f'(x)=e-1,显然f'(0)=f(0)=0,所以切线方程为 y=0:4 (2)f(x)=e-x-1,此时f(hx)≥ac-xhx-1台x-nx-1≥-xnx-1, 法一：分离参数法，从而≤(x-l)lnr+x→ksl+nr-血r, 令)-1+，则h()-1-+」 x x 答案第9页，共11页 所以'(x)>0→x>1,h(x)<0→0<x<1, 所以(x)在(0,1)单调递减，在(1，+∞)单调递增， 因此h(x)m=h()=1,故k的取值范围为(-o,l]；6 法二：必要性探路，x-lnx-1≥c-xlnx-1一(x-1)lnx+(1-k)x≥0， 令h(x)=(x-1)nx+(1-k)x,h(I)=1-k20→k≤1， 下证：k≤1，x>0时，h(x)≥0恒成立， 由一次函数m(k)=(x-1)lnx+x-c在(-o,]上递减， 则m(k)≥n(1)→(x-1)nr+x-kx≥(x-1)nx, 在x∈(0,1)和x∈(1，+o)上(x-1)hx>0恒成立，且x=1时(x-1)lnx=0, 所以g(x)≥0恒成立，故k的取值范围为(-∞，1]； (3g倒在区间同- 上有3个零点，理由如下： 由于f(0)=0,所以x=0是函数f(x)的一个零点，g'(x)=e+a(sinr-cosx)-1, 当x（0时，此时-acx>0恒成立，又由(1)知e-x-1>0恒成立， 从而g0恒政立，所以g(国在区间e登上没有零点： 当e0时，t时g0=a<0,g月-e+a1>-10, 2 若g"()是g'(x)的导数，则g"(x)=e+a(2sinx+xCOSx), 由于2snx+C0>0恒成立，所以g(>0,即g(e在0 上单调递增， 从而存在气∈0到使得g代)-0，且g'()>0→青<x<受g(e<0=0<x<5, 即g(y在区同(Q,)上道减，区间飞骨上递增，从而g(G)<gO)=0, 又=子1>0，所以g在)有唯-零点，即在0 上有唯一零点： 当x∈(-L-2时，此时ir-cosr>0,从而 g'(x)=e*+a(xsinx-cosx)-12e*+xsinx-cosr-1, 答案第10页，共11页 由于xcL-2时，r<sinr,所以 e*+xsinx-cosx-1>e*+sin2x-cosx-1=e*-(cos2x+cosx), 又cos2x+cosx=cosr(cosx+l)<0,从而e+xsinx-cosx-1>e-(cos2x+cosx)>0恒成立， 即g(>0在xc(到上恒成立，所以g(倒在区何xc（元马习 上单调递增， 因为8）e+10，g(-网=em*-1e-1<0 因此g(四在区间x∈（不习到上有唯一零点， 综上所述，函数g(田在区间(-儿司)上有3个零点7 答案第11页，共11页保密★启用前 2026年上学期f一十·§一￡期末考试 高二数学试卷 命题人：伍勇 审稿人：吴潇 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合M={x2x-1>5,N=1,2,3},则MON=() A.{1,2,3} B.{2,3} C.3} D.⑦ 2.已知复数z满足：=3-（其中1为虚数单位），则日=() 1+i A.√ B.2 C.5 D.10 3.不等式-4 2的解集是() x-1 A.{x-2≤x≤1} B.{xx≤-2} C.{x-2≤x<1} D.{xx>1} 4.在平面直角坐标系中，已知向量ā=(1,2)，b=(2,y),若a/16,则y=() A.4 B.-4 C.1 D.-1 5.基本再生数R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者 传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段， 可以用指数模型：I(t)=e描述累计感染病例数（©随时间t(单位：天）的变化规律，指数增长 率r与Ro,T近似满足Ro=1+rT.有学者基于己有数据估计出R=3.28,T=6据此，在新冠肺 炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为20.69)() A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 6.记a=l1og023,b=0.32,c=32,则() A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 7.已知f(x)=x+32+bx+a在x=-1处有极值0，则a-b=() A.-2或-7 B.-4或-11 C.11 D.-7 高二数学第1页，共4页 &已知酷圆C号卡=a>b0的左、石焦点分别为只，月，上原点为P.离率为 过点且垂直于PF的直线与C交于M,N两点，MW=6,则PM+PW=() A.4 B.5 C.6 D.7 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分) 9.已知角α的终边经过点P(-3,4),则() 3 A.cosa=- B.tana=-3 c.cosa+)-号 D.sima-2)厂5 10.下列说法正确的有() A.若随机变量X的数学期望E()=4,则E(2X-1)=9 B.若随机变量Y的方差D(Y)=3,则D(2Y+5)=12 C.将一枚质地均匀的硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X,则X服从二项分布 D.从7男3女共10名学生干部中随机选取5名学生干部，记选出女学生干部的人数为X, 则X服从超几何分布 11.如图，已知正方体ABCD-AB,C1D的棱长为2，则下列说法正确的是() D A D------- B A.BC1⊥CA B.BC1‖平面ACD C.直线CA与平面ABCD所成的角为45° D.点D与平面4CD的距离为25 3 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设函数f(x)=lnx+2x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为 高二数学第2页，共4页 的展开式中常数项为 14.1202年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci,,约1170-约1250)以兔子繁殖 问题，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，即耳==1， F=F-1+F-2(n≥3，n∈N).人们在自然界中发现了许多斐波那契数列的例子.斐波那契数 列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域也有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成 一个新数列{a},则数列{a}的前2025项的和为 四、解答题（本题共5小题，共77分.15题13分，16,17各15分，18,19各 17分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸 的指定区域内) 15.在△ABC中，√3 bcosA-asin B=0. (1)求A: (2)若c=2,且△ABC的面积为√3，求a的值. 16.已知数列{a}为等差数列，且4+4=6,4+4=10. (1)求数列{a}的通项公式： 4 (2)求数列 一〉的前n项和S. aa4+ 17.如图，在四棱台ABCD-ABCD中，下底面是边长为2的正方形，侧棱DD与底面垂 直，且DD=DC=1 高二数学第3页，共4页 D C A B (I)证明：BB/平面ACD: (2)求平面ACD与平面BCC,B的夹角的大小. 18已知预C若芳1a>b0的右顶长为A20,陕心率e 2 (1)求椭圆C的方程： (2)设直线：y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,点Q(4,0),若直线MQ的斜率与直线 NQ的斜率互为相反数，求实数m的值 19.已知函数f(x)=e*-x-1. (1)求y=f(x)在x=0处的切线方程： (2)若fnx)≥a-xlnx-1恒成立，求实数k的取值范围； 3)当a≥1时，讨论g)=fx)在区间（兀，）上零点的个数. 高二数学第4页，共4页