精品解析：湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

2024年上学期高二期末调研考试 数学试卷 （考试时量：120分钟 满分150分） 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知为虚数单位，若复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 函数与的图象（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称 3. 求的展开式中的系数（ ） A. 32 B. C. 24 D. 4. 对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ）． A. 若，满足，且与同向，则 B. C. D. 5. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ） 0 1 2 0.36 A. 0.68 B. 0.6 C. 0.2976 D. 3.88 6. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，依据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（ ） A. 变量与独立 B. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C. 变量与不独立 D. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 7. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 为调研某地空气质量，连续天测得该地是衡量空气质量的重要指标，单位：的日均值，依次为，，，，，，，，，，则（ ） A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的众数为 C. 这组数据的中位数为或 D. 这组数据的第百分位数为 10. 下列关于概率统计说法中正确的是（ ） A. 两个变量，相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B. 经验回归方程相对于点的残差为 C. 在回归分析中，为0.89模型比为0.98的模型拟合得更好 D. 某人解答10个问题，答对题数为，，则 11. 已知函数，，则（ ） A. 是偶函数 B. 恒成立 C. 的值域是 D. 的值域是 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______. 13. 某市高二数学统考，假设考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为，，，四个等级，则等级的最低分是_________分． 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为______. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 16. 三角形的内角、、所对的边分别为，，，． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 17. 某学校高二年级有400名学生，将数学和语文期中考试成绩的数据整理如表1： 表1 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 73 54 127 不优秀 61 212 273 合计 134 266 400 表2 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 6 14 不优秀 6 26 合计 40 （1）根据表1数据，从400名学生中随机选择一人做代表． ①求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率； ②在选到的同学数学成绩优秀的条件下，求选到的同学语文成绩优秀的概率． （2）从400名学生中获取了容量为40的简单随机样本，样本数据整理如表2，请填写完整表2数据，并根据表2数据，依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （，） 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，侧面是正三角形，侧面底面． （1）求与底面所成角的正切值； （2）求侧面与底面所成二面角的大小； （3）若是上的点，且平面，求四面体的体积． 19. 如图，设，是平面内相交成角两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点． （1）求； （2）求坐标； （3）若过点直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上学期高二期末调研考试 数学试卷 （考试时量：120分钟 满分150分） 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知为虚数单位，若复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数运算法则求解． 【详解】解：为虚数单位， 复数， 则的虚部为． 故选：B． 2. 函数与的图象（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称 【答案】C 【解析】 【分析】 令，则，由与的图象关于原点对称即可得解. 【详解】解：令，则 与的图象关于原点对称， 与的图象关于原点对称. 故选： 【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题. 3. 求的展开式中的系数（ ） A. 32 B. C. 24 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项是， 依题意， ， 因此，的系数. 故选：B． 4. 对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ）． A. 若，满足，且与同向，则 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量之间不能比较大小以及逐一判断每一选项即可求解. 【详解】对于A，向量之间不能比较大小，故A错误； 由于，故C错误； 则， 所以，即，故B正确； 所以，即，故D错误. 故选：B. 5. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ） 0 1 2 0.36 A. 0.68 B. 0.6 C. 0.2976 D. 3.88 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率和为1，求出，再利用期望的定义求解即可． 【详解】由概率之和为1，得，解得，或（舍）， ，， ． 故选：A． 6. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，依据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（ ） A. 变量与独立 B. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C. 变量与不独立 D. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 【答案】A 【解析】 【分析】根据作出判断. 【详解】由于，故变量与独立，A正确，BCD均错误. 故选：A 7. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的解析式是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用函数的图象的平移变换和三角函数的诱导公式的变换求出结果． 【详解】解：函数的图象向左平移单位后， 得到函数的图象． 故选：C． 8. 长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法1：借助全概率公式求解；法2：根据概率计算出样本容量，然后利用古典概型计算出概率． 【详解】法1：令“玩手机超过1h的学生”，“玩手机不超过1h的学生”，“任意调查一人，此人近视”， 则，且互斥； 依题意，，； 由全概率公式； 即； ； 法2：设该校有100名学生，整理得到如下列联表： 学生100人 玩手机时间 合计 超1h 不超1h 近视 10 30 40 不近视 10 50 60 合计 20 80 100 依题意有：. 故选：B． 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 为调研某地空气质量，连续天测得该地是衡量空气质量的重要指标，单位：的日均值，依次为，，，，，，，，，，则（ ） A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的众数为 C. 这组数据的中位数为或 D. 这组数据的第百分位数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据极差的概念通过计算即可判断A；对这组数据重新排序，再根据众数的概念计算即可判断B；对这组数据重新排序，再根据中位数的概念计算即可判断C；求出这组数据的第百分位数即可判断D． 【详解】对于A，极差为，故A正确； 对于B，这组数据从小到大依次：，，，，，，，，，， 所以众数为，故B正确； 对于C，这组数据从小到大依次是：，，，，，，，，，， 所以中位数为，故C错误； 对于D，因为，所以这组数据的第百分位数为，故D正确． 故选：ABD 10. 下列关于概率统计说法中正确的是（ ） A. 两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B. 经验回归方程相对于点的残差为 C. 在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好 D. 某人解答10个问题，答对题数为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由统计相关知识定义以及二项分布的均值公式即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A项，两个变量的相关系数为，越小， 与之间的相关性越弱， 故A正确 ； 对于 B，残差=观测值减去预测值=，故B正确； 对于，在回归分析中， 越接近于1 ， 模型的拟合效果越好， ∴为 0.98 的模型比为 0.89 的模型拟合的更好，故 C错误； 对于， 某人在10次答题中， 答对题数为， 则数学期望 ， 故D正确． 故选：ABD. 11. 已知函数，，则（ ） A. 是偶函数 B. 恒成立 C. 的值域是 D. 的值域是 【答案】AB 【解析】 【分析】A，利用函数奇偶性的定义判断；B，通过指数幂的运算求解判断；C，利用基本不等式判断；D，由当 时，判断. 【详解】A，，故是偶函数 ，故A正确； B，，，故B正确； C，，当且仅当，即 时，等号成立，故C错误； D，，当 时，，故D错误． 故选：AB 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有、、、、、共个结果； 满足两个数相差为2的有、共个结果； 所以两个数相差为2的概率； 故答案为： 13. 某市高二数学统考，假设考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为，，，四个等级，则等级的最低分是_________分． 【答案】75 【解析】 【分析】利用正态分布的性质结合题意求解. 【详解】设考试成绩为随机变量，则， 所以， 因为按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为，，，四个等级， 所以等级和等级一共占， 所以等级的最低分为75分. 故答案为：75 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为______. 【答案】##0.3125 【解析】 【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求出的表达式，即可求得的值. 【详解】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，， 设“次传球后球在甲手中”，则， 则． 即， 所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，所以， 所以5次传球后球在甲手中的概率为． 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用指数幂的性质公式化简求解即可； （2）运用对数运算性质公式求解即可. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 16. 三角形的内角、、所对的边分别为，，，． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1），利用正弦定理得到求解；- （2）利用余弦定理，结合基本不等式得到，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 解：， ， ， ， 为三角形内角，．- 【小问2详解】 ，， 由余弦定理得； ，即；- ， 所以面积的最大值为． 17. 某学校高二年级有400名学生，将数学和语文期中考试成绩的数据整理如表1： 表1 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 73 54 127 不优秀 61 212 273 合计 134 266 400 表2 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 6 14 不优秀 6 26 合计 40 （1）根据表1数据，从400名学生中随机选择一人做代表． ①求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率； ②在选到的同学数学成绩优秀的条件下，求选到的同学语文成绩优秀的概率． （2）从400名学生中获取了容量为40的简单随机样本，样本数据整理如表2，请填写完整表2数据，并根据表2数据，依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （，） 【答案】（1）① ；② （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）①古典概型概率求解②条件概率公式求解； （2）求出值，与比较判断即可. 【小问1详解】 记事件“选到同学数学成绩优秀”，记事件“选到同学语文成绩优秀”， 则与相互独立，①，②． 【小问2详解】 表2整理如下： 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 8 6 14 不优秀 6 20 26 合计 14 26 40 零假设：数学成绩与语文成绩无关联，根据表2中的数据可得： - 依据的独立性检验，我们可以推断不成立； 即认为数学成绩与语文成绩有关联，该推断犯错误概率不超过． 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，侧面是正三角形，侧面底面． （1）求与底面所成角的正切值； （2）求侧面与底面所成二面角的大小； （3）若是上的点，且平面，求四面体的体积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设是的中点，连接，由侧面底面，得到平面，得到是与底面所成角求解； （2）在菱形中，易得，再由，得到平面，从而，得到是侧面与底面所成二面角的平面角求解； （3）连结交于点，连结，由平面，得到，再利用求解． 【小问1详解】 如图所示： 设是的中点，连接； 又侧面是正三角形，是的中点， 又因为侧面底面，平面平面； 平面ABCD， 是与底面所成角；- 在中，． 【小问2详解】 因为在菱形中，，所以为等边三角形， 又为的中点，所以， 由（1）知，，且， 所以平面，又平面，则， 是侧面与底面所成二面角的平面角； 而在中，，所以； 所以侧面与底面所成二面角大小为． 【小问3详解】 连结交于点，连结， 因为底面为菱形，且平面，平面平面， 所以， 又因为在中，为中点， 所以为中点． 又平面， 所以故点到平面距离等于点到平面的距离， 即． 由（1）知，平面平面，且平面平面，平面， 所以底面， 因为等边的边长为2，所以． 又因为为中点，所以点到底面的距离为， 因为为边长为2的等边三角形，所以三棱锥的体积为： ． 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点． （1）求； （2）求的坐标； （3）若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再根据数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，即可得到是平行四边形，从而得到，即可得到，再根据计算可得； （3）设，，又三点共线，设，根据平面向量线性运算及基本定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 依题意可得， ， - ； 【小问2详解】 ，，， ，，， ， 所以四边形是平行四边形，即， ， 是的中点， ， ， 又， ， ； 【小问3详解】 设，， 则，， 因三点共线，则设， ， ， ， ，， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 或者：由，得， 所以，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是以平面向量基本定理得到，从而得到，再由基本不等式求出面积最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$