第18讲 线段的比较与运算（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材人教版

第18讲 线段的比较与运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两点之间线段最短 题型2 线段的数量问题的应用 题型3 线段的和与差 题型4 作线段（尺规作图） 题型5 线段中点的有关计算 题型6 线段n等分点的有关计算 题型7 与线段有关的动点问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 度量法、叠合法、线段中点、尺规作图、等分点、数形结合。 1. 掌握比较线段长短的两种方法：度量法（用刻度尺量长度）和叠合法（放到同一直线上比较端点位置）。 2. 理解线段中点的概念，掌握中点将线段分成两条相等的线段，能进行相关计算和推理。 3. 能用尺规作图作一条线段等于已知线段，并作线段的和与差。 4. 体会几何图形中数量关系和位置关系的相互转化，培养逻辑思维和几何直观。 学习重点：用度量法和叠合法比较线段长短，理解线段中点的概念及作用，能用尺规作线段的和与差。 学习难点：叠合法中“重合端点”的操作与判断，以及用线段中点进行比例计算和符号表达（如 AM = MB =AB），尺规作图的基本操作规范。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 【易错提醒】 尺规作图易错警示：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹。注意：直尺只能画直线，不能量长度；圆规画弧或截取等长。作图后需写结论。基本作图（作相等线段、角、垂直平分线等）步骤要清晰，勿随意增加刻度尺测量。 即时即练1．作图题：如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)做射线； (2)取一点P，使点P既在直线上又在直线上； (3)若A、C两点之间的距离为4，B、D两点之间的距离为3，点M到A，B，C，D四点距离之和最短．画出点M的位置，并写出该最短距离和是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查射线，直线和线段，以及线段的性质： （1）根据射线的定义，作图即可； （2）直线的交点即为点； （3）两点之间线段最短，得到，的交点即为点，再进行求解即可． 【详解】（1）解：作射线，如图； （2）直线和直线的交点就是点P； （3）连接，交于M，点M即为所求，最短距离和是 知识点02 线段大小比较 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 【易错提醒】 线段大小比较易错警示：可用度量法（统一单位）或叠合法（一端对齐，看另一端位置）。注意：叠合法需考虑线段方向，比较的是长度而非位置。单位不一致时先换算。勿仅凭视觉判断（如弯曲线段）。中点将线段分为相等两部分。 即时即练1．如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的定义，比例的性质，根据题意得，根据中点的性质可得ME=，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴ ∵点、分别是、的中点， ∴ME= ∴， 故答案为：． 知识点03 线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 【易错提醒】 线段性质易错警示：两点之间线段最短。注意：是“线段”最短，不是直线或射线。两点间距离指线段长度，非线段本身。比较线段长短可用度量或叠合法，勿与“直线无限延伸”混淆。中点定义需准确。 即时即练1．高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（    ）    A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．平行线之间的距离最短 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题考查线段的性质，解题的关键是掌握：两点之间，线段最短． 【详解】解：在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为：两点之间，线段最短． 故选A． 知识点04 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 【易错提醒】 线段和差易错警示：线段的和差是长度运算，结果仍为线段。注意：作图时需截取相等长度，并用圆规或刻度尺准确。计算时注意单位统一，如AB+BC=AC需验证点B是否在AC上。勿与角度运算混淆。 即时即练1．如图，点是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)图中共有_______条线段； (2)求的长； (3)若，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据线段的定义即可求解； （）根据线段中点定义及线段和差关系即可求解； （）利用线段和差关系求出，再根据线段的比即可求解； 本题考查了线段，线段的和差，中点的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，线段共有条， 故答案为：； （2）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 知识点05 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 【易错提醒】 线段中点易错警示：中点将线段分为两条相等的线段（AM=MB=AB）。注意：点必须在线段上，且满足等距。若只知AM=MB而点不在线段上，则不是中点。中点公式在数轴上为 (x1+x2)/2，勿漏除以2。 即时即练1．线段上，M为的中点，N为的中点，，，（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质．先由，再根据中点的性质得，，最后由线段的和差关系即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴，， ∴． 故选：D． 2．如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为________cm； (2)如果，，则的长为_________cm； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1) (2)14 (3)． 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出的长，利用线段中点的性质，得出，． （1）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （2）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （3）根据（2）的解题过程，即可解答． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， 故答案为：14； （3）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， ， ． 题型1 两点之间线段最短 【例1】如图，某同学用剪刀沿直线将一圆形的训练场剪掉一部分，发现剩下训练场的周长比原训练场的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是_______________． 【答案】两点之间，线段最短 【详解】解：某同学用剪刀沿直线将一圆形的训练场剪掉一部分，发现剩下训练场的周长比原训练场的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 【例2】湘超“火”爆岳阳，“看湘超，游岳阳”成为了当下最时尚的游玩选择．外地游客小智在观看完湘超比赛后，准备打卡岳阳楼景区和君山岛景区．导航上显示两地之间的直线距离为，但实际导航时却显示路长为，能解释这一现象的数学知识是_____． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，解题的关键是理解两点之间线段最短的几何意义，并能将其应用到实际生活场景中． 分析直线距离与实际路线的本质区别，直线距离对应两点之间的线段长度，实际路线为连接两点的折线或曲线，根据线段性质可知线段长度是连接两点的所有线中最短的，因此实际路长大于直线距离． 【详解】解：∵ 两点之间的所有连线中，线段最短． ∴ 两地之间的直线距离（线段长度）为最短距离，而实际导航的路线为非线段的路径，其长度必然大于线段长度． 故答案为：两点之间，线段最短． 【技巧归纳】 最短路径问题：化曲为直，利用两点之间线段最短。如蚂蚁在几何体表面爬行，展开成平面后连接两点。实际中修路选最短。也可作对称点转化折线为直线。验证时，若路径为折线，则直接线段更短。结合三角形两边之和大于第三边。常见于最短距离。 【变式1-1】如图，用直线l表示一条公路，是公路l两侧的两个村庄．现有一个公交站在公路上，当公交站位于线段与公路交点处时，它到两个村庄的距离之和最小，其中的原理可以用数学中的_____这一基本事实来解释． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，利用线段的性质即可求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴当位于线段与公路的交点时，的长度就是线段的长度，这是两点之间的最短距离， 这里用到的数学基本事实是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【变式1-2】在高速公路的建设过程中，通常要开挖隧道穿过山体，把道路取直以缩短路程，运用所学的数学知识解释是_______． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】此题主要考查了两点之间线段最短的性质，为数学知识的应用，由题意将把道路取直以缩短路程，就用到两点之间线段最短的性质，正确将数学定理应用于实际生活是解题的关键． 【详解】解：在高速公路的建设过程中，通常要开挖隧道穿过山体，把道路取直以缩短路程， 运用所学的数学知识解释是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 题型2 线段的数量问题的应用 【例3】如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光明城站，则有 种不同的票价，要准备 种车票． 【答案】 10 20 【分析】本题主要考查了线段条数问题，分别用A、B、C、D、E表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，那么图中线段的条数即为票价种类数，由于两个站之间有往返票，则两个站之间有2种票，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，分别用A、B、C、D、E表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站， ∵一共有广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，共5个站，且每两个站之间有一种票价， ∴图中线段的条数即为票价种类数， ∵图中有线段，共10条线段， ∴有10种不同的票价， ∵两个站之间有往返票， ∴两个站之间有2种票， ∴要准备种车票， 故答案为：10；20． 【例4】如图，点，，在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线． 【答案】 3 6 1 【分析】本题考查了直线、射线和线段的认识，直线没有端点，是无限长的；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不能度量长度；线段有两个端点，可以度量长度．据此解答． 【详解】解：由图可知，直线上有A、B、C三个点， 根据直线的特征可知，图中有1条直线； 根据射线的特征可知，以A为端点时，有2条射线；以B为端点时，有2条射线；以C为端点时，有2条射线， 所以一共有（条）射线； 根据线段的特征可知，图中有线段、线段、线段，3条线段． 即图中有1条直线，6条射线，3条线段． 故答案为：1；6；3． 【技巧归纳】 若一条直线上有n个点（含端点），则线段总数=C(n,2)=n(n-1)/2。若只数部分区间，按端点分类计数。也可用“基本线段”累加法：先数最短的，再数长的。注意重复计数，按从左到右顺序。如4个点有6条。适用于计数题型。 【变式2-1】如图，图中有线段 条，分别是线段 ；图中有射线 条，分别是射线 、 、 、 、 ． 【答案】 6 5 【分析】此题考查了线段、射线的识别，根据线段和射线的定义进行解答即可． 【详解】解：如图，图中有线段6条，分别是线段；图中有射线5条，分别是射线、、、、． 故答案为：6，，5，、、、、 【变式2-2】湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 【答案】 【分析】本题考查了如何求线段的条数的问题，设首尾两站为点，点是线段上的七个点，求出之间的所有线段条数，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设首尾两站为点，点是线段上的七个点， 则图中共有线段条， ∵到与到车票不同， ∴从到的车票共有种， 故答案为：． 题型3 线段的和与差 【例5】如图，线段，点是线段上一点，且，点为线段的中点，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差，线段中点的定义，根据，代入数据进行计算即可求出的长；再求出的长，然后根据线段中点的定义求解即可．准确识图并掌握线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴． 故答案为：． 【例6】已知线段，在的延长线上取一点C，使，在的反向延长线上取一点D，使，则线段的长度是线段的长度的 倍． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键．根据题意画出图形，由线段的和差倍分解答即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【技巧归纳】 线段和：AC=AB+BC（B在A、C之间）。差：AB=AC-BC。利用等量代换求未知线段。若给出比例，设x表示。注意中点：AM=MB=AB/2。结合图形，用线段和差表示目标线段。如AB=AC+CD+DB。常设未知数列方程。折叠问题中利用相等关系。 【变式3-1】如图，、、为线段上的三个点，，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段之间的和差关系．根据进行计算即可； 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：15． 【变式3-2】若点，，在同一条直线上，如果线段，线段，那么，两点之间距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间距离，分析两种情况求解：点可能在线段上，也可能在线段的延长线上，进而即可求解．根据题意画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【详解】解：若点在线段上，如图， ∵，， ∴； 若点在线段的延长线上，如图， ∵，， ∴， 综上所述，，两点之间距离是或． 故答案为：或． 题型4 作线段（尺规作图） 【例7】如图，已知线段，用直尺和圆规画出线段c，使它等于．（只写出作法） 解：（1）画射线； （2）在射线上顺次截取______； （3）在线段上截取______，线段______即为所求． 【答案】（2）a；（3）b； 【分析】本题主要考查了线段之间的关系作图，根据第一二步得到，第三步截取后得，线段即为所求． 【详解】解；（1）画射线； （2）在射线上顺次截取； （3）在线段上截取，线段即为所求． 【例8】如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)画线段，交于E点； (2)作射线； (3)反向延长至F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段，两点之间的距离等知识． （1）根据线段的定义画出图形； （2）根据射线的定义画出图形； （3）在的延长线上截取，在线段上，截取，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段，交于E点，点E即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求． 【技巧归纳】 用无刻度直尺和圆规。作线段等于已知线段：画射线，在射线上截取等长。作线段和差：依次截取或从长线段中截取。作中点：作垂直平分线。注意保留作图痕迹，写清步骤。圆规截取长度不变。尺规作图不能测量刻度，只能转移长度。用圆弧确定交点。 【变式4-1】如图，已知线段，请用尺规按下列要求作图： (1)延长线段到C，使； (2)延长线段到D，使 (3)如果，那么______， ______， ______ 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析 (3)4，6，8 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差． （1）根据，可得线段； （2）根据，可得线段； （3）根据线段中点的性质，可得的长根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得的长． 【详解】（1）解：如图1所示； （2）解：如图2所示； （3）解：∵，，，     ， 故答案为：4，6，8． 【变式4-2】（1）如图，已知线段、．请用尺规按要求作图： ①作线段； ②在线段的延长线上截取；(不要求写画法，保留作图痕迹) （2）若点是线段的中点，用含、的式子表示线段的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【分析】本题考查了作线段、与线段中点有关的计算、整式加减的应用，熟练掌握作线段和线段的运算是解题关键． （1）①根据作线段的方法，作线段即可得； ②根据作线段的方法，在线段的延长线上截取即可得； （2）先求出，再根据线段中点的定义可得，然后根据即可得． 【详解】解：（1）①作线段，如图所示： ②在线段的延长线上截取，如图所示： （2）∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 题型5 线段中点的有关计算 【例9】如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）已知，可得的长，因为点C为线段的中点，点D为线段的中点，可得的长，因为，可得的长； （2）因为点C为线段的中点，可得的长，因为，求得的长，可得的长，因为点D为线段的中点，可得的长． 【详解】（1）解：， ， ∵点C为线段的中点，点D为线段的中点， ， ； （2）解：，点C为线段的中点， ， ∵， ， ， ∵点D为线段的中点， ． 【例10】如图，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则_____； (2)若，求的长． (3)说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）由线段中点的定义可得，同理可得，，然后根据线段的和差求解即可； （2）由线段的和差可得，利用线段的中点定义可得，，然后根据线段的和差求解即可； （3）利用线段的中点定义可得，，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵点恰好是中点，， ∴， ∵点、分别是和的中点， ∴，， ∴． （2）解：， ， 、分别是和的中点 ，． ． （3）解：、分别是和的中点 ，． ． 不论取何值（不超过），的长不变． 【技巧归纳】 中点将线段分为两等份。若M是AB中点，则AM=MB=AB/2。已知AB求AM；已知AM求AB=2AM。多个中点：依次取半。也可用方程思想：设AM=x，则AB=2x，结合其他条件求x。注意中点必须在线段上。分类讨论：若点在延长线上，则不是中点。常用“一半”关系。 【变式5-1】已知，C，D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有 条线段； (2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，，C，D分别为，中点，求的长． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【分析】（1）根据两点确定一条线段，数图中共有几组端点即可； （2）运用整体思想，通过，先求出和的值，再计算即可； （3）运用中点定义，，，分别求出和，再计算即可． 【详解】（1）解：图中共有，，，，，，6条线段； （2）解：由图可知，， 又， ∴， ∴； （3）解：∵C，D分别为，中点， ∴，， ∴． 【变式5-2】已知：直线上两点、，，是线段上一点，，，且满足． (1)直接写出：______，______； (2)是直线上点右侧一点，是直线上点右侧一点，满足，用含的整式表示线段的长； (3)在（2）的条件下，F是直线m上点B左侧一点，，是中点，N是中点，当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)4或17 【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）由题意可得，再分点D在点O的左侧时、点E在点B的左侧和点D在点O的右侧时、点E在点B的右侧，两种情况分别画出图形，然后利用线段的中点以及线段的和差求解即可； （3）先求得，再分点D在点O的左侧时、点E在点B的左侧和点D在点O的右侧时、点E在点B的右侧，两种情况分别画出图形、线段的和差以及一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，．， ∴．， ∴． （2）解：∵， ∴， 如图：当点D在点O的左侧时，点E在点B的左侧， ∵，， ∴， ∴； 如图：当点D在点O的右侧时，点E在点B的右侧， ∵，， ∴， ∴； ． 综上，线段的长． （3）解：∵，， ∴， 如图：当点D在点O的左侧时，点E在点B的左侧， ∴ ∵是中点，N是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； 如图：当点D在点O的右侧时，点E在点B的右侧， ， ∴， ∵是中点，N是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 综上，t的值为4或17． 题型6 线段n等分点的有关计算 【例11】已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可． 【详解】解：∵，，N是线段的中点， ∴，， ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； ②若，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； 故答案为：40或80． 【例12】二等分点：又叫线段的 ，把线段分成 的两部分． 即：如图，若点P是线段的中点，则或 三等分点：把线段分成 的三部分．以此类推． 【答案】 中点 相等 相等 【知识点】线段之间的数量关系、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，正确理解定义是解题的关键． 【详解】二等分点：又叫线段的中点，把线段分成相等的两部分．     即：如图，若点P是线段AB的中点，     则或 三等分点：把线段分成相等的三部分．以此类推． 故答案为：中点；相等；相等． 【技巧归纳】 n等分点将线段分成n等份。若点P是AB的m等分点（AP:PB=m:(n-m)），则AP=m/n·AB。已知比例可设每份为x，列方程。注意等分点位置：从A起第k个分点，AK=k/n·AB。多个等分点时，用比例关系转化。常设份数法，避免分数运算。验证总和等于全长。 【变式6-1】如图，为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点A的三等分点，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据线段的和差，求得的长，再根据线段中点的性质，可求出的长； （2）先求得的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为点为的中点， 所以； （2）解：因为，点是线段上靠近点A的三等分点， 所以， 则． 所以． 【变式6-2】已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由中点的定义可得，，然后根据求解即可； （2）由，可得，，然后根据求解即可； （3）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 当点G在线段上时，； 当点G在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 题型7 与线段有关的动点问题 【例13】已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点 (1)若，求的长； (2)若点C恰好是的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由计算即可得解； （2）由题意可得，，，结合计算即可得解． 【详解】（1）解：如图： ， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点C恰好是的中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴， ∴． 【例14】已知点C为线段上一动点，点D，E分别是线段和的中点． (1)如图，若线段 ，求线段的长； (2)若线段的长为，则线段的长为 （用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质． （1）利用线段的和差表示出相关的线段，再利用线段中点的性质求解即可； （2）假设线段的长为，线段的长为，则线段的长为，利用线段中点的性质即可表示出线段的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点D，E分别是线段和的中点， ∴， ； （2）解：假设线段的长为，线段的长为，则线段的长为， ∵点D，E分别是线段和的中点， ∴， ， 故答案为：． 【技巧归纳】 设运动时间为t，用t表示动点位置（如P从A出发速度为v，则AP=vt）。根据线段和差或中点条件列方程。注意方向：向B运动则AP+PB=AB；若往返需分段。解方程求t，检验是否在运动范围内。常用数轴表示，设坐标法更简便。分类讨论相遇、追及。 【变式7-1】如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： (1)当时，______；当时，______． (2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 【答案】(1)， (2)①，②线段的长为或 【分析】本题考查代数式，一元一次方程，线段的运算，熟练掌握线段的运算是解题的关键； （1）根据速度时间关系，可以求得相对应线段的长度，利用线段之间运算即可求解； （2）①由题意，得，，根据相遇关系列方程，求得的值，求出的值，进而求解； ②根据题意，求得的长度，进而分情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ， 故答案为：， （2））①由题意，得，， 当点，相遇时，，， 则， 所以， 因为， 所以， 所以； ②由①可得，， 因为， 所以， 当点C在点D左侧时，， 当点C在点D右侧时，， 故线段的长为或． 【变式7-2】如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【答案】(1)16， (2)证明见解析 【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据绝对值的非负性可得，由此即可得； （2）先根据数轴的性质可得，点表示的数是，再求出，然后根据线段中点的定义可得，则可得，代入计算即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上点表示的数是16，点表示的数是， 故答案为：16，． （2）证明：由（1）已得：数轴上点表示的数是16，点表示的数是， ∴， ∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ∴点表示的数是， ∴在点到达点之前，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 一、单选题 1．下列说法中，能说明点C一定是AB中点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若点是线段的中点，则点必须在线段上，且满足． 【详解】解：A．，可得点C在线段上，无法推出，点不一定是的中点，不符合题意； B．，没有说明点在线段上， 点不一定是的中点，不符合题意； C．无法推出，也不能确定点在线段上， 点不一定是的中点，不符合题意； D．，可得，可推出点在线段上且平分，点一定是的中点，符合题意． 2．下列4个现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的有（  ） ①两个钉子可以把木条固定在墙上 ②小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物 ③弯曲的河道改直，可缩短航程 ④工人砌墙时，用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查对直线和线段的两个基本事实的辨析，分清“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”的应用场景即可解题． 【详解】解：∵①用两个钉子固定木条，④工人拉参照线使砖在一条直线上，都可以用基本事实“两点确定一条直线”解释； ②小狗径直奔向食物，③把弯曲河道改直缩短航程，都可以用基本事实“两点之间，线段最短”解释． ∴符合要求的是②③，故选C． 3．如图，，C为的中点，点D在线段上，且，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点的定义，求出、的长，再根据题意求出，结合图形计算即可． 【详解】解：∵，C是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 4．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确． 综上可知，说法正确的是②③④． 5．如图，C为射线上一点，，比的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为的中点，N为的中点，以下结论：①；②；③当时，，其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据比的多，可分别求出与的长度，以为原点建立数轴如下图，再利用数轴上两点间的距离公式与中点对应的数，列代数式，一元一次方程，从而可得答案． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴，故①符合题意， 以为原点建立数轴如下图， 则对应的数为，对应的数为， 后对应的数为，对应的数为， ∵为的中点，为的中点， ∴对应的数为，对应的数为： ， ∴， ∴， 故②符合题意， 同理：，， 当时， ∴， ∴或， 解得：或， 综上所述，当时，或，故③不符合题意； 综上，正确的个数为2，C选项符合． 二、填空题 6．把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是________． 【答案】两点之间，线段最短 【详解】根据线段的性质，两点之间所有连线中线段最短，将弯曲的河道改直后，两点间的路径变为线段，长度小于弯曲河道的路径长度，因此可以缩短航程，因此这样做根据的道理是两点之间线段最短． 7．已知线段，延长至点，使是线段的中点，如果，那么的长为______． 【答案】4 【分析】本题考查了线段中点的定义与线段的和差计算，解题的关键是利用中点的性质求出的长度，再根据线段间的数量关系建立方程求解． 先根据是的中点，由的长度求出AC的长度；再根据，将用表示，进而求出的长度． 【详解】解：是线段的中点，， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 8．在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 【答案】30 【详解】解：根据题意，得当点P与点B重合时，取得最小值，且最小值为， 则到三个加工点的距离之和最小，且最小为． 9．已知数轴上的、两点对应的数字分别为、，点，同时分别从，出发沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位/秒，点的运动速度为个单位/秒，点是线段的中点，若运动过程中，线段的长度是一个固定的值，则______． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的动点表示，线段中点的性质，代数式的化简与恒定性分析，用代数式表示线段是解题关键． 设两点运动的时间为秒，然后用含时间的代数式表示、，进而表示的长度，再根据为固定值的条件，令含的项的系数为，即可求出． 【详解】解：设两点运动的时间为秒，已知， 则，， 点是的中点， ， ， 可知当，的长度固定为， 故答案为：． 10．已知关于的方程的解也是关于的方程的解，线段，在射线上取一点，恰好使，点为线段的中点，____． 【答案】或 【分析】先求解关于的一元一次方程得到的值，根据同解方程的定义得到关于的方程中的值，代入求出的值，再分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，结合线段中点定义和线段和差关系计算的长度． 【详解】解：． 去分母得． 去括号得． 合并同类项得． 系数化为得． 关于的方程的解也是关于的方程的解． ． 将代入得∶． 解得． 由题意得，，分两种情况讨论∶ ①当点在线段上时∶ ． ，解得． 点为的中点． ． ． ②当点在线段的延长线上时∶ ，． ，解得． 点为的中点． ． ． 综上或． 三、解答题 11．如图，已知点是线段的中点，点是线段上一点，若． (1)求线段的长； (2)若点是线段上一点，且，点是的中点，求线段的长． 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键． （1）根据题意，由点C是线段的中点，可得，再结合，由计算即可； （2）求出，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，                ∵是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点是线段上一点，且， ∴，                ∵是的中点， ∴， ∴． 12．如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)图中共有 条线段． (2)求的长． (3)若点在直线上，且，求的长． 【答案】(1)6 (2)的长是 (3)的长是或 【分析】（1）根据直线上线段的条数公式：直线上有n个点，线段的条数是，可得答案； （2）根据线段中点的性质和线段的和差即可得到结论； （3）根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：图中有四个点，线段有． 故答案为：6； （2）解：点为的中点，， ， ， 答：的长是； （3）解：，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 答：的长是或． 13．如图，已知线段，线段，点在线段的延长线上，且，点在线段上，且 (1)用尺规作图在图中补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若， ①点是线段的中点吗？请说明理由． ②点在线段上，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①是，见解析；② 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据线段的尺规作图方法作图即可； （2）①由于，，则，，故点是线段的中点；②因为，，则，故所以，计算可得结果． 【详解】（1）解：（1）根据线段的尺规作图方法作图即可，如图，即为所作， ； （2）解：①点是线段的中点， 因为， 所以 又因为，所以为的中点； ②因为，， 所以， 所以 14．如图1，数轴上的点表示数，点表示数，点在点的右侧．已知，满足． (1)___________，___________； (2)如图2，动点，分别从点，处同时向右移动，点的速度为4个单位长度/秒，点的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为秒． ①当点，重合时，求运动时间； ②在运动过程中，点、、三点中恰有一点是另外两点连线所得线段的中点，求运动时间． 【答案】(1)，； (2)①；②或 【分析】（1）根据平方数与绝对值的非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0，由此可求出、的值； （2）①先表示出运动秒后点、对应的数，根据两点重合时坐标相等列方程求解； ②分三种情况讨论：是、的中点，是、的中点，是、的中点，分别利用中点性质列方程，舍去无解的情况即可得到结果． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴，， 解得，． （2）①解：运动秒后，点对应的数为，点对应的数为． 点、重合时，两点对应的数相等， ∴，解得． 答：当点、重合时，运动时间为秒． ②解：分三种情况讨论： 当点是线段的中点时，根据中点的性质，中点对应的数是两端点对应数的平均数， ∴， 解得． 当点是线段的中点时，同理可得：， 解得． 当点是线段的中点时，同理可得：，该情况无解． 综上，满足条件的运动时间为4秒或8秒． 15．综合与探究：已知数轴上点A表示的数为10，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q? ②当点P运动多少秒时，点P与点Q之间的距离为10个单位长度？ ③如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，那么就称P，B，Q为一组“幸福点”．当点P运动多少秒时，P，B，Q是一组“幸福点”？ 【答案】(1)；1； (2)①秒；②2秒或7秒；③秒或秒或9秒． 【分析】（1）根据两点间的距离公式和中点公式求解即可； （2）①根据的路程的路程解答即可； ②根据相遇前和相遇后两种情况讨论即可解答； ③分三种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵，点A表示的数为10， ∴点B表示的数是； 点P表示的数是． （2）解：①根据题意，得， 解得． 答：当点P运动秒时，点P追上点Q． ②当点P与点Q相遇前，距离10个单位长度， ， 解得；· 当点P与点Q相遇后，距离10个单位长度， ， 解得， 答：当点P运动2秒或7秒时，点P与点Q之间的距离为10个单位长度． ③根据题意，得当B为的中点时， 解得； 当点P为的中点时， 解得； 当点Q为的中点时， ， 解得． 答：当点P运动了秒或秒或9秒时，P，B，Q是一组“幸福点”． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第18讲线段的比较与运算 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1两点之间线段最短 题型2线段的数量问题的应用 题型3线段的和与差 题型4作线段（尺规作图） 题型5线段中点的有关计算 题型6线段n等分点的有关计算 题型7与线段有关的动点问题 04过关检测一练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.掌握比较线段长短的两种方法：度量法（用刻度尺量长度）和叠合法（放 到同一直线上比较端点位置)。 度量法、叠合法、线 2.理解线段中点的概念，掌握中点将线段分成两条相等的线段，能进行相关 段中点、尺规作图、 计算和推理。 等分点、数形结合。 3.能用尺规作图作一条线段等于已知线段，并作线段的和与差。 4.体会几何图形中数量关系和位置关系的相互转化，培养逻辑思维和几何直 观。 学习重点：用度量法和叠合法比较线段长短，理解线段中点的概念及作用，能用尺规作线段的和与 差。 学习难点：叠合法中“重合端点”的操作与判断，以及用线段中点进行比例计算和符号表达（如 AM=MB=)AB),尺规作图的基本操作规范。 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 ◇知|识1框引架 用刻度尺量出长度 度量法 叠合法方向判断错误 线段长短的比较方法 数值大的线段长 中点表达式符号混淆 高频易错点 将一条线段移到另一条上 叠合法 距离与线段概念混清 一个端点重合看另一端点位置 线段长短比较方法 定义 将线段分成两条相等线段的点 中点计算问题 高频考点 比较线段的长短 线段的中点 中点把线段平分 性质 中点只有一个 线段和差作图 定义 表示 若M为AB中点则AM=MB=AB/2 连接两点间线段的长度 两点之间的距离 和 两条线段长度相加 两点之间线段最短性质 线段的和与差 差 求最短路径问题应用 两条线段长度相减 作图 用尺规作线段的和与差 知1识|精1讲 知识点01尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图。 【说明】(1)只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题， (2)直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以 在上面画刻度 (3)圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度， 【易错提醒】 尺规作图易错警示：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹。注意：直尺只能画直线，不能量长度；圆 规画弧或截取等长。作图后需写结论。基本作图（作相等线段、角、垂直平分线等）步骤要清晰，勿随意 增加刻度尺测量。 即时即练1. 作图题：如图，平面上有四个点A,B,C,D,根据下列语句画图： A D 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)做射线BC: (2)取一点P,使点P既在直线AB上又在直线CD上： (3)若A、C两点之间的距离为4，B、D两点之间的距离为3，点M到A,B,C,D四点距离之和最短.画 出点M的位置，并写出该最短距离和是 知识点02线段大小比较 1.比较线段大小的方法：(1)目测法；（2)度量法；（3)叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端 点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短.如下图： 是上B D D B AB=CD AB>CD AB<CD 【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法. 【易错提醒】 线段大小比较易错警示：可用度量法（统一单位）或叠合法（一端对齐，看另一端位置）。注意：叠合法 需考虑线段方向，比较的是长度而非位置。单位不一致时先换算。勿仅凭视觉判断（如弯曲线段）。中点 将线段分为相等两部分。 即时即练1.如图，点E、F在线段AB上，点M、N分别是AE、BF的中点，AB=12,且 AE:EF:FB=1:2:1,那么线段MN的长是 A E F B 知识点03线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点 之间的距离。 【易错提醒】 线段性质易错警示：两点之间线段最短。注意：是“线段”最短，不是直线或射线。两点间距离指线段长 度，非线段本身。比较线段长短可用度量或叠合法，勿与“直线无限延伸”混淆。中点定义需准确！ 即时即练1. 高速公路是指专供汽车高速行驶的公路，高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道 3/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 穿过，把道路取直以缩短路程.其中的数学原理是() A,两点之间，线段最短 B.两点确定一条直线 C.平行线之间的距离最短 D.垂线段最短 知识点04线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C,则AC+BC-AB;AC=AB·BC;BC-AB-AC, 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. A B 【易错提醒】 线段和差易错警示：线段的和差是长度运算，结果仍为线段。注意：作图时需截取相等长度，并用圆规或 刻度尺准确。计算时注意单位统一，如AB+BC=AC需验证点B是否在AC上。勿与角度运算混淆。 即时即练1.如图，点C,E是线段AB上两点，点D为线段AB的中点，AB=6,CD=1. D C (1)图中共有 条线段： (2)求BC的长： (B)若AE:EC=13,求EC的长. 知识点05线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点.如下图所示，点C是线段AB的中 1 点，则AC-CB=2AB,或AB-2AC-2BC.A C B 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上， 【易错提醒】 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 线段中点易错警示：中点将线段分为两条相等的线段(AM-MB2AB）。注意：点必须在线段上，且满 足等距。若只知AM=MB而点不在线段上，则不是中点。中点公式在数轴上为(&+x)/2,勿漏除以2。 即时即练1.线段AB上，M为AC的中点，N为DB的中点，AB=a,CD=b,MN=(). M D B 11 11 A.a+b 2 B.a-b C.2 - b a+-b 2 D.2 2 2.如图，A,B,C,D是直线I上的四个点，M,N分别是AB,CD的中点 1有MB CND (1)如果MB=2cm,NC=1.8cm,BC=5cm,则AD的长为_ (2)如果MN=10cm,BC=6cm,则AD的长为， cn, (3)如果MN=a,BC=b,求AD的长，并说明理由. 03 题型突破 题型1两点之间线段最短 【例1】如图，某同学用剪刀沿直线将一圆形的训练场剪掉一部分，发现剩下训练场的周长比原训练场的 周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是。 【例2】湘超“火”爆岳阳，“看湘超，游岳阳”成为了当下最时尚的游玩选择.外地游客小智在观看完 湘超比赛后，准备打卡岳阳楼景区和君山岛景区.导航上显示两地之间的直线距离为12km，但实际导航 时却显示路长为22km,能解释这一现象的数学知识是 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 君山岛景区 岳阳楼景区 【技巧归纳】 最短路径问题：化曲为直，利用两点之间线段最短。如蚂蚁在几何体表面爬行，展开成平面后连接两点。 实际中修路选最短。也可作对称点转化折线为直线。验证时，若路径为折线，则直接线段更短。结合三角 形两边之和大于第三边。常见于最短距离。 【变式1-1】如图，用直线I表示一条公路，A,B是公路1两侧的两个村庄.现有一个公交站C在公路I上， 当公交站C位于线段AB与公路I交点处时，它到A,B两个村庄的距离之和最小，其中的原理可以用数学中 的这一基本事实来解释 【变式1-2】在高速公路的建设过程中，通常要开挖隧道穿过山体，把道路取直以缩短路程，运用所学的 数学知识解释是 题型2线段的数量问题的应用 【例3】如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光 明城站，则有 种不同的票价，要准备 种车票 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 广深港高头 广州 线路图 广州南站 ● 虎门站东莞 庆品站 深圳 光明站 内地段】 ○深圳北站 福田站 香港 广深港高铁 (香港段) 西九龙站。 【例4】如图，点A,B,C在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有」 条直线 B 【技巧归纳】 若一条直线上有n个点（含端点），则线段总数=C血，2)=nm-1)2。若只数部分区间，按端点分类计数。也 可用“基本线段”累加法：先数最短的，再数长的。注意重复计数，按从左到右顺序。如4个点有6条。 适用于计数题型， 【变式2-1】如图，图中有线段 条，分别是线段 图中有射线 条，分别是射线 【变式22】湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营.一张云巴票就能领略沿途10余个景点，感受大王山 人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过7个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站， 观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种 01山 02欢乐 03欢 04华谊电 05大 06桐溪 07植物 08学 09观 塘站 雪域站 乐城站 影小镇站 王山站 公园站 公园站 士站 音港站 题型3线段的和与差 【例5】如图，线段AB=16,点C是线段AB上一点，且AC=3BC,点D为线段AC的中点，则线段CD 7/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D C B 【例6)已知线段AB,在AB的延长线上取一点C,使BC=2AB,在AB的反向延长线上取一点D,使 DB=3AB,则线段AC的长度是线段DA的长度的一倍， 【技巧归纳】 线段和：AC=AB+BC(B在A、C之间)。差：AB=ACBC。利用等量代换求未知线段。若给出比例，设 x表示。注意中点：AM=MB=AB/2。结合图形，用线段和差表示目标线段。如AB=AC+CD+DB。常设未 知数列方程。折叠问题中利用相等关系。 [变式3】如图，C、DE为线段N上的三个点，DE=写MW=3,线段的长为 M D EN 【变式32】若点A,B,C在同一条直线上，如果线段AB=7cm,线段BC=4cm,那么A,C两点之间 距离是 题型4作线段（尺规作图） 【例)】如图，已知线段a,b(a>b),用直尺和圆规画出线段c,使它等于2a-b.(只写出作法) a b 解：(1)画射线OA: (2)在射线OA上顺次截取OB=BD= (3)在线段OD上截取OC=一，线段— 即为所求. 【例8】如图，平面上有四个点A,B,C,D,根据下列语句画图： A● ·B D c (1)画线段AC,BD交于E点： (2)作射线BC; B)反向延长BC至F,使得BF=3BC-BD.(不写作法，保留作图痕迹) 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【技巧归纳】 用无刻度直尺和圆规。作线段等于已知线段：画射线，在射线上截取等长。作线段和差：依次截取或从长 线段中截取。作中点：作垂直平分线。注意保留作图痕迹，写清步骤。圆规截取长度不变。尺规作图不能 测量刻度，只能转移长度。用圆弧确定交点。 【变式41】如图，已知线段AB,请用尺规按下列要求作图： A B (I)延长线段AB到C,使BC=AB: (②)延长线段BA到D,使AD=AC 3)如果AB=2cm,那么AC= cm.BD= cm,CD= cm 【变式42】(1)如图，已知线段a、b.请用尺规按要求作图： a ①作线段AB=a: ②在线段AB的延长线上截取BC=b:(不要求写画法，保留作图痕迹) (2)若点D是线段AC的中点，用含a、b的式子表示线段BD的长. 题型5线段中点的有关计算 【例9】如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点. A D C E B (1)若AE:BE=5:2,且AB=14,求CD的长： (2)若线段AB=16,CE=4,求AD的长， 【例10】如图，已知线段AB=l8Cm,点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点. A D C E B (I)若点C恰好是AB中点，则DE=Cm; (②)若AC=8cm,求DE的长， 3)说明不论AC取何值（不超过l8Cm),DE的长不变， 【技巧归纳】 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中点将线段分为两等份。若M是AB中点，则AM=MB=AB/2。已知AB求AM;已知AM求AB=2AM。 多个中点：依次取半。也可用方程思想：设AM=x,则AB=2x,结合其他条件求x。注意中点必须在线段 上。分类讨论：若点在延长线上，则不是中点。常用”一半”关系。 【变式51】已知，C,D为线段AB上任意两点. A B C D 图1 A B C D 图2 A CM D B 图3 (1)如图1，图中共有_条线段： (2)如图2，若AD=BC,AB=13,CD=7,求BD的长： 3)如图3，M为线段AB上一点，AM=4,BM=9,C,D分别为AM,AB中点，求CD的长. 【变式52】已知：直线m上两点A、B,AB=25,O是线段AB上一点，A0=a,OB=b,且满足 a-10+lb-15=0 m B m A (1)直接写出：a=一，b= (2)D是直线m上点A右侧一点，E是直线m上点O右侧一点，满足3AD=2OE=6t,用含t的整式表示线 段DE的长： ③)在（②的条件下，F是直线m上点B左侧一点，BF-OE,M是DE中点，N是E中点，当 3 DM-MN=2时，求t的值. 题型6线段n等分点的有关计算 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例11】己知线段AB=30,延长BA至点C,使CB:AB=4:3,点D、E均为线段BA延长线上两点，且 BD=3AE,MN分别是线段DE、AB的中点，当点C是线段BD的三等分点时，MN的长为 【例12】二等分点：又叫线段的 把线段分成 的两部分 P B :如图，若点P是线段4B的中点，则AP=BP=、AB或B=2AP=2 三等分点：把线段分成 的三部分.以此类推。 【技巧归纳】 n等分点将线段分成n等份。若点P是AB的m等分点(AP:PBm:-m),则AP=m/m'AB。已知比例可 设每份为x,列方程。注意等分点位置：从A起第k个分点，AK=k:AB。多个等分点时，用比例关系转 化。常设份数法，避免分数运算。验证总和等于全长。 【变式6-1】如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，已知AD=10,AC=6 A CB D (1)求BC的长： (2)若点P是线段AC上靠近点A的三等分点，求BP的长： 【变式6-2】已知线段AB=90Cm,C是线段AB上任意一点（不与点A,B重合）. M N B (I)若M,N分别是AC,BC的中点，求MN的长度： ②若4M-4C,BN-号BC,求w的长 (3)在(2)的条件下，若BC=30cm且G点在直线AB上，GB=15cm,求MG的长度. 题型7与线段有关的动点问题 【例13】己知线段AB,点C为线段AB上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是AC和 BC的中点 (I)若DE=5cm,求AB的长： (2)若点C恰好是AB的中点，且AD=6Cm,求DE的长， 【例14】已知点C为线段AB上一动点，点D,E分别是线段AC和BC的中点. 11/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D C E B (I)如图，若线段AB=10cm,AC=4cm,求线段DE的长： (2)若线段AB的长为a,则线段DE的长为（用含a的代数式表示）. 【技巧归纳】 设运动时间为t,用t表示动点位置（如P从A出发速度为V,则AP-vt)。根据线段和差或中点条件列方 程。注意方向：向B运动则AP+PB=AB;若往返需分段。解方程求t,检验是否在运动范围内。常用数轴 表示，设坐标法更简便。分类讨论相遇、追及。 【变式7-1】如图，己知线段AB=20cm,点M从点A出发以lcm/s的速度沿A→B的方向运动，同时点 N从点B出发以3Cm/s的速度沿B→A的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运 动时间为s. 物 根据题意回答下列问题： (1)当t=3s时，MN=一；当t=6s时，MN= (2)若C为线段AB上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点D, 2 ①若AD=AC,求线段BC的长： ②若BD=4CD,求线段AC的长， 【变式7-2】如图，己知数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,满足a-16+b+12=0.动点P从 点A出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. B 0 A (1)数轴上点A表示的数是」 一，点B表示的数是 _； BA+BP ②)若点p从4点出发向左运动，点0为AP的中点，在点p到达点B之前，求证：B0为定值. 04 过关检测 一、单选题 1.下列说法中，能说明点C一定是AB中点的是() A.AB=AC+BC B.AC=BC C.AB=2AC D.AB=2AC=2BC 12/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.下列4个现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的有() ①两个钉子可以把木条固定在墙上 ②小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物 ③弯曲的河道改直，可缩短航程 ④工人砌墙时，用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上 A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 3.如图，AB=12Cm,C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD:CB=1:3,则DB的长度是() AD C B A.4cm B 6cm C.8cm D.10cm 4.如图，线段AB=24Cm,动点P从A出发，以2Cm/s的速度沿AB运动，M为AP的中点，N为BP的 中点.以下说法正确的是() ①运动4后，PB=2AM: ②PM+MN的值随着运动时间的改变而改变； ③2BM-BP的值不变： ④当AN=6PM时，运动时间为2.4s. A M D N B A.①② B.②③ C.②④ D.②③④ 5.如图，C为射线AB上一点，AB=30:AC比BC的4多5，P,两点分别从A,B两点同时出发.分 别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为 QM的中点，以下结论：①BC=2AC:②4B=4NQ:③当PB=号B0时，，=12：其中正确结论的个数 是() A PC M N BO A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 6.把弯曲的河道改直，能够缩短航程.这样做根据的道理是 7.已知线段AB延长AB至点C,使BC=号4B,D是线段AC的巾点，如果DC-m,那么AB的长为- cm 8.在一条工厂流水线上从左到右依次有A,B,C三个加工点，其中A,B两点相距20m,B,C两点 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 相距1Om,现要在流水线上设置一个材料供应站P,分别往A,B,C投放不同的原料，使得供应站P到 三个加工点的距离之和最小，这个最小值为， m 9.已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为1、9，点P,Q同时分别从A,B出发沿数轴正方向运动， 点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，点C是线段AQ的中点，若运动过程中， 线段PC的长度是一个固定的值，则n= C B 0 1 9 10.已知关于m的方程m-”, 3=5的解也是关于x的方程3(x-4)-n=7的解，线段AB=2m’在射线AB 上取一点P,恰好使AP=nPB,点为线段PB的中点，AQ=一 三、解答题 11.如图，己知点C是线段AB的中点，点D是线段AB上一点，若AB=I0,BD=6 A D C B (I)求线段CD的长： ②房点6是线段AB上一点，且BE=兮BD,点F是BE的中点，求线段C的长。 12.如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=13cm,BD=3cm. A D (1)图中共有条线段， (2)求AC的长， 3)若点E在直线AD上，且BE=2Cm,求AE的长. 13.如图，己知线段a,线段AB,点C在线段AB的延长线上，且BC=AB,点D在线段BC上，且 CD=a. a A B ()用尺规作图在图中补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若AC=4,CD=1. ①点D是线段BC的中点吗？请说明理由. ②点E在线段AD上，若AE:DE=3:2,求BE的长 14.如图1，数轴上的点A表示数a,点B表示数b,点B在点A的右侧.已知a,b满足 (a+8)2+b-16=0. 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B AP→ BQ→ 图1 图2 (1)a= b= (②)如图2，动点P，分别从点A,B处同时向右移动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为2 个单位长度/秒，设运动时间为t秒. ①当点P,Q重合时，求运动时间t; ②在运动过程中，点P、B、Q三点中恰有一点是另外两点连线所得线段的中点，求运动时间t 15.综合与探究：已知数轴上点A表示的数为10，B是数轴上在A左侧的一点，且A,B两点间的距离为 18.动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(>0)秒. ←—QB 0←—P A 0 10 (I)数轴上点B表示的数是一；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P,Q同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点P追上点Q? ②当点P运动多少秒时，点P与点Q之间的距离为10个单位长度？ ③如果P,B,Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，那么就称P,B,Q为一组“幸福点”·当点 P运动多少秒时，P,B,O是一组“幸福点”？ 15/15