第11讲 方程 2026-2027学年人教版七年级数学上册暑假预习讲义（知识点+题型精讲）

第11讲 方程 目录 知识点1 方程的定义 2 知识点2 一元一次方程的定义 2 知识点3 方程的解的定义 2 知识点4 等式的基本性质（解方程核心依据） 2 知识点5 列方程的核心思路 3 题型1 判断是否是方程 3 题型2 列方程 3 题型3 判断是否是方程的解 4 题型4 已知方程的解求参数 5 题型5 判断是否是一元一次方程 5 题型6 判断是否是一元一次方程的解 5 题型7 等式的性质 6 1. 知识目标：理解方程、一元一次方程、方程的解的核心定义，熟练掌握等式的两条基本性质，明晰等式、算式、方程的区别与联系。 2. 能力目标：能准确判断方程与一元一次方程，掌握列方程的基本方法；会检验方程的解，能根据方程的解求解参数，熟练运用等式性质进行等式变形。 3. 素养目标：建立方程建模思维，养成用方程思想解决实际问题的习惯，培养严谨的逻辑辨析与代数变形能力，为后续解方程奠定基础。 知识点1 方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。方程必须同时满足两个条件：一是有等号，属于等式；二是式子中含有未知字母，二者缺一不可。 核心区分：算式无未知数、无等号；等式有等号但不一定含未知数；方程是特殊的等式。 知识点2 一元一次方程的定义 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。 三大判定要素（缺一不可）：1. 一元：仅含一个未知数；2. 一次：未知数最高次数为1；3. 整式方程：分母、根号内不含未知数。 标准形式：，其中为常数，是核心限制条件。 知识点3 方程的解的定义 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 核心逻辑：将数值代入方程，左右两边计算结果完全相等，即可判定为方程的解，一元一次方程通常只有一个解。 知识点4 等式的基本性质（解方程核心依据） 性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立。若，则。主要用于移项变形。 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。若，则；若，则。主要用于系数化为1。 补充：等式具有对称性、传递性，是等式变形、方程化简的基础。 知识点5 列方程的核心思路 摒弃算术逆向思维，采用正向建模：读懂题意、梳理已知量与未知量、找准等量关系、设未知数、列出含未知数的等式，无需解方程，只需完成列式。 题型1 判断是否是方程 解题技巧（双条件判定法）：1. 看形式：必须是等式，带有等号，无等号直接排除；2. 看内容：式子中必须含有未知数（字母）；3. 快速筛选：不等式、纯算式、无未知数的等式，均不是方程；4. 无需化简：直接根据原式结构判定，只要满足等式+含未知数即为方程。 高频易错：误将无未知数的等式、不等式判定为方程。 【典例1】．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【变式1】．下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． 【变式2】．在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【变式3】．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 题型2 列方程 解题技巧（四步建模法）：1. 审题：梳理题目数量关系，锁定核心等量关系；2. 设元：一般直接设所求未知量为；3. 表量：用含未知数的式子表示题目中的相关数量；4. 列式：根据不变的等量关系列出等式，完成方程书写；5. 规范要求：无需化简、无需求解，保证等式成立、贴合题意即可。 核心关键：列方程的本质是翻译文字语言为等式语言，找准等量是解题核心。【典例2】．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【变式2】．由“的2倍与3的和等于5”可列方程为_____． 【变式3】．代数式比代数式的值小，用方程表示为_______． 题型3 判断是否是方程的解 解题技巧（代入验证法）：1. 代入：将给定未知数数值，完整代入方程左右两侧；2. 计算：分别算出左边、右边的最终数值；3. 对比：左右数值相等即为方程的解，不相等则不是；4. 规范细节：负数、分数代入需加括号，严格遵循有理数运算规则，避免计算失误。 秒杀口诀：代入求值，左右对比，相等为解，不等舍去。 【典例3】．是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 【变式1】．是（     ）方程的解． A． B． C． D． 【变式2】．已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 【变式3】．代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值，则关于x的方程的解是______． x 0 1 0 4 8 题型4 已知方程的解求参数 解题技巧（代解求参法）：1. 代入：将已知的方程解，代入含参数的原方程；2. 化简：整理式子，得到只含参数的一元一次方程；3. 求解：解出参数的数值；4. 校验：回代原式，验证参数取值符合方程定义，无矛盾即为正确答案。 解题核心：方程的解一定满足原方程，代入是求参的唯一核心思路。 【典例4】．若是方程的解，则的值是（    ） A．-6 B．6 C．-7 D．7 【变式1】．若关于的一元一次方程的解是，则的值是_______ 【变式2】．已知关于的方程的解是，求的值． 【变式3】．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 题型5 判断是否是一元一次方程 解题技巧（三要素严查法）：1. 判整式：等式两边均为整式，分母、根号内不含未知数；2. 判一元：全程只含有一个未知数，多未知数直接排除；3. 判一次：未知数最高次数为1，无平方、立方、负指数；4. 化简校验：复杂式子先化简，排除二次项、多余项后再判定。 必考陷阱：化简后未知数抵消、次数改变的式子，不是一元一次方程。 【典例5】．下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（     ） A． B．0 C．1 D．或1 【变式2】．已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 【变式3】．请你写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程_____． 题型6 判断是否是一元一次方程的解 解题技巧：1. 先定性：确认原式为一元一次方程；2. 再验证：沿用代入验证法，将数值代入方程左右两边；3. 精准对比：两边数值完全相等即为有效解；4. 特殊判定：一元一次方程有且只有一个解，符合条件即可确定。 易错提醒：不可仅凭数值猜测，必须严格代入计算验证。 【典例6】．已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【变式1】．如果是关于x的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【变式2】．若一个一元一次方程的解是，则这个方程可以是：_________（写出一个即可）． 【变式3】．整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 题型7 等式的性质 解题技巧（精准变形法）：1. 加减变形：等式两边同时加减同一个数或整式，符号、数值完全同步，等式不变；2. 乘除变形：两边同乘任意数可行，除法必须保证除数不为0；3. 逆向判断：等式变形可逆，可反向推导变形依据；4. 纠错判定：变形前后两边操作不一致、除法除以0、单边变形，均为错误变形。 核心禁忌：等式变形必须两边同步操作，严禁只变单边、两边操作不同。 【典例7】．下列等式变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】．下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式2】．已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 【变式3】．填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 1．下列方程属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 3．若是方程的解，则的值是（     ） A．2 B．4 C． D． 4．宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（     ） A．绝对值 B．有理数 C．代数式 D．方程 5．已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值是（   ） A．2 B． C．2 , D．1, 6．关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 7．若关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B． C． D．9 8．若是关于的分式方程的解，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 9．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 10．下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 12．若是关于的方程的解，则的值为___________． 41．已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 13．若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为_________． 14．x与6的差的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为______． 15．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_____． 16．检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 17．下图是苏科版教材七年级数学上册的部分内容． 求代数式的值，其中，． 卡通人物的话语中体现了“整体代换”的数学思想方法．“整体代换”能帮助我们把复杂的式子“打包”成一个整体，让运算变得简单清晰．请运用“整体代换”的思想方法解决以下问题． (1)解决上图中的问题； (2)当时，．当时，求代数式的值； (3)若关于的方程的解是，则关于的方程的解是______． 18．若、为有理数，规定：，，例：，． (1)若，求的值； (2)直接写出的最小值为______，此时的取值范围为______； (3)若有理数、、满足，且关于的方程有无数解，，求的值． 19．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 20．已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 方程 目录 知识点1 方程的定义 2 知识点2 一元一次方程的定义 2 知识点3 方程的解的定义 2 知识点4 等式的基本性质（解方程核心依据） 2 知识点5 列方程的核心思路 3 题型1 判断是否是方程 3 题型2 列方程 4 题型3 判断是否是方程的解 6 题型4 已知方程的解求参数 7 题型5 判断是否是一元一次方程 9 题型6 判断是否是一元一次方程的解 11 题型7 等式的性质 12 1. 知识目标：理解方程、一元一次方程、方程的解的核心定义，熟练掌握等式的两条基本性质，明晰等式、算式、方程的区别与联系。 2. 能力目标：能准确判断方程与一元一次方程，掌握列方程的基本方法；会检验方程的解，能根据方程的解求解参数，熟练运用等式性质进行等式变形。 3. 素养目标：建立方程建模思维，养成用方程思想解决实际问题的习惯，培养严谨的逻辑辨析与代数变形能力，为后续解方程奠定基础。 知识点1 方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。方程必须同时满足两个条件：一是有等号，属于等式；二是式子中含有未知字母，二者缺一不可。 核心区分：算式无未知数、无等号；等式有等号但不一定含未知数；方程是特殊的等式。 知识点2 一元一次方程的定义 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。 三大判定要素（缺一不可）：1. 一元：仅含一个未知数；2. 一次：未知数最高次数为1；3. 整式方程：分母、根号内不含未知数。 标准形式：，其中为常数，是核心限制条件。 知识点3 方程的解的定义 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 核心逻辑：将数值代入方程，左右两边计算结果完全相等，即可判定为方程的解，一元一次方程通常只有一个解。 知识点4 等式的基本性质（解方程核心依据） 性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立。若，则。主要用于移项变形。 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。若，则；若，则。主要用于系数化为1。 补充：等式具有对称性、传递性，是等式变形、方程化简的基础。 知识点5 列方程的核心思路 摒弃算术逆向思维，采用正向建模：读懂题意、梳理已知量与未知量、找准等量关系、设未知数、列出含未知数的等式，无需解方程，只需完成列式。 题型1 判断是否是方程 解题技巧（双条件判定法）：1. 看形式：必须是等式，带有等号，无等号直接排除；2. 看内容：式子中必须含有未知数（字母）；3. 快速筛选：不等式、纯算式、无未知数的等式，均不是方程；4. 无需化简：直接根据原式结构判定，只要满足等式+含未知数即为方程。 高频易错：误将无未知数的等式、不等式判定为方程。 【典例1】．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 【变式1】．下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程“含有未知数的等式”这一定义，判断选项是否同时满足“含有未知数”“是等式”两个条件即可求解． 【详解】解：A 、不是等式，不满足条件，故A错误； B、是不等式，不是等式，不满足条件，故B错误； C、是等式，但不含未知数，不满足条件，故C错误； D、既含有未知数，又是等式，满足方程的定义，故D正确． 【变式2】．在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【答案】 ①②③⑥ ①②⑥ 【分析】根据等式、方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，有等号、有未知数，是等式也是方程； ②：有等号、有未知数，是等式也是方程； ③：有等号、无未知数，只是等式； ④：是小于号，不是等式，也不是方程； ⑤：是大于号，不是等式，也不是方程； ⑥：有等号、有未知数，是等式也是方程． 所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥． 【变式3】．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 题型2 列方程 解题技巧（四步建模法）：1. 审题：梳理题目数量关系，锁定核心等量关系；2. 设元：一般直接设所求未知量为；3. 表量：用含未知数的式子表示题目中的相关数量；4. 列式：根据不变的等量关系列出等式，完成方程书写；5. 规范要求：无需化简、无需求解，保证等式成立、贴合题意即可。 核心关键：列方程的本质是翻译文字语言为等式语言，找准等量是解题核心。【典例2】．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得等量关系为：小华的钱数小红的钱数，将小红有35元钱，小华有元钱代入等量关系式后求解． 【详解】解：根据题意，得． 【变式1】．《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意可列出方程为． 【变式2】．由“的2倍与3的和等于5”可列方程为_____． 【答案】 【分析】根据题意将文字描述转化为代数式，结合等量关系列出方程即可 【详解】解：x的2倍可表示为，x的2倍与3的和可表示为， 根据和等于5，列方程为 【变式3】．代数式比代数式的值小，用方程表示为_______． 【答案】 【分析】根据题意找出等量关系，将题目中的文字描述转化为等式，代入对应代数式即可得到方程． 【详解】解：由题意可知，代数式比代数式的值小， 可得等量关系：等于减， 因此列方程得：． 题型3 判断是否是方程的解 解题技巧（代入验证法）：1. 代入：将给定未知数数值，完整代入方程左右两侧；2. 计算：分别算出左边、右边的最终数值；3. 对比：左右数值相等即为方程的解，不相等则不是；4. 规范细节：负数、分数代入需加括号，严格遵循有理数运算规则，避免计算失误。 秒杀口诀：代入求值，左右对比，相等为解，不等舍去。 【典例3】．是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质即可判断． 【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，，，故选项不符合题意； C．当时，，故选项不符合题意； D．当时，，故选项符合题意． 【变式1】．是（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把分别代入下列方程，检验是否成立即可． 【详解】解：A.把代入方程，方程左边方程右边，所以是的解； B.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； C.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； D.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解． 【变式2】．已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 【答案】 【分析】本题考查方程的解，将方程两边同时除以2后，根据表格中数据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知，当时，， 故关于的方程的解为； 故答案为： 【变式3】．代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值，则关于x的方程的解是______． x 0 1 0 4 8 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程 转化为 ，然后从表格中找出当时对应的值即可． 【详解】解：由方程可得， 观察表格，当时，， 故方程的解为：． 故答案为：． 题型4 已知方程的解求参数 解题技巧（代解求参法）：1. 代入：将已知的方程解，代入含参数的原方程；2. 化简：整理式子，得到只含参数的一元一次方程；3. 求解：解出参数的数值；4. 校验：回代原式，验证参数取值符合方程定义，无矛盾即为正确答案。 解题核心：方程的解一定满足原方程，代入是求参的唯一核心思路。 【典例4】．若是方程的解，则的值是（    ） A．-6 B．6 C．-7 D．7 【答案】D 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得， 整理得， 解得． 【变式1】．若关于的一元一次方程的解是，则的值是_______ 【答案】 【分析】由方程的解可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】将代入方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 【变式3】．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 题型5 判断是否是一元一次方程 解题技巧（三要素严查法）：1. 判整式：等式两边均为整式，分母、根号内不含未知数；2. 判一元：全程只含有一个未知数，多未知数直接排除；3. 判一次：未知数最高次数为1，无平方、立方、负指数；4. 化简校验：复杂式子先化简，排除二次项、多余项后再判定。 必考陷阱：化简后未知数抵消、次数改变的式子，不是一元一次方程。 【典例5】．下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：方程含有两个未知数，不符合条件，错误； B选项：方程中未知数最高次数为2，不符合条件，错误； C选项：方程只含1个未知数，未知数次数为1，两边均为整式，符合一元一次方程定义，正确； D选项：方程分母含有未知数，不是整式方程，不符合条件，错误． 【变式1】．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（     ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义列出关于的限制条件，求解即可得到的值． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴， 解，得或， 由，得， ∴． 【变式2】．已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为，据此列出关于的方程即可求解. 【详解】解：是关于的一元一次方程， 未知数的次数为，即， 解得. 【变式3】．请你写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一元一次方程指只含有一个未知数，未知数的最高次数为且两边都为整式的等式，结合题干给出的解和未知数系数写出符合要求的方程即可． 【详解】解：根据题意，满足解为且未知数系数为的一元一次方程有无数个， 例如：（答案不唯一）． 题型6 判断是否是一元一次方程的解 解题技巧：1. 先定性：确认原式为一元一次方程；2. 再验证：沿用代入验证法，将数值代入方程左右两边；3. 精准对比：两边数值完全相等即为有效解；4. 特殊判定：一元一次方程有且只有一个解，符合条件即可确定。 易错提醒：不可仅凭数值猜测，必须严格代入计算验证。 【典例6】．已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 将代入方程得到，再提取公因式2即可求解 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】．如果是关于x的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到和的关系式，然后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ， ， 故选：C． 【变式2】．若一个一元一次方程的解是，则这个方程可以是：_________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的定义及其解法是解题的关键． 任写一个符合条件的一元一次方程即可． 【详解】解：这个方程可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】．整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，将一元一次方程化为，根据图表即可得解． 【详解】解：∵， ， 由表可知：， 故答案为：． 题型7 等式的性质 解题技巧（精准变形法）：1. 加减变形：等式两边同时加减同一个数或整式，符号、数值完全同步，等式不变；2. 乘除变形：两边同乘任意数可行，除法必须保证除数不为0；3. 逆向判断：等式变形可逆，可反向推导变形依据；4. 纠错判定：变形前后两边操作不一致、除法除以0、单边变形，均为错误变形。 核心禁忌：等式变形必须两边同步操作，严禁只变单边、两边操作不同。 【典例7】．下列等式变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】等式的基本性质为：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：∵若，两边同时加1可得，两边同时减2可得， ∴A，B选项变形正确，不符合题意． ∵若，且，两边同时除以4可得， ∴D选项变形正确，不符合题意． ∵若，当时，无论取何值等式都成立，只有时才能得到，题目没有说明，因此不能直接得到， ∴C选项变形错误，符合题意． 【变式1】．下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】等式两边同时加或减同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：选项A：∵，等式两边同时减3，得，变形正确，符合题意； 选项B：∵，等式两边同时除以7，得，原式变形错误，不符合题意； 选项C：∵，等式两边同时乘2，得，原式变形错误，不符合题意； 选项D：∵，移项得，原式变形错误，不符合题意． 【变式2】．已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， 移项，得， 等式两边同乘，得． 【变式3】．填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质和等式的性质对各等式逐一变形即可求解． 【详解】解：（1）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （2）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （3）已知，根据等式的性质，等式两边同时除以，得； （4）已知，根据等式的性质，等式两边同时乘以，得． 1．下列方程属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次方程需满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式，根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：选项A．含有两个未知数，不符合定义，错误； 选项B．中未知数的最高次数为2，不符合定义，错误； 选项C．只含有1个未知数，未知数次数为1，且等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，正确； 选项D．中的未知数在分母上，不是整式方程，不符合定义，错误． 2．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把原方程变形为，根据题意可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴关于的一次方程的解为． 3．若是方程的解，则的值是（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可求出未知参数的值. 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ 将 代入方程得 ， 移项计算得 . 因此的值为. 4．宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（     ） A．绝对值 B．有理数 C．代数式 D．方程 【答案】D 【分析】根据题干对“天元术”步骤的描述，结合初中相关概念的定义即可判断． 【详解】解：∵“立天元一”相当于设未知数，再根据条件列出两个相等的代数式，最终得到一个含有未知数的等式， 又∵含有未知数的等式叫做方程， ∴“天元术”对应我们所学的方程． 5．已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值是（   ） A．2 B． C．2 , D．1, 【答案】B 【分析】根据一元一次方程定义，结合只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，建立式子求解，即可解题． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， 且， 解得且， ． 6．关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【分析】将代入方程，得到，从而，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入得， 即， ∴ ． 7．若关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 【分析】将已知方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，即可得到的值． 【详解】∵方程的解是， ∴将代入原方程得 ， 解得 ． 8．若是关于的分式方程的解，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题利用方程的解的定义解题，将已知解代入原分式方程，转化为关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 是分式方程 的解， ∴ 将 代入方程得 ，解得 ． 9．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 10．下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】①根据方程的定义，方程的解的定义，等式的性质，即可判断． 【详解】解：①含有未知数的等式才是方程，不含未知数的等式不是方程，故①不正确； ②当时，，故②正确； ③设，则，，则，故③不正确； ④根据等式的性质2，0不能作除数，此说法没有把0排除，故④不正确； 综上所述，只有1个正确． 11．已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，据此列出等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且． 解得，即或． 又． 因此． 12．若是关于的方程的解，则的值为___________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程即可求解． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 整理得 ， 移项得， 系数化为得． 41．已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 【答案】 17 【分析】将已知解代入原方程，整理为关于的等式，根据等式对任意恒成立，得到关于和的关系式，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 因为无论为何值，方程的解总是，所以等式对任意恒成立， 因此， 解得：，， 将结果代入得． 13．若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为_________． 【答案】6 【分析】根据方程解的定义，将代入方程得到，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴． 14．x与6的差的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为______． 【答案】 【分析】根据x与6的差的2倍，即为，x的3倍，即为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：依题意得，． 15．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程化为，设，则方程为，再根据题意即可得出，从而求出方程的解． 【详解】解：方程可化为， 设， 则方程为， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴， 即关于y的一元一次方程的解为， 故答案为：． 16．检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 【答案】(1)不是该方程的解，是该方程的解； (2)是该方程的解，不是该方程的解 【详解】（1）解：当时，方程左边， 方程右边， 左边不等于右边， ∴不是该方程的解； 当时，方程左边， 方程右边， 左边等于右边， ∴是该方程的解； （2）解：当时，方程左边， 方程右边， 左边等于右边， ∴是该方程的解； 当时，方程左边， 方程右边， 左边不等于右边， ∴不是该方程的解． 17．下图是苏科版教材七年级数学上册的部分内容． 求代数式的值，其中，． 卡通人物的话语中体现了“整体代换”的数学思想方法．“整体代换”能帮助我们把复杂的式子“打包”成一个整体，让运算变得简单清晰．请运用“整体代换”的思想方法解决以下问题． (1)解决上图中的问题； (2)当时，．当时，求代数式的值； (3)若关于的方程的解是，则关于的方程的解是______． 【答案】(1)代数式的值为； (2)代数式的值为； (3)． 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元一次方程的解，根据已知条件进行整体代入法求解是解题的关键． （）把看成整体，利用合并同类项法则进行化简，然后把，代入即可； （）先求出，然后把代入，然后整体代入即可求解； （）由得，然后通过题意可得，从而求解． 【详解】（1）解： ， 当， 原式 ； （2）解：当时，， 整理得：， ∴当时， ， ； （3）解：由得， ∵关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是， 解得：， 故答案为：． 18．若、为有理数，规定：，，例：，． (1)若，求的值； (2)直接写出的最小值为______，此时的取值范围为______； (3)若有理数、、满足，且关于的方程有无数解，，求的值． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了列代数式，绝对值非负性，方程的解，化简绝对值，根据题意求出，，，满足的关系化简绝对值是解题的关键． （）根据题意列出等式，由绝对值的非负性求出，的值，再求代数式的值； （）由题意列出代数式，根据数轴上两点间的距离公式及绝对值的意义求出最小值； （）由关于的方程有无数解，整理方程，得出，又，故有，代入得到，所以，进而化简绝对值求代数式的值． 【详解】（1）解：由，得：， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由绝对值的几何意义，的最小值为，此时， ∴的最小值为，此时， 故答案为：，； （3）解：整理方程，得：， 方程有无数组解， ∴， ∵， ∴， 把，代入，得，且， ∴， ∴ ． 19．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可． 【详解】解： 将代入方程，得： ， 整理得：， 因为上式对任意的值都成立，所以含项系数为0，常数项也为0， 则有：，， ∴，， ∴． 20．已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 【答案】(1)① ， ；② (2)①；② (3)4或0或 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）根据题意，求出m和k的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意知， ， ②因为，，，，…， 所以 （2）解：①因为 则当时， ②当时，， 则原方程为， 整理得，， 因为此方程有无数个解， 所以 （3）解：由题意知， 原多项式为 因为n为大于3的正整数， 所以是一个二项式． 因为该多项式是关于x，y的五次三项式， 所以或 当，即时，要使该多项式为五次的， 则， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； 当，即时，要使该多项式为五次的， 则或， 由得，或， 经检验，都符合题意， 所以或0； 由得，或， 时，该多项式为九次三项式，故舍去； 当时，符合题意， 则， 综上所述，的值为4或0或 【点睛】能根据题意得出是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $