第十五章  轴对称-2026-2027学年八年级数学上册基本功（人教版）

第15章轴对称 15.1轴对称及其性质 知识点1轴对称图形 1、【2026西城质检】汉字是中华文明的标志。从公元前1300年殷商后期被认为是汉字第一 种形式的甲骨文，到今天，汉字先后发展出了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字 体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征。下面的小篆体字是轴对称图形的是() 篌g翼业阳 2、【2025哈尔滨期中】下列与圆有关的轴对称图形中只有一条对称轴的是() B 知识点2两个图形成轴对称 3、跨学科综合一平面镜与水平面成45°，一个小球以1c/s的速度沿桌面向点0匀速滚去， 则小球在平面镜中的像是（平面镜所成的像与物体关于镜面对称）() A.以1cm/s的速度，竖直向下运动 B.以1cm/s的速度，竖直向上运动 C.以2cm/s的速度运动，且运动路线与地面成45° D.以2cm/s的速度，竖直向下运动 0 4、【2025邢台期末】如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形成轴对称， 则小手盖住的三角形是() 知识点3轴对称和轴对称图形的性质 5、【2026四川达州期末】如图，AD所在直线是△ABC的对称轴， 点E,F是AD上的两点，若BD=3,AD=5,则图中阴影部分的面积是() A.15B.7.5 C.6D.4.5 29/88 第15章轴对称 6、【2026深圳质检】如图，△ABC与△AB'C关于直线MN对称，P为MN上任意一点（A,P, A不共线)，下列结论中，错误的是() A.△AAP是等腰三角形 B.MN垂直平分AA,CC C.△ABC与△ABC的面积相等 D.直线AB,AB'的交点不一定在直线MN上 7、【2026江苏南京期中】如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于直线0A对称，点P关于 直线OB的对称点是点D,连接CD交OA于点M,交OB于点N,连接OC,OD,OP,MP,NP。 (1)若LA0B=a,求LC0D的度数； (2)若CD=4,则△PMN的周长为 30/88 第15章轴对称 15.2线段的垂直平分线的性质及判定 知识点1线段垂直平分线的性质及应用 1.【2026深圳期中】如图，在△ABC中，DE是线段BC的垂直平分线， 点F是线段AC的中点。若CF=5,AB=8,则△ABE的周长为() A.13 B.16C.17D.18 2.【2025石家庄期中】在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,P,AC的垂直平 分线分别交AC,BC于点N,Q。若BC=10,QP=2,则△AQP的周长为 0 3.【2026宝山期末】如图，△ABC中，AD1BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E, 且BD=DE,连接AE。 (1)求证：AB=EC; (2)若△ABC的周长为20cm,AC=9cm,求DC的长。 知识点2线段垂直平分线的判定 4.【2026南通期中】如图，在四边形ABCD中，连接AC,BD,AB=AD,CB=CD,则有() A.AC与BD互相垂直平分 B.AC垂直平分BD C.BD垂直平分ACD.BD平分∠ABC 第4题图 第5题图 5.【2025汕尾期中】如图，已知点A(2,3)和点B(4,1),在x轴或y轴上有一点P,且点P到点A 和点B的距离相等，则点P的坐标为 0 31/88 第15章轴对称 6.如图，已知△ABC,AD是∠BAC的平分线，DE1AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD 于点G。 (1)求证：AD垂直平分EF; (2)若AB+AC=10,DE=3,求△ABC的面积。 D 知识点3互逆命题（定理） 7.【2025泉州期末】“直角都相等”与“相等的角是直角”是() A.互逆命题 B.互逆定理 C.公理 D.假命题 8、【2025长沙质检】按要求解答下列各题。 (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果a+b>0,那么ab>0 (2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否为互逆定理。 32/88 第15章轴对称 15.3作线段的垂直平分线 知识点1线段的垂直平分线的作法 1、【2026重庆渝中区质检】电信部门要在以某区三个乡镇的中心A,B,C为顶点的△ABC区 域内修建一个电视信号发射塔O,使得该发射塔O到三个乡镇中心A,B,C的距离相等，以 下选址正确的是() 8 、B 2、【2025大同期末】如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于 2AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交AC于点E, 连接CD。若△CDB的面积为24，△ADE的面积为18，则四边形EDBC的面积为。 3、如图，在平面直角坐标系x0y中，点A(0,8),点B(6,8)。 (1)尺规作图：在第一象限内求作一个点P,使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图 痕迹，不必写出作法)。 ①点P到A,B两点的距离相等； ②点P到两坐标轴的距离相等。 (2)(1)中点P的坐标为 ·B 0 33/88 第15章轴对称 知识点2画对称轴 4、如图，网格中的△ABC与△DEF成轴对称。 (1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴U (2)若每一个小正方形的边长为1，则△ABC的面积为 (3)找出顶点在格点，以BC为一边且与△ABC全等（不与△ABC重合）的三角形，这样 的三角形在网格内共能画出个。 知识点3作垂线 5、【2025泰安期中】如图，已知∠1和线段a,使用直尺和圆规作直角三角形，使得∠1为 其中的一个锐角，α为直角三角形的斜边。（保留作图痕迹，不写作法) 34/88 第15章轴对称 15.4画轴对称的图形 知识点1设计轴对称图案 1、【2026广州期中】下列图案不是按轴对称设计的是() 2、【2025杭州期末】如图，点A,B,C和点D1,D2,D3,D4,Ds都在正方形网格的格点上， 则能与点A,B,C组成轴对称图形的D点有个。 知识点2画轴对称的图形 3、下面是四位同学作△ABC关于直线MN对称的图形，其中正确的是() 4、【2025西城质检】如图，请在图(1)和图(2)中分别作出四边形ABCD关于直线a对称的 图形。（保留作图痕迹，不写作法) 图(1) 35/88 第15章轴对称 15.5轴对称与坐标变化 知识点1关于坐标轴对称的点的坐标 1、在平面直角坐标系中，点A与点B关于y轴对称，若点A的坐标为(3,4)，则线段AB的长度为() A.4B.3C.6 D.8 2、【2026咸阳质检】如图，△AOB与△A'OB关于x轴对称，若△AOB内任意一点P的坐标是(a,b), 则△A'OB中对应点Q的坐标是() A.(a,b) B.(-a,b) C.(-a,-b) D.(a,-b) 4 3 B 123A5x 第2题图 第3题图 3、如图，将正五边形ABCDE置于平面直角坐标系中，若顶点A,B,C,D的坐标分别是(0，a), (-2,-1),(c,m),(d,m),则点E的坐标是() A.(2,-1) B.(2,1) C.(-1,-2)D.(-2,1) 4、在平面直角坐标系中，点M(m一1,2m+4)关于x轴对称的点落在第三象限，则m的取值范 围是 知识点2关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标 5、【2026成都期末】在平面直角坐标系中，点A(-1,2)关于直线x=3（此直线上每个点的横 坐标都是3)对称的点的坐标是() A.(5,-2)B.(5,2) C.(7,2) D.(-7,-2) 36/88 第15章轴对称 6、【2026锦州质检】如图，点P(-2,1)与点Q(α，b)关于直线l(此直线上每个点的纵坐标都是 -1)对称，则a+b= B----1 -2 知识点3坐标与图形变化 7、【2025枣庄期末】把△ABC边上各点的横坐标都乘-1，纵坐标不变，则得到符合上述要求 的图是() , O BC 8、如图，已知△ABC的顶点分别为A(-2,2),B(-4,5),C(-5,1),直线m上各点的横坐标 都为1。 (1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标； (2)作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2,并写出点B2的坐标； (3)若点P(a,b)是△ABC内部一点，则点P关于直线m对称的点的坐标是 37/88 第15章轴对称 15.6等腰三角形的性质 知识点1等腰三角形“等边对等角”性质的应用 1、若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为() A.80°，20° B.50°，50° C.80°，20或50°，50° D.30°，70或10°，90 2、如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线 BA于点D,连接CD,则LBCD的度数是() A.10° B.120° C.10°或100° D.60°或120° 6 知识点2等腰三角形“三线合一”性质的应用 3、【2026达州期末】如图，AB=AC,点B关于AD的对称点E恰好落在CD上，∠BAC=124°， AF为△ACE中CE边上的中线，则LADB的度数为() A.24 B.28° C.30° D.38 4、【2025大兴期中】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，AB=AC,BCIx 轴，若点A(2,5),B(-1,1),则点C的坐标为() A.(2,3) B.(3,1) C.(5,1) D.(1,5) B 0 38/88 第15章轴对称 15.7等腰三角形的判定 知识点1等腰三角形的判定 1、【2025娄底期中】如图所示，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE II AB,交BC于点E,若 CE=4,DE=3,则边BC的长为() A.6 B.7 C.8 D.9 B 2、【2025南京质检】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，若某个三角形能与△ABC 拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的三角形共有() A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 E 第2题图 C 第3题图B 3、【2026西安质检】如图所示，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分LABC,点E在边 AB上，且BE=BD,则图中等腰三角形的个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 4、【2026宁波期中】如图，已知△ABC (1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线交BC于D(保留作图痕迹)。 (2)若LC=2LB,连接AD,判断△ADC的形状，并说明理由。 39/88 第15章轴对称 知识点2尺规作图~作等腰三角形 5、【2025深圳期中】由下列尺规作图可得△ABC为等腰三角形，且AB=BC的是() ② B 3 A.①② B.②③ c.①③ D.②④ 6、【2025哈尔期中】在平面直角坐标系中，已知A(4,1),在坐标轴上确定一点P使得△A0P 为等腰三角形，则满足条件的点P有() A.4个 B.6个 C.8个 D.7个 7、【2025杭州质检】如图，在宽和长分别为3cm和4cm的长方形ABCD中作等腰三角形，其 中等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，请画出三种满足上 述条件的等腰三角形（全等的等腰三角形视为一种)，并分别求出所画三角形的面积。 40/88 第15章轴对称 15.8等边三角形的性质与判定 知识点1等边三角形的性质 1、【2026庆阳期中】如图，在等边△ABC中，AB=6cm,BD平分LABC,点E在BC的延长线 上，连接DE,∠E=30°，则CE的长是() A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm M B B B 0 B A.N 第1题图 第2题图 A A2 A3 2、【2026济南期末】如图，已知∠M0N=30°，点A1,A2,A3,在射线0N上，点B1,B2, B3,…在射线0M上，若0A1=2,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形，则 △A6B6A7的边长为() A.16 B.32 C.64 D.128 3、【2025大连期中】如图，△ABC是等边三角形，点D,E,F分别在AB,BC,AC上，∠1=∠2， ∠DFE=70°，则∠EDF=—。 D E 4、【2025南平期中】如图，CN是等边△ABC的外角LACM内部的一条射线，点A关于CN的对 称点为D,连接BD,CD。 (1)依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)若LACN=40°，求LBDC的度数。 41/88 第15章轴对称 知识点2等边三角形的判定 5、下列条件中，不能判定△ABC为等边三角形的是() A.LA=∠B=60 B.∠B+∠C=120° C.∠B=60°，AB=AC D.∠A=60°，AB=AC 6、【2026武汉期末】落地灯既实用又可起装饰作用。如图是某种落地灯的简易示意图， 已知悬杆CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE=120°（E,C,D三点在同一条直线 上)。若CD的长度为50cm,则此时B,D两点之间的距离为() A.25cm B.50cm C.55cm D.100cm A 7、【2026无锡质检】若a,b,c为三角形的三边长，且(a-b)2+Va-c+b-c=0,则这 个三角形是 。 （按边分类) 1 8、【2026平顶山期中】如图，已知在△ABC中，∠A=60°，AC=2AB。求证：△ABC是直角 三角形。 B 知识点3等边三角形的性质与判定的综合应用 9、【2025长春期中】如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,∠A=60°，点E为AD 上一点，连接BD,CE交于点F,CE I AB。 (1)判断△DEF的形状，并说明理由； (2)若AD=13,CE=9,则CF的长为。 42/88 第15章轴对称 15.9含30°角的直角三角形的性质 知识点含30°角的直角三角形的性质 1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E。若 BD=12cm,则AC=() A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 第1题图 D 第2题图 B 2、【2026随州期末】如图，在△ABC中，AB=AC=3,∠BAC=120°，E为BA的延长线上一 点，CE L AB于点E,EF L BC于点F,则EF的长为() 9 A.2 B.4 D.3 3、【2026周口期末】如图，已知∠AOB=60°，点P在边0A上，OP=8,点M,N在边OB上， PM=PN,若MN=2,则OM的长为() A.2 B.3 C.4 D.6 /A ∠60 0 M N B 0102 第3题图 第4题图 4、【2025大连期末】如图，在平面直角坐标系x0y中，已知点A的坐标是(0,9)，以0A为边在 其右侧作等边三角形0AA1,过A1作x轴的垂线，垂足为点01，以01A1为边在其右侧作等边三 角形01A1A2,过点A2作x轴的垂线，垂足为点02，以02A2为边在其右侧作等边三角形02A2A3, ,按此规律继续作下去，得到等边三角形02025A2025A2026,则点A2025的纵坐标为 43/88第15章轴对称 15.1轴对称及其性质 知识点1轴对称图形 1、【2026西城质检】汉字是中华文明的标志。从公元前1300年殷商后期被认为是汉字第一 种形式的甲骨文，到今天，汉字先后发展出了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字 体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征。下面的小篆体字是轴对称图形的是() 篌翼业蹈 答案：B 解析：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线折叠，直线两旁 的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图 形沿该直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形。故选B。 2、【2025哈尔滨期中】下列与圆有关的轴对称图形中只有一条对称轴的是() 答案：C 解析：A选项，有无数条对称轴；B选项，有2条对称轴；C选项，有1条对称轴；D选 项，有3条对称轴。故选C。 知识点2两个图形成轴对称 3、跨学科综合一平面镜与水平面成45°，一个小球以1cm/s的速度沿桌面向点0匀速滚去， 则小球在平面镜中的像是（平面镜所成的像与物体关于镜面对称）() A.以1cm/s的速度，竖直向下运动 B.以1cm/s的速度，竖直向上运动 C.以2cm/s的速度运动，且运动路线与地面成45° D.以2cm/s的速度，竖直向下运动 答案：A 解析：根据镜面对称的特征，小球在平面镜中的像是以1c/s的速度，竖直向下运动。故选A。 52/152 第15章轴对称 4、【2025邢台期末】如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形成轴对称， 则小手盖住的三角形是() 答案：A 解析：根据两个图形成轴对称的定义可得小手盖住的三角形是，故选A。 知识点3轴对称和轴对称图形的性质 5、【2026四川达州期末】如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E,F是AD上的两点，若BD= 3,AD=5,则图中阴影部分的面积是() A.15 B.7.5 C.6D.4.5 答案：B 解析：·AD所在直线是△ABC的对称轴，∴点B,C关于直线AD对称，∴△CEF和△BEF关于直 1 线AD对称，S△BEF=SAcR,图中阴影部分的面积=SAARD=2×3×5=7.5。故选B。 6、【2026深圳质检】如图，△ABC与△A'BC关于直线MN对称，P为MN上任意一点(A,P, A不共线)，下列结论中，错误的是() A.△AAP是等腰三角形 B.MN垂直平分AA,CC C.△ABC与△ABC的面积相等 D.直线AB,A'B的交点不一定在直线MN上 答案：D 53/152 第15章轴对称 解析：△ABC与△ABC关于直线MN对称，P为MN上任意一点，·AP=A'P,即△AAP是等 腰三角形，MN垂直平分AA,CC,△ABC与△A'BC的面积相等，AB,A'B关于直线MN对称， ∴直线AB,AB的交点一定在直线MN上，故A、B、C选项正确，D选项错误，故选D。 7、【2026江苏南京期中】如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于直线0A对称，点P关于 直线OB的对称点是点D,连接CD交OA于点M,交OB于点N,连接OC,OD,OP,MP,NP。 (1)若LA0B=a,求LC0D的度数； 答案：2a 解析：点C和点P关于OA对称，.∠AOC=∠AOP。 :点P关于OB的对称点是点D,.∠BOD=∠BOP。 :∠AOB=, ·.∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2(LAOP+∠BOP)=2LAOB=2aO (2)若CD=4,则△PMN的周长为 答案：4 解析：点C和点P关于OA对称，·CM=PM。点P关于OB的对称点是点D,·DN=PN。 :CD=CM+MN+DN=4,.PM+MN+PN=4,即△PMN的周长为4。故答案为4。 54/152 第15章轴对称 15.2线段的垂直平分线的性质及判定 知识点1线段垂直平分线的性质及应用 1.【2026深圳期中】如图，在△ABC中，DE是线段BC的垂直平分线，点F是线段AC的中点。 若CF=5,AB=8,则△ABE的周长为() A.13 B.16 C.17D.18 答案：D 解析：：点F是线段AC的中点，CF=5,·.AC=2CF=2×5=10。DE是线段BC的垂直平 分线，·.EB=EC,△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+EC=AB+AC=8+10=18, 故选D。 2.【2025石家庄期中】在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,P,AC的垂直平 分线分别交AC,BC于点N,Q。若BC=10,QP=2,则△AQP的周长为 答案：10或14 解析：当点P在点Q的左侧时，如图(1)。B 由线段垂直平分线的性质可得，AP=BP,AQ=QC,△AQP的周长为 AP+AQ+PQ=BP+QC+PQ=BC=10. 当点P在点Q的右侧时，如图(2)。B 由线段垂直平分线的性质可得，AP=BP,AQ=QC,△AQP的周长为 AP+AQ+PQ=BP+QC+PQ=BP+CP+PQ+PQ=BC+2PQ=10+4=14. 综上所述，△AQP的周长为10或14，故答案为10或14。 55/152 第15章轴对称 3.【2026宝山期末】如图，△ABC中，AD1BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E, 且BD=DE,连接AE。 (1)求证：AB=EC; (2)若△ABC的周长为20cm,AC=9cm,求DC的长。 B D E (1)证明：：EF垂直平分AC,·AE=EC。 AD⊥BC,BD=DE,·AD垂直平分BE,·AB=AE,AB=EC。 (2)答案：5.5cm 解析：：△ABC的周长为20cm,.AB+BC+AC=20cm。 AC=9cm,:AB+BC=11cm.AB EC,BD DE, DG-DE+KG-BE+EG-BEEG1RG-(BE+EC)+AB-BC17AB 1 1 1 1 (B+BC)=5.5cm. 1 知识点2线段垂直平分线的判定 4.【2026南通期中】如图，在四边形ABCD中，连接AC,BD,AB=AD,CB=CD,则有() A.AC与BD互相垂直平分 B.AC垂直平分BD C.BD垂直平分AC D.BD平分∠ABC 答案：B 解析：AB=AD,CB=CD,·AC垂直平分BD,所以B符合题意；由已知条件无法证明BD 平分AC和BD平分LABC,所以A、C、D不符合题意。故选B。 56/152 第15章轴对称 5.【2025汕尾期中】如图，已知点A(2,3)和点B(4,1),在x轴或y轴上有一点P,且点P到点A 和点B的距离相等，则点P的坐标为 0 答案：(1,0)或(0，-1) 解析：如图， 取格点E(2,1),F(3,2),作直线EF,则点F为AB的中点，AE=BE=2,AF=BF,·点E,F 都在线段AB的垂直平分线上，·.直线EF是线段AB的垂直平分线。根据图易得直线EF与x轴交 于点(1,0)，与y轴交于点(0，-1)。点P到点A和点B的距离相等，.点P在线段AB的垂直平分 线EF上，点P的坐标为(1,0)或(0，-1)，故答案为(1,0)或(0，-1)。 6.如图，已知△ABC,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,DF1AC于点F,连接EF交AD 于点G。 (1)求证：AD垂直平分EF; (2)若AB+AC=10,DE=3,求△ABC的面积。 D (1)证明：AD平分∠BAC,DE1AB,DF1AC,∠EAD=∠FAD, ∠DEA=∠DFA=90°，DE=DF,·点D在EF的垂直平分线上. (LDEA=∠DFA, 在△AED和△AFD中 ∠EAD=∠FAD,·△AED≌△AFD(AAS), AD=AD, 57/152 第15章轴对称 ·AE=AF,“点A在EF的垂直平分线上，·AD垂直平分EF, (2)解：DE=3,DF=DE=3.AB+AC=10, SAARC=7AB-DE+ZAC.DF-7(AB+AC).DE=15. 知识点3互逆命题（定理） 7.【2025泉州期末】“直角都相等”与“相等的角是直角”是() A.互逆命题 B.互逆定理 C.公理 D.假命题 答案：A 解析：“直角都相等”的题设是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”；“相等的角是直角”的 题设是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”，这两个命题的题设和结论互换，所以是互 逆命题。“相等的角是直角”是假命题，所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定 理。故选A。 8、【2025长沙质检】按要求解答下列各题。 (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； 答案：如果两个角是内错角，那么这两个角相等。 ②如果a+b>0,那么ab>0 答案：如果ab>0,那么a+b>0 (2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否为互逆定理。 答案：不是互逆定理。 解析：因为(1)中①的原命题与逆命题都是假命题，所以(1)中①的原命题和逆命题不是 互逆定理。 58/152 第15章轴对称 15.3作线段的垂直平分线 知识点1线段的垂直平分线的作法 1、【2026重庆渝中区质检】电信部门要在以某区三个乡镇的中心A,B,C为顶点的△ABC区 域内修建一个电视信号发射塔O,使得该发射塔O到三个乡镇中心A,B,C的距离相等，以 下选址正确的是() B. 答案：B 解析：连接OA,OB,OC。由题意得OA=OC=OB,·发射塔0在线段AB,AC的垂直平分 线上，·线段AB,AC的垂直平分线的交点即为发射塔O,选项B符合题意。故选B。 2、【2025大同期末】如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于 2AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交AC于点E, 连接CD。若△CDB的面积为24，△ADE的面积为18，则四边形EDBC的面积为一。 答案：30 解析：由作法得MN垂直平分AB,AD=BD,·S△ADc=S△BDC=24。 :S△ADE=18,S△CDE=S△4DG-S△ADE=24-18=6, ·四边形EDBC的面积=S△cDE+S△BcD=6+24=30。故答案为30。 3、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,8),点B(6,8)。 (1)尺规作图：在第一象限内求作一个点P,使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图 痕迹，不必写出作法)。 ①点P到A,B两点的距离相等； 59/152 第15章轴对称 ②点P到两坐标轴的距离相等。 y ·B 0 答案：如图，点P即为所求。 (2)(1)中点P的坐标为 答案：(3,3) 解析：点A(0,8),点B(6,8),线段AB中点坐标为(3,8)，点P横坐标为3。·点P 到两坐标轴的距离相等，点P在第一象限，P(3,3)。故答案为(3,3)。 知识点2画对称轴 4、如图，网格中的△ABC与△DEF成轴对称。 (1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴L D 答案：如图，直线1即为所作。 60/152 第15章轴对称 (2)若每一个小正方形的边长为 1，则 △ABC 的面积为 答案：3 解析： △ABC 的面积为 $$2 \times 4 - \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times 1 - \frac { 1 } { 2 } \times 4 \times 1 - \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times 2 = 3 。$$ 2=3。故答案为 3。 (3)找出顶点在格点，以BC为一边且与 △ABC 全等(不与 △ABC 重合)的三角形，这样 的三角形在网格内共能画出个。 答案：1 解析：如图， △MBC 即为顶点在格点，以BC 为一边且与 △ABC 全等(不与 △ABC 重合) 的三角形，这样的三角形在网格内能画1个。故答案为 1。 知识点3作垂线 5、【2025 泰安期中】如图，已知 ∠1 和线段 a， ，使用直尺和圆规作直角三角形，使得 ∠1 为 其中的一个锐角，a为直角三角形的斜边。(保留作图痕迹，不写作法) a a C a 答案：如图， Rt△ABC 即为所求。 61/152 第15章轴对称 15.4画轴对称的图形 知识点1设计轴对称图案 1、【2026广州期中】下列图案不是按轴对称设计的是() 答案：A 解析：选项A中的图案不是按轴对称设计的，选项B、C、D中的图案都是按轴对称设计的， 故A符合题意。 2、【2025杭州期末】如图，点A,B,C和点D1,D2,D3,D4,D5都在正方形网格的格点上， 则能与点A,B,C组成轴对称图形的D点有个。 D 答案：4 解析：如图，D1,D3,D4,Ds四点满足题意，故答案为4。 D D 知识点2画轴对称的图形 3、下面是四位同学作△ABC关于直线MN对称的图形，其中正确的是（) A.R 答案：B 解析：作△ABC关于直线MN对称的图形正确的是B选项，故选B。 62152 第15章轴对称 4、【2025西城质检】如图，请在图(1)和图(2)中分别作出四边形ABCD关于直线a对称的 图形。（保留作图痕迹，不写作法) D B 图(1) 图(2) 答案：四边形AB'CD'即为所求（作图略)。 图(1) 图(2) 63/152 第15章轴对称 15.5轴对称与坐标变化 知识点1关于坐标轴对称的点的坐标 1、在平面直角坐标系中，点A与点B关于y轴对称，若点A的坐标为(3,4)，则线段AB的长度为() A.4 B.3C.6 D.8 答案：C 解析：点A的坐标为(3,4)，点B与点A关于y轴对称，·B(一3,4)， 线段AB的长度为3-(-3)=6。故选C。 2、【2026咸阳质检】如图，△AOB与△AOB关于x轴对称，若△AOB内任意一点P的坐标是（α，b), 则△AOB中对应点Q的坐标是() A.(a,b) B.(-a,b)C.(-a,-b)D.(a,-b) 0八12345x 答案：D 解析：：△AOB与△AOB关于x轴对称，点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,一b),·点P 的对应点Q的坐标是(a,-b)。故选D。 3、如图，将正五边形ABCDE置于平面直角坐标系中，若顶点A,B,C,D的坐标分别是(0，a), (-2,-1),(c,m),(d,m),则点E的坐标是() A.(2,-1) B.(2,1) C.(-1,-2) D.(-2,1) D 答案：A 64/152 第15章轴对称 解析：：点A的坐标为(0，a),点A在平面直角坐标系的y轴上。：点C,D的坐标为(c,m),(d,m), ·点C,D关于y轴对称。·正五边形ABCDE是轴对称图形，y轴是正五边形ABCDE的一条对称 轴，·点B,E关于y轴对称。点B的坐标为(-2，-1)，·点E的坐标为(2，-1)，故选A。 4、在平面直角坐标系中，点M(m-1,2m+4)关于x轴对称的点落在第三象限，则m的取值范 围是 答案：-2<m<1 解析：：点M(m-1,2m+4)关于x轴对称的点的坐标为(m-1,-2m-4), 且点1。-2m利在第三象限，“{m1400解得2<m<1,故答案为-25m<1。 知识点2关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标 5、【2026成都期末】在平面直角坐标系中，点A(一1,2)关于直线x=3(此直线上每个点的横 坐标都是3)对称的点的坐标是() A.(5,-2) B.(5,2) C.(7,2) D.(-7,-2) 答案：C 解析：设点4(-12)关于直线=3对称的点的坐标为m0,则1m=3,n=2,解得m=7, 2 ·.点A(-1,2)关于直线x=3对称的点的坐标是(7,2)，故选C。 6、【2026锦州质检】如图，点P(-2,1)与点Q(a,b)关于直线l(此直线上每个点的纵坐标都是 -1)对称，则a+b= -2 答案：-5 1+b 解析：：点P(-2,1)与点Q(a,b)关于直线对称，“a=-2,2=-1,解得b=-3, a+b=-2-3=-5,故答案为-5。 65/152 第15章轴对称 知识点3坐标与图形变化 7、【2025枣庄期末】把△ABC边上各点的横坐标都乘-1，纵坐标不变，则得到符合上述要求 的图是() 答案：B 解析：：△ABC边上各点的横坐标都乘-1，纵坐标不变，·所得三角形边上各点与△ABC边上 对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，·.所得三角形与△ABC关于y轴对称。故选B。 8、如图，已知△ABC的顶点分别为A(-2,2),B(-4,5),C(-5,1),直线m上各点的横坐标 都为1。 (1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标； ed--- m 答案：△A1B1C1即为所作，B1(-4,-5) (2)作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2,并写出点B2的坐标； 66/152 第15章轴对称 B 答案：△A2B2C2即为所作，B2(4,5) (3)若点P(a,b)是△ABC内部一点，则点P关于直线m对称的点的坐标是 答案：(2-a,b) 解析：点Pa,b)是△ABC内部一点，设点P关于直线m对称的点P的横坐标为x,则A十x-1, 2 解得x=2-a,点P关于直线m对称的点的坐标是(2-a,b)。 67/152 第15章轴对称 15.6等腰三角形的性质 知识点1等腰三角形“等边对等角”性质的应用 1、若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为() A.80°，20° B.50°，50° C.80°，20°或50°，50° D.30°，70或10°，90 答案：C 解析：①当80°的角是顶角时，两个底角的度数为50°，50°；②当80的角是底角时，顶角的度 数为20°。故它的其余两个角的度数为50°，50°或80°，20°。故选C。 2、如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线 BA于点D,连接CD,则∠BCD的度数是() A.10° B.120° C.10°或100° D.60°或120° 答案：C D 解析：B 在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，·∠ACB=180°-40°-80°=60°。 1 ①由作图可知AC=AD,∠ACD=∠ADC=2×(180°-80)=50°， .∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-50°=10°； ②由作图可知AC=AD,·LACD'=LAD'C。 :∠ACD'+LAD'C=∠BAC=80°，·∠ADC=40°， .∠BCD=180°-∠ABC-∠ADC=180°-40°-40°=100°。 综上所述，∠BCD的度数是10或100°。故选C。 68/152 第15章轴对称 知识点2等腰三角形“三线合一”性质的应用 3、【2026达州期末】如图，AB=AC,点B关于AD的对称点E恰好落在CD上，∠BAC=124°， AF为△ACE中CE边上的中线，则LADB的度数为() A.24° B.28° C.30° D.38 B 答案：B 解析：：点B关于AD的对称点E恰好落在CD上，·AB=AE,∠ADB=LADE,∠BAD=∠DAE。 AC=AB,·AC=AE。:AF是△ACE的中线，∠CAF=∠EAF,AF1CE, 1 ∠DAF=∠DAE+∠EAF=7∠BAC=62°，∠AFD=90,LADF=90°-62=28， ·LADB=∠ADE=28°。故选B。 4、【2025大兴期中】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，AB=AC,BCIx 轴，若点A(2,5),B(-1,1),则点C的坐标为() A.(2,3) B.(3,1) C.(5,1) D.(1,5) B 0 答案：C B 解析： 0 过点A作AD L BC于D。:AB=AC,AD⊥BC,·BD=CD。 点A(2,5),B(-1,1),BC‖x轴，∴点D(2,1)。设点C(m,1),则CD=m-2。 :BD=2-(-1)=3,m-2=3,m=5,“点C的坐标为(5,1)。故选C。 69/152 第15章轴对称 15.7等腰三角形的判定 知识点1等腰三角形的判定 1、【2025娄底期中】如图所示，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE II AB,交BC于点E,若 CE=4,DE=3,则边BC的长为() A.6 B.7 C.8 D.9 B 答案：B 解析：BD是△ABC的角平分线，·.∠ABD=∠EBD。 :DE I AB,LABD=∠EDB,·∠EBD=∠EDB,DE=BE。 :CE=4,DE=3,·BC=BE+CE=DE+CE=3+4=7。 2、【2025南京质检】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，若某个三角形能与△ABC 拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的三角形共有() A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 答案：C 解析：如图所示，拼成的三角形共有7个。 B B B B 40i 409 40 40 165 <150° 80 459 409 70 40° 3、【2026西安质检】如图所示，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC,点E在边 AB上，且BE=BD,则图中等腰三角形的个数为() 70/152 第15章轴对称 A.3 B.4 C.5 D.6 B 答案：B 解析：在△ABC中，AB=AC,∠A=36°， 180°-36 “△ABC是等腰三角形，LABC=LACB= -=72°。 :BD平分ABC,∠ABD=LCBD=2ABC=36, ·.∠ABD=∠A,·AD=BD,△ABD为等腰三角形。 ∠BDC=180°-∠CBD-∠C=72°=∠C,·.BD=BC,△CBD为等腰三角形。 :BE=BD,BE=BC,△BCE为等腰三角形。 综上所述，题图中等腰三角形的个数为4。 4、【2026宁波期中】如图，已知△ABC (1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线交BC于D(保留作图痕迹)。 (2)若LC=2LB,连接AD,判断△ADC的形状，并说明理由。 答案： (1) D (2)△ADC是等腰三角形。 解析：理由如下：：D是AB的垂直平分线上的点，∴DA=DB,∴∠B=∠BAD。 设LB=X,则∠C=2x,∠ADC=∠B+∠BAD=2x,·∠ADC=∠C,“△ADC是等腰三角形。 71/152 第15章轴对称 知识点2尺规作图~作等腰三角形 5、【2025深圳期中】由下列尺规作图可得△ABC为等腰三角形，且AB=BC的是() ① ②B A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 答案：C 解析： ①根据作图得LA=∠C,故AB=BC,符合题意； ②根据作图得AB=AC,不符合题意； ③根据作图得AC平分∠BAD,BC II AD,·∠BAC=∠CAD,∠BCA=∠CAD, ∠BAC=∠BCA,BA=BC,符合题意； ④根据作图得CA=CB,不符合题意，故符合题意的有①③。 6、【2025哈尔期中】在平面直角坐标系中，已知A(4,1),在坐标轴上确定一点P使得△A0P 为等腰三角形，则满足条件的点P有() A.4个 B.6个 C.8个 D.7个 答案：C 72/152 第15章轴对称 10 9 P -43-力 兆 1235678 解析：如图， ①以A为圆心，OA长为半径作圆，交坐标轴于P1,P2两点(O除外)； ②以O为圆心，OA长为半径作圆，交坐标轴于P3,P4,P5,P6四点； ③作线段AO的垂直平分线，交坐标轴于P2,Pg两点，满足条件的点P有2+4+2=8（个）。 7、【2025杭州质检】如图，在宽和长分别为3cm和4cm的长方形ABCD中作等腰三角形，其 中等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，请画出三种满足上 述条件的等腰三角形（全等的等腰三角形视为一种)，并分别求出所画三角形的面积。 B D -- 答案：(1) (2) (3)B JF C 图(1)：作BC边的垂直平分线，交AD于点P,PB=PC,即△PBC为等腰三角形，面积为×4× 3=6(cm2): 图(2)：作AB边的垂直平分线，交CD于点E,EA=EB,即△ABE为等腰三角形，面积为)×3× 4=6(cm2): 图(3)：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点F,BA=BF,即△ABF为等腰三角形， 面积为5×3×3=4.5(cm2)。(答案不唯-) 73/152 第15章轴对称 15.8等边三角形的性质与判定 知识点1等边三角形的性质 1、【2026庆阳期中】如图，在等边△ABC中，AB=6cm,BD平分LABC,点E在BC的延长线 上，连接DE,∠E=30°，则CE的长是() A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 答案：C 解析：△ABC是等边三角形，AB=6cm,BD平分LABC,·∠ACB=60°，AD=DC=3cm。 :∠E=30°，∠E+∠EDC=∠ACB,·LEDC=∠ACB-∠E=60°-30°=30°=∠E, ∴.CD=CE=3cm,故选C。 2、【2026济南期末】如图，已知LM0N=30°，点A1,A2,A3,…在射线0N上，点B1,B2, B3,…在射线0M上，若0A1=2,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形，则 △A6B6A7的边长为() A.16 B.32 C.64 D.128 M B B, B 0< AA2 A3 AN 答案：C 解析：△A1B1A2为等边三角形，∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2, ·∠A1B10=∠B1A1A2-∠M0N=60°-30°=30°，∠A1B10=∠M0N, .A1B1=OA1,.A1B1=A1A2=0A1, 同理可得：A2B2=A2A3=0A2=20A1=22,A3B3=A3A4=0A3=20A2=22.0A1=23, A4B4=A4A5=0A4=20A3=23.0A1=24,…AnBn=2n, 74/152 第15章轴对称 △A6B6A7的边长A6B6=26=64,故选C。 3、【2025大连期中】如图，△ABC是等边三角形，点D,E,F分别在AB,BC,AC上，∠1=∠2， ∠DFE=70°，则∠EDF=一。 E 答案：50° 解析：△ABC是等边三角形，·∠A=LB=∠C=60°。 :∠DEC=∠2+∠DEF=∠1+∠B,∠1=∠2，·.∠DEF=∠B=60°。 :∠DFE=70°，.∠EDF=180°-∠DEF-∠DFE=180°-60°-70°=50°。故答案为50°。 4、【2025南平期中】如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对 称点为D,连接BD,CD。 (1)依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)若∠ACN=40°，求∠BDC的度数。 M D 答案：(1)B (2)20° 75/152 第15章轴对称 解析：：A,D关于CN对称，CN垂直平分AD,AC=CD,LACN=∠NCD=40°。 :△ABC是等边三角形，·LACB=60°，AC=BC, ∠BCD=∠BCA+∠ACN+∠NCD=60°+2×40°=140°，BC=CD, ∠CBD=∠CDB,÷∠BDC=180°-140° =20°。 2 知识点2等边三角形的判定 5、下列条件中，不能判定△ABC为等边三角形的是() A.∠A=∠B=60 B.∠B+∠C=120° C.∠B=60°，AB=AC D.∠A=60°，AB=AC 答案：B 解析：∠A=∠B=60°，∠C=60°，.∠A=∠B=∠C,△ABC是等边三角形，故选项A不 符合题意； :∠B+∠C=120°，·∠A=60°，∠B和LC的度数不确定，△ABC不一定是等边三角形，故选 项B符合题意； :∠B=60°，AB=AC,∴△ABC是等边三角形，故选项C不符合题意； :∠A=60°，AB=AC,△ABC是等边三角形，故选项D不符合题意。 6、【2026武汉期未】落地灯既实用又可起装饰作用。如图是某种落地灯的简易示意图，已知 悬杆CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE=120°(E,C,D三点在同一条直线上)。若CD 的长度为50cm,则此时B,D两点之间的距离为() A.25cm B.50cm C.55cm D.100cm 答案：B 76/152 第15章轴对称 E 解析： 如图，连接BD。由题意可知，CD=BC。 :∠BCE=120°，·∠BCD=180°-∠BCE=180°-120°=60°， ∴.△BCD是等边三角形，·.BD=CD=50cm,即此时B,D两点之间的距离为50cm,故选B。 7、【2026无锡质检】若a,b,c为三角形的三边长，且(a-b)2+Va-c+Ib-cl=0,则这 个三角形是 。(按边分类) 答案：等边三角形 解析：：(a-b)2+√a-c+lb-cl=0,a-b=0,a-c=0,b-c=0, .a=b,a=c,b=c,·a=b=c,这个三角形是等边三角形。 故答案为等边三角形。 8、【2026平顶山期中】如图，已知在△ABC中，∠A=60,AC专AB。求证：△ABC是直角 三角形。 证明： 如图，在AB上截取AD=AC,连接CD。LA=60°，△ACD是等边三角形， 77/152 第15章轴对称 CD=AD=AC,∠ADC=∠ACD=60°。 1 1 :AC=2AB,AD=2AB,÷BD=AD=CD,∠B=∠BCD。 '∠ADC=∠B+∠BCD,·LBCD=30°，·LACB=∠BCD+∠ACD=90°， “△ABC为直角三角形。 知识点3等边三角形的性质与判定的综合应用 9、【2025长春期中】如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,∠A=60°，点E为AD 上一点，连接BD,CE交于点F,CE II AB。 (1)判断△DEF的形状，并说明理由； 答案：△DEF是等边三角形，理由见解析 解析：△DEF是等边三角形。理由如下：：AB=AD,∠A=60°，△ABD为等边三角形， ∠ADB=∠ABD=60°。'CE II AB,∠DEF=LA=60°，∠EFD=∠ABD=60°， ·.∠DEF=∠EFD=∠ADB,△DEF是等边三角形。 (2)若AD=13,CE=9,则CF的长为一。 答案：5 解析： 连接AC交BD于点O,如图。 :AB=AD,CB=CD,·AC垂直平分BD,AC平分∠BAD,·∠BAO=∠DAO。 :CE II AB,∠ACE=∠BA0=∠DAO,AE=CE=9,.DE=AD-AE=13-9=4。 :△DEF是等边三角形，·EF=DE=4,·CF=CE-EF=9-4=5。故答案为5 78/152 第15章轴对称 15.9含30°角的直角三角形的性质 知识点含30°角的直角三角形的性质 1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E。若 BD=12cm,则AC=() A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm A E D 答案：C 解析： D 连接AD,如图。 :DE是AB的垂直平分线，·AD=DB=12cm,∠DAE=∠B=15°。 又：∠C=90°，∠CAD=180°-∠C-∠B-∠DAE=60°，∠ADC=30°。 在直角三角形ACD中，AC=AD=6m,放选C。 2、【2026随州期末】如图，在△ABC中，AB=AC=3,∠BAC=120°，E为BA的延长线上一 点，CE1AB于点E,EF⊥BC于点F,则EF的长为() 9 15 A.2 B.4 C.4 D.3 B 答案：B 解析：：AB=AC=3,∠BAC=120,∠B=180°-∠BAC 2 30°。 :CE1AB,∠ABC=90°，∠ACE=LBAC-∠CEA=30,AE=2AC=2 1 3 BR-AB+AE-3+2-EF1 BC:/B-30 EF-3BB 39 9 3运—一，古女走S。 79/152 第15章轴对称 3、【2026周口期末】如图，已知LA0B=60°，点P在边0A上，OP=8,点M,N在边0B上， PM=PN,若MN=2,则OM的长为() A.2 B.3 C.4 D.6 A 人60° 0 M N 答案：B A 人60°： 解析：0 MCN B 如图，过点P作PC1OB。:PM=PN,MN=2,CM=CW=2MN=1。 在Rt△P0C中，∠AOB=60°，.∠0PC=30°。 :0P=8,0C=2OP=4,40M=0C-CM=4-1=3,故选B。 4、【2025大连期末】如图，在平面直角坐标系x0y中，已知点A的坐标是(0,9)，以0A为边在 其右侧作等边三角形0AA1,过A1作x轴的垂线，垂足为点01，以01A1为边在其右侧作等边三 角形01A1A2,过点A2作x轴的垂线，垂足为点02，以02A2为边在其右侧作等边三角形02A2A3, …, 按此规律继续作下去，得到等边三角形02025A2025A2026,则点A2025的纵坐标为一。 A 0 0 9 答案：2025 解析：点A的坐标是(0,9)，以OA为边在其右侧作等边三角形0AA1,过点A1作x轴的垂线，垂 80/152 第15章轴对称 足为点01，∠A1001=90°-60°=30°，∠001A1=90°，0A1=0A=9, 1 1 1 01A1=20A1=9×2点A1的纵坐标是9× 以01A1为边在其右侧作等边三角形01A1A2,过点A2作x轴的垂线，垂足为点02， 1 ∠A20102=90°-60°=30°，∠0102A2=90°，01A2=01A1=9×2 11 0?4=2014,=9×2×2点A,的纵坐标是9×（气）2。 同理，点A的纵坐标是9×（与）月， 点405的纵坐标是9×（分205 1 9 9 20250故答案为2205 81/152