精品解析：山东省淄博市沂源县2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

初二数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】中未知项有2次方，不是二元一次方程，故A不符合题意； 符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故B符合题意； 不是整式方程，故C不符合题意； 中未知项有2次方，不是二元一次方程，故D不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义．掌握“如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程”是解题关键． 2. 如图，下列选项中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同位角相等，两直线平行可判断A，根据内错角相等，两直线平行可判断C，根据同旁内角互补，两直线平行可判断C，D，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故C不符合题意； ∵ ∴，故D不符合题意； ∵，且，是同旁内角， ∴不能判定，故B符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解本题的关键． 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否一定成立． 【详解】解：选项A：由已知，两边同乘以，根据不等式性质，乘以负数不等号方向改变，得，故A一定成立； 选项B：两边同乘以正数2，不等号方向不变，应为，选项B错误； 选项C：两边同时减2，不等号方向不变，得，即，选项C错误； 选项D：当、符号不同或存在负数时，平方后大小关系可能改变．例如，，时，成立，但，故D不一定成立； 故选：A． 4. 下列说法正确的是（ ） A. “穿十条马路连遇十次红灯”是不可能事件 B. 任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件 C. 某彩票中奖概率为1%，那么买100张彩票一定会中奖 D. “福山福地福人居”这句话中任选一个汉字，这个字是“福”字的概率是 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用随机事件的定义以及确定事件的定义分别分析得出答案． 【详解】A、“穿十条马路连遇十次红灯”是随机事件，错误； B、三角形内角和是180°，所以任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，是正确的； C、“彩票中奖概率为1%，那么买100张彩票不一定会中奖”是随机事件，故原选项错误； D、“福山福地福人居”这句话中任选一个汉字，这个字是“福”字的概率是，故原选项错误． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了随机事件以及确定事件，正确把握定义是解题关键． 5. 在平面直角坐标系中，如果点在第四象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第四象限内的点横坐标为正值，纵坐标为负值，可得到不等式， ，得到的取值范围，再根据取值范围判断在数轴上的表示，即可选出答案． 【详解】解：∵点在第四象限内， ∴ ∴ 再取的解集，得到的取值范围：． ∴A选项， 的取值范围：，不符合题意． B选项，无的解集，不符合题意． C选项， 的取值范围：，符合题意． D选项， 的取值范围： ，不符合题意． 6. 如图，在正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：如图： 根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况， 使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：． 故选：B． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．解题的关键是注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义． 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人； 根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． 8. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，交于点，过点作于点．若，点恰好是的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据作图方式得到是线段的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，继而根据三角形外角的性质得到，通过证明垂直平分，得到，进而根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：如图，连接， 根据作图方式可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，点恰好是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 9. 一次函数与的图象如图，下列结论：①；②关于x的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 利用一次函数的性质对进行判断；利用一次函数的交点问题对进行判断；结合函数图象对进行判断． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴， ∵直线与轴的交点在轴下方， ∴， ∴，故正确； ∵关于x的方程可变形为 又一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是， ∴关于x的方程的解是，故错误； 由图象可得，当时，，故③正确； 当时，函数， ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确的是①③④。 故选：D． 10. 把等腰直角按如图所示的方式折叠，已知，则下列说法：①平分；②是等腰三角形；③；④的周长等于的长．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查折叠问题、等腰三角形的判定与性质和勾股定理，由于，所以，两次折叠后，有许多相等的量，利用这些条件结合勾股定理可得出正确答案． 【详解】解：∵等腰直角中，∵， ∴， ∵折叠 ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形 中，， ∴， ∴， ∴ ∴，， 的周长等于； ∵， ∴不平分， ∴①，③错误，②④正确， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 命题“如果，那么”是_____命题（“填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】当，时，满足，但，据此可得答案． 【详解】解：命题“如果，那么”是假命题，例如当，时，满足，但． 12. 已知不等式组无解，则的取值范围是________． 【答案】m≥-3 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ∵不等式①的解集是x＜−3， 不等式②的解集是x＞m， 又∵不等式组无解， ∴m≥−3， 故答案为：m≥−3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据找不等式的解集和已知得出关于m的不等式组． 13. 如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，由线段垂直平分线的性质结合等边对等角得出，再由计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由两直线的交点，求出，再求出方程组的解即可． 【详解】解：将代入， 可得， ， 直线与直线相交于点， 方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解与一次函数交点的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标． 15. 已知关于x，y的方程组．以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x－2y＝－4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6，则k＝1．其中正确的序号是 _____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当k=0时，原方程组可整理得： ， 解得：， 把代入x－2y=－4得：x－2y=－2－2=－4． 即①正确； ②， 由②－①得：x+y=2k－1， 若x+y=0，则2k－1=0， 解得：k=， 即存在实数k，使得x+y=0， 即②正确； ③解方程组， 得， ∴x+3y=3k－2+3（1－k）=1， ∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变， 故③正确； ④解方程组， 得， 若3x+2y=6 ∴k=， 故④错误． 所以正确的序号是①②③． 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程组或不等式组： （1）解方程组：； （2）解不等式组 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解：， 由，得③， 由，得④； ，得， 将代入①，得， ∴原方程组的解是． 【小问2详解】 解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴原不等式组的解集是． 17. 已知关于的方程组的解满足，，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组，涉及解不等式确定参数范围，根据题中的含参方程组，利用加减消元法求解得到，再由方程组的解满足，，列不等式组求解即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组及不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①②得； 将代入①得； ， ∵，， ∴，解得． 18. 如图，小亮和小芳玩转盘游戏，将一个材质均匀的转盘平均分成个扇形并标上数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线则重新转动转盘）．小芳提议：若转出的数字是的倍数，则小芳获胜；若转出的数字是的倍数，则小亮获胜． （1）你认为小芳的提议对游戏双方是否公平?为什么? （2）请你利用这个转盘设计一种对两人都公平的游戏规则． 【答案】（1）不公平，理由见详解 （2）游戏规则见详解 【解析】 【分析】本题考查的是概率，熟练掌握如何计算概率是解题的关键． （1）分别求出小芳和小亮的胜率，再进行比较即可． （2）设计出两者胜算相等的方案即可． 【小问1详解】 不公平， ∵转出的数字是的倍数，有三种情况，即为、、，总共会出现九种情况， ∴小芳获胜的概率为， 又∵转出的数字是的倍数，有两种情况，即为、，总共会出现九种情况 ∴小亮获胜的概率为， ∴这样的游戏规则不公平． 【小问2详解】 我设计的方法是：转出数字大于小亮胜，转出数字小于小芳胜（方法不唯一，合理即可）， ∵转出数字大于的情况有四种，转出数字小于的情况也有四种， ∴双方获胜的概率都是， 故这样的游戏方法就公平了． 19. 某校组织学生参加综合实践活动，各年级师生参加的人数分别为：七年级人，八年级人，九年级人．师生一起乘坐客车前往实践基地，下面是张老师和小强、小明同学有关租车问题的对话． 张老师：“客运公司有，两种型号的客车可供租用，型客车每辆租金元，型客车每辆租金元．” 小强：“七年级租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．” 小明：“八年级租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： （1）分别求每辆型客车、每辆型客车坐满后的载客人数； （2）因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排辆客车，要使九年级每位师生都有座位，有几种租车方案？最少租金为多少元？ 【答案】（1）每辆A型客车坐满后的载客人数为人，每辆B型客车坐满后的载客人数为人； （2）有种租车方案，最少租金为元 【解析】 【分析】（1）设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，根据题意，列出方程，进行解答，即可； （2）设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，根据题意，得到，求出的取值，即可得到租车方案． 【小问1详解】 解：设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人． 根据题意，得， 解得， 答：每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人； 【小问2详解】 解：设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元， 根据题意，得， 解得， 又， ∴有种租车方案： 方案一：租用型客车辆、型客车辆，租金为（元）， 方案二：租用型客车辆，租金为（元）． 答：有种租车方案，最少租金为元． 20. 如图，在同一个平面直角坐标系中，一次函数和的图象分别与轴交于点，，两直线交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，观察图象并回答下列问题： （1）关于的方程的解是_____；关于的不等式的解集是_____； （2）关于的不等式组的解集是_____； （3）若点的坐标为， ①关于的不等式的解集是_____； ②求的面积． 【答案】（1）；； （2）； （3）①；②21 【解析】 【分析】（1）利用直线与轴的交点即时，求出对应的的值，进而得出答案； （2）根据函数图象，可得，时，；，时，；即可得到解集； （3）①利用两条直线的交点坐标，结合函数图象求出不等式的解集即可；②根据点、、的坐标，即可求出答案； 【小问1详解】 解：由函数图象可得，一次函数与轴交于点，点的坐标为， ∴的解是； ∵的图象与轴交于点，点的坐标为， ∴的解集是； 【小问2详解】 解：由函数图象，可得，时，；，时，； ∴关于的不等式组的解集为：． 【小问3详解】 解：①∵点， ∴由函数图象可得，关于的不等式的解集为：； ②，， ， ． 21. 如图，在四边形中，平分，，交的延长线于点M，于点N． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角的平分线性质，运用直角三角形全等的判定定理证明即可． （2）根据角的平分线性质，证明，得到，结合得到计算即可． 【小问1详解】 ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴； ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵平分，，， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质，直角三角形全等的判断和性质，直角三角形的特征，勾股定理，熟练掌握性质和勾股定理是解题的关键． 22. 综合与实践： 【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】 如图①，小明把三角尺中角的顶点放在上，边，与分别交于点，． （1）若，则的度数为_____； （2）如图②，请你探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）【延伸拓展】如图③，，把三角尺从图③的位置开始绕点顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，求的度数． 【答案】（1）； （2）与之间的数量关系为：， 理由如下：， ， ，， ， 又，， ； （3）的度数为或 【解析】 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得到，根据角的和差关系得到. （2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理，即可证明结论． （3）根据当时，即时，以及当时，即时，分情况讨论，利用（2）中的结论得出的度数． 【小问1详解】 解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分以下情况讨论： ①当时，如图①，直线与相交所成的锐角的范围是，可能为， 当时，由（2）的结论可得，， ②当时，如图②，直线与相交所成的锐角的范围是，可能为， 当时，， 由（2）的结论可得，， 综上所述，的度数为或． 23. 转化和类比迁移是解决几何问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图，在等边中，点，，分别在边，，上，且也为等边三角形，求证：．小洛仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，请你完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边改成，且，，其他条件不变，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形中，，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）．理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形内角均为的性质，通过角的和差关系推导出一组等角，再结合等边三角形的边相等，用证明． （2）在上截取，构造与全等，得到对应边和对应角相等；再利用中的性质，证明，从而推导出． （3）连接，延长交的延长线于点，过点作于，于．先证明为等边三角形，结合，由（）的结论得；再证明，得；证明四边形是长方形，得；证明，得；最后利用求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴ 在和中， ， ∴（）； （2）解：，理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，延长交的延长线于点，过点作于，于， ∵，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴由（）得， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵，，， ∴四边形是长方形， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴ 解得． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的构造方法和特殊三角形、四边形的边角关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下列选项中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. “穿十条马路连遇十次红灯”是不可能事件 B. 任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件 C. 某彩票中奖概率为1%，那么买100张彩票一定会中奖 D. “福山福地福人居”这句话中任选一个汉字，这个字是“福”字的概率是 5. 在平面直角坐标系中，如果点在第四象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，交于点，过点作于点．若，点恰好是的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与的图象如图，下列结论：①；②关于x的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 10. 把等腰直角按如图所示的方式折叠，已知，则下列说法：①平分；②是等腰三角形；③；④的周长等于的长．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 命题“如果，那么”是_____命题（“填“真”或“假”）． 12. 已知不等式组无解，则的取值范围是________． 13. 如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是______． 14. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解为__________． 15. 已知关于x，y的方程组．以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x－2y＝－4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6，则k＝1．其中正确的序号是 _____． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程组或不等式组： （1）解方程组：； （2）解不等式组 17. 已知关于的方程组的解满足，，求的取值范围． 18. 如图，小亮和小芳玩转盘游戏，将一个材质均匀的转盘平均分成个扇形并标上数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线则重新转动转盘）．小芳提议：若转出的数字是的倍数，则小芳获胜；若转出的数字是的倍数，则小亮获胜． （1）你认为小芳的提议对游戏双方是否公平?为什么? （2）请你利用这个转盘设计一种对两人都公平的游戏规则． 19. 某校组织学生参加综合实践活动，各年级师生参加的人数分别为：七年级人，八年级人，九年级人．师生一起乘坐客车前往实践基地，下面是张老师和小强、小明同学有关租车问题的对话． 张老师：“客运公司有，两种型号的客车可供租用，型客车每辆租金元，型客车每辆租金元．” 小强：“七年级租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．” 小明：“八年级租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： （1）分别求每辆型客车、每辆型客车坐满后的载客人数； （2）因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排辆客车，要使九年级每位师生都有座位，有几种租车方案？最少租金为多少元？ 20. 如图，在同一个平面直角坐标系中，一次函数和的图象分别与轴交于点，，两直线交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，观察图象并回答下列问题： （1）关于的方程的解是_____；关于的不等式的解集是_____； （2）关于的不等式组的解集是_____； （3）若点的坐标为， ①关于的不等式的解集是_____； ②求的面积． 21. 如图，在四边形中，平分，，交的延长线于点M，于点N． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 22. 综合与实践： 【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】 如图①，小明把三角尺中角的顶点放在上，边，与分别交于点，． （1）若，则的度数为_____； （2）如图②，请你探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）【延伸拓展】如图③，，把三角尺从图③的位置开始绕点顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，求的度数． 23. 转化和类比迁移是解决几何问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图，在等边中，点，，分别在边，，上，且也为等边三角形，求证：．小洛仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，请你完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边改成，且，，其他条件不变，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形中，，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $