精品解析： 山东省淄博市沂源县2024—2025学年下学期七年级期末数学试卷（五四学制）

2024－2025学年山东省淄博市沂源县七年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A若，则，故选项A成立； B．若，则，故选项B成立； C．若，则，故选项C成立； D．若，取，时，则，， ， ， 取，时，则，， ， ，故选项D不一定成立； 故选：D 2. 学完不等式的解集后，甲同学说：“的解集是”；乙同学说：“是的一个解”；丙同学说：“的整数解有无数个”．这三位同学的说法中错误的个数是（    ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解及解集，分别验证甲、乙、丙三位同学的说法是否正确即可． 【详解】甲同学：解不等式 ． 两边同时除以 ，需改变不等号方向，得 ，与甲所述一致，正确． 乙同学：把代入，得 ，而 ，不满足不等式，错误． 丙同学：所有小于3的整数（如，…），存在无穷多个，正确． 综上，只有乙同学的说法错误，错误个数为1． 故选B． 3. 如图，可以判定条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行得出答案即可． 【详解】解：A、∵∠3=∠4，∴AB∥CD，本选项不符合题意； B、∵∠B=∠5，∴AB∥CD，本选项不符合题意； C、∵∠1=∠2，∴AD∥BC，本选项符合题意； D、∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD，本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键． 4. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，如果一托为5尺，那么索长（ ）尺． A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设索长x尺，竿子长y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设索长x尺，竿子长y尺， 依题意，得：， 解得：， ∴索长为20尺， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5. 已知直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数解析式组成的二元一次方程组的解． 首先把代入，求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数的解析式组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：直线经过点， ， 解得， ， 关于，的二元一次方程组的解为， 故选：A． 6. 若方程组的解满足，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组解法，根据题意，两个方程相加得出，再根据，即可得出，即可得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与不等式的关系，解答该题的关键 是根据函数图象找出满足不等式组的解集问题．根据图象，当时，直线在轴的下方，且在直线的上方，据此即可求得不等式的解集为点与点之间的横坐标的范围． 【详解】解：，， 观察图象，不等式的解集为， 故选：B． 8. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多可以打（ ）折 A 8.4 B. 8.5 C. 8.6 D. 8.8 【答案】A 【解析】 【分析】设该商品打x折销售，根据利润=售价-成本结合利润率不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设该商品打x折销售， 根据题意可得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 9. 为了开展好“招远市城市卫生专项”行动，某单位需要购买分类垃圾桶8个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶50元/个，B型分类垃圾桶55元/个，总费用不超过415元，则不同的购买方式有（　　） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】C 【解析】 【分析】设购买x个A型分类垃圾桶，则购买（8-x）个B型分类垃圾桶，利用总费用=单价×数量，结合总费用不超过415元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x，（8-x）均为非负整数，即可得出购买方式的数量． 【详解】解：设购买x个A型分类垃圾桶，则购买（8-x）个B型分类垃圾桶， 依题意得：50x+55（8-x）≤415， 解得：x≥5， 又∵x，（8-x）均为非负整数， ∴x可以为5，6，7，8， ∴共有4种购买方式． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 10. 若不等式的解集为，则a，b应满足的条件为（    ） A ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据一元一次不等式的解集特征，结合系数符号对解集方向的影响，确定参数关系． 【详解】原不等式为，变形为． ∵解集为， ∴． 当时，解集为． 根据题意， 解得： 因此，和满足且． 故选A． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. x的3倍减去2的差不大于0，列出不等式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是理解“不大于”的意思，从而可列出不等式． 不大于0就是小于等于0，根据x的3倍减去2的差不大于零可列出不等式． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为． 12. 女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出小琳所在班级的女生人数，再根据概率公式计算可得． 【详解】∵小琳所在班级的女生共有40×60%=24人， ∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，小琳被抽到的概率是． 故答案为． 13. 不等式组的解集是，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，解题关键是熟练掌握判断不等式组解集的口诀．根据判断不等式组解集的口诀“同大取大”和已知条件，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：不等式组的解集是， ， 解得：， 故答案为：． 14. 已知是二元一次方程的一个解，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将已知解代入方程中解得m的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， 则， 解得：， 故答案为：. 15. 如图，在中，，，，角平分线与相交于点O，则点O到斜边的距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，勾股定理，利用三角形的面积列出方程是解题的关键．利用勾股定理列式求出，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O到三边的距离相等，设为h，再利用的面积列出方程求解即可． 【详解】解：，，， ， 角平分线与相交于点O， 点O到三边的距离相等， 设为h，则， 解得， 即点O到斜边的距离为. 故答案为： 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 16. 某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，若每月租书数量为x册． （1）写出零星租书方式应付金额（元）与租书数量x（册）之间的函数关系式． （2）写出会员卡租书方式应付金额（元）与租书数量x（册）之间的函数关系式． （3）小军选取哪种租书方式更合算？ 【答案】见解析． 【解析】 【分析】（1）因为零星租书每册收费1元，所以y1和x是相等的关系； （2）会员卡租书，每册是0．4元，x册的费用就是0．4x，加上办卡费12元，所以y2=12+0．4x； （3）比较两种租书方式哪种花的费用最少就哪种方式更合算． 【详解】（1）∵零星租书每册收费1元， ∴应付金额与租书数量之间的函数关系式为：y1=x； （2）∵在会员卡租书中，租书费每册0.4元，x册就是0.4x元，加上办卡费12元， ∴应付金额与租书数量之间的函数关系式为：y2=0.4x+12； （3）当y1=y2时，x=12+0.4x，解得：x=20， 当y1＞y2时，x＞12+0.4x，解得x＞20， 当y1＜y2时，x＜12+0.4x，解得x＜20， 综上所述，当小军每月借书少于20册时，采用零星方式租书合算；当每月租书20册时，两种方式费用一样；当每月租书多于20册时，采用会员租书的方式更合算． 【点睛】本题属于简单的经济应用题，题目不难，但需要细心不要将两种租书方式搞混了，在问题（3）当中需要通过解不等式来比较租书金额的大小，同学们应熟练掌握． 四、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，画图见解析 【解析】 【分析】本题考查的是求一元一次不等式组的解集，理解一元一次不等式组的解法是解答关键．要注意x是否取包含有等于，若取包含有等于时则x在该点是实心的，反之x在该点是空心的．先求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，最后在数轴表示出来即可． 【详解】解：， 由①去括号得， 解得； 由②去分母得 ， 去括号得 ， 移项并合并同类项得 ， 解得， 在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集是：． 18. 如图，在中，，， 的垂直平分线交于E，交于D，若，求的长． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出含角的直角三角形是解题的关键． 连接，根据三角形的内角和定理求出、，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 的垂直平分线交于点E， ，， ， ， ， ， ． 19. 分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式． 小亮在解分式不等式＞0时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或② 解不等式组①，得x＞3， 解不等式组②，得x＜－. 所以原分式不等式的解集为x＞3或x＜－ . 请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式＜0. 【答案】<x<2 【解析】 【分析】根据“两数相除，同号得正，异号得负”，把原分式不等式转化为两个不等式组求解即可. 【详解】解：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得<x<2. 解不等式组②得此不等式组无解． 所以原分式不等式的解集为<x<2. 【点睛】本题考查了分式的值为正与为负的条件及一元一次不等式组的解法，根据“两数相除，同号得正，异号得负”，把分式不等式转化为两个不等式组求解是解答本题的关键. 20. 如图所示，在中，AD是平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E． 求证：（1）； （2）； （3）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质可证明； （2）利用线段垂直平分线的性质可得出FD=AF，再结合角平分线性质即可得以证明； （3）利用角的和差计算即可． 【详解】（1）是AD的垂直平分线， ，． （2）是AD的垂直平分线， ， ， 是平分线， ， ，． （3），， 且，， ． 【点睛】本题考查知识点是三角形的角平分线性质以及线段垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解此题的关键． 21. 学校为丰富学生业余生活，为学生购买篮球和排球．若买15个篮球和8个排球需2000元；若买10个篮球和20个排球需2800元． （1）每个篮球和排球的售价分别多少元？ （2）若学校打算购买篮球和排球共50个，购买的费用不少于4685元，则至多购买篮球多少个？ 【答案】（1）篮球每个80元，排球每个100元；（2）至多购买篮球15个 【解析】 【分析】（1）设每个篮球售价为元，每个排球的售价为元，根据“买15个篮球和8个排球需2000元；若买10个篮球和20个排球需2800元”列出方程组并解答． （2）设购买篮球个，则购买排球个，根据“购买的费用不少于4685元”列出不等式解答． 【详解】解：（1）设每个篮球售价为元，每个排球的售价为元， 则， 解，得， 答：篮球每个80元，排球每个100元； （2）设购买篮球个，则购买排球个， 则， 解得． ∵a必须为非负整数 ∴a最多取15 答：篮球至多买15个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求量的等量关系和不等关系． 22. 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接. （1）求证：； （2）请判断、有何位置关系，并证明. 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）先说明，再根据“边角边”可得答案； （2）根据全等三角形的性质得，再说明,可得答案. 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即. 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 答：，且. 证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即. 23. 在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD．E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD． （1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数； （2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN． ①补全图2； ②若BN＝DN，求证：MB＝MN． 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】(1)分别求出∠ADF，∠ADB， 根据∠BDF=∠ADF-∠ADB计算即可； (2)①根据要求画出图形即可； ②设∠ACM=∠BCM=a，由AB=AC， 推出∠ABC=∠ACB=2a，可得∠NAC=∠NCA=a，∠DAN=60°+a，由△ABN≌△ADN (SSS) ，推出∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60° +a，∠BAC=60°+2a， 在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，构建方程求出a，再证明∠MNB=∠MBN即可解决问题； 【详解】（1）如图 在等边三角形△ACD中，∠CAD=∠ADC= 60°， ∴AD= AC ∵E为AC的中点， ∴∠ADE=∠ADC = 30°， ∵AB= AC， ∴AD= AB， ∴∠BAD=∠BAC+ ∠CAD= 160° ∴∠ADB=∠ABD= 10° ∴∠BDF=∠ADF-∠ADB= 20°. (2)①补全图形，如图2所示， ②证明:连接AN. ∵CM平分∠ACB， 设∠ACM =∠BCM = a， ∵AB= AC， ∴∠ABC=∠ACB = 2a. 在等边三角形△ACD中， ∵E为AC的中点， ∴DN⊥AC， ∴NA= NC， ∴∠NAC=∠NCA= a ∴∠DAN=60°+a， 在△ABN和△A DN中， △ABN≌△ADN (SSS)， ∴∠ABN= ∠ADN = 30° ， ∴∠BAN =∠DAN= 60° + a， ∴∠BAC=60°+2a， 在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC= 180° ， ∴60°+2a+2a+2a=180°. ∴a= 20° ∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=10° ∴ ∠MNB=∠NBC +∠NCB = 30° ∴∠MNB= ∠MBN ∴MB=MN． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年山东省淄博市沂源县七年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A. B. C. D. 2. 学完不等式解集后，甲同学说：“的解集是”；乙同学说：“是的一个解”；丙同学说：“的整数解有无数个”．这三位同学的说法中错误的个数是（    ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 如图，可以判定的条件是（ ） A B. C. D. 4. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，如果一托为5尺，那么索长（ ）尺． A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 5. 已知直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 6. 若方程组的解满足，则等于（    ） A B. C. D. 7. 如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 8. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多可以打（ ）折 A. 8.4 B. 8.5 C. 8.6 D. 8.8 9. 为了开展好“招远市城市卫生专项”行动，某单位需要购买分类垃圾桶8个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶50元/个，B型分类垃圾桶55元/个，总费用不超过415元，则不同购买方式有（　　） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 10. 若不等式的解集为，则a，b应满足的条件为（    ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. x的3倍减去2的差不大于0，列出不等式是_______． 12. 女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是______． 13. 不等式组的解集是，则m的值是______． 14. 已知是二元一次方程的一个解，则m的值为______． 15. 如图，在中，，，，角平分线与相交于点O，则点O到斜边的距离为______． 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 16. 某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，若每月租书数量为x册． （1）写出零星租书方式应付金额（元）与租书数量x（册）之间的函数关系式． （2）写出会员卡租书方式应付金额（元）与租书数量x（册）之间的函数关系式． （3）小军选取哪种租书方式更合算？ 四、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18. 如图，在中，，， 的垂直平分线交于E，交于D，若，求的长． 19. 分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式． 小亮在解分式不等式＞0时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或② 解不等式组①，得x＞3， 解不等式组②，得x＜－. 所以原分式不等式的解集为x＞3或x＜－ . 请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式＜0. 20. 如图所示，在中，AD是平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E． 求证：（1）； （2）； （3）． 21. 学校为丰富学生的业余生活，为学生购买篮球和排球．若买15个篮球和8个排球需2000元；若买10个篮球和20个排球需2800元． （1）每个篮球和排球的售价分别多少元？ （2）若学校打算购买篮球和排球共50个，购买的费用不少于4685元，则至多购买篮球多少个？ 22. 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接. （1）求证：； （2）请判断、有何位置关系，并证明. 23. 在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD．E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD． （1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数； （2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN． ①补全图2； ②若BN＝DN，求证：MB＝MN． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $