精品解析：山东省烟台市烟台经济技术开发区2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

2025——2026学年度第二学期期末七年级数学监测题 温馨提示： 1．本试卷共4页，试题满分118，卷面2分，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．对于尺规作图题，用2B铅笔作图． 6．数学考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 7．在试卷上和答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时有等于要用实心圆点表示；否则要用空心圆点表示．根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴在处是空心圆点且折线向右， ∴在数轴上表示为： 故选：B． 2. 二元一次方程x+2y=5的正整数解的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】方程用y表示出x，即可确定出正整数解． 【详解】解：x+2y=5， 变形得：x=5﹣2y， 当y=1时，x=5﹣2=3；当y=2时，x=5﹣4=1， 则方程的正整数解个数是2个． 故选B． 3. 如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，利用平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 4. 如图，某行李箱的齿轮密码是三位数，每一位数都是中的一个数字，开箱时发现忘记密码的中间一位，则一次成功打开该行李箱的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：中间一位上的数字可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任意一个，共有10种情况， ∴一次成功打开该行李箱的概率是． 5. 如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，结合折叠的性质求出，从而可得，最后再由平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 由题意可得， ∴． 6. 布袋里有个球，其中有红球个，绿球个，黄球个，蓝球个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少个同色的球，则最少需要从袋中摸出的球的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抽屉原理中的最不利原则，解题思路是先考虑最坏情况，即先把所有数量不足3个的球全部摸出，再给数量不小于3个的每种颜色各摸出2个，此时再摸1个即可保证一定有3个同色的球； 【详解】解：根据最不利原则，分析最坏摸球情况： ∵ 红球共2个，黄球共1个，两种颜色的球数量都不足3个， ∴最坏情况将这两种球全部摸出，总个数为 ， 又∵ 绿球共3个，蓝球共4个，两种颜色的球数量都不小于3个， ∴最坏情况各摸出2个，这部分总个数为 ， ∴此时一共摸出 个球，仍没有3个同色的球， ∴ 再任意摸出1个球，一定可以保证有一个颜色的球达到3个， ∴总摸球个数为 ； 7. 路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，个人，根据题意，可列出关于，的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设有辆车，个人，根据“五人同车三车空，四人同车九步行”列出关于，的二元一次方程组即可． 【详解】解：设有辆车，个人， ∵五人同车三车空，四人同车九步行， ∴可列出关于，的方程组为． 8. 若整数使关于的一元一次不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组得到解集，再根据“有且只有3个整数解”确定m的取值范围，找出范围内所有整数m，计算它们的和即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴不等式组的解集为； ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴三个整数解为， 可得， 不等式两边同乘4得， 解得. ∵是整数， ∴符合条件的为， ∴所有符合条件的整数的和为． 9. 已知二元一次方程组的解为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先运用代入消元法解方程组，进而可求得a、b的值，代入计算即可． 【详解】解： 由①，得x＝9﹣y， 代入②，得 解得：y＝16． 将y＝16代入①得x＝5． ∵， ∴， ∴|a﹣b|＝|5﹣16|＝11． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，当二元一次方程组的两个方程里有一个未知数的系数的绝对值为1的时候，可选择用代入法求解． 10. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误． 【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，①正确，故符合要求； ∵， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得，， ∵， ∴，②正确，故符合要求； 由勾股定理得，即， ∴，③正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共计18分） 11. 将命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________． 【答案】如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等． 【解析】 【分析】首先要分清原命题的题设与结论，题设是角平分线上的点，可改为点在角平分线上，如此答案可得． 【详解】如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等． 故答案为：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及命题的改写问题．找准原命题的题设与结论是正确解答本题的关键． 12. 已知关于的不等式组有三个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的求解，先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组整数解的个数，确定的取值范围； 【详解】解： 解不等式①，不等式两边同乘得：，移项得：； 解不等式②，展开得：，移项合并同类项得：，系数化为得：； 故不等式组的解集为. 不等式组有三个整数解， 不等式组的整数解为， 可得， 解得； 13. 如图，某地面铺有黑白两色地砖，地砖除颜色外完全一样．一枚小球在地板上自由的滚动，并随机停留在某处，它最终停留在黑色地砖上的概率是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图可得，黑色地砖占总地面的， ∴一枚小球在地板上自由的滚动，最终停留在黑色地砖上的概率是． 14. 在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，若直线也经过点A，则关于x，y的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标，先根据点在直线上求出点的坐标，再利用一次函数与二元一次方程组的关系得到方程组的解. 【详解】解： 点在直线上， 将代入得 ， 即点的坐标为， 方程组可变形为， 又一次函数和相交于点， 该方程组的解为两个一次函数图象交点的坐标，即. 15. 如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图：过D作于G，利用角平分线的性质定理可得，再证明、可得、，再结合图形利用面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图：过D作于G， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，中，，，，点为上一个动点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，当点落在内部（不包括边）上时，的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，再作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，结合点落在内部（不包括边）上，即可得到的取值范围． 【详解】解：过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点的对应点为点，则点落在边上， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，则点落在边上， ∵由折叠可知：， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点落在内部（不包括边）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称中的折叠问题、含角的直角三角形的性质、勾股定理等，熟知折叠前后两个三角形全等是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8个题，满分70分） 17. 解不等式组，，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】； 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 18. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值． 【答案】1、2、3． 【解析】 【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出正整数值即可． 【详解】解：， ①+②得：3（x+y）=﹣3m+6，即x+y=﹣m+2， ∵x+y，∴﹣m+2＞﹣， 解得：m＜， 则满足条件m的正整数值为1，2，3． 19. 如图，已知和，延长交于，且满足，，． （1）请探究的形状，并证明你的结论； （2）用尺规作出的高．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）是等腰三角形； 证明：， ∴． 在和中， ， ． ． 是等腰三角形． （2）如图：线段即为所求． 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明可得，从而证明结论； （2）以点D为圆心，以大于点D到的距离画弧交于两点，再分别以该两点为圆心，以大于它们距离的为半径画弧，两弧交于一点， 连接两弧交点和点D，与交于点M，线段即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成等份）． （1）转动图转盘时，求该转盘停止指针指向“”或“”的概率； （2）若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜．你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．若不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则． 【答案】（1） （2）不公平，理由如下： ∵根据题意：列表如下： 图1转盘 1 1 1 2 2 2 3 3 3 图2转盘 4 5 6 4 5 6 4 5 6 和 5 6 7 6 7 8 7 8 9 ∴转盘停止指针指向的两个数字之和的所有等可能结果数为9，其中奇数的情况数为5，偶数的情况数为4 （和为奇数）；（和为偶数）， 则（和为奇数）（和为偶数） ∴不公平． 公平游戏规则：同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和大于时小明获胜；两个数字之和小于时小红胜，两个数字之和等于时平局．（注：答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）先列表可得所有等可能结果数为9，其中奇数的情况数为5，偶数的情况数为4；再利用概率公式分别求得小明、小红获胜的概率，然后比较即可判断游戏的公平性；最后根据列表设计公平的游戏规则即可． 【小问1详解】 解：图转盘被均分为份，标有或的有份， ∴转动图转盘时，该转盘指针指向“”或“”的概率是． 【小问2详解】 解：不公平，理由略，公平游戏规则见答案． 21. 若关于不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，求满足条件的所有整数． 【答案】满足条件的所有整数有和 【解析】 【分析】先解不等式组求出，则，解得到，再根据解的情况讨论即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得． ∵关于的不等式组有解， ． ． 解，得． ∵关于的方程的解为正整数， ∴a为6的倍数，且， ∴当时，， 符合题意， 当时，， 符合题意， 当时，， 应舍去， 当时，，不符合条件， 满足条件的所有整数有和． 22. 某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元.，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利120元． （1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格） （2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？ 【答案】（1）A型号计算器售价为42元，B型号计算器售价为56元；（2）最少需要购进A型号计算器30台． 【解析】 【分析】（1）首先设A种型号计算器的销售价格是x元，A种型号计算器的销售价格是y元，根据题意可等量关系：①5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；②销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元，根据等量关系列出方程组，再解即可； （2）根据题意表示出所用成本，进而得出不等式求出即可． 【详解】解：（1）设A型号计算器售价为元，B型号计算器售价为元 由题意可得: 解得: 答：A型号计算器售价为42元，B型号计算器售价为56元． （2）设购进A型号计算器台，则B型号计算器（70-a）台 由题意可得： 30a+40（70-a）≤2500 解得：a≥30 答：最少需要购进A型号计算器30台． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解答此题的关键是仔细审题得到等量关系，根据等量关系建立方程；还考查了不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 23. 【原题呈现】 （1）如图，点在等腰三角形外，，，连接，射线交于点，交于点．则和的数量关系为__________； 【变式探究】 （2）如图，若为任意直角三角形，在（1）的其他条件不变的情况下，请探究和的数量关系，并证明你的结论； 【理解应用】 （3）如图，在中，，，，点在外且在上，交于点，，求的面积． 【答案】（1） （2），证明如下： ， ，，． ，即． ，， ，． ． ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质可得、、．易得；再利用等边对等角以及三角形内角和定理可得，利用三角形外角的性质可得，从而完成解答； （2）由全等三角形的性质可得、、．易得；再利用等边对等角以及三角形内角和定理可得，利用三角形外角的性质可得，从而完成解答； （3）先利用（1）的思路可得，进而得到，即、， 利用含30度直角三角形的性质可得，进而得到，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ，，． ，即． ，， ，． ． ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ． ， ，，， ，即． ，， ，， ． ， ， ， ， ，， ，． ． 24. 如图，长方形在直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，点在轴上，点在边上，且，点的坐标为，动点在线段上． （1）求直线的表达式； （2）在直线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求得点D的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）分点在下方和上方两种情况，分别画出图形，运用全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的定义求解即可． 【小问1详解】 解：长方形中，点的坐标为， ，点的纵坐标为． ， ． 点的坐标为． 设直线的表达式为， 得，解得． ∴直线的表达式为． 【小问2详解】 解：①如图：当点在下方时，过点作轴交轴于点，交于点，则． 是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ，． ． ． ． ，． 设的坐标为， ，． ， ． ． ． ； ②点在上方时，过点作轴交轴于点，交直线于点， 同理得， ，． 设， ，． 又， ． ． ． ． 所以点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年度第二学期期末七年级数学监测题 温馨提示： 1．本试卷共4页，试题满分118，卷面2分，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．对于尺规作图题，用2B铅笔作图． 6．数学考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 7．在试卷上和答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 二元一次方程x+2y=5的正整数解的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某行李箱的齿轮密码是三位数，每一位数都是中的一个数字，开箱时发现忘记密码的中间一位，则一次成功打开该行李箱的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 布袋里有个球，其中有红球个，绿球个，黄球个，蓝球个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少个同色的球，则最少需要从袋中摸出的球的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，个人，根据题意，可列出关于，的方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 若整数使关于的一元一次不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二元一次方程组的解为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共计18分） 11. 将命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________． 12. 已知关于的不等式组有三个整数解，则的取值范围是________． 13. 如图，某地面铺有黑白两色地砖，地砖除颜色外完全一样．一枚小球在地板上自由的滚动，并随机停留在某处，它最终停留在黑色地砖上的概率是________． 14. 在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，若直线也经过点A，则关于x，y的方程组的解是______． 15. 如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 16. 如图，中，，，，点为上一个动点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，当点落在内部（不包括边）上时，的取值范围为______． 三、解答题（本大题共8个题，满分70分） 17. 解不等式组，，并把解集在数轴上表示出来． 18. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值． 19. 如图，已知和，延长交于，且满足，，． （1）请探究的形状，并证明你的结论； （2）用尺规作出的高．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成等份）． （1）转动图转盘时，求该转盘停止指针指向“”或“”的概率； （2）若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜．你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．若不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则． 21. 若关于不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，求满足条件的所有整数． 22. 某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元.，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利120元． （1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格） （2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？ 23. 【原题呈现】 （1）如图，点在等腰三角形外，，，连接，射线交于点，交于点．则和的数量关系为__________； 【变式探究】 （2）如图，若为任意直角三角形，在（1）的其他条件不变的情况下，请探究和的数量关系，并证明你的结论； 【理解应用】 （3）如图，在中，，，，点在外且在上，交于点，，求的面积． 24. 如图，长方形在直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，点在轴上，点在边上，且，点的坐标为，动点在线段上． （1）求直线的表达式； （2）在直线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $