湖南长沙市宁乡市第一高级中学2025-2026学年高二下学期7月期末调研考试数学试卷

2026年上学期宁乡市高二期末调研考试 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．已知全集，集合，，则 A． B． C． D． 2．复数，其虚部是 A． B． C． D． 3．已知在上为偶函数，则实数a的值为 A． B． C． D． 4．设随机变量服从正态分布，且，则 A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8 5．下列说法错误的是 A．如果直线，那么直线a平行于经过直线b的任何平面 B．如果直线a不平行于平面，那么直线a与平面有公共点 C．空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行 D．如果直线a和平面满足，那么直线a垂直于平面内的任何直线 6．已知，求的值 A． B． C． D． 7．的展开式中的系数为15，则 A．4 B．5 C．6 D．7 8．某地区某农产品近几年的年产量统计如表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 2026 年份代码t 1 2 3 4 5 6 年产量y（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 请根据经验回归方程，预测2027年该地区该农产品的年产量为 （对于一组数据，，…，，其经验回归方程的参考公式为：，，参考数据：，．） A．7.2 B．7.46 C．7.50 D．7.56 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列说法正确的是 A．在独立性检验中，零假设：两个分类变量相互独立；若算出卡方观测值越大，则越有充分的把握拒绝零假设 B．样本相关系数，则两个相关变量的线性负相关程度很强 C．残差图中，残差点均匀分布在x轴两侧的一条水平带状区域内，如果带状区域的宽度越窄，则说明模型的拟合精度越高 D．一批产品的次品率为5%，不放回地随机抽取20件，是n重伯努利试验 11．已知函数，下列说法正确的是 A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上的最大值为 D．把的图象先横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，最后纵坐标缩短为原来的得到的图象；且在内仅有1个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上． 12．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是2，这个球的体积是________________． 13．函数的定义域是________________． 14．设集合，从集合U中随机抽取一个点，定义随机变量，则X的数学期望为________________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 计算： （1）； （2）． 16．（本小题满分15分） 设P是线段上的一点，点，的坐标分别是，． （1）当点P满足时，求点P的坐标； （2）若点Q坐标为，且，求点P的坐标． 17．（本小题满分15分） 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，已知，，． （1）求c； （2）若D是的中点，求． 18．（本小题满分17分） 如图，是的直径，点C、D是圆周上不同于A，B的动点，M是中点，垂直于所在平面． （1）证明：； （2）若平面平面，证明：平面； （3）若，求与平面所成角的正切值． 19．（本小题满分17分） 已知某工厂生产的产品中，合格品概率为，次品概率为．该工厂现有人工和两种质检方式，人工质检无误判，单件人工检测费为3元；若使用进行质检，合格品被误判为次品的概率为，次品被误判为合格品的概率为，质检无检测费． （1）任意抽取一件产品，求被判定为次品的概率； （2）若一件产品已被判定为次品，求这件产品未被误判的概率； （3）现该工厂预设两套质检方案，具体规则如下： 方案1：“人工全检”模式 所有产品逐一人工全检，经人工检测判定为次品的作报废处理，单件报废亏损25元． 方案2：“质检+人工复检”模式 所有产品逐一全检，经判定为合格的产品直接出厂，因误判而流入市场的次品，会被用户投诉并索赔，单件赔付50元；经判定为次品的产品，则均需逐一人工复检，复检核实为次品的作报废处理，单件报废亏损25元． 分别求出两种方案下单件产品的综合损失（包含上述所有可能产生的检测费、索赔金额、报废亏损）的数学期望，并据此判断该工厂应采取哪套质检方案． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期宁乡市高二期末调研考试 数学答案 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．答案：选D 2．答案：选C 3．答案：选B 4．答案：选B 5．答案：选A 6．答案：选B 7．答案：选C 8．答案：选D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．答案：选BC 10．答案：选ABC 11．答案：选AC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上． 12．答案： 13．答案： 14．答案：0 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【酌情记过程分】 （1）原式 （6分） （2）原式 （13分） 16． （1）设，已知， 则，， （2分） 由得， （4分） 解得，所以 （7分） （2）设P在上，则，又 则，，所以 （10分） 又，所以，即：，解得 （13分） 所以，即 （15分） 17． （1）由题意可得：已知，，所以， （2分） 又，所以， （4分） 所以 即：所以 （6分） 又由正弦定理可得：，解得 （9分） （2）法1：由正弦定理可得：，解得 （11分） 又 （13分） 所以 （15分） 法2：由正弦定理可得：，解得 （11分） 又由余弦定理可得：，所以 （13分） （15分） 18． （1）由题意可知平面，平面，， 在圆O中，又，且，平面， 平面，又平面， （5分） （2）∵平面平面，又由（1）可知， 平面，又平面，， 又平面，平面，平面 （10分） （3）法1（几何法）：找中点N，连接，， 由（1）可知平面，又平面，∴平面平面 又，，平面， （13分） 即为与平面所成角的平面角， （15分） 不妨设，， ,与平面所成角的正切值为 （17分） 法2（坐标法）：如图：以点C为坐标原点，作轴建系，不妨设 则：，，， 所以，，， （12分） 设平面的一个法向量为：，设与平面的所成角为 所以，，即，令，则， （15分） 则，所以 （17分） 19． （1）设事件A为：产品为合格品，事件为：产品为次品，设事件B为：判定为次品 则：，，合格品被误判为次品， 次品被正确判定为次品 （1分） 则被判定为次品的概率： （3分） ，所以，被判定为次品的概率 （4分） （2）一件产品已被判定为次品，求这件产品未被误判的概率： （6分） ，所以，这件产品未被误判的概率 （8分） （3）方案1：“人工全检”模式，产品合格花费检测费3元，产品为次品花费检测费3元及报废亏损25元，设方案1单件损失为X，则X的所有可能取值为：3，28，则， 所以，（元） （10分） 方案2：“质检+人工复检”模式，设方案2单件损失为Y， 当产品合格，且判断合格，此时损失0元， （11分） 当产品合格，且判断为次品，此时损失人工检测费3元， （12分） 当产品为次品，且判断为次品，此时损失人工检测费3元及报废亏损25元， （13分） 当产品为次品，且判断合格，此时损失流出市场的赔付50元， （14分） Y 0 3 28 50 P 所以，（元） （16分） ，该工厂应采取方案2作为质检方案． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $