湖南长沙市湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

高二下学期期末考试 数学 命题人、审题人：吴瑶蔡毅王丹袁名波 时量：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),则 A.a∥b B.a⊥b % C.a·b=-1 D.a>bl 2已知复数x=1一2i)2,则1x= A.3 B.4 C.5 D.√13 &.已知a,b为实数，集合A={2,a,b},B=(2,a2,b2},且A=B, 则a十b= A.0 B.1 C.2 D.3 4心知正四棱台的上、下底面的边长分别为2,8，该棱台的表面积为148， 则侧棱长为 州 A.3 B.4 C.5 D.6 5已知圆O:x2+y2=4,过点P(0,一4)作圆O的两条切线，则这两条切线 数 的夹角为 A等 B晋 c牙 D晋 6.费马数列{Fn}是以数学家皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat,.l60l 1665年)命名的数列，其中Fn=22+1,例如F1=22十1=22+1=5.因 为导-号-3,4，所以哈的整数部分是1位数因为会-贸≈112，所 5 17 0.3010) 母 A.240 B.600 C.900 D.1200 7.已知a,8c(0,),且tan(g-a)=7,tana=-号，则2g-a的值是 A置 B.30 c D. 高二数学试题(T)第1页（共8页） 8.已知甲盒中有a个黑球和b个白球(a,b≥3)，乙盒中有1个球且为黑 球：从甲盒中随机抽取n个球放人乙盒中(1≤n≤a十b).记此时乙盒中 含有的黑球个数为Xm,从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率为pn,则 A.数列(E(Xn)和(pn)都单调递增 &数列(E(Xn)单调递增，数列(pn}单调递减 C.数列(E(Xn)单调递减，数列{p,)单调递增 D.数列{E(Xn)}和{p)都单调递减 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.在等比数列{am}中，a=3,as=48.,公比为g,则 Aq=士2 B.as=±12 C.a)是公比为4的等比数列 D.{a,an+1)是公比为2的等比数列 10.已知函数f(x)=Asin(oa+p)A>0,w>0,p∈[0，受])的部分图象如 图所示，则下列结论正确的是 13π 2 A A0-4 3 B.若将f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位长度得到的是奇函数图 象，则的最小值是否 C若fz)在区间[0，m]止有5个零点，则m的取值范围是[，1) D.若f(x)在区间[登n]上单调，则n的最大值是段 1.如图，已知，双曲线C荐-若-1a>0,6>0)的 左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A, A2,以AA2为直径的圆与C的一条渐近线交于 M,N两点，且∠NFM=牙，则 A LFMF- B.2|MF2|=√3|MF C双曲线C的离心率为写 D.当a=3时，四边形NFMF2的面积为12√3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12(-是) 的展开式中的常数项为 13.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提 出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式 为R(x)= 合一{9都是正整数，子是既约真分数） 若函数f(x) 0,x=0,1或[0,1]上的无理数 是定义在R上的奇函数，且对任意的x,都有f(2十x)+f(2一x)=0, 当xe[0,1]时，x)=R(x),则f2025)+2026)= 14,把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，A'B,AB 分别是椭圆柱OO的上、下底面椭圆的长轴，AB=AA'=4,且底面椭 圆的离心率为2，F,F:分别为下底面椭圆的左、右焦点，P为母线 BB'上的动点，Q为线段A'B'上的动点，CD为过点F2的下底面椭圆 的一条动弦（不与长轴重合），则三棱锥Q-PCD体积的最大傅为 A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.（本题满分13分) 在△ABC巾，角A,B,C所对的边分别为a,bc,且sm号-cos号-子 (1)求cosB的值； (2)若-。2=a,求的值 sin A 16.(本题满分15分) 如图，在底面为等边三角形的斜三棱柱ABC-A1B1C中，AA= √3AB,四边形B1CCB为矩形，过A1C作与直线BC1平行的平面 ACD交AB于点D. (1)证明：CD⊥AB; (2)若AA1与底面A1B1C所成角为60°，求平面A1BC与平面A1CC 夹角的余弦值. D B B 17.(本题满分15分) 已知抛物线C:y2=4x,A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的 直线1交曲线C于另一点B,交x轴的正半轴于点D(0,0)(0≥号)， 记点B关于x轴的对称点为点E,AE交x轴于点P,且AP⊥BP. (1)求证：点P,D关于原点对称； (2)求点P到直线AB的距离d的取值范围. 18.(本题满分17分) 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，5天 的人园游客量统计数据如下： 活动开展第x天 2 3 4 5 入园游客量y/百人 53 64 71 79 83 (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系 数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程y=b.x十a以及表中第3个观测值的残差； (3)该景区在活动期间设置3个打卡通道，记为通道1、通道2、通道3， 游客人园时选择通道1,23的概率依次为号，号，号：游客离园时，从 原先入园通道离园的概率为号，从另两个通道离园的概率均为品 已知一名游客是从通道1离园的，求该游客入园时选择通道1的 概率. 附：参考公式：相关系数r √含-na)(含-心2) 回归直线方程-6红+8，其中6=盈0，证· ,a=y-6元. 参考数据：含x0,=1125,2f=55,含=25076，V0≈3.162， 19.（本题满分17分) 设函数f(x)=e,g(x)=2x十x. (1)若Vx∈(0,1]，都有x[f(x)一1]-ax2≤0恒成立，求实数a的取 值范围； (2)对于函数y=F(x)和数列{an),(bn},若an=F(n),F(bn)=n,则称 {a}为函数y=F(x)的“生成数列”，{bn》为函数y=F(x)的“源数 列”. (i)若{(bn}为函数y=f(x)的“源数列”，证明：对任意正整数n,均 有bn≤(n-1)2； (i)若{an}为函数y=g(x)的“生成数列”，(bn}为函数y=g(x)的 “源数列”，(an)与(bn)的公共项按从小到大的顺序构成数列{c? 试问：在数列{cn}中是否存在连续三项构成等差数列？请说明 理由。高二下学期期宋考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 8 题号1234567 答案BC BCDDBB 1B【解析】因为a·b=2×1十1×(-2)=0，所以a⊥b,故A错误，B正确，C错误， 对于D,|a=√22+1=√5，|bl=√12+(-2)=√5，故D错误. 2.C【解析】因为之=(1-2i)2=1-4i+4i2=-3-4i,所以z=√(-3)2+(-4)7=5. 8B【保泰调为A一B,所以仔矿点茶子”多化（店8化：不件合来合元本的亚乐 性，舍去)，所以a十b=1. 4.C解析设正四校台侧面的高为，则2十8+2生X×4=148,h=4,所以侧棱长为，√e+(22-=5。 2 5.D【解析】设过点P的切线与圆O的切，点分别为A,B,连接OA,OB, 易得∠APB-2∠AP0,在△PA0中mAP0=8别--，别∠AP0-吾， 故这两条切线的夹角为∠APB=2∠APO=晋 6.D【解析】因为F13=22+1,F12=22十1与1相比都非常大， 所以是器的整数事分位数近似于二的叁数年分位数， F12 而1g(20号）=8cR6-1)-1gEa-1)=2g2-24g2=241g2≈4096X0.301=1232896, 所以是。二1 78-≈102，而101<1022<101， 因为10的整数部分位数是n十1，所以101232的整数部分位数是1233,1012的整数部分位数是1234， 所以及g二1 。二昌的整级哪分位数最接近于120，即是的基数部分位数最接近于120 B【獬标】因为a(g-。)=名，ma=-号∈(-go小， mg减+-2品 1-1 27 13 ）33 又固为a,8c(0,x),所以晋<a<,0<K晋，则0<29登，-<-a<-,所以-<2g-aK一受， 1 2tan B 2X3 因为m2g户净1-（传 -,所以(2g-a）=钾2器2&= 是+号 =1 i2a1+圣×(7】 1 故2g。=-8要 8.B【解析】从甲盒中随机抽取n个球，这n个球中黑球的个数设为Y, Y服从超几何分布，且PY=)=cC(h=0,12,, Ca+ 乙盒中有1个球且为黑球，放入n个球后，Xm=1十Y, 因为E(Y)=m·a千6，所以E(X.)=E(1+Y)=1+E0Y)=1+n‘a千6 a 高二数学参考答案(T)一1 因为a>0,a十b>0,所以当n从1增加到a十b时， n·。千6随n的增大而增大，所以教列(E(X,)单调递增； 从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是n,乙盒中此时有n十1个球，黑球有Xm个， 6中+ 所以A-E_1+n:a千3 n+1+6 n+1 n+1 n+1 b 因为o>0,a+b>0,所以当n从1增加到a+b时，年单调递减，所以数列(.)单调递减。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 题号 9 10 11 答案 AC ABC ACD 9AC【解折时于A,g会-智=16，则=士，改A正府， 对于B,a6=a4·q=3X4=12,故B错误； 对于C,由=9得是=日=4，所以数列(@}是公比为4的等比数列，故C正确； an 对于D,当n>2时，2中=q=4,所以数列{aa+1}是公比为4的等比数列，故D错误. an-lan 10ABC【解折]对于A,由因可知，A=2,是T-一子-要，所以T=,脚=，所以w一2， 因为f(）=2sn(2x+g)=2sm(音+p)=2,所以晋十9受+2x(∈2， 因为9∈[0，受]，所以p=号，所以Ap=,故A正确； 对于B,将f(x)向右平移t个单位得到函数f(x-)=2sim[2(x-)+子]=2sim(2x-2+罗）， 因为fx一)是寺函数，所以-一2z+号=x(使∈Z,所以=晋-经，∈Z, 所以=0时，正数t取得最小值否，故B正确； 对于C,因为x∈[0，m],所以2x+号∈[号2m+骨]，因为f(x)在[0，m]上有5个零点， 所以5≤2m+骨<6，解得≤m<1,即m的取值范国是[，1名），放C正确； 3 对于D,因为x∈[登n],所以2z+号∈[受，2m+],因为y=|sinx在[受，m]上单调，所以2m+≤， 则n≤5，所以n的最大值是5，故D错误.故选ABC. 11.ACD【解析】对于A,根据双曲线和圆的对称性可知，四边形F1MF2N为平行四边形， “∠NF,M=受∠RME,=,故A正确； 对于C,由图知M,)在渐近线)一合的第一象限部分，则M(,合=)，>0， 1oM=aV2+(合)=ax=g…Mgg), :R(-,0,R(e,0,&1M=√度++T=√@+吧 2 @+22牛c+G=牛2a+t+C=牛-v3a+, 2 高二数学参考答案(T)一2 M√度+(T-√@+g-2+ c2 -√-2+a-√F--a, 2 在△FMF2中，：|FF2|2=|FM2+|FM2-2FM|·|F,Mcos∠FMF2, i.(2e)-(v3aF@)+(v-a)-2V3aF.-acos ÷4c=(v3a+e)2+(e-a)2-2√3a+cVe-e(-2), ∴.4c2=3a2+c2+c2-a2+√3a2c2-3a+c-c2a2, ∴.2c2=2a2+√2a2e2-3a+c,∴.2c2+2a2=√/2a22-3a+c, .(2c2-2a2)2=2a2c2-3a+c4,,4c4-8a2c2+4a=2a2c2-3a1+c, .3c4-10a2c2+7a=0,.(3c2-7a2)(c2-a2)=0,3c2-7a2=0或c2-a2=0(舍)， 3c=7a后=子e=名e√骨-夏，故C正确； 对于B,3e=a,∴e2=3c,M=V3a+e,M,=e-, M,=32+号骨，，-√写0-云-看2M=MB结民： 对于D,a=3,则1M,=号，-后M=4,M=25, ∠RMF:=至，Satg,s,=2SA5s,=2X×MF,XME,sin∠RM =2X号X43X2w3im2=123,故D正确.故选ACD, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-5【解】：二项式丘-是)）°的晨开式通项为T*1=CG)·(-是)广=（一1）Cx学，其中∈N 且0≤k≤5. 令x的指教为0，即52=0，解得=1将=1代入得常数项为（一1）10=一5 13.合【解析】因为f2+x)十f(2-x)=0,所以f2+x)=-f(2-x),从而f(2)=0, 因为f(x)是奇函数，所以f(2十x)=f(x一2)，所以f(4十x)=f(x),所以f(x)的周期为4， 所以f(2026)=f(506×4+2)=f(2)=0,f（(2025）=f(253×4+2)=f(合)=， 所以f(2学）+f2026)=会 14.8【解析】连接PF2,QF2,由VQ-PCD=Vo-PQF,十VDrQ2,要使三棱锥Q-PCD体积最大， A 只需△PQF2的面积和C,D到平面PQF2距离之和都最大， S△m2=Sg边形m,g-S△PBr2-S△PoB,令|QB|=a,|PB|=b,且a,b∈[0,4]， 则PB1=4-6,Sao,=2×4X(1+a)-合×1X6-号×aX(4-b)=2+ba21卫， 2 B 当a=b=4时，有最大值S△0，=8.在下底面内以O为原点，构建如图所示的直角坐 A长-- D 标系， 由题设，长轴长AB=|AB|=4,因为底面椭圆的离心率为2，所以焦距为2，所以短轴长为2√3， 则辅圆方程为苦+号=1，BF,=1,且B(0,2),R,0,1D,设CD:y=z+1, 联立椭圆方程得(3t十4)x2+6tx-9=0,△=144(t+1)>0, 高二数学参考答案(T)一3 xc十xp= 3z2+4xoxn=32+4,lz0-xnl=√(e十n)2-4r0xn= 6t 9 12W√+1 3t2+4 西功是守南对约西装在有可和叶宁在+o上塑 1e-wlm-是=3 综上，三棱锥Q-PCD体积的最大值为号X8X3=8, 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解析(1)将sn号-cos号- 号-两边同时平方，得1一血8=得血B=品故6osB=士哥，…3分 又血号-cas号=}>0，所以n号>as号，所以号∈（子，受》，所以B∈（受），放cosB=-得 16 …6分 (2)由余孩定理得=a2+c2-2 accos B=a2+ac, 4 …9分 所以冥。=6一2amsB=+写。，所以c-g。,故盟9=夏 sin A 8 …13分 16.【解析】(1)如图，连接AC交A1C于点E,连接DE 因为BC1∥平面A1CD,BCC平面ABC,平面ABC∩平面A1CD=DE, 所以BC1∥DE. 又因为四边形ACCA1为平行四边形，所以E为AC1的中点， 所以ED为△ACB的中位线，所以D为AB的中点. 又因为△ABC为等边三角形，所以CD⊥AB.…5分 (2)过A作AO⊥平面A1B1C1垂足为O,连接A1O, 设AB=2,因为AA1与底面A1B1C所成角为60°，所以∠AA1O=60°. 在Rt△AA1O中，因为A1A=2/3,所以A1O=√3，AO=3. 因为AOL平面A1B1C,B1CC平面A1B1C,所以AOLB]C. 又因为四边形B1CCB为矩形，所以BB1⊥B1C, 因为BB1∥AA1,所以BC⊥AA1. 因为AA1∩AO=A,AA1C平面AA1O,AO平面AA1O,所以BC⊥平面AA1O. 因为A1OC平面AA1O,所以B1C⊥A1O.又因为A1O=√3，所以O为B1C1的中，点. 以O为原点，分别以OA1,OB1,OA所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系，如图. 2 则A1(W3,0,0),C(0,-1,0),A(0,0,3),B(0,1,0). 因为AB=A1B=(-√3,1,0)，所以B(-3,1,3), 因为AC=AC=(-3,-1,0), 所以C(-5,-1,3),Ai=(-23,1,3),BC-B1C=(0,-2,0,A1C=(-23,-1,3).…8分 设平面BAC的法向量为n=(x,y,2),由 Ain=0得-2,3x+y十3z=0, BC.n=0,=0, 高二数学参考答案(T)-4 令x=√3，得z=2,所以平面BA1C的一个法向量为n=(W3,0,2). 设平面A1CC1的法向量为m=(a,b,c), A1C·m=0,gV3a+b=0, 由 得 AiC.m=0,(23a+b-3c=0, …12分 令a=3,得b=-3,c=1,所以平面A1CC1的一个法向量为m=(W3,-3,1). 所以casn,m==59， 所以平面ABC与平面A1CC1夹角的余弦值为5T …15分 911 17.【解析】设直线L:x=my十x(m≠0)，A(1,),B(c4,2),则E(a2,一2)， 由义=4x,消x得)-4y-4=0,得十=4m, …3分 y1y2=-44o. (1)设P(xp,0),知A,E,P三点共线，又PE=(x2-xP,一y2),PA=(1一xp,y1), 则有(x2一xp)y1十2(x1一xp)=0, 即p=十业=当必601t必2=一0， y1+y24(y1+y2) 所以点P,D关于原点对称。…7分 (2)因为APLBP,PE=PB,所以E=1,即2±业=4士》=1，所以4一%=4， x1-x2y1一y6 即+)2-43=16，得m2=1一x0>0,则x∈[号，1， 11分 d=2x 22设=B∈1，]， √m2+I√2-x0 则=2-4-2，画y=兰-2在(1，]上递减， 所以dE[9,2小 …15分 18.【解析1(1)由表格中的数据可得元-1+2+3+4+5-3，y=53+64+71+79十83=70， 5 5 又20=125，含4=5,2=25076， =1 则r= 含-a可 1125-5×3×70 75 客4-52)（客-5时）V6西-x36076-5x0V×/57元0.9， 由相关系数≈0.99，可以推断入园游客量y与活动开展第x天相关程度很强。…5分 26-o了sX四85a=0-2.5x34.5, 含-证 55-5×32 …8分 故经验回归方程为y=7.5x十47.5.对于表中第3个观测值，入园游客量为71（百人）， 预测值为y=7.5×3十47.5=70（百人），残差为71一70=1（百人）.…11分 (3)记从通道i入园的事件为A(i=1,2,3),从通道i离园的事件为B:(i=1,2,3), 由题老可得PA)=号，PAe)=PCAs)=号，P(B,A)=告，P(B,A)=P(B,A,)=: PB)=P(A)P(B,A)+PA)P(B,A,)+PA)P(BIA)=9×号+号X0+号×0-号， ……4 …………15分 则PA,B)PA)PBA2-7X58 P(B1) 2 79 所以巴知游客从通道1离国，其入园时选择通道1的概率为号. …17分 高二数学参考答案(T)一5 19.【解析】(1)Vx∈(0,1]，都有x[f(x)-1]-ax2≤0恒成立，即Vx∈(0,1]，x(e一1)-ax2≤0， 所以Vx∈(0,1]，x(e-1)≤ax2,所以1x∈(0,1]，a≥-1 x 令h()=e1,x∈(0,1]，即>h(x)m,h'(x)=2e-g+l x 2x2 令t(x)=xe-er+1,x∈[0,1]，则t(x)=xe. 当x∈[0,1]时，t(x)≥0，t(x)单调递增， 所以当xE(0,1]时，(>40)=0，所以当xE0,1]时，A✉)=2>0，h()单拥遥增， 所以当x∈(0,1]时，h(x)max=h(1)=e-1.所以a≥e一1， 综上，实数a的取值范围为[e一1，十o),… …4分 (2)(i)证明：由题意知f(x)=e,f(bn)=e=n,故bn=lnn, 构造函数s(x)=(x一1)2一lnx,x≥2， 则s(x)=2(2-1)-1, 当x≥2时，y=2(x-1),y=一1均单调递增，所以函数()在[2，十o∞)上单调递增， 而(2②)=昌>0，则>0在[2，十o∞)上恒成立， 故s(x)在[2，十o∞)上单调递增， 故s(n)=(n-1)2-lnn≥s(2)=1-ln2>0, 即(n-1)2>lnn=bn,n≥2， 当n=1时，(n-1)2=0=lnn, 综上所述，(n-1)2≥>lnn=bn恒成立，即bn≤(n-1)2. …10分 (ⅱ)在数列{cn}中不存在连续三项构成等差数列.理由如下： g(x)=2r十x,则an=g(n)=2十n,g(bn)=2.十bn=n, 设a=b,即2p十=b,可得22+p十22+十p=q, 因为g(x)=2x十x在R上单调递增， 对于任意∈N*,有唯一的q∈N*与之对应， 即数列{an》中每一项，都有{bn}中的项与之相等， 又an=2m十n是递增数列，故cn=2m十n. 假设数列{cn}中存在连续三项cm-1,Cm,cm+1(m>2,m∈N*)构成等差数列，则2cm=Cm+1十cm-1, 故2(2m+m)=(2+1+m十1)+(2-1+m-1), 整理得2m-1=0,该方程无正整数解. 故假设不成立，即{cn》中不存在连续三项构成等差数列.… …17分 高一靴以