精品解析：上海市市西初级中学2025学年第二学期期末七年级数学试卷

2025学年第二学期期末七年级数学试卷 （考试时间：90分钟，总分：100分） 一、选择题：（本大题共7题，每题3分，满分21分） 1. 下列各数中，是不等式的解的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果为有理数，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于命题“三角形的外心在三角形内”，以下能用来说明这是一个假命题的反例可以是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 4. 如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果，那么下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们一块一块向上叠放并向外延伸．已知积木的长度均为1，在不倾倒的前提下，使得积木组合的最大延伸长度超过1，那么至少需要移动的积木块数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共Ⅱ题，每小题3分，共33分） 8. “a的减去的差是非负数”用不等式表示为___________． 9. 在中，，，则______________． 10. 在中，如果,，直线与直线的夹角为___________°． 11. 在空格中填入合适的不等号：___________． 12. 将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 13. 已知一个等腰三角形的周长是，其中一条边长为，那么该三角形的底边长为___________． 14. 如图，已知在中，，的垂直平分线分别交于点，，的周长为，的周长为，那么底边______． 15. 沿着圆锥的高把它纵向切成两个完全相同的部分，如果圆锥被切开的截面是一个等腰直角三角形，且底边长为，那么圆锥的体积为___________．（结果保留） 16. 如图，已知，，，那么___________． 17. 在锐角中，，分别是，边上的高，且，交于点，若，则的度数是______度． 18. 如图，在等腰直角三角形中，，点为线段的中点，点是直线上的一个动点，连接，以为一边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，______． 三、解答题（本大题共6题，第19-22题每题7分，第23题6分，第24题12分，共46分） 19. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 20. 如图，已知：在中，D为边上一点，过点D作的平行线，交的平分线于点，交于点，为的中点，连接并延长，交于点． 求证： （1）； （2）． 21. 如图，已知，点在的内部． （1）利用无刻度的直尺和圆规，按下列要求完成作图（保留痕迹，写出结论，不写作法）： ①作点关于直线的对称点、以及点关于直线的对称点； ②连接，得到． （2）在（1）的情况下，如果．在射线上分别取动点M、N，试求周长的最小值，并说明点M、N在什么位置时取到最小值． 22. 在学习“全等三角形的判定”的过程中，我们知道，不能利用“”来判定两个三角形全等．但有时，“”的条件却可以转化，并得到其他条件，进而判定全等． （1）如图，已知：在与中，为公共边且为各自三角形的最长边，点分别在的两侧，且．求证：． （2）如图，在中，，，点D是边上一点，以为斜边在直线上方作等腰直角三角形．设与的交点为G，点P是边上一点，满足，且点到直线的距离等于线段的长度．求的度数． 23. 如图，已知：在中，，是边上的中线．求证：． 24. 研究互逆命题的证明，是同学们课余进行数学探究的常用方法． （1）命题：等腰三角形两个底角的平分线相等． 请写出已知、求证，并证明上述命题为真命题． （2）1840年德国数学家莱莫斯提出了（1）中命题的一个逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形．这个命题难倒了众人，直到1844年由瑞士几何学家斯坦纳首次给出证明，于是该命题得名“斯坦纳-莱莫斯定理”． 下面给出了该命题证明过程的一部分，请将证明过程补充完整．（填写空白部分并完成剩余部分的证明） 已知：如图，在中，为的平分线，为的平分线，． 求证：． 证明：假设 ， ①若， 由大边对大角，所以． 因为分别为的平分线， 所以， 所以 ． 所以在的内部，作交于点． 因为， 所以对于，有 ， 由 ，所以． 所以在上截取一点Q使得． （请试着继续完成剩余部分的辅助线说明及后续证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期末七年级数学试卷 （考试时间：90分钟，总分：100分） 一、选择题：（本大题共7题，每题3分，满分21分） 1. 下列各数中，是不等式的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式得到的取值范围，再根据不等式的解的定义判断选项，不等式的解是能使不等式成立的单个未知数的值． 【详解】解：解不等式 ∵移项得，即 ∴系数化为得 题目要求选出不等式的解， A、，满足 ，是不等式的解； B、是该不等式的解集，不是单个解； C、，，不满足不等式； D、，，不满足不等式． 2. 如果为有理数，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，为有理数，利用不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】对于A ，，不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ，A错误； 对于B，，且，同向不等式相加，不等号方向不变， ，即，B一定成立； 对于C，，正数范围内数越大，平方越大， ，C错误； 对于D，为有理数，可以是正数零或负数，当时， 因此不等式不一定成立，D错误． 3. 对于命题“三角形的外心在三角形内”，以下能用来说明这是一个假命题的反例可以是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心， 不同类型三角形外心的位置规律为：锐角三角形的外心在三角形内部， 直角三角形的外心为斜边中点，在三角形的边上， 钝角三角形的外心在三角形外部， 本题选项中只有直角三角形的外心不在三角形内部，可以作为说明原命题是假命题的反例，因此D符合题意． 4. 如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先证明，再证明，再结合对顶角的性质可得答案. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D 5. 如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理进行排除选项即可． 【详解】解：A、若，则根据“内错角相等，两直线平行”可得，故不符合题意； B、若，则根据“内错角相等，两直线平行”可得，故符合题意； C、若，则根据“同位角相等，两直线平行”可得，故不符合题意； D、若，则根据“同旁内角互补，两直线平行”可得，故不符合题意． 6. 如果，那么下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵， ，，，，， A选项不符合对应边关系， B选项无法由全等性质得到， D选项不符合对应角关系，只有C选项符合结论． 7. 如图，若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们一块一块向上叠放并向外延伸．已知积木的长度均为1，在不倾倒的前提下，使得积木组合的最大延伸长度超过1，那么至少需要移动的积木块数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】要使积木不倾倒，每一层积木（及其上方所有积木）的重心必须落在其下方支撑积木的边缘以内．设积木长度为，从上往下数，第块积木相对于第块积木的最大伸出距离为．总延伸长度为各层伸出距离之和． 【详解】解：设从上往下第块积木相对于第块积木向外伸出的最大长度为． 根据重心平衡原理：第块积木放在第块上，重心在处，故最大伸出； 第、块整体放在第块上，整体重心在第块右端左侧处， 故第块相对于第块最大伸出； 以此类推，第块相对于第块最大伸出． 设移动的积木块数为（即上方叠放的块数，最底下块作为基座不动）， 则总延伸长度为：． 当时，； 当时，． 题目要求最大延伸长度超过， 至少需要块积木向上叠放并延伸（总共需要块积木，最底下块不动）． 故至少需要移动的积木块数为． 【点睛】解决此类问题的关键是掌握“堆叠书本”模型的重心规律：第块书（从上往下）相对于第块书的最大伸出长度为书长的．注意题目问的是“移动的积木块数”，即除了最底下基座之外的块数． 二、填空题（本大题共Ⅱ题，每小题3分，共33分） 8. “a的减去的差是非负数”用不等式表示为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，，因此“的减去的差”可表示为. 因为差是非负数，非负数是大于等于的数，所以不等式为. 9. 在中，，，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的内角和是求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和是是解答的关键． 10. 在中，如果,，直线与直线的夹角为___________°． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形内角和定理求出中的度数，再结合直线夹角的定义（夹角为不大于的角）计算得到结果． 【详解】解：在中，由三角形内角和定理得： 根据直线夹角的定义，两条直线的夹角为相交形成的不大于的角， 因此直线与直线的夹角为． 11. 在空格中填入合适的不等号：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：对两个代数式作差得 ， 任意实数的平方为非负数，即， ，移项得 ． 12. 将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 【答案】如果在一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等 【解析】 【详解】略 13. 已知一个等腰三角形的周长是，其中一条边长为，那么该三角形的底边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当为底边长时，当为腰长时，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形的周长是，其中一条边长为， ∴当底边长为时，腰长为，此时三边长分别为，，，由可得满足三角形三边关系，符合题意； 当腰长为时，底边长为，此时三边长分别为，，，由可得不满足三角形三边关系，不符合题意，舍去； 综上所述，该三角形的底边长为． 14. 如图，已知在中，，的垂直平分线分别交于点，，的周长为，的周长为，那么底边______． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，从而将的周长转化为，结合的周长及建立等量关系求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 15. 沿着圆锥的高把它纵向切成两个完全相同的部分，如果圆锥被切开的截面是一个等腰直角三角形，且底边长为，那么圆锥的体积为___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定截面等腰直角三角形的底边长为圆锥底面直径，算出底面半径，借助勾股定理求出等腰直角三角形腰长，再用勾股定理算出斜边上的高即圆锥的高，最后代入圆锥体积公式计算出体积． 【详解】解：如图 由题意得，截面等腰直角三角形的底边长即为圆锥底面直径，即圆锥底面直径， 则圆锥底面半径， 设等腰直角三角形的腰为, 则， 解得， 圆锥的高是等腰直角三角形斜边上的高， ∴， ∵圆锥的体积公式为， ∴代入得． 16. 如图，已知，，，那么___________． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，利用平行线的性质求出和的度数，结合图形中角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， ∴ ， ， ． 17. 在锐角中，，分别是，边上的高，且，交于点，若，则的度数是______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和的性质计算即可． 【详解】解：∵，分别是，边上的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，其三角形外角的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键． 18. 如图，在等腰直角三角形中，，点为线段的中点，点是直线上的一个动点，连接，以为一边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，，结合为直角三角形进行分类讨论，再进一步求解即可． 【详解】解：∵等腰直角三角形中，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵为直角三角形，且， ∴分下面两种情况讨论： ①如图，当时， ∴， ∴； ②如图，当时，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 三、解答题（本大题共6题，第19-22题每题7分，第23题6分，第24题12分，共46分） 19. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 则不等式组的解为， 在数轴上表示如下： 20. 如图，已知：在中，D为边上一点，过点D作的平行线，交的平分线于点，交于点，为的中点，连接并延长，交于点． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：， （两直线平行，内错角相等）， 平分， ， ， ； （2）证明：为的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义可得，进而得到； （2）先证，得到，再根据边的关系即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，已知，点在的内部． （1）利用无刻度的直尺和圆规，按下列要求完成作图（保留痕迹，写出结论，不写作法）： ①作点关于直线的对称点、以及点关于直线的对称点； ②连接，得到． （2）在（1）的情况下，如果．在射线上分别取动点M、N，试求周长的最小值，并说明点M、N在什么位置时取到最小值． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）6；点分别为线段与直线的交点． 【解析】 【分析】（1）先分别过点作直线的垂线，然后再截取出的位置即可； （2）连接，证明是等边三角形，则，故的周长，故当点共线时，的周长取得最小值为． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：连接， 由对称可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长， ∴当点共线时，的周长取得最小值为． 此时点分别为线段与直线的交点． 22. 在学习“全等三角形的判定”的过程中，我们知道，不能利用“”来判定两个三角形全等．但有时，“”的条件却可以转化，并得到其他条件，进而判定全等． （1）如图，已知：在与中，为公共边且为各自三角形的最长边，点分别在的两侧，且．求证：． （2）如图，在中，，，点D是边上一点，以为斜边在直线上方作等腰直角三角形．设与的交点为G，点P是边上一点，满足，且点到直线的距离等于线段的长度．求的度数． 【答案】（1）证明：连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的判定与性质证明，再由证明全等三角形； （2）过点作于点，先证明，过点作交延长线于点，再证明，连接，最后结合等腰三角形的判定与性质证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点，则， ∵， ∴ ∵等腰， ∴ ∴， ∴ 由题意得， ∴ ∴ 过点作交延长线于点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即． 23. 如图，已知：在中，，是边上的中线．求证：． 【答案】证明：把绕点顺时针旋转到的位置，如图， ∴，而， ∴， ∴， 所以． 【解析】 【分析】把绕点顺时针旋转到的位置，则，进而得到，，然后可得． 【详解】略 24. 研究互逆命题的证明，是同学们课余进行数学探究的常用方法． （1）命题：等腰三角形两个底角的平分线相等． 请写出已知、求证，并证明上述命题为真命题． （2）1840年德国数学家莱莫斯提出了（1）中命题的一个逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形．这个命题难倒了众人，直到1844年由瑞士几何学家斯坦纳首次给出证明，于是该命题得名“斯坦纳-莱莫斯定理”． 下面给出了该命题证明过程的一部分，请将证明过程补充完整．（填写空白部分并完成剩余部分的证明） 已知：如图，在中，为的平分线，为的平分线，． 求证：． 证明：假设 ， ①若， 由大边对大角，所以． 因为分别为的平分线， 所以， 所以 ． 所以在的内部，作交于点． 因为， 所以对于，有 ， 由 ，所以． 所以在上截取一点Q使得． （请试着继续完成剩余部分的辅助线说明及后续证明） 【答案】（1）已知：在中，，，分别是，的平分线， 求证：． 证明：， ， 又，分别是，的平分线， ， 则， 在和中， ， ， ； （2）证明：假设， ①若， 由大边对大角，所以． 因为分别为的平分线， 所以， 所以． 所以在的内部，作交于点． 因为， 所以对于，有， 由大边对大角，所以． 所以在上截取一点Q使得,过作交于， ， 在和中， ， ， ，则，这与矛盾, 故不成立； 同理可得不成立， 综上，． 【解析】 【分析】（1）写出已知、求证，根据题意证明即可 （2）利用反证法，假设，分、两种情况，推导出与题干矛盾即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $