湖南长沙市湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

高一下学期期末考试 数学 命题人：贺祝华 彭如倩 黄贻刚 肖文轩 凌贤 孙丹 张晓庆 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在复数范围内方程的解为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 如图，棱长为1的正方形中，异面直线AC与所成的角是（ ） A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 6. 柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示6只鞋，从中随机地取出2只．设事件“取出的鞋不成双”，“取出的鞋中包含”，“取出的鞋都是一只脚的”，“取出的鞋是一只左脚的一只右脚的，但不是一双鞋”．对上述事件的关系，下列说法正确的是（ ） A. B. 与独立 C. 与对立 D. 与互斥 7. 如图，设，，线段与交于点F，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5 8. 在三棱锥中，底面是直角三角形且，平面，当该三棱锥的外接球表面积为时，则它的内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 有，，三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的个体数为9，则样本容量为30 B. 数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同 C. 若甲组5个数据的方差为5，乙组数据为5，6，7，8，9，则这两组数较稳定的是甲 D. 某组样本数据为6，11，8，13，16，10，16，4，18，14，则样本数据分位数为9 10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 的长为 D. 与平面所成角的正弦值为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方体表面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使得 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 当点在侧面且满足时，二面角的正切的最大值为 D. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 某圆锥母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为_______． 13. 已知向量、分别是直线的方向向量、平面的法向量，若，则与所成的角为__． 14. 已知锐角的面积为，，，，分别在，上，且满足，对任意恒成立，则_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 2026年5月25日至5月31日是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与众数； （2）若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） 16. 在中，角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 17. 新高考数学设有3个多选题，每道题设置A、B、C、D四个选项，且正确选项为2个或3个，每小题6分，评分标准如下：若某试题有两个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若某试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，选对三个得6分，有错选得0分． （1）根据以往经验，甲同学第一个多选题得满分的概率为，第二个多选题得满分的概率为，第三个多选题得满分的概率为，三个多选题做对与否互不影响．求甲同学三个多选题中恰有两题得满分的概率． （2）乙同学正在做一道多选题（多选题每题至少选一项且不能全选，假设乙同学随机选择一种选项组合，每种组合等可能）． （i）在完全盲猜的情况下，求乙同学得6分的概率（要求写出样本空间）． （ii）若该多选题有三个正确选项，乙同学已经判定A正确（即正确答案中有A选项，且乙同学一定会选A），在其余选项随机选择（每种选项组合等可能，且满足整个多选题至少选一项且不能全选）的情况下，求乙同学该题得分大于等于4分的概率． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且． （1）证明：； （2）若，， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）点是四边形（不含边界）内的动点，且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 19. 已知函数的定义域为R．对于实数，定义集合 （1）若，判断，是否是中的元素，说明理由． （2）若，表示不大于的最大整数． （i）若，求的取值范围； （ii）若，证明：． （3）设是偶函数，当时，，且对任意，均有．求对任意实数，函数在上零点个数的最大值，并说明理由． 高一下学期期末考试 数学 命题人：贺祝华 彭如倩 黄贻刚 肖文轩 凌贤 孙丹 张晓庆 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1），中位数为78，众数为85 （2）平均数为62.4；总方差为39.9 【16题答案】 【答案】（1） （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i）样本空间，；（ii） 【18题答案】 【答案】（1）证明：因为为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 因为，所以； （2）（i）；（ii）． 【19题答案】 【答案】（1），理由如下： ， 所以． （2）（i）； （ii）证明：若，对任意，都有，即， 所以，故，所以，所以； 另一方面，，所以，取，则， 则，，所以，但，所以． 综上，． （3）函数在上至多有11个零点，理由如下： 因为对任意，均有， 即对任意，只要，就有， 当时，，由为偶函数可知，当， 作出在的大致图象如下： ，，并且，所以， 故当时，，由为偶函数可知， 当时，，作出部分图象如图所示： 下证当时，至多一个零点． 否则设，且． 若，则，因为，所以， 且，故，① 当时，因为，所以，使得， 故，因为，所以， 且，故，② 根据①，②，，矛盾． 若，由①知，，矛盾， 故对任意，当时，至多一个零点． 由为偶函数，当时，至多一个零点． 下证当时，不存在三个及以上零点． 否则若，且， 有，因为，所以， ，因为，所以， 所以，而，由在上单调，矛盾， 所以当时，不存在三个及以上零点， 由为偶函数，当时，不存在三个及以上零点． 下面作出的部分图象， 由图象及上述证明可知，当时，至多有11个零点，当取其他值时， 均少于11个零点．下面说明：可以取到11个零点． 若，在上，，；故在上，； 在上，；故在上，； 取，则，因为，于是， 从而 取，则； 取，则． 经检验，这些点均满足对任意，均有，如图所示： 综上，函数在上至多有11个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $