湖南省多校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

高一年级数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式组的解集为 A． B． C． D． 2．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知向量，，，则 A． B． C． D． 4．已知，则 A． B． C． D． 5．已知正数，满足，则的最小值为 A．28 B．30 C．32 D．34 6．已知函数若是集合中任意一个元素，则有两个零点的概率为 A． B． C． D． 7．已知函数在上单调递减，则的取值范围为 A． B． C． D． 8．若数据，，…，的方差为15，数据，，…，的方差为10，则数据，，…，，，，…，的方差的最小值为 A．10 B．12 C．13 D．15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则 A． B． C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 10．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是 A．当时， B．， C．不等式的解集为 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 11．如图，正三棱柱每条棱的长度均为2，为棱的中点，底面，点在平面的上方，且，则 A．平面平面 B．四面体外接球的表面积为 C．直线与直线相交 D．四面体与正三棱柱的公共部分的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是周期为4的函数，对任意，恒成立，则 ▲ ． 13．在中，，，，分别是，上的点，且，，，，且，则 ▲ ，的最小值为 ▲ ． 14．在平面直角坐标系中，一个质点从坐标原点出发，每一步等可能地从上、下、左、右这4个方向选取1个方向移动1个单位长度，则三步后，这个质点与坐标原点的距离超过1个单位长度的概率为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，是圆柱下底面圆的两条直径，，均为圆柱的母线，． （1）求该圆柱的侧面积； （2）证明：平面． 16．（15分）已知函数． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求不等式的解集． 17．（15分）为了解居民用水情况，某市水务部门随机调查了1000户居民的月用水量（单位：吨），发现这些数据均分布在区间内，现对这1000个数据进行整理并据此绘制频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）为促进节约用水，该水务部门将对居民用水价格进行调整，拟确定一个用水量临界值，使得80%的居民月用水量不超过该值，求该临界值（单位：吨，结果精确到小数点后一位）； （3）已知该市有20万户居民，若每组的数据用该组区间的中点值作代表，试估计该市居民月用水的总量． 18．（17分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若的面积为，且，求的周长； （3）若，在边上，是的角平分线，求的最大值． 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面，，，且． （1）若平面，证明：． （2）设平面平面． （ⅰ）证明：． （ⅱ）若，求二面角的正弦值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $高一年级数学参考答案 1.B2.A3.A4.D5.C6.B7.D8.B9.BD10.AC11.ABD 127 7 12.013.2:714.16 15.(1)解：因为A4=20A=2,所以该圆柱的高为2，底面半径为1,2分 则该圆柱的侧面积为2h=4兀.5分 (2)证明：连接BC.因为AA,BB均为圆柱的母线，所以AA /IBB,6分 D C 又A4平面BB,C,BBC平面BB,C,所以A4∥平面BB,C.7分 连接AC,BD.因为AB,CD是圆O的两条直径，所以AO=OB,CO=OD, 所以四边形ACBD是平行四边形，9分 所以AD/BC,10分 又ADE平面BB,C,BCC平面BB,C,所以AD∥平面BB,C,II分 因为44∩AD=A,所以平面44，D/平面BB,C.12分 又B,CC平面BB,C,所以B,C∥平面AAD.13分 1 16.解：(1) ()sm 2 6).2分 则f(的最小正周期T=2元.4分 巴+2ktG4≤+2kEZ,5分 令2 6-2 +2km≤x≤ 得3 好+2m,keZ.6分 3 则f(x)的单调递减区间为L [+2a7+2 」(k∈Z).7分 (2)由题可知 则由2g()+1≤0，可得 n=sin- .11π1 sin- 因为6 62,12分 所以结合8(x)的图象与性质，可得6 7r+2km≤2x+6 告+2版2，分 +km≤X≤ 5π +k 解得2 6 玩，ke乙，14分 +m,5+ 5π 则原不等式的解集为2 6 」(k∈Z).15分 17.解：(1)因为5a+0.05×5+0.04×5+0.07×5+0.02×5+5a=1,2分 所以a=0.01.4分 (2)设该临界值为x吨.因为前3组的频率之和为0.5，前4组的频率之和为0.85,6分 所以x∈(20,25).7分 由(x-20)×0.07=0.8-0.5=0.3,8分 x=170≈243 得7 即该临界值为24.3吨.10分 5+10x0.01×5+10+15x0.05×5 (3)这1000户居民的月用水量的平均值的估计值为2 2 15+20x0.04x5+20+23x0.07x5530002x5430+35 2×0.01×5=19.25 2 2 ,13分 所以估计该市居民月用水的总量为19.25×20=385万吨.15分 (2c-a)cos B=bsin (匹-A 18.解：(1)因为 2 所以(2sinC-sinA)cosB=-sin BcosA,2分 所以2 sin CeosB=sin cosB+sin Beos A-=sin(A+B)=sinC,3分 1 cos B= 因为sinC≠0，所以 2,4分 ,B=π 又B∈(0，m),所以B3.5分 1 (2)因为 2 ,所以ac=32,6分 由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B,得36=a2+c2-32,即a2+c2=68,8分 又因为a+c=a+c+2ac=132,所以a+c=2V33,9分 所以△ABC的周长为2V33+6.10分 (3)因为BD是∠ABC的角平分线，所 ∠ABD=∠CBD=T 6,11分 由SAABC=S△BD+S△cD,得2 6=24B-BCsin (4B+BC)BDsin= ,12分 BD=248 又BC=a=2,所以2+AB,13分 BD-148-252+AB）-45AB=25-AB+ 43 4 2+AB 4 所以 4 +AB).14分 848-+892445-2 因为4 2,15分 当且仅当AB=23-2时，等号成立，16分 BD-AB≤25-235+BD-1AB 所以4 2,故4的最大值 25-25+ 2.17分 19.(1)证明：因为PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,所以PA⊥BC,1分 因为AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,2分 因为AD∥平面PBC,ADC平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,所以AD/BC,3分 所以AD⊥平面PAB,因为PBC平面PAB,所以AD⊥PB.4分 (2)(1)证明：如图1，过点A作A0上PD,垂足为Q.5分 P Q D B 图1 因为平面PAD⊥平面PCD,平面PAD∩平面PCD=PD,所以AQL平面PCD,6分 因为CDc平面PCD,所以A0⊥CD.7分 又因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD, 因为PAnA0=A,所以CD⊥平面PAD,8分 因为ADC平面PAD,所以CD⊥AD.9分 (i)解：如图2，过点D作DE↓AC,垂足为E,过点E作EF⊥CP,垂足为F,连接DF.I0分 P E B 图2 因为PA⊥平面ABCD,DEc平面ABCD,所以PA⊥DE, 因为PA∩AC=A,所以DE⊥平面PAC,11分 因为PCc平面PAC,所以DE⊥PC,又EF⊥PC,DE∩EF=E, 所以PC⊥平面DEF,因为DFC平面DEF,所以PC⊥DF,12分 所以∠DFE为二面角A-PC-D的平面角.13分 由(i)知CD⊥AD,所以CD+AD2=AC2=4,设AD=m(l≤m≤V3), .DE=AD:CD_m4-m 则CD=V4-m2,所以2AC2.14分 PC=2 PD-J DF-PD:CD-VI6-m PC 2W2, mv4-m2 sin∠DFE=DE =2 √2m DF V16-m4 V4+m2 则 2√2 ·15分 √2m 岭 √4+m 4 又 Vm2+1 ,所以sin∠DFE随着m的增大而增大， 当m=1时， sin∠DFE=V 5,当m=V5时， sin∠DFE=V42 7,16分 V10√42 所以二面角1-PC-D的正弦值的取值范围为L了7 .17分 【备注】第(2)(i)问也可以在图1中过点卫作F1PC,垂足为F,连接AF(图略)，则 ∠AFO为二面角A-PC-D的平面角.