2.1　认识实数 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“无限不循环小数”核心知识点，通过剪拼两个边长为1的小正方形得到大正方形的操作导入，提出边长a满足的条件及是否为整数、分数的问题，从有理数自然过渡到无理数，搭建认知支架。 其亮点在于以动手操作和问题链驱动，通过剪拼活动培养几何直观（数学眼光），用夹逼法估算体现推理意识（数学思维），用方程表达边长关系渗透模型意识（数学语言）。如例1判断等边三角形高不是有理数，例2用夹逼法精确估算斜边边长，随堂小测和拔高训练分层巩固。帮助学生发展抽象能力和推理能力，教师可借助实例和练习提升教学效果。

第二章　实数 1　认识实数 第1课时　无限不循环小数 数学·八年级上册　 1 如图所示，两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的 正方形. （1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ （2）a可能是整数吗？a可能是分数吗？说说你的理由. 数学·八年级上册　 　无限不循环小数 （1）用边长为1的两个小正方形剪拼成一个面积为2的大正方形，大正方形 的边长a应满足的条件是① ；a② 整数，③ ⁠分数 （后两空填“是”或“不是”）. a2＝2　 不是　 不是　 数学·八年级上册　 （2）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是④ ，设该正方 形的边长为b，b应满足的条件是⑤ ；b⑥ ⁠有理数（最后 一空填“是”或“不是”）. 5　 b2＝5　 不是　 像上面的问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数，现实生活中存在着大量不是有理数的数. 注意：判断一个数是不是有理数，关键是看这个数能否写成分数的形式，能写成分数的形式是有理数，否则不是有理数. 数学·八年级上册　 【例1】（教材北师大版八上P26随堂练习）如图，等边三角形ABC的边长为 2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？ 解：如图，∵△ABC是等边三角形，AB＝BC＝2，AE⊥BC于点E， ∴BE＝CE＝1， ∴h2＝AE2＝3， ∴h不是整数，也不是分数. 数学·八年级上册　 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的 三角形ABC中，长度为有理数的边有（　A　）. A A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 数学·八年级上册　 　用“夹逼法”估算无限不循环小数的近似值 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？ 我们发现a2＝2，a既不是⑦ ，也不是⑧ ，我们可以用夹逼 的方法估计a的值，从而求出a的近似值. 　 整数　 分数　 数学·八年级上册　 【例2】如图，已知直角三角形的两直角边长分别为1，2，阴影部分是以斜 边为边长的正方形，设正方形的边长为a，估计a的值（结果精确到百分 位）. 解：由题意a2＝12＋22＝5. ∵22＜5＜32，∴2＜a＜3. ∵2.22＜5＜2.32，∴2.2＜a＜2.3. ∵2.232＜5＜2.242，∴2.23＜a＜2.24. ∵2.2352＜5，∴a精确到百分位约为2.24. 数学·八年级上册　 要做一个面积为17 cm2的正方形，它的边长a的整数部分 是 ，十分位是 ，百分位是 ，千分位是 ⁠. 4　 1　 2　 3　 数学·八年级上册　 1. 已知面积为3的正方形，其边长为x，则x（　D　）. A. 是整数 B. 是分数 C. 是有理数 D. 不是有理数 D 数学·八年级上册　 2. 下列正方形中，边长不是有理数的是（　D　）. A. 面积为64的正方形 B. 面积为16的正方形 C. 面积为1.44的正方形 D. 面积为12的正方形 D 数学·八年级上册　 3. （2025•龙华实验学校期中）如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过 点A作AB⊥OA，使AB＝3.以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半 轴于点P，则点P所表示的数介于（　C　）. A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 C 数学·八年级上册　 解析：由题意得OA＝2，AB＝3. ∵∠OAB＝90°， ∴OB2＝OA2＋AB2＝22＋32＝13. ∵32＜13＜42， ∴点P所表示的数介于3和4之间. 数学·八年级上册　 4. 已知直角三角形的两直角边长分别是9 cm和5 cm，斜边长是x cm. （1）估计x在哪两个整数之间； 解：由勾股定理知，x2＝92＋52＝106， ∵100＜106＜121， ∴10＜x＜11， ∴x在10和11这两个整数之间. （2）如果把x的结果精确到十分位，估计x的值在哪两个数之间. 解：∵10.12＝102.01，10.22＝104.04，10.32＝106.09， ∴10.2＜x＜10.3， ∴x的值在10.2和10.3之间. 数学·八年级上册　 5. （根据教材八上P30第6题改编）画图题. 请你在方格纸上按照如下要求设计图形，每个小正方形的边长为1. （1）请在图1中设计一个直角三角形，使它的三边中有两边的边长不是 有理数； （2）请在图2中设计一个直角三角形，使它的三边长都不是有理数. 解：画法不唯一，如：（1）如图1，△ABC满足条件. （2）如图2，△ABC满足条件. 　　 　　　 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1 ①a2＝2　②不是　③不是　④5　⑤b2＝5　⑥不是 例1　解：如图，∵△ABC是等边三角形，AB＝BC＝2，AE⊥BC于点 E， ∴BE＝CE＝1，∴h2＝AE2＝3， ∴h不是整数，也不是分数. 数学·八年级上册　 变式训练1　A 知识点2 ⑦整数　⑧分数 例2　解：由题意a2＝12＋22＝5. ∵22＜5＜32，∴2＜a＜3. ∵2.22＜5＜2.32，∴2.2＜a＜2.3. ∵2.232＜5＜2.242，∴2.23＜a＜2.24. ∵2.2352＜5，∴a精确到百分位约为2.24. 变式训练2　4　1　2　3 数学·八年级上册　 【随堂小测】 1. D　2.D 3. C　解析：由题意得OA＝2，AB＝3. ∵∠OAB＝90°， ∴OB2＝OA2＋AB2＝22＋32＝13. ∵32＜13＜42， ∴点P所表示的数介于3和4之间. 数学·八年级上册　 4. 解：（1）由勾股定理知，x2＝92＋52＝106， ∵100＜106＜121，∴10＜x＜11， ∴x在10和11这两个整数之间. （2）∵10.12＝102.01，10.22＝104.04，10.32＝106.09， ∴10.2＜x＜10.3，∴x的值在10.2和10.3之间. 数学·八年级上册　 5. 解：画法不唯一，如：（1）如图1，△ABC满足条件. （2）如图2，△ABC满足条件. 　　 数学·八年级上册　 $第二章　实数 1　认识实数 第2课时　实数 数学·八年级上册　 1 事实上，不是有理数的数都是无限不循环小数吗？我们不妨看看有理数的小 数表示有什么共同特征.请把下列各数表示成小数，你有什么发现？ 3， ， ，－ ， . 数学·八年级上册　 　无理数的概念 （1）① 称为无理数. （2）无理数的常见类型： ①有规律但不循环的小数，如0.123 456 789 101 112 131 4…，0.101 001 000 1…（每相邻两个1之间依次增加一个0）； ②圆周率π以及含有π的式子，如2π，π＋5， . 注意：①无理数与有理数的和、差都是无理数；②无理数乘或除以有理数 （不为0），结果还是无理数；③无理数不能表示成分数的形式. 　 无限不循环小数　 数学·八年级上册　 【例1】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14，－ ，0. ，0.101 000 100 000 1…（每相邻两个1之间0的个数逐次 加2）. 有理数：{ …}； 无理数：{ ⁠ …}. 3.14，－ ，0. ，　 0.101 000 100 000 1…（每相邻两个1之间0的个数逐次加 2），　 数学·八年级上册　 （2025•南山外国语集团期中）下列四个数中，属于无理数的是 （　C　）. A. 0 B. C. π D. －1.5 C 数学·八年级上册　 　实数的概念与分类 有理数和② 统称为实数. 实数的分类： ①按定义分 有理数（有限小数或无限循环小数） 整数 正整数 𝟎 负整数 分数 正分数 负分数 无理数（无限不循环小数）                          正无理数 负无理数 实数 　 无理数　 数学·八年级上册　 ②按大小分 正实数 正有理数 正无理数 𝟎 负实数 负有理数 负无理数 实数 注意：对实数进行分类时，如果某些数需要计算或化简，要计算出最后结果 再进行分类，比如带根号的数不一定是无理数. 数学·八年级上册　 【例2】（2025•龙华区新华中学教育集团期中）请把下列各数的序号填入相 应的集合中：① ，②5.2，③0，④π－3.14，⑤ ，⑥－22，⑦－ ， ⑧2 005，⑨－0.030 030 003…（每相邻两个3之间的0依次多一个） （1）整数集合：{　③⑥⑧　…}； （2）分数集合：{　①②⑤⑦　…}； （3）负有理数集合：{　⑥⑦　…}； （4）无理数集合：{　④⑨　…}. ③⑥⑧　 ①②⑤⑦　 ⑥⑦　 ④⑨　 数学·八年级上册　 （2025•龙岗区十校联考期中）下列四个说法中，正确的有 （　B　）. （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数； （4）实数可以分为正实数和负实数两类. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 数学·八年级上册　 　实数的相反数、倒数和绝对值 （1）a是一个实数，它的相反数为③ ， 绝对值为④ ⁠； （2）如果a≠0，那么它的倒数为⑤ ⁠. 　 －a　 ｜a｜　 　 数学·八年级上册　 【例3】求下列各数的相反数、绝对值与倒数. （1）2.5；（2）－ ；（3）0. 解：（1）相反数是－2.5，绝对值是2.5，倒数是 . 解：（2）相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 . （3）相反数是0，绝对值是0，倒数不存在. 3－π的绝对值为 ； 的倒数是 ，3－π的相反数 为 ⁠. 解：（3）相反数是0，绝对值是0，倒数不存在. π－3　 π　 π－3　 数学·八年级上册　 　实数与数轴上的点一一对应 （1）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一 个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是⑥ 的. （2）在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数⑦ ⁠. 　 一一对应　 大　 数学·八年级上册　 【例4】如图，数轴上点A表示的数为a，则与－a－2最接近的整数是 （　A　）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 A 数学·八年级上册　 （2025•宝安中学月考）已知实数a，b在数轴上的位置如图所 示，则a＋b 0.（填“＞”“＜”或“＝”） ＞　 数学·八年级上册　 1. 实数2的倒数是（　D　）. A. 2 B. － C. 0 D. 2. 和数轴上的点一一对应的是（　C　）. A. 整数 B. 无理数 C. 实数 D. 有理数 D C 数学·八年级上册　 3. （2025•宝安区海韵学校月考）下列数中： ，2，0，3π，1.121 121 112，是无理数的有（　A　）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 实数－a，a， 在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1 的点可能是（　C　）. A. P B. Q C. R D. S A C 数学·八年级上册　 5. 计算： （1）－32＋（－ ）－2＋（2 026－π）0－｜－2｜； 解：原式＝－9＋4＋1－2＝－6. （2）｜－ ｜＋（－1）2 026×（π－3.14）0－2－1. 解：｜－ ｜＋（－1）2 026×（π－3.14）0－2－1＝ ＋1×1－ ＝1. 数学·八年级上册　 6. （2024•深圳外国语学校期中）小天同学看到如下阅读材料： 对于一个正数x，以下给出了判断正数x是否为7的倍数的一种方法：每次划 掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉这个数字的两倍相减得到它们的 差，称为一次操作，依此类推，直到数变为100以内的数为止.若该数是7的 倍数，则最初的数x就是7的倍数，否则，数x就不是7的倍数.以x＝266为 例，经过第一次操作得到14，因为14是7的倍数，所以266是7的倍数.当数x 的位数更多时，这种方法仍然适用. 小天尝试说明该方法的道理，他发现解决问题的关键是每次判断过程的 第一次操作，后续的操作道理都与第一次相同，于是他列出了如下表格 进行分析. 数学·八年级上册　 （1）请你补全小天列出的表格： x x的表达式 第一次操作得到的差，记为M（x） 266 266＝10×26＋6 M（266）＝26－2×6 875 875＝ ⁠ M（875）＝ ⁠ … … … 10×87＋5　 87－2×5　 数学·八年级上册　 （2） 表示100a＋10b＋c，其中1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a， b，c均为整数.利用以上信息说明：当M（ ）是7的倍数时， 也是7 的倍数. 解：∵ ＝100a＋10b＋c＝10（10a＋b）＋c＝10 ＋c，M（ ） ＝ －2c， ∴2 ＝20 ＋2c＝21 ＋2c－ ＝21 －（ －2c） ＝21 －M（ ）， 因此，当M（ ）是7的倍数时，21 －M（ ）也是7的倍数，即 2 也是7的倍数，此时 也是7的倍数. 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1 ①无限不循环小数 例1　解：有理数： ； 无理数：{0.101 000 100 000 1…（每相邻两个1之间0的个数逐次加2），…}. 数学·八年级上册　 变式训练1　C 知识点2 ②无理数 例2　（1）③⑥⑧　（2）①②⑤⑦　（3）⑥⑦　（4）④⑨ 变式训练2　B 知识点3 ③－a　④｜a｜　⑤ 数学·八年级上册　 例3　解：（1）相反数是－2.5，绝对值是2.5，倒数是 . （2）相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 . （3）相反数是0，绝对值是0，倒数不存在. 变式训练3　π－3　π　π－3 知识点4 ⑥一一对应　⑦大 数学·八年级上册　 例4　A 变式训练4　＞ 【随堂小测】 1. D　2.C　3.A　4.C 5. 解：（1）原式＝－9＋4＋1－2＝－6. （2）｜－ ｜＋（－1）2 026×（π－3.14）0－2－1 ＝ ＋1×1－ ＝1. 数学·八年级上册　 6. 解：（1）10×87＋5　87－2×5 （2）∵ ＝100a＋10b＋c ＝10（10a＋b）＋c ＝10 ＋c， M（ ）＝ －2c， ∴2 ＝20 ＋2c ＝21 ＋2c－ ＝21 －（ －2c） ＝21 －M（ ）， 因此，当M（ ）是7的倍数时，21 －M（ ）也是7的倍数，即 2 也是7的倍数，此时 也是7的倍数. 数学·八年级上册　 $