第一章 勾股定理 复习讲义--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学勾股定理单元复习讲义以“知识梳理-题型突破”为框架构建体系，通过表格呈现勾股定理验证步骤、直角三角形判别方法和勾股数特征，用题型分类（探索、判别、应用）梳理知识脉络，突出定理推导与实际问题的内在联系。 讲义亮点在于“情境化问题”设计，如折叠三角形求边长（典例1-1）、航海中方位判断（典例3-2），培养数学眼光和推理能力。每个题型配易错点提醒与方程思想指导，基础题巩固知识，综合题提升思维，助力教师分层教学，学生自主复习更具针对性。

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第一章 勾股定理 知识归纳与题型总结 题型01 探索勾股定理 一、勾股定理 1. 定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角 边b叫做股，斜边c叫做弦. 二、勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤： （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 3、 勾股定理的证明 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 【典例1-1】如图，一张三角形纸片，，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与点B重合，则的长是______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，根据折叠的性质得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，，， ， 由折叠的性质可得，， 设，则， 在中，， ， 整理得， 解得， ． 【典例1-2】如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 【答案】(1)米 (2)小草不会被砸到 【分析】（）利用勾股定理求出即可求解； （）利用勾股定理求出，再与比较即可判断求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ∴木杆折断之前的高度为米； （2）解：如图，由题意得，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴小草不会被砸到． 【典例1-3】小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板（，，，．），并拼出一个新图形如图所示，若，，则的长为（     ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先根据全等三角形的性质求出，，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， ， ，， ． 题型02 一定是直角三角形吗 一、直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 二、勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 【典例2-1】下列各组中的三条线段，不能构成直角三角形的是（    ） A．9，40，41 B．，4，5 C．，1， D．40，50，60 【答案】D 【分析】本题根据勾股定理的逆定理，验证每组线段中两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：选项A、三边中最长边为41，由于、，则，故能构成直角三角形； 选项B、三边中最长边为，由于、，则，故能构成直角三角形； 选项C、三边中最长边为，由于、，则，故能构成直角三角形； 选项D、三边中最长边为60，由于、，则，故不能构成直角三角形． 【典例2-2】已知、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高． (1)下列说法正确的是_________． A．、、能组成三角形；B．、、能组成直角三角形三边； C．、、能组成直角三角形三边；D．、、能组成直角三角形三边． (2)请选择一个正确选项进行证明． 【答案】(1)C； (2)见详解． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可； （2）根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系证明即可． 【详解】（1）解：A、，不符合三角形的两边之和大于第三边； 不能组成三角形，错误； B 、，， 由题意得， 、、不能组成直角三角形三边，错误； C、、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高， ，且， 又， 将，，代入得： ， 根据勾股定理逆定理，、、能组成直角三角形三边，正确； D、，，二者不相等， 同理证，，可知均不满足勾股定理逆定理， 、、不能组成直角三角形三边，错误； （2）证明C选项： 、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高， ，且， 又， 将，，代入得：， 根据勾股定理逆定理，、、能组成直角三角形三边． 【典例2-3】“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第7个图形里的正方形比第5个图形多_______个． 【答案】96 【分析】由已知图形观察规律，可得到第5个图形中正方形的个数，第7个图形中正方形的个数，即可． 【详解】解：由题意可知：第1个图形中正方形有个， 第2个图形中正方形有个， 第3个图形中正方形有个， 第4个图形中正方形有个， ……， 由此推出第n个图形中正方形有个， ∴第5个图形中正方形有个，第7个图形中正方形有个， ∴第7个图形里的正方形比第5个图形多个． 题型03 勾股定理的应用 1、 勾股定理与网格问题 1.核心知识点总结：找直角边长度→套a²+b²=c²  格点线段当斜边：横向纵向数格子得两直角边，直接计算。 非水平垂直边：补直角三角形，用大减小算边长。 2.易错点警示 斜着数格子错，必须用横纵差值。 网格有单位长度（如1格=2），要先乘单位再平方。 2、 勾股定理与折叠问题 1.核心知识点总结 折叠性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，利用全等转化边长。 折叠后形成直角三角形，结合勾股定理列方程求解未知边。 2.高频考点梳理 长方形折叠(如折顶点到对边，求折痕长度或剩余线段长度)。 直角三角形折叠(折叠直角边或斜边，利用勾股定理求重叠部分)。 3.易错点警示 折叠后未准确识别对应边(如长方形折叠后，顶点落在对边上，需明确折痕两侧的相等边)。 忽略折叠后的直角关系(如折叠后形成的新直角三角形，未利用勾股定理)。 例：如图，长方形纸片 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°。将纸片沿 AE、EF 折叠，使点 D 落在D’处，点C落在AB边上的A处，且点 A、F、D 在同一直线上。则AE=CE，AD’=CD，∠C=D’AE=90°。 3、 勾股定理的实际应用 1、 求梯子滑落高度 2、 解决水杯中筷子问题 3、 解决航海问题 4、 求河宽问题 5、 求台阶上地毯长度 6、 判断汽车是否超速 7、 判断是否受台风影响 8、 选址使到两地距离相等 9、 求最短路径 10、 勾股定理逆定理的实际应用 【典例3-1】如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足与的面积相等； (2)画出的高； (3)直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用格点构造的平行线，根据平行线间的距离处处相等，可得与的面积相等； （2）取格点H，连接，与交于点E，根据，都为矩形对角线，结合图象即可得是的高； （3）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，根据三角形等面积法计算出，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图，取格点H，连接，与交于点E，即为所求； （3）解：由勾股定理得，，， ， ， 是直角三角形，， ， 又， ， ． 【典例3-2】如图，红海某护航编队的补给港口P位于东西方向的海岸线上．“徐州”号、“舟山”号巡逻艇同时离开港口，各自沿固定方向执行反海盗巡逻任务．“徐州”号每小时航行20海里，“舟山”号每小时航行15海里．它们离开港口2小时后分别位于点A，B处，此时两艇相距50海里．已知“徐州”号沿北偏东（东北）方向航行，请问“舟山”号沿什么方向航行？ 【答案】“舟山”号沿北偏西方向航行 【分析】先求出，的长，再根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知：（海里），（海里）， 又（海里）， ， 为直角三角形，， 又， ， 则“舟山”号沿北偏西方向航行． 【典例3-3】如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长，然后根据勾股定理即可求得．掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ 将该纸片沿直线折叠，使点落在斜边上的点处， ∴，，， ∴， 设， ∴，， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 一、选择题 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A． B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是较小两个数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A．不是正整数，因此不是勾股数； B．0.3，0.4，0.5都不是正整数，因此不是勾股数； C．6，8，10都是正整数，∵， ∴，因此6， 8， 10是勾股数； D．都不是正整数，因此不是勾股数． 2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（     ） A．1，1，1 B．1，2， C．3，4，6 D．2，3，4 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理判断，若三角形三边中，较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐项计算验证即可． 【详解】解：A选项，最长边为，， 不能构成三角形，更不能构成直角三角形，不符合题意； B选项，最长边为，，，即， 能构成直角三角形，符合题意； C选项，最长边为， ， 不能构成直角三角形，不符合题意； D选项，最长边为， ， 不能构成直角三角形，不符合题意． 3．如图五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列．三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积．问含有问号的那个正方形的面积是多少？（    ） A．17 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 【答案】A 【分析】由是小正方形对角线，用求小正方形面积；结合，算出四个直角三角形总面积；然后根据大正方形面积=小正方形面积四个直角三角形面积，求和得结果． 【详解】解：是中间小正方形的对角线，正方形对角线相等， ． ， ． 单个直角三角形面积为，， 四个直角三角形总面积． 大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和， ． 大正方形的面积是25． 5．已知，直角三角形的两边长分别为6和10，则斜边长可能为（   ） A．8 B． C．10或 D．10 【答案】C 【分析】本题未明确已知两边中哪条是斜边，因此需要分两种情况讨论，运用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当长为的边是斜边时， ∵此时斜边就是， ∴斜边长为； 情况2：当长为的边是直角边时，长为的边也是直角边， ∵直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和， ∴斜边长； 综上，斜边长为或 选项B（ ）和选项D（10）均为斜边长的可能值，都被包含在选项C中，不符合单选题最优选项唯一性的原则． 6．如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的面积分别为144，225，那么正方形A的面积是（    ） A．225 B．144 C．81 D．369 【答案】C 【详解】解：正方形A的边是直角边，它的面积等于边长的平方，根据勾股定理，可知． 7．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ， 设的长为，则， ， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴绳索的长是． 8．如图，，正方形和正方形的面积分别是和，则正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形勾股定理，通过两个已知正方形的面积求出，再开方得到正方形的边长． 【详解】解：根据题意可知，，， 则， ，即正方形的边长是． 9．两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向（     ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．南偏西或西偏北 【答案】C 【分析】先计算两船航行2小时后的路程，利用勾股定理逆定理判断两船航行方向互相垂直，再结合甲船的方位角分情况得到乙船的航向即可． 【详解】解：由题意得，两船航行2小时后，甲船行驶路程为海里，乙船行驶路程为海里， ∵， ∴ 由勾股定理逆定理可得，甲乙两船的航行方向夹角为， 已知甲船航向为北偏东，计算得，分两种情况： 乙船航行方向为北偏西或乙船航行方向为南偏东； 因此乙船的航向为南偏东或北偏西． 10．如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将长方体木块拉伸，结合两点间距离及勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，如图所示， ∴， ∴最短路程是：． 二、填空题 11．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，面积分别记为，若，则_____． 【答案】3 【分析】先根据勾股定理得出的三边关系，再根据正方形的性质即可得出的值． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台台面的点C处连接着出水口D处的水管，水管上的点 E 处安装有红外感应装置，已知出水口点D 到点C的距离为，且，出水口点 D到点E的距离为，则红外感应装置到洗手台台面的距离为_______． 【答案】15 【分析】在中，由勾股定理得，再根据求出的长度即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴是直角三角形 ， ∵在中，，， ∴ ， ∵， ∴ ， 红外感应装置到洗手台台面的高度的长为． 13．若三角形的三边分别为1，，，则该三角形最大边上的高长为：________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再用面积法求出最大边上的高． 【详解】解：∵， ∴该三角形的最大边为， ∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，直角边为和， 设最大边上的高为，根据三角形面积相等可得： ， 化简得 ， 解得：． 14．如图，在中，直径，是弦，，点在上，点在上，且，当点在上移动时，则长的最大值为______．  【答案】/ 【分析】连接，根据勾股定理以及垂线段最短，得到当时，的值最小，此时的值最大，再根据特殊角的直角三角形的性质得到此时，继而得到． 【详解】解：如图2，连接， ∵ ，为定值，即， 当时，的值最小，此时的值最大， ， 此时， 在中，． 15．如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 【答案】 【分析】根据题意，把圆柱展开，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，即，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆柱的展开图中，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，最短路线为， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴在中， ， ． 三、解答题 16．如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为和，，环卫车周围以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有，求环卫车的行驶速度为多少？ 【答案】(1)学校会受噪声影响，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，即可得出结论； （2）利用勾股定理得出以及的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：学校会受噪声影响，理由如下： 如图，过点作于， ，，， ． 是直角三角形，． ， ， 即， ， 环卫车周围以内为受噪声影响区域， 学校会受噪声影响． （2）解：如图，当，时，正好影响学校， ， ， 环卫车噪声影响该学校持续的时间有， 环卫车的行驶速度为：， 答：环卫车的行驶速度为． 17．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)21米 (2)6米 【分析】（1）在中，由勾股定理得；再加上消防车自身高度，即可得处到地面的距离； （2）先根据题意求出竖直高度，在中，由勾股定理得水平距离；则可得到消防车靠近的距离． 【详解】（1）解：根据题意可得，米，米，米， ∴在中，（米）， （米）， 答：B处与地面的距离是21米； （2）解：由题意得米． 米，（米）， （米）， （米）， 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为6米． 18．如图，某人从地到地共有三条路可选，第一条路是从到，为10米，第二条路是从经过到达地，为8米，为6米，第三条路是从经过地到地共行走26米，若、、刚好在一条直线上，求的长． 【答案】9 【分析】先利用勾股定理逆定理可得，根据题意可得，再在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵为10米，为8米，为6米， ∴， ∴， ∴， ∵第三条路是从经过地到地共行走26米， ∴，即， ∵在中，， ∴，即，解得：． ∴的长为9． 19．新定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)如图1，已知：中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连接，求证：四边形是等对四边形． (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点，，均在格点上，若点在格点上，且四边形是等对四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】（1）连接，证明得出，结合新定义，即可得证． （2）根据等对四边形的定义得出，结合网格特点和勾股定理找到点，再根据勾股定理求得线段的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴四边形是等对四边形． （2）解：如图所示， ∵点在格点上，且四边形是等对四边形， ∴， ∴，，． 20．如图，已知中，，，，P、Q分别为、边上的动点，若点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，且时间为t． (1)当出发2秒时，求的周长． (2)运动过程中，直线可否将的周长分成相等的两部分，若可以，请求出运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出和，再求出，用勾股定理求得即可； （2）由勾股定理求出，由题意得出方程，解方程求出t，即可得出结论 【详解】（1）解：由题意得：当秒时，，， 又∵，， ∴． 在中，由勾股定理得： ． ∴的周长为：； （2）解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的周长为：， ∴当时，在上，在上， ∴，， ∴， 由题意得：． ∴， 解得：． 不符合，故舍去． 当时，在上，在上， ∴，， 由题意得：， ∴， 解得：． ∴综上，当时，直线将的周长分成相等的两部分． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第一章 勾股定理 知识归纳与题型总结 题型01 探索勾股定理 一、勾股定理 1. 定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角 边b叫做股，斜边c叫做弦. 二、勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤： （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 3、 勾股定理的证明 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 【典例1-1】如图，一张三角形纸片，，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与点B重合，则的长是______． 【典例1-2】如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 【典例1-3】小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板（，，，．），并拼出一个新图形如图所示，若，，则的长为（     ） A．3 B． C． D．4 题型02 一定是直角三角形吗 一、直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 二、勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 【典例2-1】下列各组中的三条线段，不能构成直角三角形的是（    ） A．9，40，41 B．，4，5 C．，1， D．40，50，60 【典例2-2】已知、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高． (1)下列说法正确的是_________． A．、、能组成三角形；B．、、能组成直角三角形三边； C．、、能组成直角三角形三边；D．、、能组成直角三角形三边． (2)请选择一个正确选项进行证明． 【典例2-3】“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第7个图形里的正方形比第5个图形多_______个． 题型03 勾股定理的应用 1、 勾股定理与网格问题 1.核心知识点总结：找直角边长度→套a²+b²=c²  格点线段当斜边：横向纵向数格子得两直角边，直接计算。 非水平垂直边：补直角三角形，用大减小算边长。 2.易错点警示 斜着数格子错，必须用横纵差值。 网格有单位长度（如1格=2），要先乘单位再平方。 2、 勾股定理与折叠问题 1.核心知识点总结 折叠性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，利用全等转化边长。 折叠后形成直角三角形，结合勾股定理列方程求解未知边。 2.高频考点梳理 长方形折叠(如折顶点到对边，求折痕长度或剩余线段长度)。 直角三角形折叠(折叠直角边或斜边，利用勾股定理求重叠部分)。 3.易错点警示 折叠后未准确识别对应边(如长方形折叠后，顶点落在对边上，需明确折痕两侧的相等边)。 忽略折叠后的直角关系(如折叠后形成的新直角三角形，未利用勾股定理)。 例：如图，长方形纸片 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°。将纸片沿 AE、EF 折叠，使点 D 落在D’处，点C落在AB边上的A处，且点 A、F、D 在同一直线上。则AE=CE，AD’=CD，∠C=D’AE=90°。 3、 勾股定理的实际应用 1、 求梯子滑落高度 2、 解决水杯中筷子问题 3、 解决航海问题 4、 求河宽问题 5、 求台阶上地毯长度 6、 判断汽车是否超速 7、 判断是否受台风影响 8、 选址使到两地距离相等 9、 求最短路径 10、 勾股定理逆定理的实际应用 【典例3-1】如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足与的面积相等； (2)画出的高； (3)直接写出的值． 【典例3-2】如图，红海某护航编队的补给港口P位于东西方向的海岸线上．“徐州”号、“舟山”号巡逻艇同时离开港口，各自沿固定方向执行反海盗巡逻任务．“徐州”号每小时航行20海里，“舟山”号每小时航行15海里．它们离开港口2小时后分别位于点A，B处，此时两艇相距50海里．已知“徐州”号沿北偏东（东北）方向航行，请问“舟山”号沿什么方向航行？ 【典例3-3】如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 一、选择题 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A． B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D． 2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（     ） A．1，1，1 B．1，2， C．3，4，6 D．2，3，4 3．如图五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列．三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积．问含有问号的那个正方形的面积是多少？（    ） A．17 B．14 C．15 D．16 4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 5．已知，直角三角形的两边长分别为6和10，则斜边长可能为（   ） A．8 B． C．10或 D．10 6．如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的面积分别为144，225，那么正方形A的面积是（    ） A．225 B．144 C．81 D．369 7．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 8．如图，，正方形和正方形的面积分别是和，则正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 9．两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向（     ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．南偏西或西偏北 10．如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，面积分别记为，若，则_____． 12．如图是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台台面的点C处连接着出水口D处的水管，水管上的点 E 处安装有红外感应装置，已知出水口点D 到点C的距离为，且，出水口点 D到点E的距离为，则红外感应装置到洗手台台面的距离为_______． 13．若三角形的三边分别为1，，，则该三角形最大边上的高长为：________． 14．如图，在中，直径，是弦，，点在上，点在上，且，当点在上移动时，则长的最大值为______．  15．如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 三、解答题 16．如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为和，，环卫车周围以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有，求环卫车的行驶速度为多少？ 17．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 18．如图，某人从地到地共有三条路可选，第一条路是从到，为10米，第二条路是从经过到达地，为8米，为6米，第三条路是从经过地到地共行走26米，若、、刚好在一条直线上，求的长． 19．新定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)如图1，已知：中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连接，求证：四边形是等对四边形． (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点，，均在格点上，若点在格点上，且四边形是等对四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 20．如图，已知中，，，，P、Q分别为、边上的动点，若点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，且时间为t． (1)当出发2秒时，求的周长． (2)运动过程中，直线可否将的周长分成相等的两部分，若可以，请求出运动时间，若不能，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $