7.2.2定理与证明-课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“定理与证明”，涵盖公理、定理的概念及区别，证明的规范步骤。通过“温故知新”回顾命题等旧知，“课前检测”巩固真假命题判断，再“新知探究”引入公理与定理，构建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于注重推理严谨与实际应用，如通过“对顶角相等”等定理的规范证明培养推理意识，结合卡钳测量工件内径等实例发展应用意识。采用讲练结合，学生能提升逻辑推理与规范表达能力，教师可借助系统例题与分层练习优化教学效果。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 7.2.2定理与证明 第七章 证明 北师大版八年级上册7.2.2 定理与证明 练习题 知识点回顾 1. 基本概念 公理（基本事实）：公认的、不需要证明的真命题，作为推理的原始依据。 定理：经过推理证实的真命题，可以作为判断其他命题真假的依据。 证明：从已知条件出发，依据公理、定理、定义，一步步推理得出结论的完整逻辑过程。 2. 核心区别 公理：无需证明，直接公认；定理：必须经过证明；两者都是真命题。 3. 证明书写规范 ①每一步推理要有依据（定义、公理、定理）；②逻辑严谨、步步有据；③格式规范：已知→求证→证明。 4. 常用公理：两点确定一条直线、两点之间线段最短、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行等。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 不需要证明、公认正确的真命题叫做________。 2. 经过推理证明正确的真命题叫做________。 3. 推理证实命题正确性的完整过程叫做________。 4. 证明的每一步推理都要有________，不能凭空得出结论。 5. 公理和定理都是________命题。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 公理需要证明 B. 定理无需证明 C. 定理一定是真命题 D. 真命题都是定理 2. “两点之间线段最短”是（ ） A. 定义 B. 公理 C. 定理 D. 假命题 3. 证明几何命题的推理依据不能是（ ） A. 个人观察 B. 定义 C. 公理 D. 定理 三、判断正误题（每题4分，共24分） 1. 公理是不需要证明的真命题。（ ） 2. 定理是经过证明的真命题。（ ） 3. 所有真命题都是定理。（ ） 4. 证明过程可以没有推理依据。（ ） 5. 假命题一定不是定理。（ ） 6. “对顶角相等”是定理。（ ） 四、基础证明填空题（每空3分，共18分） 已知：∠1和∠2是对顶角，求证：∠1=∠2。 证明：∵∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°（________） ∴∠1=∠2（________） 五、规范证明题（18分） 已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2，求证：∠3=∠4。（基础平行线证明，按规范步骤书写） 六、拓展辨析题（2分） 简述：公理和定理的最大区别是什么？ 参考答案与简要解析 一、填空题 1. 公理（基本事实） 2. 定理 3. 证明 4. 依据 5. 真 二、选择题 1.C 2.B 3.A 三、判断正误题 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.√ 6.√ 解析：真命题范围更大，只有经过证明、可作为推理依据的真命题才是定理。 四、基础证明填空题 邻补角的定义；同角的补角相等（定理） 五、规范证明题（标准满分步骤） 证明： ∵ AB∥CD（已知） ∴ ∠1+∠3=∠2+∠4（两直线平行，内错角相等） 又∵ ∠1=∠2（已知） ∴ ∠3=∠4（等式性质） 六、拓展辨析题 区别：公理是无需证明、直接公认的基本事实；定理是需要经过逻辑推理证明后成立的真命题。 02 温故知新 1、定义: 对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义 2、命题: 判断一件事情的句子,叫做命题. 3、命题的结构: 每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项. 4、命题的特征: 一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 5、命题的分类: 真命题和假命题 03 课前检测 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题则举一个反例加以说明. (1)一个钝角、一个锐角的和必为一个平角； 假命题，92°+ 30° ≠ 180° （2）两直线被第三条直线所截，同位角相等； 假命题，只有两条直线平行时才对 （3）两个锐角的和等于直角； 假命题. 30° + 50° ＝ 80° ≠ 90° （4）有三条边对应相等的两个三角形全等； 真命题 04 新知探究 探究：公理与定理 公理 ： 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理. 定理 ： 数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 。 04 新知探究 数与式的运算定律和运算法则都可以看作公理 等式和不等式的有关性质都可以看作公理 在等式中,一个量可以用它相等的量来代替. 例如:如果 a=b , b=c ,那么 a=c , 这一性质也可看作公理,称为“等量代换”. 又如:如果 a＞b , b＞c ,那么 a＞c , 这一性质也可看作公理。 常用的公理 04 新知探究 1.两点确定一条直线; 2.两点之间线段最短; 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这 两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）; 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等; 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等; 8.三边分别相等的两个三角形全等. 下列的真命题作为定理：（课本186页) 04 新知探究 定理 同角(等角)的补角相等 定理 同角(等角)的余角相等 定理 对顶角相等 定理 三角形的任意两边之和大于第三边 从这些公理出发，就可以证明已经探索过的结论了。例如，我们可以证明下面的定理; 知识点1 命题 真命题 假命题 公理（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实） 1. 下列关于公理和定理的说法正确的是( ) C A. 公理是真命题，但定理不是 B. 公理就是定理，定理也是公理 C. 公理和定理都可以作为推理论证的依据 D. 公理和定理都应经过证明后才能使用 2. “过平面上两点，有且只有一条直线”属于( ) C A. 定义 B. 定理 C. 公理 D. 以上答案都不对 返回 中考考法 9 3. 如图，某镇计划把河中的水引到水池 中， 可以先过点作，垂足为，然后沿 开渠，则能 使所开的渠最短，这种设计方案的根据是________________ _____________________________________. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 返回 中考考法 10 05 典例精析 证明定理 同角的补角相等 已知：∠2是∠1的补角，∠3是∠1的补角。 求证：∠2=∠3 证明：∵∠2是∠1的补角 ( 已知 ) ∴ ∠2＋∠1＝180° ( 补角定义 ) ∴ ∠2＝180°-∠1 （等式性质） 同理，∠3=180°-∠1 ∴ ∠2=∠3 ( 等量代换 ) 05 典例精析 证明定理 同角的余角相等 已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角。 求证：∠2=∠3 证明：∵∠2是∠1的余角 ( 已知 ) ∴ ∠2＋∠1＝90° ( 余角定义 ) ∴ ∠2＝90°-∠1 （等式性质） 同理，∠3=90°-∠1 ∴ ∠2=∠3 ( 等量代换 ) 05 典例精析 证明定理 对顶角相等 已知：如图，直线AB与直线CD相交于 点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。 求证：∠AOC =∠BOD 证明： ∵直线AB与直线CD相交于点O （已知） ∴ ∠AOB与∠COD都是平角 （平角的定义） ∴ ∠AOC＋∠AOD＝180° ( 补角定义) 同理∠COB=180°-∠AOC ∠AOD=180°-∠AOC ( 等式性质) ∴ ∠AOC =∠BOD ( 等量代换 ) 05 典例精析 证明定理 三角形任意两边之和大于第三边。 已知：三角形ABC 求证：AB+AC＞BC 证明：根据几何公理“两点之间线段最短”，在 三角形ABC中： 从点B到点C的最短路径是线段 𝐴 BC，而路径B →A → C 的长度为 BA+AC。由于线段 BC是两点间的最短路径，因此有 BA+ AC>BC 。 同理，可得 AB+BC> AC和 AC+BC >AB 。 证法1 05 典例精析 证明定理 三角形任意两边之和大于第三边。 已知：三角形ABC 求证：AB+AC＞BC 证明：假设存在三角形ABC,AB+AC BC, 根据几何公理， 若AB+AC=BC,则A点在线段BC上，A，B、C 三点共线，此时无法构成三角形。如图1 若AB+AC＜BC,则与公理“两点之间线段最短” 矛盾，因此假设不成立。故原命题成立。如图2 证法2(反证法） 4.［2025厦门月考］卡钳是一个测量工件内槽宽的工具.如图， 师傅通常把两根钢条， 的中点连在一起，就可以做成 一个简易卡钳.只要量得的长度，就可知工件的内径 是 否符合标准.请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证， 并完成证明. 中考考法 16 【解】已知：，为, 的中点. 求证： . 证明：，为, 的中点， ， . 又 ， . . 返回 中考考法 17 5. 有下列描述：①过点作直线 ；②两直线平行，同 旁内角互补；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直.其中 是定理的有( ) B A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 返回 中考考法 18 6.求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距 离相等.（解题要求：补全已知、求证，写出证明） 已知：如图，在中，是 边上的 中线，________________________________ ______________________. 求证：_________. 分别过点，作的垂线，交的延长线和于点， 中考考法 19 【解】 证明：由题意可得： ， 是边上的中线， . 在和 中， ， . 返回 中考考法 20 7. 用表示一个两位数，代表十位上的数， 代表个位上的数，即 .请观察下列运算规律： ， ， ， . （1）根据阅读材料，可知： ________； （2）猜想：____________ ； 中考考法 21 （3）结合以上内容，请你证明（2）中的猜想； 【解】 ， ， . 中考考法 22 （4）如果 ，类比上述探究过程，请你用一个式子 表示速算 的方法，并证明你的结论. ； 证明： ， . ， . 返回 中考考法 23 07 课堂小结 公理： 不需要推理证实的真命题； 定理 定理都是真命题 都可以作为推理论证其他命题的依据. 证明的一般步骤： (1）根据题意分析题中的条件和问题，几何题画出图形. (2)根据条件和结论，结合图形写出已知和求证. (3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. $