第七章　证明 习题课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“证明的必要性”核心知识点，通过分苹果、判断质数等问题导入，连接经验观察与逻辑推理，搭建从具体实例到抽象证明的学习支架，帮助学生理解证明的意义。 其亮点在于结合生活情境（如煮面条工序优化）和逻辑推理（布鲁斯家庭最佳选手问题），通过反例验证（n²+3n+1的质数判断）和规律探究（剪绳子、等式规律）培养数学思维中的推理意识，用符号语言（奇巧数代数证明）表达数学关系。助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供分层教学素材，提高课堂效率。

第七章　证明 3　平行线的证明 第1课时　平行线的判定 数学·八年级上册　 1 A. 基础夯实 1. （2024• 罗湖区桂园中学期中）用两个相同的三角板按照如图所示的方式 作一组平行线m，n，则其数学依据是（　C　）. A. 两直线平行，同位角相等 B. 同位角相等，两直线平行 C. 内错角相等，两直线平行 D. 两直线平行，内错角相等 第1题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 2. 图1是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰， 制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性.如图2，现将其中 的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出a∥b的是 （　A　）. A. ∠1＝∠2 B. ∠1＝∠5 C. ∠2＋∠4＝180° D. ∠2＝∠3 第2题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 3. （2024• 育才教育集团期中）如图，下列推理错误的是（　B　）. A. 若∠B＝∠3，则AB∥CD B. 若∠B＝∠D，则AB∥CD C. 若∠3＝∠D，则BE∥DF D. 若∠1＝∠D，则BE∥DF 第3题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 4. （2024• 深圳实验学校中学部期中）如图，点C在∠AOB的边OA上，用 尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中， 是（　C　）. A. 以点C为圆心、OD的长为半径的弧 B. 以点C为圆心、DM的长为半径的弧 C. 以点E为圆心、DM的长为半径的弧 D. 以点E为圆心、OD的长为半径的弧 第4题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 5. （2025• 深圳市云端学校期末）下列图形中，若∠1＝∠2，则能确定 AB∥CD的是（　B　）. A B C D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 6. （根据教材P195习题7.3第3题改编）如图所示，直线a，b被直线c所截， 且∠1＋∠2＝180°，求证：a∥b. 证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等）， ∠1＋∠2＝180°（已知）， ∴∠3＋∠2＝180°（等量代换）. ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 7. 如图，已知∠B＝50°，∠1＝130°，∠D＝50°，图中有几组平行线？ 说明理由. 解：两组.理由如下： ∵∠B＝50°，∠1＝130°， ∴∠B＋∠1＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）. ∵∠1＋∠2＝130°＋∠2＝180°， ∴∠2＝50°，∴∠2＝∠D， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 B. 能力提升 8. （2025• 龙岗区沙湾中学期末）将一副三角板按如图所示放置，∠C＝ 45°，∠D＝30°.则下列结论：①∠1＝∠3；②若∠2＝30°，则有 AC∥DE；③若∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠4＝∠C，那么必有 ∠2＝30°.其中正确的有（　C　）. A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 解析：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2， ∴∠1＝∠3， ∴①正确；②∵∠DAE＝90°，∠D＝30， ∴∠E＝90°－30°＝60°.∵∠BAC＝90°，∠2＝30°， ∴∠1＝90°－30°＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴ AC∥DE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 ∴②正确；③∵∠BAC＝90°，∠2＝30°， ∴∠1＝90°－30°＝60°.∵∠DAE＝90°， ∴∠CAD＝90°＋60°＝150°.∵∠C＝45°， ∴∠C＋∠CAD＝45°＋150°＝195°，若BC∥AD，则∠C＋∠CAD＝ 180°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 ∴③不正确；④∵∠DAE＝90°，∠D＝30°， ∴∠E＝90°－30°＝60°.∵∠4＝∠C， ∴AC∥DE， ∴∠1＝∠E＝60°.∵∠BAC＝90°， ∴∠2＝90°－∠1＝90°－60°＝30°， ∴④正确. ∴正确的有①②④. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 9. 如图，在四边形ABCD中，E是BC延长线上的一点，连接AE交CD于点 F，若∠B＝∠D，∠1＋∠2＝180°. （1）求证：AB∥CD； 证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠CFE＝180°， ∴∠2＝∠CFE， ∴AB∥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 （2）若∠E＝25°，求∠DAE的度数. 解：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠ECF. ∵∠B＝∠D， ∴∠D＝∠ECF， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠E＝25°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 C. 拓展思维 10. 如图1，已知AC∥BD，点P是直线AC，BD间的一点，连接AB， AP，BP，过点P作直线MN∥AC. （1）MN与BD的位置关系是什么？请说明理由. 解：平行.理由如下： ∵AC∥BD，MN∥AC， ∴MN∥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 （2）试说明∠APB＝∠PBD＋∠PAC. 解：∵AC∥MN，MN∥BD， ∴∠PBD＝∠1，∠PAC＝∠2， ∴∠APB＝∠1＋∠2 ＝∠PBD＋∠PAC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 （3）如图2，当点P在直线AC上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍 然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们之间存在的关 系，并说明理由. 解：不成立.它们的关系是∠APB＝∠PBD－∠PAC. 理由：如图，过点P作PQ∥AC. ∵AC∥BD， ∴PQ∥AC∥BD， ∴∠PAC＝∠APQ，∠PBD＝∠BPQ， ∴∠APB＝∠BPQ－∠APQ＝∠PBD－∠PAC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 1. C　2.A　3.B　4.C　5.B 6. 证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等）， ∠1＋∠2＝180°（已知），∴∠3＋∠2＝180°（等量代换）. ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）. 7. 解：两组.理由如下： ∵∠B＝50°，∠1＝130°，∴∠B＋∠1＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）. ∵∠1＋∠2＝130°＋∠2＝180°， ∴∠2＝50°，∴∠2＝∠D， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）. 数学·八年级上册　 8. C　解析：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90° －∠2，∴∠1＝∠3，∴①正确；②∵∠DAE＝90°，∠D＝30，∴∠E＝ 90°－30°＝60°.∵∠BAC＝90°，∠2＝30°，∴∠1＝90°－30°＝ 60°，∴∠1＝∠E，∴ AC∥DE，∴②正确；③∵∠BAC＝90°，∠2＝ 30°，∴∠1＝90°－30°＝60°.∵∠DAE＝90°，∴∠CAD＝90°＋ 60°＝150°.∵∠C＝45°，∴∠C＋∠CAD＝45°＋150°＝195°，若 BC∥AD，则∠C＋∠CAD＝180°，∴③不正确；④∵∠DAE＝90°， ∠D＝30°，∴∠E＝90°－30°＝60°.∵∠4＝∠C，∴AC∥DE， ∴∠1＝∠E＝60°.∵∠BAC＝90°，∴∠2＝90°－∠1＝90°－60°＝ 30°，∴④正确.∴正确的有①②④. 数学·八年级上册　 9. （1）证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠CFE＝180°， ∴∠2＝∠CFE，∴AB∥CD. （2）解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECF. ∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠ECF，∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠E＝25°. 数学·八年级上册　 10. 解：（1）平行.理由如下： ∵AC∥BD，MN∥AC，∴MN∥BD. （2）∵AC∥MN，MN∥BD， ∴∠PBD＝∠1，∠PAC＝∠2， ∴∠APB＝∠1＋∠2＝∠PBD＋∠PAC. 数学·八年级上册　 （3）不成立.它们的关系是∠APB＝∠PBD－∠PAC. 理由：如图，过点P作PQ∥AC. ∵AC∥BD，∴PQ∥AC∥BD， ∴∠PAC＝∠APQ，∠PBD＝∠BPQ， ∴∠APB＝∠BPQ－∠APQ＝∠PBD－∠PAC. 数学·八年级上册　 $第七章　证明 章末复习 数学·八年级上册　 1 A. 基础夯实 1. 下列语句中，是命题的是（　D　）. A. 作线段AB＝CD B. 能在线段AB上任取一点吗？ C. 作∠A的平分线AM D. 两个锐角的和一定大于直角 2. （2025• 光明区李松蓢学校月考）下列说法中是真命题的是（　B　）. A. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 互补的角是邻补角 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 3. 下列说法正确的个数是（　A　）. ①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且 只有一条直线与已知直线平行；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若 a∥b，b∥c，则a∥c. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 4. 如图，△ACB≌△DEB，点A和点D是对应顶点，∠C＝∠E＝90°，记 ∠CBE＝α，∠CAB＝β，当AD∥BC时，α与β之间的数量关系为 （　A　）. A. α＝2β B. α＝β C. α＋β＝90° D. α＋β＝180° 第4题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 5. 如图，下列选项中，判定错误的是（　C　）. A. 若∠A＝∠3，则AB∥DF B. 若∠4＋∠2＝180°，则AC∥DE C. 若AB∥DF，则∠3＝∠4 D. 若AC∥DE，则∠A＝∠1 第5题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 6. 把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……，那么……” 的形式： ⁠. 7. 如图，下列条件能判定AC∥BE的是（　D　）. A. ∠C＝∠EBC B. ∠A＝∠EBD C. ∠C＝∠ABC D. ∠A＝∠ABE 第7题图 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行　 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 8. 完成下面的证明过程：如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA， ∠D＝∠BOD. 求证：AC∥BD. 证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD， 又∵∠COA＝ （　 　）， ∴∠C＝ ⁠， ∴AC∥BD（　 　）. ∠DOB　 对顶角相等 ∠D　 内错角相等，两直线平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 9. 如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3.求证AB∥CD. 证明：∵CB平分∠ACD， ∴∠1＝∠2. ∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴AB∥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 B. 能力提升 10. 命题：全等三角形对应角的平分线相等. （1）请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式. 解：如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应角的平分线相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 （2）结合图形，补全此命题的已知和求证. 已知：如图，① ⁠， AD平分∠BAC交BC于点D， ② ⁠. 求证：③ ⁠. △ABC≌△A′B′C′　 A′D′平分∠B′A′C′交B′C′于点D′　 AD＝A′D′　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 （3）此命题是 命题（填“真”或“假”），并说明理由. 解：理由如下：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AB＝A′B′. ∵AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′， ∴∠BAD＝ ∠BAC，∠B′A′D′＝ ∠B′A′C′， ∴∠BAD＝∠B′A′D′.又∵AB＝A′B′，∠B＝∠B′， ∴△ABD≌△A′B′D′（ASA）， ∴AD＝A′D′， ∴全等三角形对应角的平分线相等. 真　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 C. 拓展思维 11. （2024• 深圳市实验学校坂田校区期中）【感知】（1）如图1， AB∥CD，E为AB，CD之间的一点，连接BE，DE，得到∠BED. 求 证：∠BED＝∠ABE＋∠EDC. 小明想到以下方法，请你帮忙完成推理过程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 证明：如图1，过点E作EF∥AB. ∵AB∥CD，EF∥AB（已知）， ∴CD∥ （　 　）， ∴∠BEF＝∠B，∠FED＝∠D（　 　）， ∴∠BED＝∠BEF＋∠FED＝∠B＋∠D（等式的性质）. EF　 平行于同一直线的两直线平行 两直线平行，内错角相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 （2）【类比探究】请你利用上述【感知】中的结论证明下面的问题： 如图2，已知MN∥PQ，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，请你 说明∠ABP＋∠DCE＝∠CAB. 解：∵CD∥AB， ∴∠CAB＋∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∵∠ECM＋∠ECN＝180°（平角的定义）， ∠ECN＝∠CAB， ∴∠ACD＝∠ECM（等角的补角相等）， 即∠MCA＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE， ∴∠MCA＝∠DCE. 由（1）知∠MCA＋∠ABP＝∠CAB， ∴∠ABP＋∠DCE＝∠CAB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 （3）【拓展延伸】如图3，MN∥PQ，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG. 若∠CAB＝68°，求∠AFB的度数. 解：∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN， ∴∠PBF＝∠ABF＝ ∠PBA，∠ACG＝∠NCG＝ ∠NCA. ∵MN∥PQ，由（1）知∠CAB＝∠ABP＋∠MCA，即∠ABP＋∠MCA＝ 68°. ∵∠MCA＝180°－∠ACN＝180°－2∠ACG， ∴2∠ABF＋180°－2∠ACG＝68°， 即∠ABF＋90°－∠ACG＝34°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 ∴∠ABF＝∠ACG－56°. ∵AF∥CG， ∴∠FAC＋∠ACG＝180°， 即∠FAB＋∠CAB＋∠ACG＝180°. ∴∠FAB＝112°－∠ACG. ∴∠AFB＝180°－∠ABF－∠FAB＝180°－（∠ACG－56°）－（112° －∠ACG）＝180°－∠ACG＋56°－112°＋∠ACG＝124°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 1. D　2.B　3.A　4.A　5.C 6. 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行 7. D 8. ∠DOB　对顶角相等　∠D　内错角相等，两直线平行 9. 证明：∵CB平分∠ACD，∴∠1＝∠2. ∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB∥CD. 数学·八年级上册　 10. 解：（1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应角的平分线 相等. （2）①△ABC≌△A'B'C' ②A'D'平分∠B'A'C'交B'C'于点D' ③AD＝A'D' 数学·八年级上册　 （3）真　理由如下： ∵△ABC≌△A'B'C'， ∴∠B＝∠B'，∠BAC＝∠B'A'C'，AB＝A'B'. ∵AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'， ∴∠BAD＝ ∠BAC，∠B'A'D'＝ ∠B'A'C'， ∴∠BAD＝∠B'A'D'. 又∵AB＝A'B'，∠B＝∠B'， ∴△ABD≌△A'B'D'（ASA）， ∴AD＝A'D'， ∴全等三角形对应角的平分线相等. 数学·八年级上册　 11. 解：（1）EF　平行于同一直线的两直线平行　两直线平行，内错 角相等 （2）∵CD∥AB，∴∠CAB＋∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互 补）. ∵∠ECM＋∠ECN＝180°（平角的定义）， ∠ECN＝∠CAB， ∴∠ACD＝∠ECM（等角的补角相等）， 即∠MCA＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE， ∴∠MCA＝∠DCE. 由（1）知∠MCA＋∠ABP＝∠CAB， ∴∠ABP＋∠DCE＝∠CAB. 数学·八年级上册　 （3）∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN， ∴∠PBF＝∠ABF＝ ∠PBA， ∠ACG＝∠NCG＝ ∠NCA. ∵MN∥PQ， 由（1）知∠CAB＝∠ABP＋∠MCA， 即∠ABP＋∠MCA＝68°. ∵∠MCA＝180°－∠ACN＝180°－2∠ACG， ∴2∠ABF＋180°－2∠ACG＝68°， 即∠ABF＋90°－∠ACG＝34°. 数学·八年级上册　 ∴∠ABF＝∠ACG－56°. ∵AF∥CG， ∴∠FAC＋∠ACG＝180°， 即∠FAB＋∠CAB＋∠ACG＝180°. ∴∠FAB＝112°－∠ACG. ∴∠AFB＝180°－∠ABF－∠FAB ＝180°－（∠ACG－56°）－（112°－∠ACG） ＝180°－∠ACG＋56°－112°＋∠ACG ＝124°. 数学·八年级上册　 $第七章　证明 2　认识证明 第2课时　定理与证明 数学·八年级上册　 1 A. 基础夯实 1. 下列能作为证明依据的是（　D　）. A. 已知条件 B. 定义和基本事实 C. 定理和推论 D. 以上三项都可以 2. 下列命题中，不属于基本事实的是（　B　）. A. 两点确定一条直线 B. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 3. 下列所学过的真命题中，不是公理的是（　A　）. A. 对顶角相等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 三边分别相等的两个三角形全等 4. 判断命题“如果0＜n＜1，那么n2－1＞0”是假命题，只需举出一个反 例，反例中n的值可以是（　C　）. A. －2 B. －0.5 C. 0.5 D. 2 A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 5. （根据教材P193习题7.2第1题改编）证明定理“同角的补角相等”. 已知：∠1和∠2分别是∠3的补角. 求证：∠1＝∠2. 证明：∵∠1，∠2是∠3的补角（已知）， ∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°（补角的定义）. ∴∠1＝∠2（等量代换）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 6. 证明定理“同角的余角相等”. 已知：∠1和∠2分别是∠3的余角. 求证：∠1＝∠2. 证明：∵∠1，∠2是∠3的余角（已知）， ∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°（余角的定义）. ∴∠1＝∠2（等量代换）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 7. 指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假 命题，举出一个反例. （1）两个角的和等于直角时，这两个角互为余角； 解：题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角.这个命题是真命题. （2）同旁内角互补. 解：题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补， 这个命题是假命题. 反例：如图，∠1与∠2是同旁内角，∠1＋∠2≠180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 B. 能力提升 8. 已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线 互相平行”. （1）写出命题的条件和结论； 解：条件：两条平行线被第三条直线所截，结论：一对内错角的平分线互相平行. （2）画出符合命题的几何图形； 解：如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 （3）用几何语言叙述这个命题； 解：已知：如图，AB∥CD，GH，MN分别平分∠BGM和∠CMG， 求证：GH∥MN. （4）判断这个命题的真假并说明理由. 解：真命题，理由：∵AB∥CD， ∴∠BGM＝∠CMG. 又∵GH，MN分别平分∠BGM和∠CMG， ∴∠HGM＝ ∠BGM，∠NMG＝ ∠CMG， ∴∠HGM＝∠NMG，∴GH∥MN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 9. 要证明一个几何命题时，可以按照下面的步骤进行： ①明确命题中的已知和求证； ②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； ③经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 根据以上步骤，用勾股定理，求证命题：“如果两个直角三角形的斜边 和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等”.（不能使用“HL” 判定全等） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠C＝90°，∠F＝90°，AB＝ DE，AC＝DF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠C＝90°，∠F＝90°， ∴△ABC和△DEF都是直角三角形. 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2＝AB2－AC2，在Rt△DEF中，由勾股定 理得EF2＝DE2－DF2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 ∵AB＝DE，AC＝DF， ∴AB2＝DE2，AC2＝DF2， ∴BC2＝AB2－AC2＝DE2－DF2＝EF2. ∵BC＞0，EF＞0， ∴BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SSS）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 C. 拓展思维 10. 已知∠ABC和∠DEF，请根据下面要求解决相应的问题. 如图1，图2所示，当DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P时. （1）填空：图1中∠ABC与∠DEF的数量关系为 ⁠； 图2中∠ABC与∠DEF的数量关系为 ⁠. ∠ABC＝∠DEF　 ∠ABC＋∠DEF＝180°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 （2）请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程. 解：选择题图1：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BPE（两直线平行，内错角相等）. ∵BC∥EF，∴∠BPE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABC＝∠DEF（等量代换）. 选择题图2：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BPE（两直线平行， 内错角相等）. ∵BC∥EF， ∴∠BPE＋∠DEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠ABC＋∠DEF＝180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 （3）请用“如果……，那么……”的形式把上述结论表述出来： ⁠ ⁠. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或 互补 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 1. D　2.B　3.A　4.C 5. 证明：∵∠1，∠2是∠3的补角（已知）， ∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°（补角的定义）. ∴∠1＝∠2（等量代换）. 6. 证明：∵∠1，∠2是∠3的余角（已知）， ∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°（余角的定义）. ∴∠1＝∠2（等量代换）. 数学·八年级上册　 7. 解：（1）题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角.这个 命题是真命题. （2）题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补，这个命题是假命题. 反例：如图，∠1与∠2是同旁内角，∠1＋∠2≠180°. 数学·八年级上册　 8. 解：（1）条件：两条平行线被第三条直线所截，结论：一对内错角的平 分线互相平行. （2）如图所示. （3）已知：如图，AB∥CD，GH，MN分别平分∠BGM和∠CMG，求 证：GH∥MN. 数学·八年级上册　 （4）真命题，理由：∵AB∥CD，∴∠BGM＝∠CMG. 又∵GH，MN分别平分∠BGM和∠CMG， ∴∠HGM＝ ∠BGM，∠NMG＝ ∠CMG， ∴∠HGM＝∠NMG，∴GH∥MN. 数学·八年级上册　 9. 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠C＝90°，∠F＝90°，AB＝ DE，AC＝DF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠C＝90°，∠F＝90°， ∴△ABC和△DEF都是直角三角形. 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2＝AB2－AC2， 在Rt△DEF中，由勾股定理得EF2＝DE2－DF2， ∵AB＝DE，AC＝DF，∴AB2＝DE2，AC2＝DF2， ∴BC2＝AB2－AC2＝DE2－DF2＝EF2. ∵BC＞0，EF＞0，∴BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SSS）. 数学·八年级上册　 10. 解：（1）∠ABC＝∠DEF　∠ABC＋∠DEF＝180° （2）选择题图1：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BPE（两直线平行，内错角相等）. ∵BC∥EF，∴∠BPE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABC＝∠DEF（等量代换）. 选择题图2：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BPE（两直线平行，内错角相等）. ∵BC∥EF，∴∠BPE＋∠DEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠ABC＋∠DEF＝180°. （3）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或 互补 数学·八年级上册　 $第七章　证明 2　认识证明 第1课时　定义与命题 数学·八年级上册　 1 A. 基础夯实 1. 下列语句是命题的是（　B　）. A. 你喜欢数学吗？ B. 小明是男生 C. 太和香椿 D. 加强体育锻炼 2. （2025•宝安区期末） 下列命题为真命题的是（　C　）. A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 点P（－3，5）到y轴的距离是5 C. 一次函数y＝－x＋3的函数值随自变量的增大而减小 D. 点（1，－a2）在第四象限 B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·八年级上册　 3. （2025•佛山市期末）在下列语句中，是真命题的是（　B　）. A. 今天是星期日吗 B. 太阳从东方升起 C. 2026年2月30日是星期一 D. 某公园内有一个三角形花坛，若其中两边长分别为4米和5米，则第三边为10米 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·八年级上册　 4. （2024• 南山区麒麟中学期中）下列命题错误的有（　D　）. ①等角的余角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③相等的角是对顶角； ④两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ⑤过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段叫作这个点到这条直线 的距离. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·八年级上册　 5. （2025•佛山市期末） 若要说明“如果x＞y，那么x2＞y2”为假命题，则 x，y的值可以是（　C　）. A. x＝2，y＝0 B. x＝2，y＝1 C. x＝1，y＝－1 D. x＝1，y＝0 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·八年级上册　 解析：选项A， ∵2＞0，22＝4，02＝0，4＞0， ∴满足x2＞y2，不能说明原命题为假命题； 选项B， ∵2＞1，22＝4，12＝1，4＞1， ∴满足x2＞y2，不能说明原命题为假命题； 选项C， ∵1＞－1，12＝1，（－1）2＝1，1＝1，即x2＝y2，不满足x2＞y2， ∴该选项可说明原命题为假命题； 选项D， ∵1＞0，12＝1，02＝0，1＞0， ∴满足x2＞y2，不能说明原命题为假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·八年级上册　 6. 命题“若a≠b，b≠c，则a≠c”是 命题.（填“真”或“假”） 7. 对于命题“若m2＞9，则m＞3”，下列m的值能说明该命题是假命题的是 （　A　）. A. m＝－4 B. m＝－3 C. m＝3 D. m＝4 假　 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·八年级上册　 8. （根据教材P188习题7.2第2题改编）给出下列语句： ①如果两个角都是50°，那么这两个角是对顶角； ②直角三角形一定不是轴对称图形； ③画线段AB＝5 cm；④延长线段AB至点C，使AB＝BC；⑤明天下雨吗？ 其中是命题的有 （填写序号）. ①②　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·八年级上册　 9. 判断下列命题是真命题，还是假命题？如果是假命题，举一个反例. （1）若a2＞b2，则a＞b； 解：假命题，例如：（－2）2＞12，但－2＜1. （2）一个角的余角小于这个角. 解：假命题，例如：30°角的余角是60°，而60°＞30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·八年级上册　 B. 能力提升 10. 小聪认为命题“两个无理数的和一定是无理数”不正确，请你帮他举一 个反例 ⁠. 解析：无理数是无限不循环小数，取 和－ ，二者均为无理数， ∴ ＋（－ ）＝0，0是有理数，因此这两个无理数的和是有理数，可作 为原命题的反例.故答案为 ＋（－ ）＝0（答案不唯一）. ＋（－ ）＝0（答案不唯一） 11. 把命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”改写成“如 果……那么……”的形式： ⁠ ⁠. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条 直线，那么这两条直线平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·八年级上册　 12. 下列命题的条件是什么？结论是什么？ （1）两直线平行，同位角相等； 解：条件：两直线平行；结论：同位角相等. （2）对顶角相等. 解：条件：这两个角是对顶角；结论：这两个角相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·八年级上册　 13. 指出下列命题的条件和结论. （1）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线 平行； 解：条件为两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，结论为这两条直线平行. （2）两条直线平行时没有交点； 解：条件为两条直线平行，结论为这两条直线没有交点. （3）锐角小于它的余角. 解：条件为这个角是锐角，结论为这个角小于它的余角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·八年级上册　 C. 拓展思维 14. 对于一个任意的四位数M，若M的千位数字与个位数字之和等于百位数 字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”.例如：四位数3 197，因为3＋7＝1＋9，所以四位数3 197是稳定数. （1）填空：2 025 　　　　稳定数（填“是”或“不是”）； 解：不是 解析：∵2＋5＝7≠0＋2，∴2 025不是稳定数.故应填不是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·八年级上册　 （2）已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数； 解：设十位数字为a，个位数字为b， 根据题意，得1＋b＝9＋a， ∴b－a＝8， ∴ 或 ∴所求的稳定数为1 908或1 919. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·八年级上册　 （3）命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明 理由. 解：是假命题，反例如下：四位数2 817与2 222都是稳定数，它们的和等于 5 039， 然而四位数5 039不是稳定数， ∴“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·八年级上册　 1. B　2.C　3.B　4.D 5. C　解析：选项A，∵2＞0，22＝4，02＝0，4＞0，∴满足x2＞y2，不能说 明原命题为假命题；选项B，∵2＞1，22＝4，12＝1，4＞1，∴满足x2＞y2， 不能说明原命题为假命题；选项C，∵1＞－1，12＝1，（－1）2＝1，1＝1， 即x2＝y2，不满足x2＞y2，∴该选项可说明原命题为假命题；选项D，∵1＞ 0，12＝1，02＝0，1＞0，∴满足x2＞y2，不能说明原命题为假命题. 6. 假　7.A　8.①② 数学·八年级上册　 9. 解：（1）假命题，例如：（－2）2＞12，但－2＜1. （2）假命题，例如：30°角的余角是60°，而60°＞30°. 10. ＋（－ ）＝0（答案不唯一）　解析：无理数是无限不循环小数， 取 和－ ，二者均为无理数，∴ ＋（－ ）＝0，0是有理数，因此 这两个无理数的和是有理数，可作为原命题的反例.故答案为 ＋（－ ）＝0（答案不唯一）. 11. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直 线平行 数学·八年级上册　 12. 解：（1）条件：两直线平行；结论：同位角相等. （2）条件：这两个角是对顶角；结论：这两个角相等. 13. 解：（1）条件为两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，结论为这 两条直线平行. （2）条件为两条直线平行，结论为这两条直线没有交点. （3）条件为这个角是锐角，结论为这个角小于它的余角. 数学·八年级上册　 14. 解：（1）不是　解析：∵2＋5＝7≠0＋2，∴2 025不是稳定数.故 应填不是. （2）设十位数字为a，个位数字为b， 根据题意，得1＋b＝9＋a， ∴b－a＝8，∴ 或 ∴所求的稳定数为1 908或1 919. （3）是假命题，反例如下：四位数2 817与2 222都是稳定数，它们的和等于 5 039， 然而四位数5 039不是稳定数， ∴“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题. 数学·八年级上册　 $第七章　证明 1　为什么要证明 数学·八年级上册　 1 A. 基础夯实 1. 下列说法正确的是（　D　）. A. 经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B. 推理是科学家的事，与我们没有多大关系 C. 自然数n，n2＋n＋37一定是质数 D. 有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 2. 布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人 中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与 最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是（　D　）. A. 布鲁斯先生 B. 布鲁斯先生的妹妹 C. 布鲁斯先生的儿子 D. 布鲁斯先生的女儿 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 解析：由①和②可知，最佳选手的孪生同胞与最差选手不是同一个人，因此 一定是其中的三个人的年龄相同，布鲁斯先生很显然比他的儿子和女儿大， 则其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，由此，布鲁斯 先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞，所以布鲁斯先生的儿子或女 儿是最佳选手，最差选手是布鲁斯先生的妹妹.由①知，最佳选手的孪生同胞 一定是布鲁斯先生的儿子，则最佳选手就是布鲁斯先生的女儿.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 3. 图中小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线相连，相连 标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结 点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的 最大信息量为（　C　）. A. 11 B. 10 C. 8 D. 7 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 4. 世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3 分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队 出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出 线，这个队至少要积（　B　）. A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分 5. （根据教材P181随堂练习第2题改编）能说明“n2＋3n＋1一定是质数”不 正确的反例是（　C　）. A. n＝4 B. n＝5 C. n＝6 D. n＝7 B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 6. 小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分 钟；（2）洗菜3分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分 钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟.以上各工序除（4）外，一次只能 进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（　C　）. A. 14分钟 B. 13分钟 C. 12分钟 D. 11分钟 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 7. 小明发现：当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是负数.于是小明猜想：当n 为任意正整数时，n2－6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你 的理由. 解：小明的猜想不正确.理由如下： 举反例，如当n＝7时，n2－6n＝7＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 B. 能力提升 8. 当n＝1时，代数式（n2－5n＋5）2＝1；当n＝2时，（n2－5n＋5）2 ＝ ；当n＝3时，（n2－5n＋5）2＝ ；当n＝4时，（n2－5n＋ 5）2＝ .因此，小明推断，不论n取任何正整数，（n2－5n＋5）2的值 都是 ，这个推断是 的.（填“正确”或“错误”） 1　 1　 1　 1　 错误　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 9. 如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开.剪1刀，绳子变为5 段；剪2刀，绳子变为9段；….依此规律剪10刀，绳子变为 段. 41　 解析：因为剪开次数（刀）为1，绳子数量（段）为5， 剪开次数（刀）为2，绳子数量（段）为9， 所以每剪1次，绳子数量增加4段， 所以剪开次数（刀）为3，绳子数量（段） 为9＋4＝13， 剪开次数（刀）为4，绳子数量（段）为13＋4＝17， …， 所以剪开次数（刀）为n，绳子数量（段）为4n＋1， 当n＝10时，4n＋1＝4×10＋1＝41. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 10. （2025• 北京市期中）观察下列等式，探究其中的规律并解答问题： 1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝k2， …. （1）第4个等式中，k＝ ⁠； 7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 解析：观察前面的等式：1＝12，等式左边1个数，起始数字是1，等式右边底 数是2×1－1＝1. 2＋3＋4＝32，等式左边3个数，起始数字是2，等式右边底数是2×2－1＝3. 3＋4＋5＋6＋7＝52，等式左边5个数，起始数字是3，等式右边底数是2×3－ 1＝5. 可以发现规律：等式左边数字的个数是从1开始的连续奇数，第m个等式左 边数字个数为2m－1；等式右边的底数是从1开始的连续奇数，第m个等式 右边底数为2m－1，且等式左边起始数字为m. 对于第4个等式，等式左边数字个数为2×4－1＝7，起始数字是4，等式右边 底数应该是7，即k＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 （2）写出第5个等式： ⁠； 解析：根据上述规律，第5个等式左边起始数字是5，数字个数为2×5－1＝9. 等式左边为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13，等式右边底数为2×5－1＝9， 所以第5个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92. 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 （3）写出第n个等式： ⁠ （其中n为正整数）. 解析：根据上述规律，等式左边起始数字为n，数字个数为（2n－1），依 次为n，n＋1，n＋2，n＋3，…，3n－2，等式右边底数为（2n－1）， 所以第n个等式为n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋…＋（3n－2） ＝（2n－1）2. n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋…＋ （3n－2）＝（2n－1）2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 11. 【特例与观察】（1）用“＞”“＝”或“＜”填空： 当x＝－2时，代数式（x＋1）2－4x 　　　　0； 当x＝1时，代数式（x＋1）2－4x 　　　　0； …. 解：＞　＝ 解析：当x＝－2时，代数式（x＋1）2－4x＝（－2＋1）2－4×（－2）＝1 ＋8＝9＞0； 当x＝1时，代数式（x＋1）2－4x＝（1＋1）2－4×1＝4－4＝0；故答案为 ＞，＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 【归纳与证明】（2）换几个数再试试，猜想（x＋1）2－4x与0的大小关系 并证明你的猜想. 解：猜想（x＋1）2－4x≥0. 证明：∵（x＋1）2－4x＝x2＋2x＋1－4x＝x2－2x＋1＝（x－1）2，而 （x－1）2≥0， ∴（x＋1）2－4x≥0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 【拓展与应用】（3）求出代数式a2－8a＋20的最小值. 解：a2－8a＋20＝a2－8a＋16＋4＝（a－4）2＋4， ∵（a－4）2≥0， ∴（a－4）2＋4≥4， ∴代数式a2－8a＋20的最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 C. 拓展思维 12. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为 “奇巧数”，如12＝42－22，20＝62－42，28＝82－62，…，因此12，20，28 都是奇巧数. （1）36，50是奇巧数吗？为什么？ 解：∵36＝102－82， ∴36是奇巧数.设两个连续偶数为m，m＋2（m为偶数）， 则（m＋2）2－m2＝50，解得m＝11.5（不符合题意）， ∴50不是奇巧数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 （2）设两个连续偶数为2n，2n＋2（其中n为正整数），由这两个连续偶 数构造的奇巧数是4的倍数吗？为什么？ 解：是.理由如下：∵（2n＋2）2－（2n）2＝4n2＋8n＋4－4n2＝8n＋4 ＝4（2n＋1）， ∴这两个连续偶数构造的奇巧数是4的倍数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 1. D 2. D　解析：由①和②可知，最佳选手的孪生同胞与最差选手不是同一个 人，因此一定是其中的三个人的年龄相同，布鲁斯先生很显然比他的儿子和 女儿大，则其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，由 此，布鲁斯先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞，所以布鲁斯先生 的儿子或女儿是最佳选手，最差选手是布鲁斯先生的妹妹.由①知，最佳选手 的孪生同胞一定是布鲁斯先生的儿子，则最佳选手就是布鲁斯先生的女儿.故 选D. 3. C　4.B　5.C　6.C 7. 解：小明的猜想不正确.理由如下：举反例，如当n＝7时，n2－6n＝7＞0. 数学·八年级上册　 8.1　1　1　1　错误 9.41　解析：因为剪开次数（刀）为1，绳子数量（段）为5， 剪开次数（刀）为2，绳子数量（段）为9， 所以每剪1次，绳子数量增加4段， 所以剪开次数（刀）为3，绳子数量（段）为9＋4＝13， 剪开次数（刀）为4，绳子数量（段）为13＋4＝17， …， 所以剪开次数（刀）为n，绳子数量（段）为4n＋1， 当n＝10时，4n＋1＝4×10＋1＝41. 10. （1）7 （2）5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92 数学·八年级上册　 （3）n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2 解析：（1）观察前面的等式：1＝12，等式左边1个数，起始数字是1，等式 右边底数是2×1－1＝1. 2＋3＋4＝32，等式左边3个数，起始数字是2，等式右边底数是2×2－1＝3. 3＋4＋5＋6＋7＝52，等式左边5个数，起始数字是3，等式右边底数是2×3－ 1＝5. 可以发现规律：等式左边数字的个数是从1开始的连续奇数，第m个等式左 边数字个数为2m－1；等式右边的底数是从1开始的连续奇数，第m个等式 右边底数为2m－1，且等式左边起始数字为m. 对于第4个等式，等式左边数字个数为2×4－1＝7，起始数字是4，等式右边 底数应该是7，即k＝7. 数学·八年级上册　 （2）根据上述规律，第5个等式左边起始数字是5，数字个数为2×5－1＝9. 等式左边为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13，等式右边底数为2×5－1＝9， 所以第5个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92. （3）根据上述规律，等式左边起始数字为n，数字个数为（2n－1），依次 为n，n＋1，n＋2，n＋3，…，3n－2，等式右边底数为（2n－1），所 以第n个等式为n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋…＋（3n－2）＝ （2n－1）2. 数学·八年级上册　 11. 解：（1）＞　＝　解析：当x＝－2时，代数式（x＋1）2－4x＝（－2 ＋1）2－4×（－2）＝1＋8＝9＞0； 当x＝1时，代数式（x＋1）2－4x＝（1＋1）2－4×1＝4－4＝0； 故答案为＞，＝. （2）猜想（x＋1）2－4x≥0.证明：∵（x＋1）2－4x＝x2＋2x＋1－4x＝ x2－2x＋1＝（x－1）2，而（x－1）2≥0， ∴（x＋1）2－4x≥0. （3）a2－8a＋20＝a2－8a＋16＋4＝（a－4）2＋4， ∵（a－4）2≥0，∴（a－4）2＋4≥4， ∴代数式a2－8a＋20的最小值为4. 数学·八年级上册　 12. 解：（1）∵36＝102－82，∴36是奇巧数. 设两个连续偶数为m，m＋2（m为偶数）， 则（m＋2）2－m2＝50，解得m＝11.5（不符合题意）， ∴50不是奇巧数. （2）是.理由如下：∵（2n＋2）2－（2n）2＝4n2＋8n＋4－4n2＝8n＋4＝4 （2n＋1）， ∴这两个连续偶数构造的奇巧数是4的倍数. 数学·八年级上册　 $第七章　证明 3　平行线的证明 第2课时　平行线的性质 数学·八年级上册　 1 A. 基础夯实 1. 三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　B　）. A. a⊥c B. a∥c C. a⊥c或a∥c D. 无法确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 2. 如图，已知∠DAC＝∠C，则与∠B相等的角是（　D　）. A. ∠BAC B. ∠C C. ∠DAC D. ∠EAD 第2题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 3. （2025•光明区期末） 杆秤是传统的计重工具.杆秤称重物时（如图）， AB∥CD，∠1＝86°，则∠2＝（　B　）. A. 84° B. 86° C. 94° D. 96° 第3题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 4. （2025•南山外国语集团模考）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任 意长为半径画弧，与OA，OB分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆 心，以大于 CD长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线OF上一点M作 MN∥OA，与OB相交于点N，∠MNB＝50°，则∠AOM＝（　B　）. A. 15° B. 25° C. 30° D. 50° B 第4题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 5. （2025•福田区红岭实验学校（上沙）月考）如图，AB∥CD，AE平分 ∠CAB交CD于点E，若∠C＝70°，则∠AED＝ ⁠. 第5题图 125°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 6. 如图，l1∥l2，l3与l1，l2相交.求证：∠1＝∠2. 证明：∵l1∥l2（已知）， ∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）. ∵∠3＝∠2（对顶角相等）， ∴∠1＝∠2（等量代换）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 7. 如图，l1∥l2，l3与l1，l2相交.求证：∠1＋∠2＝180°. 证明：∵l1∥l2（已知）， ∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）. 又∠2＋∠3＝180°（平角的定义）， ∴∠1＋∠2＝180°（等量代换）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 8. 如图，b∥a，c∥a，d与a，b，c相交.求证：b∥c. 证明：∵b∥a（已知）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）. ∵c∥a（已知）， ∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2＝∠3（等量代换）. ∴b∥c（同位角相等，两直线平行）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 B. 能力提升 9. （2024• 龙岗区期末）如图，AB∥DG，∠1＋∠2＝180°. （1）求证：AD∥EF； 证明：∵AB∥DG， ∴∠1＝∠BAD. 又∵∠1＋∠2＝180°， ∴∠BAD＋∠2＝180°， ∴EF∥AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 （2）若DG平分∠ADC，∠2＝140°，求∠B的度数. 解：∵∠1＋∠2＝180°，∠2＝140°， ∴∠1＝180°－∠2＝180°－140°＝40°. 又∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠GDC＝∠1＝40°. 又∵AB∥DG， ∴∠B＝∠GDC＝40°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 10. （2025• 罗湖区期末）如图，科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率， 物流公司引进了快递自动分拣流水线，如图1所示，图2是将部分流水线抽象 而成的数学模型示意图.已知AB∥CD，OE平分∠AOC，CF平分∠OCD. 试说明：∠EOF＋∠OFC＝180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 解：∵AB∥CD（已知）， ∴∠AOC＝∠HCD（两直线平行，内错角相等）. ∵OE平分∠AOC（已知）， ∴∠EOC＝ ∠AOC（角平分线的定义）. 同理，∠OCF＝ ∠HCD（角平分线的定义）. ∴∠EOC＝∠OCF（等量代换）， ∴OE∥CF（内错角相等，两直线平行）， ∴∠EOF＋∠OFC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 C. 拓展思维 11. （1）如图1，AB∥CD，求证：∠B＋∠D＝∠BED； 证明：如图1，过点E作EF∥AB，则∠1＝∠B. 又∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠2＝∠D， ∴∠B＋∠D＝∠1＋∠2， 即∠B＋∠D＝∠BED. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 （2）如图2，AB∥CD，试探求∠B，∠D与∠E之间的数量关系，并说明 理由； 解：∠E＝∠D－∠B，理由： 如图2，过点E作EF∥AB，则∠BEF＋∠B＝180°. ∵AB∥CD，∴EF∥CD， ∴∠DEF＋∠D＝180°. 又∵∠BEF－∠DEF＝∠BED， ∴180°－∠B－180°＋∠D＝∠BED， ∴∠BED＝∠D－∠B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 （3）拓展提升：如图3，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与 ∠CED，若∠BCE＝130°，求∠F的度数. 解：如图3，过点C作CP∥AB，则∠BCP＝∠ABC，∠ECP＝∠CED， ∴∠ABC＋∠CED＝∠BCP＋∠ECP＝∠BCE＝130°. 又∵BF，EF分别平分∠ABC，∠CED， ∴∠ABF＝ ∠ABC，∠DEF＝ ∠DEC， ∴∠ABF＋∠DEF＝ （∠ABC＋∠DEC）＝65°. 过点F作FM∥DE， 则∠BFM＝∠ABF，∠MFE＝∠DEF， ∴∠BFE＝∠BFM＋∠MFE＝∠ABF＋∠DEF＝65°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 1. B　2.D　3.B　4.B　5.125° 6. 证明：∵l1∥l2（已知）， ∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）. ∵∠3＝∠2（对顶角相等），∴∠1＝∠2（等量代换）. 7. 证明：∵l1∥l2（已知）， ∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）. 又∠2＋∠3＝180°（平角的定义）， ∴∠1＋∠2＝180°（等量代换）. 数学·八年级上册　 8. 证明：∵b∥a（已知）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）. ∵c∥a（已知）， ∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2＝∠3（等量代换）. ∴b∥c（同位角相等，两直线平行）. 数学·八年级上册　 9. （1）证明：∵AB∥DG，∴∠1＝∠BAD. 又∵∠1＋∠2＝180°，∴∠BAD＋∠2＝180°， ∴EF∥AD. （2）解：∵∠1＋∠2＝180°，∠2＝140°， ∴∠1＝180°－∠2＝180°－140°＝40°. 又∵DG是∠ADC的平分线，∴∠GDC＝∠1＝40°. 又∵AB∥DG，∴∠B＝∠GDC＝40°. 数学·八年级上册　 10. 解：∵AB∥CD（已知）， ∴∠AOC＝∠HCD（两直线平行，内错角相等）. ∵OE平分∠AOC（已知）， ∴∠EOC＝ ∠AOC（角平分线的定义）. 同理，∠OCF＝ ∠HCD（角平分线的定义）. ∴∠EOC＝∠OCF（等量代换）， ∴OE∥CF（内错角相等，两直线平行）， ∴∠EOF＋∠OFC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）. 数学·八年级上册　 11. （1）证明：如图1，过点E作EF∥AB，则∠1＝∠B. 又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠2＝∠D，∴∠B＋∠D＝∠1＋∠2，即∠B＋∠D＝∠BED. （2）解：∠E＝∠D－∠B，理由： 如图2，过点E作EF∥AB，则∠BEF＋∠B＝180°. ∵AB∥CD，∴EF∥CD， ∴∠DEF＋∠D＝180°. 又∵∠BEF－∠DEF＝∠BED，∴180°－∠B－180° ＋∠D＝∠BED， ∴∠BED＝∠D－∠B. 数学·八年级上册　 （3）解：如图3，过点C作CP∥AB， 则∠BCP＝∠ABC，∠ECP＝∠CED， ∴∠ABC＋∠CED＝∠BCP＋∠ECP＝∠BCE＝130°. 又∵BF，EF分别平分∠ABC，∠CED， ∴∠ABF＝ ∠ABC，∠DEF＝ ∠DEC， ∴∠ABF＋∠DEF＝ （∠ABC＋∠DEC）＝65°. 过点F作FM∥DE， 则∠BFM＝∠ABF，∠MFE＝∠DEF， ∴∠BFE＝∠BFM＋∠MFE＝∠ABF＋∠DEF＝65°. 数学·八年级上册　 $