专题03二次函数的应用暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

专题03二次函数的应用暑假预习讲义 ·能读懂实际问题情境，准确找出自变量、因变量，结合等量关系列出二次函数解析式，并根据实际意义确定自变量取值范围。 ·掌握二次函数最值求解方法，会结合顶点求整体最值，能处理限定自变量区间的区间最值问题。 ·分类掌握三类典型应用模型：几何图形面积最值、销售利润最值、抛体运动（高度）问题，理清每类题型的等量关系。 ·会利用二次函数图像与性质，结合数形结合分析最值、取值范围，读懂图像对应实际含义。 ·能规范书写应用题解题步骤：设变量→列函数→确定 x 范围→求最值→检验作答。 ·区分一次函数、二次函数应用题，识别出现平方关系、最值问题时选用二次函数模型。 ·规避常见易错点：忽略自变量取值范围、直接取顶点忽略区间端点、最值作答不联系实际题意。 预习必备 知识梳理 1.解题通用基础流程 2.二次函数求最值两种方法 3.实际问题与二次函数的联系 4.二次函数的实际应用 5.二次函数综合 6.核心重难点：区间求最值 7.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.图形问题(常考) 2.图形运动问题(常考+重点) 3.拱桥问题(常考) 4.销售问题(常+重难点) 5.投球问题(常考) 6.喷水问题(常考) 7.增长率问题 8.其他实际应用问题 9.线段周长问题 10.面积问题 11.角度问题 12.特殊三角形问题 13.特殊四边形问题 14.其他综合问题 强化题型 解答题10题 知识点01:解题通用基础流程（所有应用题统一步骤，答题标准） 1.设变量：根据题意设出自变量x，因变量y，明确两个变量实际含义； 2.建模型：梳理题目等量关系，列出二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0)； 3.定范围：结合实际场景确定自变量x取值范围（长度、人数、销量均为正数，部分题目有限定区间）； 4.求最值：结合自变量取值范围，计算函数最大值或最小值； 5.验作答：检验最值对应的x是否在取值范围内，最后完整写出答句。 知识点02:二次函数求最值两种方法 设函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 方法 1：配方法（化为顶点式） y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k) a>0，开口向上，当 x=h时，y最小=k； a<0，开口向下，当 x=h 时，y最大=k。 方法 2：顶点公式法 对称轴 x=-，最值 y= 关键注意点 实际问题中自变量存在取值区间，顶点不一定能取到，需对比区间端点函数值，确定真实最大 / 最小值。 知识点03:实际问题与二次函数的练习转化 知识点04:二次函数实际应用 问题类型 核心知识点 图形问题 用二次函数表示图形的面积 / 边长关系，求最值（如矩形、三角形面积最值） 图形运动问题 分析图形平移 / 旋转过程中，边长、面积的变化规律，建立二次函数模型 拱桥问题 以拱桥顶点为原点（或其他坐标系），用二次函数表示桥的轮廓，求高度、跨度 销售问题 结合 “单价 - 销量” 的变化关系，列总利润的二次函数，求最大利润 / 指定利润的单价 投球 / 喷水问题 用二次函数（h=at2+bt+c）表示物体的高度与时间 / 水平距离的关系，求最大高度、落地 / 落水位置 增长率问题 连续两次增长率为x时，总量y=a(1+x)2（a为初始量），分析增长最值 / 目标量对应的x 知识点05:二次函数综合 问题类型 核心知识点 线段周长问题 求抛物线上动点到定点 / 定直线的线段长度最值，或动点构成图形的周长最值（结合对称点转化） 面积问题 用 “铅垂高 × 水平宽”“割补法” 求动点与定点围成图形的面积，分析面积最值 角度问题 利用三角函数、斜率求角度，判断直角 / 特殊角（如 45°）的存在性 特殊三角形问题 分类讨论等腰 / 直角 / 等边三角形的存在性，结合距离公式、勾股定理列方程求解 特殊四边形问题 分析平行 / 矩形 / 菱形 / 正方形的存在性，利用对边平行 / 相等、对角线性质列条件 相似三角形问题 找对应角 / 对应边，利用相似比列比例式，结合函数表达式求解动点坐标 知识点06：核心重难点：区间最值求解方法 1. 无限制（全体实数） a>0，顶点纵坐标为函数最小值； a<0，顶点纵坐标为函数最大值。 2. 有限定自变量区间 m≤x≤n（应用题 90% 考此类） 分三步判断： （1）求出抛物线对称轴x=-； （2）判断对称轴是否落在[m,n]区间内； 情况 最值结论 对称轴在区间内 顶点取一个最值，区间两个端点对比取另一最值 对称轴在区间左侧 函数在区间单调，\(x=n\)取靠近顶点的最值 对称轴在区间右侧 函数在区间单调，\(x=m\)取靠近顶点的最值 （3）对比区间内所有临界点（顶点、左右端点）函数值，确定题目要求的最大 / 最小值。 知识点07：高频易错点（课堂重点强调） 1.遗漏自变量取值范围：直接用顶点求最值，忽略实际限制，答案不符合题意； 2.区间最值只算顶点：对称轴不在取值区间时，最值出现在端点； 3.利润公式列式错误：涨价降价后销量增减关系写反，单件利润符号出错； 4.几何边长忽略大于 0：求出的x使边长为负数，未舍去不合理解； 5.运动问题时间取舍：解方程h=0得到正负两个根，误取负时间； 6.答题不规范：只计算数值，不结合题意写答句，缺少检验步骤。 题型1.图形问题 【典例】用一根长的绳子围成一个矩形，该矩形的面积最大是__________． 【答案】/4平方米 【分析】本题考查了二次函数的性质，先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的性质求解． 【详解】解：设矩形的一边长为，所以另一边长为， 其面积为， ∴当时，的最大值为4， ∴该矩形的面积最大是． 故答案为：． 【跟踪专练1】设边长为的正方形的面积为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的知识，解题的关键是掌握二次函数图象的实际运用，根据题意，则且，即可． 【详解】根据题意，， ∴对称轴为轴； ∵为正方形的边长， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 【跟踪专练3】如图，在边长为10的正方形中，E，F，C，H分别是边，，，上的点，且．设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 本题需先设正方形的边长为，然后得出与是二次函数关系，从而得出函数的图象． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∴与的函数图象是A． 故选：A． 题型2.图形运动问题 【典例】如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示，直角三角形中，，且．设直线：截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 由题意得到三角形为等腰直角三角形，进而确定出三角形为等腰直角三角形，表示出与的函数解析式，画出大致图象即可． 【详解】解： Rt中，， 为等腰直角三角形， 直线， 为等腰直角三角形，即， ， 画出大致图象，如图所示， 故选B． 【跟踪专练2】如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经研究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象． （1）___________；（2）____________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，由图2可得：当点运动到点处时得出，勾股定理即可求解，当点P运动到点A处时，，由此可得的长，进而可得的长．理解题意，结合图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图2可得：当点在点处时，，即 如图，连接，在中，， 当点运动到点处时，， ∴， ∴． 故答案为：，． 【跟踪专练3】如图所示，直角三角形中，，且．设直线截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（     ） A． B． B． C．D． 【答案】C 【分析】设直线交于点，交于点，容易证明是等腰直角三角形，则，计算得，结合二次函数的图象与性质进行判断即可． 【详解】解：如图，设直线交于点，交于点， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴与之间是二次函数关系，且该二次函数的图象开口向下，只有选项C符合． 题型3.拱桥问题 【典例】位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨沁水河上．它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升2米后水面宽度为_____米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线表达式为，将点代入，求出a的值，可得到抛物线的解析式，再求出当时x的值，即可求解． 【详解】解：当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， 设抛物线表达式为， 将点代入得：， 解得， 抛物线表达式为， 当时，， 解得， 当水面上升2米后水面宽度为（米）， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】令，解方程即可求出水面的宽度． 【详解】解：根据题意，令，得： ， 解得：，， 所以水面宽为：米． 【跟踪专练2】如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 【答案】 【详解】根据图示建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用已知条件求出点的坐标并代入解析式求出的值，确定函数解析式，再根据水位上涨后的高度求出对应的值，再列式求出水面宽度，即可作答． 【点睛】解：设抛物线的解析式为. 由题意可知，抛物线顶点为原点，对称轴为轴， ∵，，且点在第四象限， 根据抛物线的对称性，点的横坐标为，纵坐标为， 即； 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当水位上涨时，水面到拱顶的距离变为． 此时水面上点的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∴水面的宽度：． 【跟踪专练3】如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，A、B为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点A与点B关于该抛物线的对称轴对称），点O在的延长线上，以所在直线为x轴，抛物线所在平面内过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点P在抛物线上，且在对称轴的右侧，点P到x轴的距离为，则点P到y轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定抛物线的对称轴为直线，解方程，结合已知求解即可； 【详解】解：因为抛物线关系式为， 所以抛物线的对称轴为直线， 因为点P在抛物线上，且在对称轴的右侧， 所以点P的横坐标大于32， 因为点P到x轴的距离为， 所以， 整理，得， 解得，24小于32，24舍去； 故点P到y轴的距离为； 题型4.销售问题 【典例】某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明标准房价格在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到________元时，客房的日营业收入最大． 【答案】150 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，通过建立日营业收入与房价提高量之间的二次函数关系，利用二次函数的性质求最大值，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：设房价提高个10元，则房价为元，日均入住数为间．设日营业收入为， 由题意可得：． 由于二次项系数，函数图象开口向下， 所以在对称轴处取得最大值． 此时房价为元，且150在元范围内． 故答案为：150． 【跟踪专练1】某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利润问题中的函数关系建立，解题的关键是明确利润的计算公式． 根据利润的计算公式，利润每件利润销售数量，每件利润为元，销售数量为件，代入公式即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：每件利润为元，销售数量为件， 每天的利润， 即函数关系式为， 故选：． 【跟踪专练2】曲靖市某超市一种商品进价为每件20元，售价为每件30元，每天可卖出100件．若每件降价1元，则每天可多卖10件．设降价x元，每天利润为y元，则y与x的函数关系式为______（不要求写x范围）． 【答案】 【分析】降价元后，每件商品的利润为元，每天的销售量为件，再根据总利润每件利润销售量列出关系式即可． 【详解】解：降价元后，每件商品的利润为元，每天的销售量为件， 由题意可得， 整理得． 【跟踪专练3】某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【答案】7 【分析】先求解，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为， 设单件水果利润为：元， ∴， ∵， ∴当时，单件利润的最大值为元． 题型5.投球问题 【典例】一个球从地面上竖直向上弹起的高度米与经过的时间秒的关系式为．当球的高度第一次达到米时，经过的时间为__________秒． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据题意，将高度代入关系式得到方程，解方程求时间，取较小根即为第一次达到的时间． 【详解】解：据题意得：， 整理得：， ， 解得：或， ∵第一次达到， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：函数， ， 该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 将代入得：， 即小球速度的最大值为． 【跟踪专练2】2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【分析】先求出点的横坐标为，设这条抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 【跟踪专练3】如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，得到 ，把代入解析式，确定值即可． 【详解】根据题意得 ， 抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为． 题型6.喷水问题 【典例】某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是______米． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴交点的横坐标差的绝对值，据此解答即可． 【详解】解：令， 解得：或， 所以抛物线与x轴交于点和， ∴水喷出的最远水平距离是米． 故答案为4． 【跟踪专练1】某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 【跟踪专练2】如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 【跟踪专练3】景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 【答案】米 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形通道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵通道宽为2米， ∴，即， ∵通道顶部到水柱的竖直距离均不小于2米， ∴，即， 即当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 题型7.增长率问题 【典例】为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．该药品的原价是元，第一次降价后是元，第二次降价后是元，据此解答即可． 【详解】解：根据题意， 故答案为：． 【跟踪专练1】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 【跟踪专练2】某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 【答案】 （或） 【详解】解：由题意可知第一年的利润为万元； 第二年的利润为万元； 第三年的利润为万元， 则（或）； 由于利润呈增长状态，因此增长率为正，即． 【跟踪专练3】共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型8.其他实际应用问题 【典例】某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 【答案】3.75 【分析】根据二次函数的最值问题进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，y取得最大值， ∴最佳加工时间为3.75分钟． 【跟踪专练1】伞是生活中常见的一种工具，其撑开后的形状近似抛物线．如图所示，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨的交点为原点建立平面直角坐标系，为抛物线与轴的交点，点在抛物线上，关于轴对称．已知抛物线的表达式为，若点到轴的距离是，则两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意并结合二次函数对称性，将代入解析式中求出横坐标，即可解题． 【详解】解：点到轴的距离是，关于轴对称． 当时，有， 解得， 两点之间的距离． 【跟踪专练2】某一型号的飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的函数关系是，该型号飞机着陆后需要滑行________s才能停下来． 【答案】 【分析】飞机停下来时滑行距离取得最大值，该函数为开口向下的二次函数，顶点处取得最大值，求出顶点横坐标即可得到停下所需的时间． 【详解】解：整理函数得 抛物线开口向下，顶点处取得最大值，对应飞机停下的时刻， 二次函数的顶点横坐标为， 将 代入得， 即该型号飞机着陆后需要滑行才能停下来． 【跟踪专练3】电暖气（如图1）可以通过旋钮开关调节电路的总电阻来控制电流的变化，从而实现功率的改变．在额定功率范围内，电暖气电路的电流I（单位：A）与实际功率P（单位：W）的二次函数图象如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．P与I的函数关系式是 C．在额定功率范围内，P随I的增大而增大 D．I每增加，P的增加量相同 【答案】D 【分析】根据图像中提供的信息可以判断A；待定系数法求出函数解析式即可判断B；根据函数性质进行求解，即可判断C；根据函数性质进行求解． 【详解】解：由题图2可知，当时，，故选项A中结论正确，不符合题意； 根据题意，设P与I的函数关系式为（，），把点代入，得， ， ∴P与I的函数关系式是，故选项B中结论正确，不符合题意； 由题图2可知，在额定功率范围内，P随I的增大而增大，故选项C中结论正确，不符合题意； I每增加，P的增加量不相同，故选项D中结论错误，符合题意． 题型9.线段周长问题 【典例】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为． （1）抛物线的顶点坐标是___________． （2）已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，点P的坐标是___________． 【答案】 【分析】（1）利用待定系数法求得解析式中m的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （2）首先连接BC交抛物线的对称轴l于P点，此时的值最小时，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）把点代入抛物线，解得， ∴该抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）连接BC，交抛物线的对称轴l于一点，由抛物线的对称性可知，该点即为所求的点P， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为， 设直线BC的函数表达式为， 把和代入，得： 解得：， ∴直线BC的函数表达式为． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，即当的值最小时，点P的坐标为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题，注意找到P点的位置是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．点C、D为线段AB的三等分点，分别过点C、D作x轴的垂线，交抛物线于点E、F，连接EF．若CE=16，则线段EF的长为________________． 【答案】 【分析】设 ， 与 轴的交点为H，根据C，D为三等分点可得所以 即 进而求出C的纵坐标为 ，则 解得 这样就可以求出、 的坐标，从而求得． 【详解】解：设， 与 轴的交点为H， 根据题意可得， C的纵坐标为 则，解得 故答案为 ． 【点睛】本题考查二次函数对称性、直角坐标系中点的坐标与线段长度的关系的知识点，熟练掌握点的坐标与线段长度计算是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， 当时，C有最大值． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 题型10.面积问题 【典例】，分别为抛物线与轴的两个交点，且为顶点．当的面积最大时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的综合应用；根据解析式得出抛物线的顶点为，当最大时，的面积最大，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：抛物线 该抛物线的顶点为 当最大时，的面积最大， 当时，最大为，即为时的面积最大 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，先求出点B和点C的坐标，进而求出的长，再由等腰直角三角形的定义得到的长，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：在中，当时，或， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 【答案】 【分析】先求出，对称轴为直线，从而可得点和点关于对称轴对称，轴，求出，即可得出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，即， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵点在第二象限的抛物线上，， ∴点和点关于对称轴对称，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【跟踪专练3】如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线和三角形面积，令得一元二次方程，求解可得点A，B的坐标，进一步由三角形面积公式可得结论． 【详解】解：对于 令，得 解得，，， ∴，， ∴    ∴． 故选：C． 题型11.角度问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 【跟踪专练1】若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 【答案】 【分析】根据直线与抛物线交于、两点，可列出关于 x 的一元二次方程并求解，可得到 x 的值；过点 M 和点 N 作交于 G ，通过直角三角形勾股定理，推导得，将、两点坐标代入，通过代入一元二次方程的解和一次函数解析式，得到关于 a 的方程并求解． 【详解】解：∵直线与抛物线交于两点 设两点坐标分别为：，且， ， ， 如图，过点 M 和点 N 作交于 G， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、直角三角形勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理的性质，从而完成求解． 【跟踪专练2】如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，表示出的坐标是解题的关键．过点作轴于点，构造等腰直角，设，根据等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解析式得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：二次函数中，令，则， 解得，， ，， 过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在二次函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， 故选：． 题型12.特殊三角形问题 【典例】如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定等，求得关键点的坐标是解题的重点． 利用平移规律求得平移后的函数解析式，即可求得的坐标，基本求得点的坐标，由等腰三角形的性质可知点的纵坐标为 2 ，代入新的函数解析式即可求解． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移 2 个单位长度，得到，即， ， 把代入得， ， ， 若新抛物线存在点使以为底的等腰三角形，则点的纵坐标为 2 ， 把代入，解得：， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理的应用；先根据解析式求得，，二次函数图象的对称轴为直线，进而设，根据勾股定理表示出，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：当时，，则 当时，， 解得： ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， 设， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 当时，，即． 解得，此时（与点重合，舍去） 当时， 解得，此时 综上所述：或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键；过点P作轴于点E，由题意易得，然后可得，则有，进而代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：过点P作轴于点E，如图所示： 令，则有，解得：， 令时，则， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为． 【跟踪专练3】如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 题型13.特殊四边形问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点A在抛物线y＝﹣4x2+c上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点D，分别过点A、D作x轴的垂线交x轴于B、C两点．当四边形ABCD为正方形时，抛物线的顶点到线段AD的距离比AD长2，则c的值为 _____． 【答案】6 【分析】设，根据抛物线的顶点到线段AD的距离比AD长2，求得的值，根据四边形ABCD为正方形，即可求得的值． 【详解】设，则， ， ， 或（舍去）， ， 四边形ABCD为正方形， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，设参数解决问题是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，根据二次函数的表达式求出点B的坐标为，根据正方形的性质可以求出点A的坐标，进而求出点A的坐标，进而求解． 【详解】解：当时，，故B点坐标为， 过点A作于D， ∵四边形是正方形， ∴上等腰直角三角形， ∴， ∴A点坐标为， ∵二次函数的图象经过正方形的顶点A， ∴， 解得， ∴A点坐标为， ∵平移后的抛物线顶点为点， ∴平移后抛物线的表达式为． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，四边形和四边形都是正方形，点A在x轴正半轴上，点C、F在y轴正半轴上，点D在线段上，点B为抛物线的顶点．点E在此抛物线上，则点E的坐标为________． 【答案】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标为，再结合正方形的性质可得，可求出a的值，设，则点，把点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∵点B为抛物线的顶点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 设，则点， 把点代入得： ， 解得：或2（舍去）， ∴点E的坐标为． 【跟踪专练3】如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，抛物线经过顶点．若，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，连接，设，根据，求得点的坐标，进而求得菱形的边长，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】过点作轴交轴于点，连接， ∵ ∴ ∴，， ∵抛物线经过顶点 ∴设， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴， ∴, ∵菱形， ∴， 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴菱形的面积为 故选：A． 题型14.其他综合问题 【典例】已知抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为_____． 【答案】4 【分析】抛物线与直线有且只有一个交点，说明联立两个解析式得到的一元二次方程判别式为，据此列方程求解即可得到的值. 【详解】解：抛物线与直线有且只有一个交点 联立两个解析式得 整理得 该一元二次方程判别式 即 化简得 解得 ； 【跟踪专练1】小明同学利用计算机软件绘制函数图象，判断点（m为任意实数）与抛物线（a为常数，）的位置关系，则点P一定不在抛物线上的点的个数是（   ） A．只有1个 B．只有两个 C．只有3个 D．3个以上 【答案】C 【分析】本题考查二次函数上点的坐标，把代入得到， 根据方程解得情况解答即可． 【详解】解：把代入得到： ， 当且时，a不存在， 即或时，点P一定不在抛物线上， 当时，，则，不符合题意， 即时，点P一定不在抛物线上， 故答案为：C． 【跟踪专练2】已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时，该抛物线的顶点到达最高处 D．该抛物线与没有交点 【答案】A 【分析】根据抛物线开口方向，结合与x轴交点性质、顶点坐标特征、联立方程判断交点个数，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵抛物线 的二次项系数 ∴抛物线开口向下，且与轴交于，，， 对选项A：点在抛物线上，当时，，A正确； 对选项B：当时，可得或，B错误； 对选项C：将抛物线配方得 ，顶点纵坐标为， ∵，当时顶点纵坐标最小，该抛物线的顶点没有到达最高处，C错误； 对选项D：联立与， 消去整理得 ， 该方程判别式 ，总有实数根， ∴抛物线与直线总有交点，D错误． 【跟踪专练3】设二次函数的图象的顶点坐标分别为，，若，且二次项系数同号，则称是的“和等顶二次函数”． （1）请写出二次函数的一个“和等顶二次函数”______； （2）已知关于x的二次函数和二次函数（），若函数恰是的“和等顶二次函数”，则n的值为______． 【答案】 （答案不唯一）； 2 【分析】（1）先求出的顶点坐标，根据“和等顶二次函数”的定义求解即可； （2）先分别求出两个函数的顶点坐标，再根据“和等顶二次函数”的定义列出n的方程，求解方程即可． 【详解】解：（1）∵，∴顶点是， ∴，， ∵， 设， ∴，， 即它的“和等顶二次函数”的顶点是， ∴它的“和等顶二次函数”为（答案不唯一）； （2）∵，， ∴的顶点是，的顶点是， 根据新定义得， 整理得， ∴， ∴（舍去），． 解答题 1．阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)、小、 (2)、大、5 (3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 2．如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点A与点N重合． (1)试写出两图形重叠部分的面积与线段MA的长度之间的函数关系式． (2)当点A从点M开始向右移动时，重叠部分的面积是多少？ 【答案】(1)（）． (2) 【分析】（1）根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据的长度可得出y与x的关系； （2）将代入可得出重叠部分的面积． 【详解】（1）解：由题意知，开始时A点与M点重合， 让向右移动，最后点A与点N重合， 两图形重合的长度为， （）． （2）解：当时， 即， 重叠部分的面积 （）． 3．如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据得，根据桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为，可设抛物线解析式为，求解即可； （2）根据题意，得当时，，求解即可； 【详解】（1）解：根据得，桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为， 故、、， 设抛物线为      解得， ∴桥洞所对应的抛物线的解析式为； （2）解： ∴当时，， 解得， ∴横幅长为：米； 4．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元 【分析】（1）根据“单价每涨1元，销量少2本”,用基础销量减去涨价减少的销量，列出一次函数； （2）单本利润=售价进价，总利润单本利润销量，得到二次函数；二次函数开口向下，对称轴左侧随增大而增大，结合售价上限，取时利润最大． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：． （2）解：， ，开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ， ∴当时，W最大， 此时（元）， 答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元． 5．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【答案】(1)抛物线的解析式为：，不能射进球门 (2)1 【分析】（1）判断出抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点的坐标代入可得的值，进而取，求得对应的的值，与2.44比较，即可判断能否射进球门； （2）移动后的抛物线的解析式为：，把代入求得合适的的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能射进球门； （2）解：设向后方移动，则移动后的抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴向后移动才能让足球经过点正上方处． 【点睛】本题考查二次函数的应用．用顶点式表示出二次函数的解析式是解决本题的关键；用到的知识点为：二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减． 6．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑的高； (2)求落水点C、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1)雕塑的高为 (2) (3)当时，， ∴点在抛物线上． 又∵， ∴顶部不会碰到水柱． 【分析】（1）直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴点的坐标为， ∴雕塑的高为． （2）解：当时，， 解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴． ∵从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴， ∴． （3）略 7．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 8．已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①连接，根据题意可得点，，从而得到当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即，再求出点，可证明四边形为菱形，即可求解； ②在射线上取点G，使，连接，证明为等腰直角三角形，可得，可证明为等腰直角三角形，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， ∵将点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点E的坐标为； （2）解：①如图，连接， ∵，， ∴轴，， ∴， ∴点，， ∵， ∴当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即， 对于， 当时，， ∴点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为； ②如图，在射线上取点G，使，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴轴，即， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即的最小值为． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)， 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）利用铅锤高，水平宽，得到当的面积取得最大值时取最大值，即可求得点；利用轴对称的性质求得的最小值； （3）根据平移的性质求得新抛物线的解析式，求得点的坐标，即可求得，再利用求一次函数与抛物线的交点，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 把代入， 可得，解得， ∴ （2）解：令， 解得， ， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点， ， 当最大时，的面积取得最大值， 设点，则， ， 当时，的面积取得最大值， 此时， 如图，将向下平移个单位到，使点与点重合，作关于对称轴直线的对称点，连接， ， 根据平移可得， 根据对称可得， ， 即的最小值为； （3）解：， ， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向下平移3个单位，向右平移3个单位， ，，即， 如图，过点作轴，交于点，设与轴交于点， 则， ，， ， ， ， 即， ， 当在轴上方时，， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 列方程， 整理得， ，无解； 当在轴下方时，， 设直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 列方程， 整理得， 解得，； ，． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该抛物线的对称轴上有一点，是否在该抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形．如果存在，求出所有符合条件的点的坐标．如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，再设，然后根据平行四边形得到，则，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点 ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在， 对于抛物线，可得对称轴为直线， 设 ∵点为顶点的四边形是以为边的平行四边形 ∴， ∴ ∴ 解得或 ∴或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函数的应用暑假预习讲义 ·能读懂实际问题情境，准确找出自变量、因变量，结合等量关系列出二次函数解析式，并根据实际意义确定自变量取值范围。 ·掌握二次函数最值求解方法，会结合顶点求整体最值，能处理限定自变量区间的区间最值问题。 ·分类掌握三类典型应用模型：几何图形面积最值、销售利润最值、抛体运动（高度）问题，理清每类题型的等量关系。 ·会利用二次函数图像与性质，结合数形结合分析最值、取值范围，读懂图像对应实际含义。 ·能规范书写应用题解题步骤：设变量→列函数→确定 x 范围→求最值→检验作答。 ·区分一次函数、二次函数应用题，识别出现平方关系、最值问题时选用二次函数模型。 ·规避常见易错点：忽略自变量取值范围、直接取顶点忽略区间端点、最值作答不联系实际题意。 预习必备 知识梳理 1.解题通用基础流程 2.二次函数求最值两种方法 3.实际问题与二次函数的联系 4.二次函数的实际应用 5.二次函数综合 6.核心重难点：区间求最值 7.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.图形问题(常考) 2.图形运动问题(常考+重点) 3.拱桥问题(常考) 4.销售问题(常+重难点) 5.投球问题(常考) 6.喷水问题(常考) 7.增长率问题 8.其他实际应用问题 9.线段周长问题 10.面积问题 11.角度问题 12.特殊三角形问题 13.特殊四边形问题 14.其他综合问题 强化题型 解答题10题 知识点01:解题通用基础流程（所有应用题统一步骤，答题标准） 1.设变量：根据题意设出自变量x，因变量y，明确两个变量实际含义； 2.建模型：梳理题目等量关系，列出二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0)； 3.定范围：结合实际场景确定自变量x取值范围（长度、人数、销量均为正数，部分题目有限定区间）； 4.求最值：结合自变量取值范围，计算函数最大值或最小值； 5.验作答：检验最值对应的x是否在取值范围内，最后完整写出答句。 知识点02:二次函数求最值两种方法 设函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 方法 1：配方法（化为顶点式） y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k) a>0，开口向上，当 x=h时，y最小=k； a<0，开口向下，当 x=h 时，y最大=k。 方法 2：顶点公式法 对称轴 x=-，最值 y= 关键注意点 实际问题中自变量存在取值区间，顶点不一定能取到，需对比区间端点函数值，确定真实最大 / 最小值。 知识点03:实际问题与二次函数的练习转化 知识点04:二次函数实际应用 问题类型 核心知识点 图形问题 用二次函数表示图形的面积 / 边长关系，求最值（如矩形、三角形面积最值） 图形运动问题 分析图形平移 / 旋转过程中，边长、面积的变化规律，建立二次函数模型 拱桥问题 以拱桥顶点为原点（或其他坐标系），用二次函数表示桥的轮廓，求高度、跨度 销售问题 结合 “单价 - 销量” 的变化关系，列总利润的二次函数，求最大利润 / 指定利润的单价 投球 / 喷水问题 用二次函数（h=at2+bt+c）表示物体的高度与时间 / 水平距离的关系，求最大高度、落地 / 落水位置 增长率问题 连续两次增长率为x时，总量y=a(1+x)2（a为初始量），分析增长最值 / 目标量对应的x 知识点05:二次函数综合 问题类型 核心知识点 线段周长问题 求抛物线上动点到定点 / 定直线的线段长度最值，或动点构成图形的周长最值（结合对称点转化） 面积问题 用 “铅垂高 × 水平宽”“割补法” 求动点与定点围成图形的面积，分析面积最值 角度问题 利用三角函数、斜率求角度，判断直角 / 特殊角（如 45°）的存在性 特殊三角形问题 分类讨论等腰 / 直角 / 等边三角形的存在性，结合距离公式、勾股定理列方程求解 特殊四边形问题 分析平行 / 矩形 / 菱形 / 正方形的存在性，利用对边平行 / 相等、对角线性质列条件 相似三角形问题 找对应角 / 对应边，利用相似比列比例式，结合函数表达式求解动点坐标 知识点06：核心重难点：区间最值求解方法 1. 无限制（全体实数） a>0，顶点纵坐标为函数最小值； a<0，顶点纵坐标为函数最大值。 2. 有限定自变量区间 m≤x≤n（应用题 90% 考此类） 分三步判断： （1）求出抛物线对称轴x=-； （2）判断对称轴是否落在[m,n]区间内； 情况 最值结论 对称轴在区间内 顶点取一个最值，区间两个端点对比取另一最值 对称轴在区间左侧 函数在区间单调，\(x=n\)取靠近顶点的最值 对称轴在区间右侧 函数在区间单调，\(x=m\)取靠近顶点的最值 （3）对比区间内所有临界点（顶点、左右端点）函数值，确定题目要求的最大 / 最小值。 知识点07：高频易错点（课堂重点强调） 1.遗漏自变量取值范围：直接用顶点求最值，忽略实际限制，答案不符合题意； 2.区间最值只算顶点：对称轴不在取值区间时，最值出现在端点； 3.利润公式列式错误：涨价降价后销量增减关系写反，单件利润符号出错； 4.几何边长忽略大于 0：求出的x使边长为负数，未舍去不合理解； 5.运动问题时间取舍：解方程h=0得到正负两个根，误取负时间； 6.答题不规范：只计算数值，不结合题意写答句，缺少检验步骤。 题型1.图形问题 【典例】用一根长的绳子围成一个矩形，该矩形的面积最大是__________． 【跟踪专练1】设边长为的正方形的面积为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【跟踪专练3】如图，在边长为10的正方形中，E，F，C，H分别是边，，，上的点，且．设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A． B． C． D． 题型2.图形运动问题 【典例】如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 【跟踪专练1】如图所示，直角三角形中，，且．设直线：截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经研究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象． （1）___________；（2）____________． 【跟踪专练3】如图所示，直角三角形中，，且．设直线截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（     ） A． B． B． C．D． 题型3.拱桥问题 【典例】位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨沁水河上．它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升2米后水面宽度为_____米． 【跟踪专练1】如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【跟踪专练2】如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 【跟踪专练3】如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，A、B为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点A与点B关于该抛物线的对称轴对称），点O在的延长线上，以所在直线为x轴，抛物线所在平面内过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点P在抛物线上，且在对称轴的右侧，点P到x轴的距离为，则点P到y轴的距离为（     ） A． B． C． D． 题型4.销售问题 【典例】某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明标准房价格在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到________元时，客房的日营业收入最大． 【跟踪专练1】某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】曲靖市某超市一种商品进价为每件20元，售价为每件30元，每天可卖出100件．若每件降价1元，则每天可多卖10件．设降价x元，每天利润为y元，则y与x的函数关系式为______（不要求写x范围）． 【跟踪专练3】某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 题型5.投球问题 【典例】一个球从地面上竖直向上弹起的高度米与经过的时间秒的关系式为．当球的高度第一次达到米时，经过的时间为__________秒． 【跟踪专练1】如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【跟踪专练3】如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 题型6.喷水问题 【典例】某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是______米． 【跟踪专练1】某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【跟踪专练3】景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 题型7.增长率问题 【典例】为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式为______． 【跟踪专练1】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 【跟踪专练3】共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 题型8.其他实际应用问题 【典例】某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 【跟踪专练1】伞是生活中常见的一种工具，其撑开后的形状近似抛物线．如图所示，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨的交点为原点建立平面直角坐标系，为抛物线与轴的交点，点在抛物线上，关于轴对称．已知抛物线的表达式为，若点到轴的距离是，则两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某一型号的飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的函数关系是，该型号飞机着陆后需要滑行________s才能停下来． 【跟踪专练3】电暖气（如图1）可以通过旋钮开关调节电路的总电阻来控制电流的变化，从而实现功率的改变．在额定功率范围内，电暖气电路的电流I（单位：A）与实际功率P（单位：W）的二次函数图象如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．P与I的函数关系式是 C．在额定功率范围内，P随I的增大而增大 D．I每增加，P的增加量相同 题型9.线段周长问题 【典例】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为． （1）抛物线的顶点坐标是___________． （2）已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，点P的坐标是___________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．点C、D为线段AB的三等分点，分别过点C、D作x轴的垂线，交抛物线于点E、F，连接EF．若CE=16，则线段EF的长为________________． 【跟踪专练2】如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 【跟踪专练3】如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 题型10.面积问题 【典例】，分别为抛物线与轴的两个交点，且为顶点．当的面积最大时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是__________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 【跟踪专练3】如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 题型11.角度问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为______． 【跟踪专练1】若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 【跟踪专练2】如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 题型12.特殊三角形问题 【典例】如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________． 【跟踪专练1】如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标______． 【跟踪专练2】如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 【跟踪专练3】如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 题型13.特殊四边形问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点A在抛物线y＝﹣4x2+c上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点D，分别过点A、D作x轴的垂线交x轴于B、C两点．当四边形ABCD为正方形时，抛物线的顶点到线段AD的距离比AD长2，则c的值为 _____． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，四边形和四边形都是正方形，点A在x轴正半轴上，点C、F在y轴正半轴上，点D在线段上，点B为抛物线的顶点．点E在此抛物线上，则点E的坐标为________． 【跟踪专练3】如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，抛物线经过顶点．若，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C．4 D． 题型14.其他综合问题 【典例】已知抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为_____． 【跟踪专练1】小明同学利用计算机软件绘制函数图象，判断点（m为任意实数）与抛物线（a为常数，）的位置关系，则点P一定不在抛物线上的点的个数是（   ） A．只有1个 B．只有两个 C．只有3个 D．3个以上 【跟踪专练2】已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时，该抛物线的顶点到达最高处 D．该抛物线与没有交点 【跟踪专练3】设二次函数的图象的顶点坐标分别为，，若，且二次项系数同号，则称是的“和等顶二次函数”． （1）请写出二次函数的一个“和等顶二次函数”______； （2）已知关于x的二次函数和二次函数（），若函数恰是的“和等顶二次函数”，则n的值为______． 解答题 1．阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 2．如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点A与点N重合． (1)试写出两图形重叠部分的面积与线段MA的长度之间的函数关系式． (2)当点A从点M开始向右移动时，重叠部分的面积是多少？ 3．如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 4．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 5．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 6．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑的高； (2)求落水点C、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 7．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 8．已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该抛物线的对称轴上有一点，是否在该抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形．如果存在，求出所有符合条件的点的坐标．如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $