专题09立方根暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题09立方根暑假预习讲义 ·理解立方根定义，区分平方根与立方根的概念，掌握开立方运算，清楚立方与开立方互为逆运算。 ·牢记立方根符号，分清根指数 3 不能省略，能准确识别被开方数、根指数。 ·掌握立方根核心性质：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根是 0；任意实数都有唯一立方根。 ·熟练基础恒等式：=a、()3=a，会化简含立方根的简单式子。 ·会用夹逼法估算立方根的取值范围，能确定无理立方根的整数、小数部分。 ·会比较含立方根实数的大小，掌握估算法、立方比较法两种常用方法。 ·能借助立方根解决简单几何问题（已知正方体体积求棱长），建立数形结合认知。 ·对比平方根与立方根的区别，规避易错点：负数无平方根但有立方根、立方根根指数不可省略 预习必备 知识梳理 1.立方根的定义 2.立方根的核心性质 3.三大万能恒等式 4.开平方与开立方区别 5.立方根与平方根的区别 6.常用完全立方数表 7.立方根的计算方法 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.立方根概念理解 2.求一个数的立方根 3.由一个是的立方根，求这个数 4.立方根的实际应用 5.与立方根有关的规律探索 6.算术平方根和立方的综合应用 7.计算器-平方根和立方根 强化题型 解答题5题 知识点 01 ：立方根的定义 1. 定义 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。也就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 注意：一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，左上角数字3是根指数。开立方运算和立方运算互为逆运算。 2.立方根的特征 文字规律：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 注意：任何实数都存在立方根，任意一个数的立方根有且只有 1 个；非零数的立方根符号与原数符号保持一致；互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数。 【易错提醒】 立方根定义易错警示：若x3=a，则x是a的立方根，标准记法为。全体实数都有唯一立方根，立方根符号与被开方数保持一致，被开方数可以是正数、负数、0。做题时一定要和平方根区分开：负数不存在平方根，但负数一定有立方根。 知识点02：立方根核心性质（必背，辨析题核心） 1. 基础性质（实数范围内通用） 核心结论：任意一个实数，有且只有一个立方根 被开方数符号 立方根符号 示例 正数 正数 =2（正→正） 负数 负数 =-2（负→负） 0 0 =0 2. 符号迁移性质（化简关键） =- 文字解读：负数的立方根，可以把根号内的负号直接移到根号外面，先求正数的立方根，再添负号； 核心价值：把负数开立方转化为正数开立方，降低计算难度； 示例：=-=-6。 知识点03：三大万能恒等式（化简计算题必考） 对任意实数a，以下三个式子恒成立，是化简、判断对错的核心依据： 恒等式 含义解读 示例 ()3=a 先对a开立方，再把结果立方，最终还原为原数a ()3=-10 =a 先把a立方，再开立方，结果直接等于原数a，无需加绝对值（和平方根核心区别） =-4，=5 =- 根号内的负号可自由移出根号，简化负数立方根计算 =-=-5 知识点04：开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点05:立方根与平方根的区别 知识点06：常用完全立方数表（口算、快速开立方基础） 正整数n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点07：立方根的计算方法（课堂核心技能训练） 1. 整数 / 小数开立方（直接计算） 步骤： 1 把被开方数拆成已知完全立方数的乘积； 2 利用开立方的性质拆分计算； 3 最终化简结果。 2. 立方根估算（夹逼法，无理数估值核心） 适用场景：无法开尽的立方无理数，求整数部分、小数部分、取值范围。 步骤： 1 找到与被开方数相邻的两个完全立方数； 2 确定立方根的取值区间； 3 进一步可细化估算小数部分。 3. 立方根大小比较方法 方法 适用场景 操作步骤 估算法 所有含立方根的数 先估算出每个立方根的近似值，再直接比较小数大小 立方比较法 两个数比较大小（最常用） 对两个数同时立方，立方后数值大的，原数更大 知识点08：高频易错点 易错类型 错误做法 正确做法 书写格式 写立方根漏写根指数 3 必须书写，3 不可省略 概念混淆 认为负数没有立方根 负数有唯一负立方根，负数无平方根 化简公式 化简加绝对值 =a，无需绝对值 符号计算 =3 =-=-3 应用题 体积求棱长保留负数解 棱长大于 0，只取正的立方根 题型1.立方根概念理解 【典例】若有意义，则x的取值范围是_________． 【跟踪专练1】下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若， ，那么 ______． 【跟踪专练3】对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 题型2.求一个数的立方根 【典例】若，则x的值为__________． 【跟踪专练1】已知，则的值是_______． 【跟踪专练2】若a是的平方根，则（    ） A．－3 B． C．或 D．3或－3 【跟踪专练3】跟华罗庚学猜数：据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题；一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：①，，又，，能确定59319的立方根是个两位数．②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9．③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．按这种方法求立方根，请求出195112的立方根是________． 题型3.由一个数的立方根，求这个数 【典例】已知的立方根是，则____________． 【跟踪专练1】若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【跟踪专练2】已知，且与互为相反数，则y的值为______． 【跟踪专练3】若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 题型4.立方根的实际应用 【典例】已知一个正方体的棱长为，若它的体积变为原来的27倍，则改变后正方体的棱长为_______． 【跟踪专练1】如图，在做浮力实验时，某学生用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积，忽略浸入水中的细线的体积）为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于（     ）两个相邻的整数之间 A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【跟踪专练2】如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．图中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，则正方形的边长为______． 【跟踪专练3】如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 题型5.与立方根有关的规律探索 【典例】，，则______． 【跟踪专练1】小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【跟踪专练2】已知，，依据立方根运算规律得：______． 【跟踪专练3】根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 题型6.算术平方根和立方根的综合应用 【典例】若是的算术平方根，，则的立方根为________． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 【跟踪专练3】已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 题型7.计算器-平方根和立方根 【典例】利用计算器计算时，按键，显示结果是_____． 【跟踪专练1】科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对于初中数学的学习，《新课程标准》要求在设计开方运算时需要使用计算器．如图是某型号学生用及计算器，依次按下得到的结果为：___________． 【跟踪专练3】小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．化简： (1)； (2)； (3)． 2．已知一个正数x的两个不同的平方根分别为和，b的立方根是，求的值． 3．已知为的算术平方根，为的立方根，求的平方根． 4．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与表示的点重合，那么点在数轴上表示的数为_____________． 5．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09立方根暑假预习讲义 ·理解立方根定义，区分平方根与立方根的概念，掌握开立方运算，清楚立方与开立方互为逆运算。 ·牢记立方根符号，分清根指数 3 不能省略，能准确识别被开方数、根指数。 ·掌握立方根核心性质：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根是 0；任意实数都有唯一立方根。 ·熟练基础恒等式：=a、()3=a，会化简含立方根的简单式子。 ·会用夹逼法估算立方根的取值范围，能确定无理立方根的整数、小数部分。 ·会比较含立方根实数的大小，掌握估算法、立方比较法两种常用方法。 ·能借助立方根解决简单几何问题（已知正方体体积求棱长），建立数形结合认知。 ·对比平方根与立方根的区别，规避易错点：负数无平方根但有立方根、立方根根指数不可省略 预习必备 知识梳理 1.立方根的定义 2.立方根的核心性质 3.三大万能恒等式 4.开平方与开立方区别 5.立方根与平方根的区别 6.常用完全立方数表 7.立方根的计算方法 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.立方根概念理解 2.求一个数的立方根 3.由一个是的立方根，求这个数 4.立方根的实际应用 5.与立方根有关的规律探索 6.算术平方根和立方的综合应用 7.计算器-平方根和立方根 强化题型 解答题5题 知识点 01 ：立方根的定义 1. 定义 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。也就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 注意：一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，左上角数字3是根指数。开立方运算和立方运算互为逆运算。 2.立方根的特征 文字规律：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 注意：任何实数都存在立方根，任意一个数的立方根有且只有 1 个；非零数的立方根符号与原数符号保持一致；互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数。 【易错提醒】 立方根定义易错警示：若x3=a，则x是a的立方根，标准记法为。全体实数都有唯一立方根，立方根符号与被开方数保持一致，被开方数可以是正数、负数、0。做题时一定要和平方根区分开：负数不存在平方根，但负数一定有立方根。 知识点02：立方根核心性质（必背，辨析题核心） 1. 基础性质（实数范围内通用） 核心结论：任意一个实数，有且只有一个立方根 被开方数符号 立方根符号 示例 正数 正数 =2（正→正） 负数 负数 =-2（负→负） 0 0 =0 2. 符号迁移性质（化简关键） =- 文字解读：负数的立方根，可以把根号内的负号直接移到根号外面，先求正数的立方根，再添负号； 核心价值：把负数开立方转化为正数开立方，降低计算难度； 示例：=-=-6。 知识点03：三大万能恒等式（化简计算题必考） 对任意实数a，以下三个式子恒成立，是化简、判断对错的核心依据： 恒等式 含义解读 示例 ()3=a 先对a开立方，再把结果立方，最终还原为原数a ()3=-10 =a 先把a立方，再开立方，结果直接等于原数a，无需加绝对值（和平方根核心区别） =-4，=5 =- 根号内的负号可自由移出根号，简化负数立方根计算 =-=-5 知识点04：开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点05:立方根与平方根的区别 知识点06：常用完全立方数表（口算、快速开立方基础） 正整数n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点07：立方根的计算方法（课堂核心技能训练） 1. 整数 / 小数开立方（直接计算） 步骤： 1 把被开方数拆成已知完全立方数的乘积； 2 利用开立方的性质拆分计算； 3 最终化简结果。 2. 立方根估算（夹逼法，无理数估值核心） 适用场景：无法开尽的立方无理数，求整数部分、小数部分、取值范围。 步骤： 1 找到与被开方数相邻的两个完全立方数； 2 确定立方根的取值区间； 3 进一步可细化估算小数部分。 3. 立方根大小比较方法 方法 适用场景 操作步骤 估算法 所有含立方根的数 先估算出每个立方根的近似值，再直接比较小数大小 立方比较法 两个数比较大小（最常用） 对两个数同时立方，立方后数值大的，原数更大 知识点08：高频易错点 易错类型 错误做法 正确做法 书写格式 写立方根漏写根指数 3 必须书写，3 不可省略 概念混淆 认为负数没有立方根 负数有唯一负立方根，负数无平方根 化简公式 化简加绝对值 =a，无需绝对值 符号计算 =3 =-=-3 应用题 体积求棱长保留负数解 棱长大于 0，只取正的立方根 题型1.立方根概念理解 【典例】若有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】任意实数 【分析】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键． 根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此的取值范围没有限制． 【详解】解：∵立方根运算对任意实数都有意义， ∴对于，可以是任意实数， 即的取值范围是任意实数． 故答案为：任意实数． 【跟踪专练1】下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是开方开不尽的数，是无理数； B、0是整数，属于有理数； C、3.14是有限小数，属于有理数； D、是分数，属于有理数． 【跟踪专练2】若， ，那么 ______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的运算，解题的关键是对进行正确的变形． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练3】对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 题型2.求一个数的立方根 【典例】若，则x的值为__________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义，对等式变形即可求出的值. 【详解】解：， 又， . 【跟踪专练1】已知，则的值是_______． 【答案】2 【详解】解：， ， 把代入得． 【跟踪专练2】若a是的平方根，则（    ） A．－3 B． C．或 D．3或－3 【答案】C 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，掌握先计算平方得到基础值，再求平方根确定的可能值，最后求立方根是解题的关键． 先计算 的值，得到 9，则 是 9 的平方根，即或，再求的立方根即可． 【详解】解：∵  ， ∴ 是 9 的平方根，即 ， 当 时，， 当 时，， ∴ 或 ， 故选： C． 【跟踪专练3】跟华罗庚学猜数：据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题；一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：①，，又，，能确定59319的立方根是个两位数．②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9．③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．按这种方法求立方根，请求出195112的立方根是________． 【答案】 【分析】按照题干给出的方法，依次确定的立方根的位数，个位数字和十位数字，即可得到结果. 【详解】解：，，又， ， 能确定的立方根是个两位数； 的个位数是，又， 能确定的立方根的个位数是； 划去后面的三位得到数，而，则， ∴， ∴能确定的立方根的十位数是， ∴的立方根是. 题型3.由一个数的立方根，求这个数 【典例】已知的立方根是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵的立方根是， ∴． 解得：． 【跟踪专练1】若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：∵ ∴． 【跟踪专练2】已知，且与互为相反数，则y的值为______． 【答案】4或或5 【分析】根据题意可得，根据立方根是它本身的数有和0得到或或，据此求出x的值，进而求出的值，根据题意可得到，即，据此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 或或． 与互为相反数， ， ， 或或， 或或 ． 【跟踪专练3】若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 【答案】C 【分析】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 题型4.立方根的实际应用 【典例】已知一个正方体的棱长为，若它的体积变为原来的27倍，则改变后正方体的棱长为_______． 【答案】 【详解】解：原正方体的棱长为， 原正方体体积为 ， 改变后正方体体积为 ， 设改变后正方体的棱长为， 可得， 解得. 【跟踪专练1】如图，在做浮力实验时，某学生用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积，忽略浸入水中的细线的体积）为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于（     ）两个相邻的整数之间 A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】A 【分析】利用正方体的体积公式结合题目条件得出该正方体铁块的棱长，确定被开立方数的值在哪两个相邻整数的立方之间即可得到解． 【详解】解：正方体的体积为棱长的三次方， 该正方体铁块的棱长为， ，，， 该正方体铁块的棱长位于3和4之间． 【跟踪专练2】如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．图中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，则正方形的边长为______． 【答案】 【分析】先求出每个小正方体的边长，再求出魔方侧面的面积，则可得正方形的面积，由此即可得． 【详解】解：∵8个同样大小的正方体组成的魔方的体积为8， ∴每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的边长为， ∴魔方侧面正方形的边长为， ∴魔方侧面的面积为， 又∵正方形的面积是魔方侧面面积的一半， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为． 【跟踪专练3】如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 题型5.与立方根有关的规律探索 【典例】，，则______． 【答案】 【分析】根据立方根运算的规律，被开方数小数点向右移动三位，其立方根的小数点向右移动一位，进行计算即可． 【详解】解：由立方根的规律：∵， ∴． 【跟踪专练1】小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【答案】D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 【跟踪专练2】已知，，依据立方根运算规律得：______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 【答案】 【详解】解：由表格可得，被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位；被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位， ∴，， ∴． 题型6.算术平方根和立方根的综合应用 【典例】若是的算术平方根，，则的立方根为________． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于、的方程，求出、的值，即可求解． 【详解】∵是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴的立方根为， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键． 根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 【跟踪专练2】若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质与立方根的概念，根据正数的两个平方根互为相反数的性质求出的值，再确定这个正数，最后计算该数的立方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴这个正数为， ∴这个数的立方根是． 【跟踪专练3】已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 题型7.计算器-平方根和立方根 【典例】利用计算器计算时，按键，显示结果是_____． 【答案】0 【分析】根据计算器按键顺序得到对应算式，再根据立方根和算术平方根的定义计算结果即可． 【详解】解：由按键顺序可得，所求算式为 根据立方根的定义可得， 根据算术平方根的定义可得， 则． 【跟踪专练1】科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据计算器按键功能， 表示开立方运算， 表示分数输入，确定算式为 ，计算即可． 【详解】解：由按键顺序可知，该算式为，， ∴． 【跟踪专练2】对于初中数学的学习，《新课程标准》要求在设计开方运算时需要使用计算器．如图是某型号学生用及计算器，依次按下得到的结果为：___________． 【答案】0 【分析】本题考查的是计算器的使用，先根据题意列出算式，得出计算结果即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练3】小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 【详解】解：右图可知：， ∴， ∴； 故选D． 解答题 1．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)30 (2) (3) 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：∵ ∴； （3）解：∵ ∴． 2．已知一个正数x的两个不同的平方根分别为和，b的立方根是，求的值． 【答案】 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数的性质求出的值，再根据立方根的定义求出的值，最后代入计算得到的结果． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别为和， ∴， 整理得， 解得， ∵的立方根是， ∴， ∴． 3．已知为的算术平方根，为的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的概念可求出的值，再根据立方根的概念求出的值，把、的值代入中求值，最后根据平方根的概念即可得出答案． 【详解】解：∵为的算术平方根， 又∵的算术平方根为， ∴，解得：， ∵为的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根为． 4．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与表示的点重合，那么点在数轴上表示的数为_____________． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2 (2)阴影部分的面积为，边长为 (3) 【分析】（1）设这个魔方的棱长为，根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可； （2）根据魔方的棱长，得到每个小立方体的棱长，进而得到每个小正方形的面积，再由魔方的一面的面积的一半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长； （3）由（2）可知正方形边长为，用点表示的数减去边长求解即可． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为，则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2； （2）解：∵魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， ∵正方形的面积为， 它的边长为； （3）解：由（2）可知正方形边长为， ， ∵点A与重合， 点D在数轴上表示的数为． 5．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 【答案】(1)两；；， (2) 【分析】先根据和的大小确定立方根的位数，再根据原数个位数字的立方的个位特征确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，比较剩余数与相邻整数的立方，确定立方根的十位数字，即可得到结果． 【详解】（1）， ， 是两位数； 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是； ， 的十位数字是， ； （2）， ， 是两位数， 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是，划去后三位，得到数， ， 十位数的数是， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $