第09讲 从有理数到实数及实数运算（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第09讲 从有理数到实数及实数运算（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 无理数 典型例题二 实数的分类 典型例题三 实数的概念与性质 典型例题四 实数与数轴 典型例题五 实数的混合运算 典型例题六 无理数的大小估算 典型例题七 实数的大小比较 典型例题八 无理数整数部分的有关计算 典型例题九 与实数运算相关的规律题 典型例题十 实数运算的实际应用 知识点01 有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【即时训练】 1．（北京市门头沟区2024-2025学年七年级上学期期末数学试题）下列实数中，无理数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，解题的关键是正确理解无理数的定义． 根据无理数的定义，分析判断各选项即可． 【详解】解：∵是分数，属于有理数， ∴选项不符合题意， ∵ 是有限小数，属于有理数， ∴选项不符合题意， ∵是无限不循环小数，属于无理数， ∴选项符合题意， ∵是有限小数，属于有理数， ∴选项不符合题意， 故选：． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在数中，无理数共有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解；由无理数的定义可得，无理数有，共2个， 故答案为：2． 知识点02 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【即时训练】 1．（2025·浙江·模拟预测）下列实数中，负数是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数，在正数前面添加“”得到负数．根据负数的定义即可得出答案． 【详解】解：是负数，既不是正数也不是负数，和1是正数． 故选：A． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号中：，，，，，，，，…， 正数集合{ …} 整数集合{ …} 负分数集合{ …} 无理数集合{ …}． 【答案】 ，，， ，， ， ，… 【分析】根据实数的分类，依次解答，即可求解，本题考查了实数的分类，解题的关键是：明确实数的分类． 【详解】解： 正数集合{　，，，，…} 整数集合{，，，…} 负分数集合{，，　…} 无理数集合{，…}， 故答案为： ，，，；，，； ，； ，…． 知识点03 实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）下列四个实数中，最小的实数是（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是实数的大小比较，比较四个实数的大小，首先区分正负数，负数小于正数和0，再比较具体数值即可. 【详解】解：∵， ∴最小的实数是， 故选：A 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）比较大小： 3（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 知识点04 实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算的结果是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了零指数幂，熟练掌握任何非零数的零次幂都等于是解题的关键． 根据任何非零数的零次幂都等于即可得解． 【详解】解：． 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）的相反数与的绝对值的和等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相反数，绝对值的含义，实数的混合运算，先求解的相反数与的绝对值，再列式求和即可． 【详解】解：的相反数为， 的绝对值是， ∴ 故答案为：0． 【典型例题一 无理数】 【例1】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）下列为无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义和算术平方根，能熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数是指无限不循环小数． 根据无理数的定义逐个判断即可． 【详解】A．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； B．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； C．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； D．是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 【例2】（2025七年级上·浙江·专题练习）在下列各数0、、、、、、中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无理数、有理数的定义即可．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个）等形式． 【详解】解：无理数有、、， 则无理数的个数是， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在实数中，无理数的个数是 ． 【答案】1个 【分析】本题考查无理数．熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数的定义：无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：，是整数，属于有理数； ，是分数，属于有理数； 无理数有，共 1 个． 故答案为：1个． 【例4】（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）下列各数：0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有 个． 【答案】3 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此判断即可． 【详解】解：、、0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）是无理数，共有3个， 、，是有理数， 故答案为：3． 1．（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）把下列各数分别填在相应的集合中： ，1.2378…，，0，，3.14． 【答案】见解析 【分析】本题考查实数的分类，根据整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数求解即可． 【详解】解：将所给各数分别填在相应的集合中，如图： 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）选择下列这组数中适当的数，填写在相应的集合里． ，，4.3，5，，， 整数集合： ； 正分数集合： ； 无理数集合： ． 【答案】5，；4.3，； 【分析】本题考查实数的分类，整数包括正整数、负整数、零；分数包括正分数、负分数；无理数是无限不循环小数；根据定义分类即可． 【详解】解：整数集合：； 正分数集合：； 无理数集合：． 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）如图是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当x为16时，y值为______； (2)是否存在输入有意义的x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由； (3)如果输入x值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的x值可能是什么情况？ (4)当输出的y值是时，判断输入的x值是否唯一？如果不唯一，请写出其中的三个． 【答案】(1) (2)0，1 (3)x＜0 (4)x=3或x=9或x=81． 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，即可判断； （3）根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求解； （4）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当x=16时，，则y=； 故答案是：． （2）解：当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； （3）解：当x＜0时，导致开平方运算无法进行； （4）解： x的值不唯一．x=3或x=9或x=81． 【点睛】本题考查了算术平方根及无理数，正确理解给出的运算方法是关键． 【典型例题二 实数的分类】 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在实数，，，中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：，是有理数，符合题意； ，，均开方开不尽，是无理数，不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）在实数，，，，，，，中，分数的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查了实数的分类，掌握分数的意义是解题的关键． 计算立方根后，根据分数的意义“分数是一个整数和一个正整数的不等于整数的比，即．有限小数和无限循环小数都可以化为分数，属于分数的范畴；而无限不循环小数不属于分数．” 进行判断即可． 【详解】解：实数，，，，，，，中， 分数有，，，，共4个， 故选：B． 【例3】（23-24七年级上·浙江金华·期中）在7，0，，，，，，π中，无理数有x个，有理数有y个，则 ． 【答案】36 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，理解定义是解题的关键，有理数是指有限小数和无限循环小数，无理数是指无限不循环小数．根据定义判定即可． 【详解】解：7，0，，，，是有理数， ，π是无理数， 故， ． 故答案为：36． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）下列各数中，有理数为 ；无理数为 ． 、、、、、、0、、、0.3737737773…（相邻两个3之间7逐渐加1） 【答案】 、、0、 、、、、、0.3737737773…（相邻两个3之间7逐渐加1） 【分析】根据有理数以及无理数的概念分别填空即可． 【详解】解：有理数为、、0、； 无理数为、、、、、0.3737737773…（相邻两个3之间7逐渐加1）． 故答案为：、、0、；、、、、、0.3737737773…（相邻两个3之间7逐渐加1）． 【点睛】本题考查了实数的分类，熟记有理数和无理数的概念是解决本题的关键． 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“”之间依次多一个“”） 整数集合：{____________}； 负分数集合：{____________}； 无理数集合：{____________}； 【答案】整数：①④；负分数：②⑥⑦；无理数：③⑤⑧． 【分析】本题考查实数的分类、绝对值及乘方的计算．先计算乘方，绝对值，再根据整数包括负整数、和正整数；负分数为小于的分数；无理数是无限不循环小数，作答即可．熟练掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：，， 整数集合：{①④…}； 负分数集合：{②⑥⑦…}； 无理数集合：{③⑤⑧…}； 2．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）（1）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，0，，，． 正数集合：{_______________________…}； 负分数集合：{_______________________…}； 非负整数集合：{_______________________…}； 有理数集合  ：{_______________________…}． （2）正确画出数轴并标出表示下列各数的点，并用“”号把下列各数连接起来． ，0，，，4． 【答案】（1）15，，；，，；15，0；15，，，，0，，；（2）数轴见解析； 【分析】本题主要考查了实数分类，用数轴上点表示有理数，用数轴比较有理数的大小，有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握有理数的定义，数轴上点的特点． （1）根据有理数的定义，正数和负数的定义，进行解答即可； （2）先将各个数表示在数轴上，然后根据数轴上点的特点比较大小即可． 【详解】解：（1）， 正数集合：{15，，…}； 负分数集合：{，，…}； 非负整数集合：{15，0…}； 有理数集合  ：{15，，，，0，，…}． （2），，， 将各数表示在数轴上，如图所示：      用“”号把下列各数连接起来：． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数． ①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键． 根据实数的分类填写即可． 【详解】解：实数分为有理数与无理数，也可分为正实数，0，负实数，所以实数下横线填负数；正数分为正有理数，正无理数，正数下的横线上填正有理数；整数分为正整数，0，与负整数，整数下横线填0与负整数；无理数分为正无理数，负无理数，无理数下横线填负无理数，整数与正数公共部分填正整数，无理数与正数公共部分填正无理数，填数如下： 即①负分数，如；②正分数，如：；③正整数，如1； ④正无理数，如；⑤0；⑥负无理数，如． 【典型例题三 实数的概念与性质】 【例1】（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了实数的分类，熟练牢记有理数的分类和无理数的概念是解题的关键． 【详解】解：由实数的分类可知，有理数分为分数和整数，无理数是无限不循环小数， ， ∴无理数有2个 故选：B． 【例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数．根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）绝对值等于的实数是 ，的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值意义、相反数定义，根据绝对值意义及相反数定义：只有符号不同的两个数直接求解即可得到答案，熟记绝对值意义、相反数定义是解决问题的关键． 【详解】解：绝对值等于的实数是；的相反数是； 故答案为：；． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）写出一个有理数 ，写出一个无理数 ，其中是实数的有 ． 【答案】 2（答案不唯一）， π（答案不唯一）， 2，π（答案不唯一）． 【分析】实数分为有理数和无理数，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可． 【详解】解：一个有理数是2，一个无理数是π，其中是实数的有2、π（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一），π（答案不唯一），2、π（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了实数的定义，无理数的定义，有理数的定义，掌握以上定义是解题的关键． 1．（2025·浙江·模拟预测）求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的绝对值是，相反数是 (2)的绝对值是，相反数是 (3)的绝对值是，相反数是 (4)的绝对值是，相反数是 【分析】本题考查了相反数和绝对值，只有符号不同的两个数是互为相反数；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． （1）（2）（3）（4）根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】（1）解：的绝对值是，相反数是 （2）解：的绝对值是，相反数是 （3）解：的绝对值是，相反数是 （4）解：的绝对值是，相反数是 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）把下列各数填入相应的集合中： －3.1415926，0，，，，，，1.414，，（每两个2之间依次多一个1） （1）有理数集合：{    }； （2）无理数集合：{    }； （3）负实数集合：{    }． 【答案】（1）；（2）（每两个2之间依次多一个1）；（3）（每两个2之间依次多一个1） 【分析】实数包括有理数和无理数，根据概念逐一进行填空即可． 【详解】解：有理数集合：； 无理数集合：{（每两个2之间依次多一个1）}； 负实数集合：{（每两个2之间依次多一个1）}； 故答案为：； （每两个2之间依次多一个1）；（每两个2之间依次多一个1）． 【点睛】本题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法． 3．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)0 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）根据点B在数轴上的位置可知，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解：∵蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示 ∴点表示 ∴． 故答案为：； （2）解：由数轴可知：， ，， 原式 ； （3）解：与互为相反数， ， ，， ，， ，， ， ∵8的平方根为， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了实数与数轴、实数的性质、相反数的定义、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【典型例题四 实数与数轴】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 【例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 【例3】（24-25七年级上·浙江·期中）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1，．若，则点C对应的实数为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离，由A，B两点对应的数求出，再根据即可求解． 【详解】解：数轴上A，B两点对应的实数分别是1，， ， ， 点C对应的实数为， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在数轴上，以表示数1，2的点为顶点作边长为单位1的小正方形，以表示数1的点为圆心，小正方形的对角线为半径画圆，与数轴分别相交于点（点在右），则点到原点的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数和数轴，数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，点表示的数为，即可得出点表示的数为，从而得出答案． 【详解】解：∵半圆的半径为， ∴的长度为半圆的直径，即， 又∵点表示的数为， ∴点表示的数为， ∴点到原点的距离为， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）把下列实数表示在数轴上，并将它们用“”连接起来． ，，， 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，先把各数在数轴上表示，再根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大比较大小即可． 【详解】解：，， 各数表示在数轴上如下： ． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）（1）怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形（如图）剪拼成一个大正方形？ （2）在数轴上画出这个大正方形的边长所对应的点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了算术平方根的意义： （1）根据题意，拼出面积为5的正方形，即可； （2）求出长方形面积的算术平方根即可． 【详解】解：（1）如图， （2）∵5个边长为1的小正方形的面积之和为， ∴剪拼成一个大正方形的边长为， ∴在数轴上这个大正方形的边长所对应的点表示为， 在数轴上画出这个大正方形的边长所对应的点，如图， ． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知七个实数，，4，，，0，．其中五个数已在数轴上分别用点A、B、C、D、E表示． (1)点A表示数 ，点B表示数 ，点C表示数 ，点D表示数 ； (2)在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形APQR的面积），并将所有的数用“”连接； ∴ ． (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上： 整数：{ ⋯}； 分数：{ ⋯}； 无理数：{ ⋯}． 【答案】(1)0，，， (2)画图见解析，，，0，， ，4， (3)，0,4；，；， 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，实数的分类，实数的大小比较，知识点较多，比较基础，要熟练掌握． （1）根据各点在数轴上的位置，结合数的大小填写即可； （2）结合正方形的边长，在数轴上表示其他数，再按照从左往右的顺序排列各数； （3）根据实数的分类填写． 【详解】（1）解∶ 由图可知： 点A表示数是0，点B表示数是，点C表示数是，点D表示数是； 故答案为：0，，，； （2）解：如图， ， 故答案为：，，0，， ，4，； （3）解：整数：{，0，4，⋯}； 分数：{，，⋯}； 无理数：{，，⋯}． 故答案为：，0，4；，；，． 【典型例题五 实数的混合运算】 【例1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）实数a，b，c在数轴上如图所示，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴、实数的加减乘除运算，先根据数轴得到，，，再根据加减乘除运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴得，，，， ∴，，，， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）小特认为“两个无理数的和一定是无理数”．下面选项中能够说明小特的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用实数的运算法则运算，并逐一判断即可得到答案． 【详解】A. ，结果是无理数，不符合题意； B. 不能运算，结果是无理数，不符合题意； C. ，结果是有理数，符合题意； D. ，结果是无理数，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查实数的运算，掌握无理数的加法运算是解题的关键． 【例3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查实数的混合运算，先去绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：1． 【例4】（24-25七年级上·浙江丽水·期末）的绝对值是 ， ， ． 【答案】 / 2 【分析】本题主要考查了实数的运算，实数的性质，负数的绝对值等于它的相反数，据此可得第一空答案；对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此可得第二空答案；先计算算术平方根和立方根，再计算减法即可得到第三空答案． 【详解】解：的绝对值是； ； 故答案为：；；． 1．（24-25七年级上·浙江衢州·期末）计算∶ 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）计算：． 【答案】7 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行乘方，开方和去绝对值运算，再进行乘法和加减运算即可． 【详解】解：原式， ， ． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)实数的值是___________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、实数的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上点平移的性质即可得解； （2）将，代入代数式，根据绝对值的性质化简即可得解． 【详解】（1）解：∵，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为， ∴实数m的值是； 故答案为：． （2） ． 【典型例题六 无理数的大小估算】 【例1】（24-25七年级上·浙江·期末）估计的值在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算．先展开表达式，利用乘法分配律进行计算，再估算结果的范围． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·浙江·期末）已知整数m满足，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，根据夹逼法求出相应的取值范围即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴整数m的值为5． 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数比较大小，先整理得，再结合正数大于0，0大于负数，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（北京东城区2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷）已知，则的近似值是 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据题干所给数据作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)在，之间； (2)在，之间； (3)在，之间； 【分析】本题考查的是无理数的估算； （1）由可得，即可得到答案； （2）由可得，即可得到答案； （3）由可得，即可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴在，之间； （2）解：∵， ∴， ∴在，之间； （3）解：∵， ∴， 即， ∴， ∴在，之间 2．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）比较下列实数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了无理数的估算和实数比较大小，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）求出的值和估算出的范围，即可比较； （2）先估算出，进而估算出，即可比较． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ， ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 【典型例题七 实数的大小比较】 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）在实数， ，  ， 中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，根据实数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题关键． 【详解】解：由实数的大小比较方法可知，， ∴最小的数是， 故选：． 【例2】（2025·浙江·模拟预测）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义，实数的大小比较，熟练掌握绝对值的定义和，实数的大小比较是解题的关键； 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，然后根据实数大小比较法则即可作出判断． 【详解】解：，，，， ∵， ∴所以与原点距离最近的是， 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）比较两数的大小： ．（“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，利用平方法，比较两数的大小即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 【例4】（2025·浙江·模拟预测）我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为．请比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的大小比较，先计算，，再结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， 故答案为： 1．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，准确地把各数在数轴上表示出来是解决本题的关键． 【详解】解： 数轴表示如下： ∴． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算得出，即可求解； （2）作差可得，根据无理数的估算得出，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为5． （2）解：， ， ， ， ． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 我们知道，是无限不循环小数，． (1)已知，根据“调日法”的规则，求出第一次使用“调日法”后的近似分数，判断该分数是的不足近似值还是过剩近似值？ (2)在（1）的条件下，再使用几次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； (3)请说明使用“调日法”估计大小的有效性． 【答案】(1)，是的过剩近似值 (2)再使用次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； (3)见解析 【分析】本题考查简单的推理与证明，实数的运算，读懂题意，掌握“调日法”的计算方法是解题的关键． （1）先利用一次“调日法”得到的一个更为精确的近似分数是，与比较大小，即可得到答案； （2）利用“调日法”得到的近似分数，即可得到答案； （3）由，，，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴第一次使用“调日法”后的近似分数为， ∵， ∴是的过剩近似值， （2）解：∵ ∴第二次使用“调日法”后的近似分数为， ∵， ∴， ∴第三次使用“调日法”后的近似分数为； 再使用次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； （3）解：∵，， 又 ∴使用“调日法”估计的大小是有效的． 【典型例题八 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．先求出的范围，再两边都乘以，再两边都加上，即可求出，把的值代入求出即可． 【详解】解：， ， ， ， 即的整数部分是， 的小数部分是， 即，， ， 故选：A． 【例2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．先估算出及的值，从而估算出与的值，进而求出，的值，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 的整数部分是：10， ， ， ， 的小数部分是， ， ， 故选：B 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知的小数部分是，的小数部分是，则 ． 【答案】1 【分析】直接利用估算无理数的大小的方法得出的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，， 的小数部分是，的小数部分是， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，正确得出的值是解题的关键． 【例4】（23-24七年级上·浙江温州·期中）规定用符号表示一个数的整数部分，如：，按此规定的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查无理数的估算，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为4； 故答案为：4 1．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根，平方根的含义，无理数的整数部分的含义，熟记基本概念并灵活运用是解本题的关键． 由算术平方根与平方根的含义可得，，由无理数的整数部分的含义可得，从而代入可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴，． ∵， ∴． ∵是的整数部分， ∴． ∴． ∴的平方根是． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴阶段练习）已知正数a的两个平方根分别是和． (1)求a的值； (2)若b是的整数部分，求b的值以及的算术平方根． 【答案】(1) (2)，的算术平方根为 【分析】本题考查无理数的估算，平方根，算术平方根，立方根； （1）根据正数的两个平方根互为相反数求解即可． （2）根据求出b的值，代入，再求算术平方根． 【详解】（1）解：∵正数a的两个平方根分别是和． ∴， 解得， ∴； （2）解：∵，b是的整数部分， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 3．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，，其中是整数，且 则； （2）解：， ， ∵a是整数，， ，， ∴． （3）∵， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴根据题意得， ， ． 【典型例题九 与实数运算相关的规律题】 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可； 【详解】解：，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第11个数应是， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为，，，，的长方形彩色纸片（为大于1的整数），运用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，可计算出的值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察发现，和值等于1减去最后一项，即可求得答案． 【详解】运用“数形结合”思想可以看出， ， 即运算结果为1减去最后一项． 故． 故选：C． 【点睛】本题考查了数字类规律运算题，解题的关键是“数形结合”思想的灵活运用． 【例3】（23-24七年级上·浙江杭州·单元测试）一组有规律的数则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，观察前几个数可知，被开方数的数值为序号的平方，其中第奇数个的符号为负，第偶数个的符号为正，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， 以此类推，可知被开方数的数值为序号的平方，其中第奇数个的符号为负，第偶数个的符号为正， ∴第个数是， 故答案为： ． 【例4】（23-24七年级上·浙江金华·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：实数运算．根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数， 的被开方数是的被开方数3的30倍， ， 所以位于第六行第五个数，记为． 故最大的有理数位于第6行第2个数，记为． 故答案为：． 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）观察： ①， ②___________________， ③___________________， …… 探究： （1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整； （2）请直接写出第④个等式； 拓展： （3）按照你发现的规律，写出第n个等式． 【答案】（1）1，，2，，3；（2）；（3） 【分析】本题考查出指数运算、规律归纳，解题的关键是提取，将左边幂运算简化为右边指数形式，得出通项规律． 探究：（1）观察前三个等式的结构，左边为连续两个2的幂相减（如），通过提取公因数化简，发现右边结果为，补充缺失的指数项即可； （2）根据规律，第④个等式对应，即左边为，化简后右边为． 拓展：通过前几项的指数变化规律，归纳出第个等式为，体现从具体到一般的数学归纳能力． 【详解】解：探究：（1）1，，2，，3， （2）； 拓展：（3）第n个式子：． 2．（24-25七年级上·浙江·期末）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得， 请仿照小明的方法解决以下问题： (1) ； (2) ； (3)求的和（，n是正整数，请写出计算过程）． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；见解析 【分析】此题考查代数式的规律计算，能正确理解已知的代数式的运算规律是难点，依据规律对于每个式子变形计算是关键． （1）设式子等于S，将方程两边都乘以2后进行计算即可； （2）设式子等于S，将方程两边都乘以3，再将两个方程相减化简后得到答案； （3）设式子等于S，将方程两边都乘以a后进行计算即可. 【详解】（1）解：令，  则， 得，， 解得：． （2）解：令，则， 得，， 解得：． （3）解：当时，； 当时，令，则， 得，， ∴． 综上所述：当时，； 当时，． 3．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 【典型例题十 实数运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·浙江·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 【例3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）元旦期间某商场推出“每满100元减50元”的活动(比如：某顾客购物230元，他只需付款130元)，商场会员则享受“先打9折，再每满100元减50元”的优惠．张先生是商场会员，想购买一件标价320元的上衣，他最低付款 元． 【答案】188 【分析】先计算会员优惠，得到会员享受会员优惠后的价格，再计算满减优惠即可． 【详解】（元） 故可享受两次“每满100元减50元”的活动 （元） 故答案为：188． 【点睛】本题考查了销售价格的问题，掌握题意的优惠方案是解题的关键． 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中，两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是 ． 【答案】-1. 【分析】由A、B两正方形的面积得出相应边长，再根据图形计算出剩余部分面积. 【详解】解：∵，两正方形区域的面积分别是1和6， 则，两正方形区域的边长分别是1和， 则剩余区域的面积为：（1+）×-1-6=-1. 故答案为：-1. 【点睛】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形. 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，一个花坛，直径5米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？ 【答案】6π平方米 【分析】由题意知，求环形小路的面积，实际是求一个圆环的面积． 【详解】解：∵环形小路的宽为1米，花坛的直径为5米， ∴R=3.5m，r=2.5m； 则圆环的面积为：π×（3.5）2-π×（2.5）2=6π（平方米）， 所以小路的面积为6π平方米． 【点睛】本题培养了学生解决实际问题的能力，解决题目的关键是将实际问题抽象为几何问题，然后再利用所学知识解决问题． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为. 【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据面积相等得到方程，即可求解． 【详解】（1）如图， ∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据题意得， ∴（负值舍去） 答：拼成的正方形边长为． 【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 1．（2025·浙江·模拟预测）估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的大小估算，先估算出的范围即可． 【详解】解：∵, ∴ ∴的值在4和5之间， 故选：C． 2．（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）定义新运算：我们规定．则（  ） A．32 B．36 C．68 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算法则是解题的关键． 根据定义的新运算转化成实数的混合运算进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 故选：C． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题的a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断和实数的性质，把数值逐一代入给定的不等式中，让不等式不能成立的数就是需要的反例，熟知实数的性质，能正确举出反例是解本题的关键． 【详解】、当时，，此选项不符合题意； 、当时，，此选项不符合题意； 、当时，，此选项符合题意； 、当时，，此选项不符合题意； 故选：． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由题意得，第n行有n个数，且第k个数为，则可求出前n行一共有个数，数45是第2025个数，再确定数45在第64行，而偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，据此可确定数45的位置，则可得到答案． 【详解】解：由题意得，第n行有n个数，且第k个数为， ∴前n行一共有个数， ∵， ∴数45是第2025个数， ∵， ∴数45在第64行， ∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列， ∴45在第64行第个数， ∴数45所在的位置可表示为， 故选：D． 5．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 6．（24-25七年级上·浙江·期末）比较大小：（1） 6；（2） 3 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较及无理数的估算，根据，得到，，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 7．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若m，n都是无理数，且，请写出一组满足条件的m，n的值： ． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的含义，实数的混合运算，根据m，n都是无理数，且，结合互为相反数的两数和为0，可得答案. 【详解】解：∵m，n都是无理数，且， ∴（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、算术平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程图并掌握相关运算法则是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可． 【详解】解：输入，则，然后，然后得到，然后得到， ∴输出的数为， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）在数轴上，点在原点左侧，点表示的数为，点表示的数为，若点沿数轴向左平移1个单位长度到达点，且，则的值是 ，的值是 ． 【答案】 / 【分析】本题用数轴表示数，根据题意得到，，且，再由算术平方根的性质得到或，开平方求出值，进而得到即可确定答案，熟记数轴表示数及算术平方根性质是解决问题的关键． 【详解】解：在数轴上，点在原点左侧，点表示的数为，点表示的数为，若点沿数轴向左平移1个单位长度到达点， ，，且， ， 或， 即或， 或（舍去）或（舍去）， ， 故答案为：，． 10．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律题，根据题意找到数据的规律是解体的关键． 根据题意可得每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得到所在的位置． 【详解】， 解：由题意可得，每五个数一行，， ，， 故所在的位置是第七行第二个数，位置记为， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）把下列各数填入相应的数集内． 正数集合：｛                                                           …｝ 无理数集合：｛                                                         …｝ 分数集合：｛                                                           …｝ 非负整数集合：｛                                                       …｝ 【答案】；；；； 【分析】有理数与无理数统称实数，实数分为正实数，0，负实数，整数与分数统称有理数，0与正整数是非负整数，根据概念逐一填入即可． 【详解】解：∵，，， 正数集合： 无理数集合： 分数集合： 非负整数集合：． 【点睛】本题考查的是实数的分类与概念，熟记实数的分类是解本题的关键． 12．（2025七年级上·浙江杭州·专题练习）如下图，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，并把下列实数用“”连接起来． ，，0，，2， 【答案】点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是0，点表示的数是，点表示的数是2，点表示的数是．． 【分析】首先估算无理数，然后根据数轴上的点与实数的对应关系写出答案即可． 本题考查了数轴上的点与实数的对应关系，数轴上每个点都表示一个实数，反过来，每个实数都可以用数轴的一个点表示． 【详解】根据题意得，点表示的数是0，点表示的数是2， ∵ ∴点表示的数是， ∵ ∴ ∴点表示的数是， ∵ ∴ ∴ ∴点表示的数是， ∵ ∴点表示的数是 ∴由数轴得，． 13．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）阅读与思考： ，即 的整数部分为1 设的小数部分为 则 即的小数部分为． 解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】(1)5， (2)0 【分析】本题考查了无理数的整数部分以及小数部分、即无理数的估算； （1）因为，得出的整数部分是，则的小数部分是，即可作答． （2）与（1）同理，求出，，再代入，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：5，； （2）解：∵，， ∴，， 原式． 14．（24-25七年级上·浙江温州·期末）“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：云边月影沙边雁，水外天光山外树．倒过来念即“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如11，343等． (1)下列数是“回文数”的有________；（请填写序号） ①55  ②132  ③5656  ④2332 (2)我们容易发现任意两位数的“回文数”都是11的倍数，小明发现任意四位数的“回文数”都是11的倍数，请你证明小明的发现是正确的； (3)如果一个“回文数”是另外一个正整数的平方，则称这个回文数为“平方回文数”．若t是一个千位数字为3的四位数的“回文数”，是一个“平方回文数”，求t的值． 【答案】(1)①④ (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义问题，正确理解定义是解题的关键． （1）根据回文数的定义解答即可． （2）设任意四位数的“回文数”，表示为，整理解答即可； （3）设符合题意t的“回文数”为，则 ，计算，根据，结合平方数性质，解答即可． 【详解】（1）解：根据回文数的定义，发现55 ，2332是回文数， 故答案为：①④． （2）解：设任意四位数的“回文数”， 则这个四位数表示为， 故四位的回文数是11 的倍数． （3）解：设符合题意t的“回文数”为，则 ， 则， 由，是“平方回文数” 故或或， 故或或， 又是“平方回文数”， 故， 故这个回文数为3993． 15．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【答案】8或0 【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值． 【详解】解：∵， ∴（x2-2y-8）+（y-4）=0， ∴x2-2y-8=0，y-4=0， 解得，x=±4，y=4， 当x=4，y=4时，x+y=4+4=8， 当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0， 即x+y的值是8或0． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 从有理数到实数及实数运算（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 无理数 典型例题二 实数的分类 典型例题三 实数的概念与性质 典型例题四 实数与数轴 典型例题五 实数的混合运算 典型例题六 无理数的大小估算 典型例题七 实数的大小比较 典型例题八 无理数整数部分的有关计算 典型例题九 与实数运算相关的规律题 典型例题十 实数运算的实际应用 知识点01 有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【即时训练】 1．（北京市门头沟区2024-2025学年七年级上学期期末数学试题）下列实数中，无理数是（  ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在数中，无理数共有 个． 知识点02 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【即时训练】 1．（2025·浙江·模拟预测）下列实数中，负数是（   ） A． B．0 C．1 D． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号中：，，，，，，，，…， 正数集合{ …} 整数集合{ …} 负分数集合{ …} 无理数集合{ …}． 知识点03 实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）下列四个实数中，最小的实数是（   ） A． B．0 C． D．2 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）比较大小： 3（填“”，“”或“”）． 知识点04 实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算的结果是（　　） A． B．1 C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）的相反数与的绝对值的和等于 ． 【典型例题一 无理数】 【例1】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）下列为无理数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级上·浙江·专题练习）在下列各数0、、、、、、中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在实数中，无理数的个数是 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）下列各数：0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有 个． 1．（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）把下列各数分别填在相应的集合中： ，1.2378…，，0，，3.14． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）选择下列这组数中适当的数，填写在相应的集合里． ，，4.3，5，，， 整数集合： ； 正分数集合： ； 无理数集合： ． 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）如图是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当x为16时，y值为______； (2)是否存在输入有意义的x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由； (3)如果输入x值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的x值可能是什么情况？ (4)当输出的y值是时，判断输入的x值是否唯一？如果不唯一，请写出其中的三个． 【典型例题二 实数的分类】 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在实数，，，中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）在实数，，，，，，，中，分数的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例3】（23-24七年级上·浙江金华·期中）在7，0，，，，，，π中，无理数有x个，有理数有y个，则 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）下列各数中，有理数为 ；无理数为 ． 、、、、、、0、、、0.3737737773…（相邻两个3之间7逐渐加1） 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“”之间依次多一个“”） 整数集合：{____________}； 负分数集合：{____________}； 无理数集合：{____________}； 2．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）（1）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，0，，，． 正数集合：{_______________________…}； 负分数集合：{_______________________…}； 非负整数集合：{_______________________…}； 有理数集合  ：{_______________________…}． （2）正确画出数轴并标出表示下列各数的点，并用“”号把下列各数连接起来． ，0，，，4． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数． ①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______； 【典型例题三 实数的概念与性质】 【例1】（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）绝对值等于的实数是 ，的相反数是 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）写出一个有理数 ，写出一个无理数 ，其中是实数的有 ． 1．（2025·浙江·模拟预测）求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）把下列各数填入相应的集合中： －3.1415926，0，，，，，，1.414，，（每两个2之间依次多一个1） （1）有理数集合：{    }； （2）无理数集合：{    }； （3）负实数集合：{    }． 3．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【典型例题四 实数与数轴】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江·期中）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1，．若，则点C对应的实数为 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在数轴上，以表示数1，2的点为顶点作边长为单位1的小正方形，以表示数1的点为圆心，小正方形的对角线为半径画圆，与数轴分别相交于点（点在右），则点到原点的距离为 ． 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）把下列实数表示在数轴上，并将它们用“”连接起来． ，，， 2．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）（1）怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形（如图）剪拼成一个大正方形？ （2）在数轴上画出这个大正方形的边长所对应的点． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知七个实数，，4，，，0，．其中五个数已在数轴上分别用点A、B、C、D、E表示． (1)点A表示数 ，点B表示数 ，点C表示数 ，点D表示数 ； (2)在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形APQR的面积），并将所有的数用“”连接； ∴ ． (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上： 整数：{ ⋯}； 分数：{ ⋯}； 无理数：{ ⋯}． 【典型例题五 实数的混合运算】 【例1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）实数a，b，c在数轴上如图所示，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）小特认为“两个无理数的和一定是无理数”．下面选项中能够说明小特的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）计算： ． 【例4】（24-25七年级上·浙江丽水·期末）的绝对值是 ， ， ． 1．（24-25七年级上·浙江衢州·期末）计算∶ 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）计算：． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)实数的值是___________； (2)求的值． 【典型例题六 无理数的大小估算】 【例1】（24-25七年级上·浙江·期末）估计的值在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【例2】（24-25七年级上·浙江·期末）已知整数m满足，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）比较大小： ． 【例4】（北京东城区2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷）已知，则的近似值是 （精确到）． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (1)； (2)； (3)． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）比较下列实数的大小： (1)与； (2)与． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【典型例题七 实数的大小比较】 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）在实数， ，  ， 中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江·模拟预测）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）比较两数的大小： ．（“”“”或“”） 【例4】（2025·浙江·模拟预测）我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为．请比较大小： ．（填“”或“”） 1．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）：． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 我们知道，是无限不循环小数，． (1)已知，根据“调日法”的规则，求出第一次使用“调日法”后的近似分数，判断该分数是的不足近似值还是过剩近似值？ (2)在（1）的条件下，再使用几次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； (3)请说明使用“调日法”估计大小的有效性． 【典型例题八 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 【例2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（  ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知的小数部分是，的小数部分是，则 ． 【例4】（23-24七年级上·浙江温州·期中）规定用符号表示一个数的整数部分，如：，按此规定的值为 ． 1．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，是的整数部分．求的平方根． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴阶段练习）已知正数a的两个平方根分别是和． (1)求a的值； (2)若b是的整数部分，求b的值以及的算术平方根． 3．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 【典型例题九 与实数运算相关的规律题】 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为，，，，的长方形彩色纸片（为大于1的整数），运用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，可计算出的值为（    ）      A． B． C． D． 【例3】（23-24七年级上·浙江杭州·单元测试）一组有规律的数则第个数是 ． 【例4】（23-24七年级上·浙江金华·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）观察： ①， ②___________________， ③___________________， …… 探究： （1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整； （2）请直接写出第④个等式； 拓展： （3）按照你发现的规律，写出第n个等式． 2．（24-25七年级上·浙江·期末）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得， 请仿照小明的方法解决以下问题： (1) ； (2) ； (3)求的和（，n是正整数，请写出计算过程）． 3．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【典型例题十 实数运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【例3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）元旦期间某商场推出“每满100元减50元”的活动(比如：某顾客购物230元，他只需付款130元)，商场会员则享受“先打9折，再每满100元减50元”的优惠．张先生是商场会员，想购买一件标价320元的上衣，他最低付款 元． 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中，两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是 ． 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，一个花坛，直径5米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？ 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 1．（2025·浙江·模拟预测）估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 2．（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）定义新运算：我们规定．则（  ） A．32 B．36 C．68 D．64 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题的a的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 6．（24-25七年级上·浙江·期末）比较大小：（1） 6；（2） 3 7．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若m，n都是无理数，且，请写出一组满足条件的m，n的值： ． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为 ． 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）在数轴上，点在原点左侧，点表示的数为，点表示的数为，若点沿数轴向左平移1个单位长度到达点，且，则的值是 ，的值是 ． 10．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为 ． 11．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）把下列各数填入相应的数集内． 正数集合：｛                                                           …｝ 无理数集合：｛                                                         …｝ 分数集合：｛                                                           …｝ 非负整数集合：｛                                                       …｝ 12．（2025七年级上·浙江杭州·专题练习）如下图，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，并把下列实数用“”连接起来． ，，0，，2， 13．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）阅读与思考： ，即 的整数部分为1 设的小数部分为 则 即的小数部分为． 解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 14．（24-25七年级上·浙江温州·期末）“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：云边月影沙边雁，水外天光山外树．倒过来念即“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如11，343等． (1)下列数是“回文数”的有________；（请填写序号） ①55  ②132  ③5656  ④2332 (2)我们容易发现任意两位数的“回文数”都是11的倍数，小明发现任意四位数的“回文数”都是11的倍数，请你证明小明的发现是正确的； (3)如果一个“回文数”是另外一个正整数的平方，则称这个回文数为“平方回文数”．若t是一个千位数字为3的四位数的“回文数”，是一个“平方回文数”，求t的值． 15．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$