专题05 有理数的乘除 暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固) 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题05有理数乘除暑假预习讲义 · 结合水位、行程实际情境，理解有理数乘法的意义，自主归纳两数相乘的符号规律，熟记有理数乘法基本法则。 · 掌握多个有理数相乘的符号判定口诀 “奇负偶正、有 0 得 0”，能分步完成多因数乘法计算（先定符号，再算绝对值）。 · 熟记乘法交换律、结合律、分配律，能看懂简便计算例题，尝试对小数、分数乘法分组凑整简化运算，重点留意分配律不漏乘。 · 理解倒数定义，会求整数、分数、小数的倒数，牢记0 没有倒数，区分相反数与倒数的不同。 · 读懂乘除互逆关系，掌握除法转化法则：除以一个不为 0 的数等于乘它的倒数，理解除法 “两变” 要求。 · 熟记两数相除符号规则（同号得正，异号得负），会规范完成整数、分数、小数的除法、乘除混合运算。 · 能把乘除混合算式统一转化为连乘形式约分计算，理清运算顺序，区分运算符号与性质符号。 · 会利用有理数乘除法解决盈亏、速率、平均分等实际应用题，能正确设定正负并列式。 · 自主梳理本节易混淆点：倒数与相反数、分配律漏乘、除数不能为 0、多个负因数符号判断，标记看不懂的例题课堂重点听。 · 初步体会转化思想（除法转乘法）、分类讨论思想（分同号、异号、含 0 三类运算），规范书写计算步骤。 预习必备知识梳理 1.有理数乘法法则 2.多个有理数相乘符号规律 3.乘法三大运算律 4.倒数 5.有理数除法 6.有理数乘除混合运算规则 7.有理数乘除混合运算顺序 8.高频易错点汇总 常考题型精讲精练 1.两个有理数的乘法运算 2.多个有理数的乘法运算 3.有理数乘法的实际应用 4.倒数 5.有理数乘法运算律 6.有理数的除法运算 7.有理数除法的应用 8.有理数乘除混合运算 9.有理数乘除中的简便运算 10.有理数四则混合运算 11.有理数四则混合运算的实际应用 12.数轴位置判断代数式正负 13.数轴上的翻折 14.新定义运算 强化题型 解答题9题 知识点 01: 有理数乘法法则 1.正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数。积的绝对值等于各乘数的绝对值的积。 2.两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与 0 相乘，都得0。 3.有理数乘法法则也可以表示如下： 设 a,b 为正有理数，c 为任意有理数， 则 (+a)(+b) = a b,-a)(-b) = ab; (-a)(+b) = -(a b), (+a)(-b) = -(a b); c 0 = 0, 0 c = 0. 知识点 02 多个有理数相乘符号规律（必考） 1.步骤：先定符号，再把所有绝对值相乘 2.符号判定口诀：奇负偶正 负因数个数为奇数，积为负；负因数个数为偶数，积为正。 3.特殊结论：几个数相乘，只要有一个因数为 0，积直接等于 0。 例：(-2)×(-3)×(-4)，3 个负因数（奇数），结果为负，-(2×3×4)=-24 例：(-1)×2×0×(-5)=0 知识点 03 乘法三大运算律（简便计算核心） 简便计算常用技巧 ① 互为倒数先相乘凑 1；② 小数、整数凑整；③ 同分母分数结合；④ 分配律拆分简化。 知识点04:倒数 1.定义：乘积为 1 的两个数互为倒数。 2.关键点：0 没有倒数（不存在一个数与 0 相乘等于 1）。 3.符号规律：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；互为倒数两数符号相同。 例：-3的倒数是-；的倒数是。 4.倒数的求法 知识点 05 有理数除法核心转化法则（本节重难点） 1.除法转化公式：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数 字母表示：ab=a(b≠0) 1 运算符号变：除号变乘号； 2 除数变：除数换成它的倒数； 3 被除数保持不变。 3.两数相除符号法则：同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0 除以任何不为 0 的数，结果为 0。 4.硬性规定：0 不能作除数，无意义。 知识点 06 有理数乘除混合运算规则 1.统一转化：全部除法转化为乘法，整体写成连乘形式，便于约分； 2.运算顺序：无括号时，从左往右依次计算；有括号先算括号内部； 3.符号处理：统一转化后，用 “奇负偶正” 判断整体符号； 4.书写规范：乘除混合不出现除号，全部化为分数乘法约分计算。 知识点 07 乘除加减混合运算顺序 先乘除，后加减； 有括号先算括号内；多层括号：小括号→中括号→大括号； 可灵活使用乘法分配律简化含加减乘的综合算式。 知识点08:高频易错点汇总表（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 正确解答 错误根源 0 有倒数 0 的倒数是 0 0 没有倒数 概念记忆模糊 分配律漏乘 2(3-5)=6-5 23-25 括号内每一项都要乘外面因数 多因数符号数错 (-2)(-3)(-1)=6 -6 奇数个负因数结果为负 除法直接约分不变倒数 4(-)=4 4(-2) 忘记除法要乘倒数 0 作除数 80=0 0 不能做除数，式子无意义 忽略除法限制条件 题型1.两个有理数的乘法运算 【典例】计算： ______． 【跟踪专练1】元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，，且，则_________ ． 【跟踪专练3】在数中任取个数相乘，其中最小的积是，最大的积是，则 的值是（    ） A． B． C． D． 题型2.多个有理数的乘法运算 【典例】________； 【跟踪专练1】如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【跟踪专练2】若规定，则________． 【跟踪专练3】如果有4个不同的正整数，，，满足，那么的值为（   ） A．8080 B．8100 C．8084 D．8096 题型3.有理数乘法的实际应用 【典例】已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 【跟踪专练1】如图，某长方体形状的容器长，宽，高，容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用V（单位：）表示新注入水的体积，则V的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 【跟踪专练3】初一体育课有四种基本指令：立正，向右转，向后转，向左转．若“立正”用0表示，“向右转”用1表示，“向后转”用2表示，“向左转”用3表示，小明发明了一种“连动指令”： 例如，向右转+向左转=立正，即； 向左转+向后转=向右转，即．据此，“连动指令”可以用加法表（表1）来表示．小亮受此启发，将若干个“连动指令”相加表示为“乘法”的形式，并绘制了乘法表（表2）．加法表和乘法表中已填写部分数字和代表数值的字母，对于字母，，，，的值，有如下说法：①；②；③；④；⑤．你认为正确的说法是（   ） 表1 加数+加数 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3 3 表2 次数×指令 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 5 0 1 6 0 A．②③⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．①③⑤ 题型4.倒数 【典例】2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】有理数的倒数为_____________． 【跟踪专练2】若一个数的倒数与这个数的相反数的和为0，则这个数是______． 【跟踪专练3】农历2025年是乙巳蛇年，数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 题型5.有理数乘法运算律 【典例】计算：__________． 【跟踪专练1】在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】．计算：________． 【跟踪专练3】下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 题型6.有理数的除法运算 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】已知，，那么（     ） A．4 B．6 C．18 【跟踪专练2】的值等于____________． 【跟踪专练3】如果，那么的值为（　　） A． B． C．0或 D．不确定 题型7.有理数除法的应用 【典例】龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 【跟踪专练1】根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“033614625035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，余数得4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．利用此密码算出2035年的世界地球日（4月22日）是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期天 【跟踪专练2】2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 【跟踪专练3】天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历（下面所有干支纪年都是所在公元纪年立春之后的干支纪年）．有十天干与十二地支，如下表： 天干名 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 — — 对应序数 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 — — 地支名 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 对应序数 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如：2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，则2008年就是戊子年．2026年是伟大的中华人民共和国成立77周年，则2026年是___________年．（用天干地支纪年法表示） 题型8.有理数乘除混合运算 【典例】计算：_____． 【跟踪专练1】某馄饨店每碗有10个馄饨．其中虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗．现计划推出“双拼”馄饨，其中含虾仁馄饨、鲜肉馄饨各5个，这种馄饨每碗合理定价为（    ） A．24元 B．22元 C．14元 D．12元 【跟踪专练2】计算：______. 【跟踪专练3】计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 题型9.有理数乘除中的简便运算 【典例】的值为________． 【跟踪专练1】( )，( ) 【跟踪专练2】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 题型10.有理数四则混合运算 【典例】一种新定义运算为：对于任意两个数a与b，若，则______． 【跟踪专练1】计算：得（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 【典例】某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 【跟踪专练1】《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【跟踪专练2】在我的办公室里有两个时钟．一个时钟每小时快一分钟，另一个时钟每小时慢两分钟．昨天我把两个时钟都设置到了正确的时间，但当我今天看它们的时候，我看到一个时钟显示的时间是，另一个时钟显示的时间是．问我是什么时间调整两个时钟的？（   ） A． B． C． D． E． 【跟踪专练3】某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 题型12.数轴位置判断代数式正负 【典例】如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，则______0．（填“”、“”、或者“”） 【跟踪专练1】如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【跟踪专练2】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【跟踪专练3】实数在数轴上的对应点的位置如图2示，已知则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型13.数轴上的翻折 【典例】折叠数轴，若对应的点与3对应的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是______，则对应的点与数______对应的点重合． 【跟踪专练1】如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是（   ） A．3 B．5 C．5或 D．或3 【跟踪专练2】已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面，若数轴上表示数1的点与表示数的点重合，则数轴上表示数的点与表示数2的点重合．折叠纸面，使数轴上表示数的点与表示数0的点重合，数轴上表示数3的点与表示数________的点重合；若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，则M表示的数为 ________； 51．【跟踪专练1】如图，小丽在纸上画了一条不完整的数轴，折叠纸面，使数轴上表示的点和表示3的点重合，若该数轴上A，B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则点A表示的数是（    ） A．或4 B．或5 C．或4 D．或5 题型14.新定义运算 【典例】对于两个数，规定一种新运算，，那么( )． 【跟踪专练1】现定义两种运算“”和“※”，对于任意两个整数，，，那么____． 【跟踪专练2】现定义同级的两种运算“”“*”：对于任意两个数，，则的结果是___________． 【跟踪专练3】对自然数、、，定义新运算，使其满足，．则______． 解答题 1．计算：． 2．计算： ． 3．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，， ， ，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 7．某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元； (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 8．有理数、、在数轴上的位置如图． (1)把、、，，，，这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：______，______，______，______． 9．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05有理数乘除暑假预习讲义 · 结合水位、行程实际情境，理解有理数乘法的意义，自主归纳两数相乘的符号规律，熟记有理数乘法基本法则。 · 掌握多个有理数相乘的符号判定口诀 “奇负偶正、有 0 得 0”，能分步完成多因数乘法计算（先定符号，再算绝对值）。 · 熟记乘法交换律、结合律、分配律，能看懂简便计算例题，尝试对小数、分数乘法分组凑整简化运算，重点留意分配律不漏乘。 · 理解倒数定义，会求整数、分数、小数的倒数，牢记0 没有倒数，区分相反数与倒数的不同。 · 读懂乘除互逆关系，掌握除法转化法则：除以一个不为 0 的数等于乘它的倒数，理解除法 “两变” 要求。 · 熟记两数相除符号规则（同号得正，异号得负），会规范完成整数、分数、小数的除法、乘除混合运算。 · 能把乘除混合算式统一转化为连乘形式约分计算，理清运算顺序，区分运算符号与性质符号。 · 会利用有理数乘除法解决盈亏、速率、平均分等实际应用题，能正确设定正负并列式。 · 自主梳理本节易混淆点：倒数与相反数、分配律漏乘、除数不能为 0、多个负因数符号判断，标记看不懂的例题课堂重点听。 · 初步体会转化思想（除法转乘法）、分类讨论思想（分同号、异号、含 0 三类运算），规范书写计算步骤。 预习必备知识梳理 1.有理数乘法法则 2.多个有理数相乘符号规律 3.乘法三大运算律 4.倒数 5.有理数除法 6.有理数乘除混合运算规则 7.有理数乘除混合运算顺序 8.高频易错点汇总 常考题型精讲精练 1.两个有理数的乘法运算 2.多个有理数的乘法运算 3.有理数乘法的实际应用 4.倒数 5.有理数乘法运算律 6.有理数的除法运算 7.有理数除法的应用 8.有理数乘除混合运算 9.有理数乘除中的简便运算 10.有理数四则混合运算 11.有理数四则混合运算的实际应用 12.数轴位置判断代数式正负 13.数轴上的翻折 14.新定义运算 强化题型 解答题9题 知识点 01: 有理数乘法法则 1.正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数。积的绝对值等于各乘数的绝对值的积。 2.两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与 0 相乘，都得0。 3.有理数乘法法则也可以表示如下： 设 a,b 为正有理数，c 为任意有理数， 则 (+a)(+b) = a b,-a)(-b) = ab; (-a)(+b) = -(a b), (+a)(-b) = -(a b); c 0 = 0, 0 c = 0. 知识点 02 多个有理数相乘符号规律（必考） 1.步骤：先定符号，再把所有绝对值相乘 2.符号判定口诀：奇负偶正 负因数个数为奇数，积为负；负因数个数为偶数，积为正。 3.特殊结论：几个数相乘，只要有一个因数为 0，积直接等于 0。 例：(-2)×(-3)×(-4)，3 个负因数（奇数），结果为负，-(2×3×4)=-24 例：(-1)×2×0×(-5)=0 知识点 03 乘法三大运算律（简便计算核心） 简便计算常用技巧 ① 互为倒数先相乘凑 1；② 小数、整数凑整；③ 同分母分数结合；④ 分配律拆分简化。 知识点04:倒数 1.定义：乘积为 1 的两个数互为倒数。 2.关键点：0 没有倒数（不存在一个数与 0 相乘等于 1）。 3.符号规律：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；互为倒数两数符号相同。 例：-3的倒数是-；的倒数是。 4.倒数的求法 知识点 05 有理数除法核心转化法则（本节重难点） 1.除法转化公式：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数 字母表示：ab=a(b≠0) 2.转化要点 “两变一不变” 1 运算符号变：除号变乘号； 2 除数变：除数换成它的倒数； 3 被除数保持不变。 3.两数相除符号法则：同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0 除以任何不为 0 的数，结果为 0。 4.硬性规定：0 不能作除数，无意义。 知识点 06 有理数乘除混合运算规则 1.统一转化：全部除法转化为乘法，整体写成连乘形式，便于约分； 2.运算顺序：无括号时，从左往右依次计算；有括号先算括号内部； 3.符号处理：统一转化后，用 “奇负偶正” 判断整体符号； 4.书写规范：乘除混合不出现除号，全部化为分数乘法约分计算。 知识点 07 乘除加减混合运算顺序 先乘除，后加减； 有括号先算括号内；多层括号：小括号→中括号→大括号； 可灵活使用乘法分配律简化含加减乘的综合算式。 知识点08:高频易错点汇总表（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 正确解答 错误根源 0 有倒数 0 的倒数是 0 0 没有倒数 概念记忆模糊 分配律漏乘 2(3-5)=6-5 23-25 括号内每一项都要乘外面因数 多因数符号数错 (-2)(-3)(-1)=6 -6 奇数个负因数结果为负 除法直接约分不变倒数 4(-)=4 4(-2) 忘记除法要乘倒数 0 作除数 80=0 0 不能做除数，式子无意义 忽略除法限制条件 题型1.两个有理数的乘法运算 【典例】计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 【跟踪专练1】元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干给出的“同号相乘为正，异号相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，0不是负数，不符合要求； 选项B：，结果为正数，不符合要求； 选项C：，同号相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D： ，异号相乘得负，结果为负数，符合要求． 故选：D． 【跟踪专练2】若，，且，则_________ ． 【答案】7或 【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴时；时， 则或． 【跟踪专练3】在数中任取个数相乘，其中最小的积是，最大的积是，则 的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法，关键是掌握有理数乘法法则；根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵可能的积为： ∴最小的积，最大的积， ∴． 题型2.多个有理数的乘法运算 【典例】________； 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，任何数与0相乘都得0，据此可得答案． 【详解】解：， 故答案为：0． 【跟踪专练1】如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得． 【详解】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数）， ∴另外两个数的积一定为正数， ∴另外两个数一定同号． 【跟踪专练2】若规定，则________． 【答案】 / 【分析】先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，每次运算先比较两个数的大小，再根据新定义对应的法则计算即可 【详解】解：先计算括号内的 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ 【跟踪专练3】如果有4个不同的正整数，，，满足，那么的值为（   ） A．8080 B．8100 C．8084 D．8096 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法． 一个正整数通过分解把它写为四个不同的整数的乘积，要考虑有两个正因数，两个负因数，从而再结合题意解决问题即可． 【详解】∵，， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型3.有理数乘法的实际应用 【典例】已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 【答案】80 【详解】解：由题意得，8折指售价为标价的， 则每件商品的售价是（元）． 【跟踪专练1】如图，某长方体形状的容器长，宽，高，容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用V（单位：）表示新注入水的体积，则V的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，新注入水的体积最多为， ∴. 【跟踪专练2】外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 【答案】 【分析】先根据总订单数和对应占比分别算出两类送餐距离的订单量，再结合各自单餐费用，列式计算求出小李月份的送餐总收入． 【详解】解：由表格数据可得，总送餐收入为 （元）． 【跟踪专练3】初一体育课有四种基本指令：立正，向右转，向后转，向左转．若“立正”用0表示，“向右转”用1表示，“向后转”用2表示，“向左转”用3表示，小明发明了一种“连动指令”： 例如，向右转+向左转=立正，即； 向左转+向后转=向右转，即．据此，“连动指令”可以用加法表（表1）来表示．小亮受此启发，将若干个“连动指令”相加表示为“乘法”的形式，并绘制了乘法表（表2）．加法表和乘法表中已填写部分数字和代表数值的字母，对于字母，，，，的值，有如下说法：①；②；③；④；⑤．你认为正确的说法是（   ） 表1 加数+加数 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3 3 表2 次数×指令 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 5 0 1 6 0 A．②③⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了推理能力，有理数的加法乘法运算的应用，正确理解题意是解题的关键． 先理解加法和乘法的意义，再根据指令得到几次指令后的方向即可． 【详解】解：，即向左转+向后转=向右转，则，故①正确； ，即向左转+向左转=向后转，则，故②错误； ，即向后转5次，即向后转，则，故③正确； ，即向左转5次，即向左转，则，故④错误； ，即向左转6次，即向后转，则，故⑤正确； 综上，正确说法为①、③、⑤， 故选：D． 题型4.倒数 【典例】2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 【跟踪专练1】有理数的倒数为_____________． 【答案】 【详解】解：有理数的倒数为． 【跟踪专练2】若一个数的倒数与这个数的相反数的和为0，则这个数是______． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义等知识﹒设这个数为，则它的倒数为，相反数为，根据题意得，得到，根据1和的倒数等于它本身即可求解 【详解】解：设这个数为，则它的倒数为，相反数为， 根据题意得， 即 所以， 所以的倒数等于它本身， 所以1和的倒数等于它本身﹒ 故答案为：﹒ 【跟踪专练3】农历2025年是乙巳蛇年，数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，倒数的定义，解题关键是熟练掌握倒数的定义． 【详解】解：． ∴的倒数是． 故选：D． 题型5.有理数乘法运算律 【典例】计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法，带分数化为整数和分数的差的形式，利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 【跟踪专练1】在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 【跟踪专练2】．计算：________． 【答案】 9999900000 【分析】观察算式，将变形为，构造相同因数，再利用乘法结合律和乘法分配律进行简便计算． 【详解】 ． 【跟踪专练3】下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，应用乘法交换律正确，故该选项不符合题意； B、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； C、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； D、，该等式应用乘法分配律错误，漏乘，故该选项符合题意． 题型6.有理数的除法运算 【典例】计算：________． 【答案】6 【详解】解： ． 【跟踪专练1】已知，，那么（     ） A．4 B．6 C．18 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴． 【跟踪专练2】的值等于____________． 【答案】或3 【分析】根据、的正负性（同正、同负、一正一负）分类讨论，结合绝对值的性质计算式子的值． 【详解】解：由题可知且， 分以下四种情况讨论： ①当时， ， 原式； ②当时， ， 原式； ③当时， ， 原式； ④当时， ， 原式， 综上，式子的值为3或． 【跟踪专练3】如果，那么的值为（　　） A． B． C．0或 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，熟练运用相关性质是解题的关键． 根据绝对值的性质和有理数的除法可得，即可解答． 【详解】解：， 故选：B． 题型7.有理数除法的应用 【典例】龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 【答案】6 【详解】解：设工作总量为1，甲队效率为，乙队效率为，则两队合作效率为， 故合作需天． 【跟踪专练1】根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“033614625035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，余数得4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．利用此密码算出2035年的世界地球日（4月22日）是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期天 【答案】D 【分析】按照题目给出的计算规则，先找到4月对应的密码数字，再加上日期求和，计算和除以7的余数，根据余数对应得到星期几即可. 【详解】解：∵ 密码从左到右12个数字依次对应1到12月，4月对应第4个数字，密码为033614625035， ∴ 4月对应的密码数字是6，计算和得 ， ∵ ，余数为0，根据规则余数0对应星期天， ∴ 2035年4月22日是星期天. 【跟踪专练2】2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 【答案】104 【分析】全程比赛分两阶段计算，第一阶段小组循环赛按单循环场次计算，第二阶段淘汰赛按淘汰球队数加额外三四名决赛场次算，最后求和． 【详解】解：第一阶段：总共48支球队，每4支一组， 组数为：（组）， 每组单循环比赛的场次：（场）， ∴第一阶段比赛的总场次为：（场）． 第二阶段：∵晋级球队32支，采用单场淘汰赛决出冠军， ∴决出冠军需要淘汰的球队数量为：（支）， ∴淘汰赛场次为31场， 又∵半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛， ∴第二阶段比赛的总场次为：（场）． 全程总场次为：（场）． 【跟踪专练3】天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历（下面所有干支纪年都是所在公元纪年立春之后的干支纪年）．有十天干与十二地支，如下表： 天干名 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 — — 对应序数 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 — — 地支名 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 对应序数 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如：2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，则2008年就是戊子年．2026年是伟大的中华人民共和国成立77周年，则2026年是___________年．（用天干地支纪年法表示） 【答案】丙午 【分析】先根据年份尾数确定天干，再计算年份除以12的余数确定地支，最后组合得到干支纪年结果. 【详解】解：确定天干：2026年的尾数为，由天干对应序数表可知，序数对应的天干为“丙”； 确定地支：计算，可得，即余数为，由地支对应序数表可知，序数对应的地支为“午”； 将天干与地支组合，可得2026年为丙午年. 题型8.有理数乘除混合运算 【典例】计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】某馄饨店每碗有10个馄饨．其中虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗．现计划推出“双拼”馄饨，其中含虾仁馄饨、鲜肉馄饨各5个，这种馄饨每碗合理定价为（    ） A．24元 B．22元 C．14元 D．12元 【答案】D 【分析】先分别计算单个虾仁馄饨和单个鲜肉馄饨的单价，再计算5个两种馄饨的总价，即可得到双拼馄饨的合理定价． 【详解】解：∵每碗馄饨共10个，虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗， ∴单个虾仁馄饨价格为元，单个鲜肉馄饨价格为元， ∵双拼馄饨含两种馄饨各5个， ∴总定价为元． 【跟踪专练2】计算：______. 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，解答本题的关键是熟练掌握有理数的乘除法则． 先根据有理数的除法法则，把除法化成乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则是解题的关键； 根据有理数乘除混合运算法则计算即可求解； 【详解】解：； 故选：C 题型9.有理数乘除中的简便运算 【典例】的值为________． 【答案】 【分析】根据乘法分配律将算式变化，即可计算出结果． 【详解】解： 【跟踪专练1】( )，( ) 【答案】 【分析】本题主要考查了单位换算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，进行换算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：； 【跟踪专练2】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将式子中写成，通过观察发现可以把公因数提出来，再算出括号里的数，最后与相乘得到最终答案． （2）先把式子中转化成，再提出公因数，再运算得出结果． （3）先把式子中转化成，把公因数提出，再运算得出结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 题型10.有理数四则混合运算 【典例】一种新定义运算为：对于任意两个数a与b，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，根据给定的新运算规则，代入对应数值计算即可得到结果． 【详解】解：， 当，时，． 【跟踪专练1】计算：得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键;将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，最后约分简化． 【详解】解：， 故选：B． 【跟踪专练2】把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 【答案】16 【分析】根据题干所给的运算法则，结合有理数的四则混合运算法则，计算即可得出结果． 【详解】解：∵把称作二阶行列式，规定它的运算法则为， ∴． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内的，逐一计算验证选项即可。 【详解】选项A： ∵ ， ∴ A错误； 选项B： ∵ ， ∴ B错误； 选项C： ∵ ， ∴ C错误； 选项D： ∵ ， 计算符合运算法则，结果正确， ∴ D正确； 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 【典例】某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 【答案】 【分析】根据“数量（成本利润）单价”列式求解即可． 【详解】解：， ∴他们绘制的秦腔脸谱的个数为26． 【跟踪专练1】《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【答案】C 【详解】解：∵ 由题意可知：盈为3不足为4，两次每人出钱数分别为8和7， ∴根据题中给出的算法人数为， ∴物价为． 【跟踪专练2】在我的办公室里有两个时钟．一个时钟每小时快一分钟，另一个时钟每小时慢两分钟．昨天我把两个时钟都设置到了正确的时间，但当我今天看它们的时候，我看到一个时钟显示的时间是，另一个时钟显示的时间是．问我是什么时间调整两个时钟的？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】C 【分析】先计算每小时两个时钟的总时间差，再根据当前两个时钟的时间差得到从调整到现在经过的实际时长，再结合快钟的误差算出当前实际时间，最后倒退得到调整时钟的时间。 【详解】解：∵快钟每小时比标准时间快1分钟，慢钟每小时比标准时间慢2分钟 ∴每经过1小时，快钟比慢钟多走分钟 ∵现在两个时钟显示时间相差分钟 ∴从调整时钟到现在一共经过了小时 ∵显示时间更早的是慢钟，显示的是快钟，20小时一共快了分钟 ∴当前实际时间为分钟 ∵调整时间是20小时前的标准时间， ∴调整时间为 小时． 【跟踪专练3】某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 【答案】 【分析】（1）分别计算只装同一种产品时，每个礼盒最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值； （2）根据每种产品最多装2件的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）分别计算每种产品的总价值： 产品A：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品B：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品C：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品D：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 比较得，一个礼盒的总价值最高是元； （2）计算单位重量价值（优先选单价高的）： 、（元）， 、（元）， 、（元）， 、（元）， ∵， 即按照单位重量价值从大到小排序为：， 故优先级为． 按照每种最多件：最多件（），最多件（），最多件（），最多件（）， 先装满优先级高的产品，再用剩余重量搭配次优产品： ①件：，价值（元）， 件：，价值（元）， 已用重量：，剩余重量：， 剩余恰好装件，且只装件，符合限制条件， 此时件件件，总重量：（千克），总价值：（元）； ②件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ③件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ④件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ⑤件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； 其余符合重量限制的组合总价均低于元，因此最高总价值是元． 题型12.数轴位置判断代数式正负 【典例】如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，则______0．（填“”、“”、或者“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可得，， ∴． 【跟踪专练1】如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． 【跟踪专练2】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】④ 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围及正负性，再结合有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， 对于①，∵在原点左侧，，故①错误 对于②，∵，，∴，根据有理数加法法则，∴，故②错误 对于③，∵，∴，故③错误 对于④，∵，，根据有理数乘法法则，∴，故④正确 综上所述，结论正确的是④ 【跟踪专练3】实数在数轴上的对应点的位置如图2示，已知则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据推出原点为数a和数c表示的两个点的中点，则可得到，且，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴a和c互为相反数， ∴原点为数a和数c表示的两个点的中点， ∴，且， ∴， ∴四个选项中，只有B选项中的结论正确，符合题意； 题型13.数轴上的翻折 【典例】折叠数轴，若对应的点与3对应的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是______，则对应的点与数______对应的点重合． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了数轴上的翻折，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 折痕为对称轴，与3的中点即为折痕与数轴的交点；点关于折痕对称，利用对称点公式求解． 【详解】解：折叠后重合的点关于折痕对称，折痕与数轴的交点为对称中心． 与3的中点为， 所以折痕交点表示的数是1． 设点的对称点为，则， 即． 对于点， 其对称点为． 故与重合， 故答案为：1，． 【跟踪专练1】如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是（   ） A．3 B．5 C．5或 D．或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的折叠问题，数轴上两点距离计算，分点A落在线段上和点A落在线段的延长线上，根据折叠后点A到点B的距离为8，求出折叠后点A表示的数，再根据折叠前点A表示的数为，即可求出点C表示的数． 【详解】解：当点A落在线段上时， ∵折叠后点A到点B的距离为8， ∴折叠后点A表示的数为， ∵折叠前点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 当点A落在线段的延长线上时， ∵折叠后点A到点B的距离为8， ∴折叠后点A表示的数为， ∵折叠前点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为5或， 故选：C． 【跟踪专练2】已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面，若数轴上表示数1的点与表示数的点重合，则数轴上表示数的点与表示数2的点重合．折叠纸面，使数轴上表示数的点与表示数0的点重合，数轴上表示数3的点与表示数________的点重合；若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，则M表示的数为 ________； 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键． 数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而即可解答；依据M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【详解】解：因为数轴上数表示的点与数表示的点关于点对称，，而，所以数轴上数表示的点与数表示的点重合． ∵，两点之间的距离为，并且，两点经折叠后重合， ∴，， 又∵点表示的数比点表示的数大， ∴点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：，． 51．【跟踪专练1】如图，小丽在纸上画了一条不完整的数轴，折叠纸面，使数轴上表示的点和表示3的点重合，若该数轴上A，B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则点A表示的数是（    ） A．或4 B．或5 C．或4 D．或5 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减法，能正确找出折叠点是解题的关键．表示点和表示3的点重合，则折叠的点表示1，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8，则点与点到折叠点（表示1的点）距离都是4，进而求出点表示的数即可． 【详解】解：∵折叠后数轴上表示的点与表示3的点重合， ∴折叠点为和3的中点，它表示1， 数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 点与点到折叠点（表示1的点）距离都是4， 当点在折叠点右侧时，对应的数为， 当点在折叠点左侧时，对应的数是， ∴点A表示的数是5或． 故选∶D． 题型14.新定义运算 【典例】对于两个数，规定一种新运算，，那么( )． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意先计算出▽，再计算▽△即可． 【详解】解： ， 则 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】现定义两种运算“”和“※”，对于任意两个整数，，，那么____． 【答案】17 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，新定义，认真审题，得出新定义表示的含义是解本题的关键．根据题中的新定义，，根据规律及运算顺序有括号先算括号里边的，化简所求的式子即可求出值． 【详解】 解：，， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】现定义同级的两种运算“”“*”：对于任意两个数，，则的结果是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数混合运算，根据新定义的运算规则，先计算括号内的运算，再从左到右依次计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练3】对自然数、、，定义新运算，使其满足，．则______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据定义新运算的第二种运算方法，把逐步转化为相乘的形式，再根据第一种运算方法求出，然后代入进行计算即可求解．读懂新运算的运算方法，逐步转化为，并求出是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵，即， ∴， ∴． 故答案为：． 解答题 1．计算：． 【答案】 【分析】先把除法转化为乘法，再进行计算即可﹒ 【详解】解：﹒ 2．计算： ． 【答案】 【分析】先计算中括号内的加法，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 3．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3)3 (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，， ， ，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)立方米； (2)元． 【分析】（1）先将8个数据的绝对值相加，求出总行车里程，再乘以每公里消耗天然气量求解即可； （2）分别求出位乘客的车费，再求和即可． 【详解】（1）解：总行车里程为， 共消耗天然气（立方米）， 答：共消耗天然气立方米； （2）解：行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； （元）， 答：小李这天上午共得车费元． 7．某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元； (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 【答案】(1)元 (2)元 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，列式计算即可． 【详解】（1）解： （元）， 答：该便利店这一周平均每天营业额为元； （2）解： （元）， 答：这周总盈利元． 8．有理数、、在数轴上的位置如图． (1)把、、，，，，这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：______，______，______，______． 【答案】(1)； (2)；；；． 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负，根据数轴得出且是解此题的关键． （1）由数轴可得且，由此即可得到答案； （2）由数轴可得且，由此逐个判断即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得：且， ∴； （2）∵由数轴可得， ∴； ∵由数轴可得，且， ∴； ∵由数轴可得， ∴； ∵由数轴可得， ∴． 故答案为：；；；． 9．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】（1）7；（2）①，；②、 【分析】本题考查数轴上的折叠问题，解题的关键是确定对折中心点： （1）根据左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，得到对折中心点为原点，即可得出结果； （2）①根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，求出对折中心点，进而求出对折后与6表示的点重合的点表示的数即可；②根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合， ∴对折中心点为原点， ∴表示的点与7表示的点重合； （2）①由题意，对折中心点为， ； 故对折后6表示的点与数表示的点重合； ②解：由题意可得：、两点距离对折中心点的距离为， 因为对折中心点所表示的数为2的点，，； 所以、两点表示的数分别为：、． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $