第6章 图形的初步知识 章节（22知识点回顾+40题型巩固）2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（浙教版2024）

该初中数学讲义以“知识梳理+题型巩固”构建图形初步知识体系，通过表格对比线段射线直线特征、角的分类等22个知识点，结合图示与几何表述，呈现“概念-性质-应用”递进脉络，突出线段中点、角平分线等重难点内在联系。 亮点在于40类分层题型设计，从基础的几何体识别到综合的动点问题，如“钟面角计算”培养数学眼光，“角n等分线计算”训练推理能力，配套作图步骤与易错提示，助力不同学生提升，支持自主复习与教师精准教学。

第6章 图形的初步知识 章节（22知识点回顾+40题型巩固） 目录 知识梳理 1.几何图形 2.图形间的联系 3.七巧板拼图 4.线段、射线和直线 5.直线的基本事实 6.比较线段的长短 7.作一条线段等于已知线段 8.线段的基本事实 9.线段的和与差 10.线段的中点 11.角及角的表示 12.平角和周角 13.角的单位换算 14.用量角器作一个角等于已知角 15.比较角的大小 16.角的分类 17.角的和、差 18.用量角器作两个角的和差 19.角平分线 20.互余和互补的概念 21.余角和补角的性质 22.方向角 题型巩固 一、常见的几何体 二、组合几何体的构成 三、几何体中的点、棱、面 四、平面图形旋转后所得的立体图形 五、点、线、面、体四者之间的关系 六、平面图形形状的识别 七、用七巧板拼图形 八、直线、射线、线段的联系与区别 九、直线、线段、射线的数量问题 十、直线相交的交点个数问题 十一、画出直线、射线、线段 十二、点与线的位置关系 十三、两点确定一条直线 十四、两点之间线段最短 十五、两点间的距离 十六、作线段(尺规作图) 十七、线段的和与差 十八、线段中点的有关计算 十九、线段n等分点的有关计算 二十、线段之间的数量关系 二十一、与线段有关的动点问题 二十二、角的概念理解 二十三、角的表示方法 二十四、角的分类 二十五、钟面角 二十六、角的单位与角度制 二十七、角度的四则运算 二十八、方向角的表示 二十九、与方向角有关的计算题 三十、角的比较 三十一、角的度数大小比较 三十二、三角板中角度计算问题 三十三、几何图形中角度计算问题 三十四、实际问题中角度计算问题 三十五、角平分线的有关计算 三十六、角n等分线的有关计算 三十七、求一个角的余角 三十八、求一个角的补角 三十九、与余角、补角有关的计算 四十、同(等)角的余(补)角相等的应用 知识梳理 知识点1.几何图形 1.定义：点、线、面、体称为几何图形。 注意： 几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其他属性，如质量，颜色等。 2.分类：   定义 举例 立体图形 图形所表示的各个部分不在同一个平面内，这样的几何图形称为立体图形。 长方体，圆柱，圆锥，球等。 平面图形 图形所表示的各个部分都在同一个平面内，称为平面图形。 如线段、角、三角形、圆等。 常见的立体图形的分类方法 （1） （2） 知识点2.图形间的联系 1.图形的构成元素：图形是由点、线、面构成的。 2.元素之间的关系 注意： 点无大小，线无粗细，面无厚薄。 知识点3.七巧板拼图 七巧板：七巧板又称“七巧图”“智慧板”，是中国古老的智力玩具。如图，七巧板由七块板组成，完整图案为一个正方形，由七块板可以变换出各种不同的图案。 知识点4.线段、射线和直线 1.概念 概念 特征 线段 连结两个点之间的笔直的线。 ①有两个端点；②可以度量；③可以比较长短。 射线 将线段向一个方向无限延长就形成了射线。 ①有一个端点，只向一方无限延长；②不能度量；③不能比较大小。 直线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线。 ①无端点，向两方无限延长；②不能度量； ③不能比较大小。 2.表示方法 （1）线段的表示方法： ①用表示线段的两个端点的大写字母表示（与字母顺序无关）； （线段延长线的表示： 反向延长线段AB至点C或延长线段BA至点C ） ②用一个小写字母表示。 （2）射线的表示方法： 用表示射线的端点和射线上另外任意一点的两个大写字母表示（表示端点的字母必须写在前面）。（端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线，两条射线为同一条射线必须满足：①端点相同；②延长的方向相同） （3）直线的表示方法： ①用表示直线上面任意两个点的大写字母表示（与字母顺序无关）； ②用一个小写字母表示。 3.点与直线的位置关系： 点与直线的位置关系 图示 记作 点在直线上 点A在直线l上或直线l 经过点A 。 点在直线外 点B在直线l外或直线l 不经过点B 。 辨析：线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示方法 线段AB或线段a 射线OM 直线AB或直线l 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一个方向无限延伸 向两个方向无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 线段向一个方向无限延长就成为射线,向两个方向无限延长就成为直线；射线向反方向无限延长就成为直线。 知识点5.直线的基本事实 基本事实：经过两点有一条而且只有一条（两层含义：（1）存在性，两点能确定一条直线；（2）唯一性，经过这两点的直线是“独一无二”的）直线。可以简单地说成：两点确定一条直线。 知识点6.比较线段的长短 1.度量法（数的比较）： 利用刻度尺量出两条线段的长度，然后比较它们的长短。 2.叠合法（形的比较）： 如图，用圆规把两条线段（如线段AB,CD ）叠在一起进行比较，步骤如下： （1）用圆规量取线段AB ； （2）将圆规上表示点A的尖与线段CD的端点C 重合； （3）若端点B落在线段CD的延长线上，则线段AB大于线段CD ，可记为AB>CD ；若端点B与端点D重合，则线段AB等于线段CD，可记为AB=CD ；若端点B落在线段CD上（不含点D），则线段AB小于线段CD ，可记为AB<CD 。 知识点7.作一条线段等于已知线段 1.尺规作图：在数学中,限定用无刻度的直尺和圆规作图，即是尺规作图。 2.作一条线段等于已知线段a （图1）的方法作法：如图2，（1）任意画一条射线AC ；（2）用圆规量取已知线段a 的长度；（3）在射线AC上截取AB=a 。线段AB 就是所求作的线段。（作图完毕后，必须写上结论） 图 2 图 1 知识点8.线段的基本事实 1.线段的基本事实：在所有连结两点的线中，线段最短。简单地说，两点之间线段最短。 2.两点间的距离：连结两点的线段的长度叫作这两点间的距离。 注意： 线段是图形，两点间的距离是线段的长度，两者不同。 知识点9.线段的和与差 两条线段的和 两条线段的差（两条线段的和或差仍是一条线段） 概念 如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和。 如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差。 条件 图形 作法 1.作射线AD 。 2.在射线AD 上截取AB=a 。 3.在射线BD 上截取BC=b 。 1.作线段AB=b 。 2.在线段AB上截取AC=a 。 结论 线段AC=AB+BC=a+b，线段AC 就是所求作的线段。 线段BC=AB−AC=b−a ，线段BC 就是所求作的线段。 知识点10.线段的中点 概念 点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C 叫作线段AB 的中点。 几何表述 因为点C是线段AB的中点，所以AB=2AC=2BC 或AC=BC=AB 。 图示 说明：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB 上。 教材延伸 线段的三等分点、四等分点。将线段AB分成相等的三条线段AM,MN,NB，点M，N即线段AB 的三等分点。同样还可以得到线段的四等分点等。如图所示。 类似地，还有线段的五等分点、六等分点等。 知识点11.角及角的表示 1.角的“静态”定义 定义 图示 解读 “静止” 的观点 由两条有公共端点的射线所组成的图形。 这个公共端点叫作这个角的顶点，这两条射线是角的两条边。 2.角的几何符号为“∠ ”，读作“角”，角的一般表示方法有以下四种： 表示方法 图示 记法 说明 用三个大写字母表示 ∠AOB 或∠BOA 字母O 表示顶点，要写在中间，A，B 表示角的两边上的点，用该表示方法可以表示任意一个角。 用一个数字 表示 ∠1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母。该表示方法形象、直观。 用一个希腊 字母表示 ∠α ,∠β 用角的顶点 字母表示 ∠O 当角的顶点处只有一个角时，可用这个顶点字母来表示。 知识点12.平角和周角 1.角的“动态”定义 定义 图示 解读 “运动” 的观点 由一条射线绕着它的端 点旋转而成的图形。 起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边。 注意：我们平时画角时，只画角的一部分，角的两边是两条射线。 2.平角与周角的定义 一条射线绕着它的端点旋转，当终边旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图1所示；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫作周角，如图2所示。 图2 图1 知识点13.角的单位换算 1.角的度量单位：度、分、秒是角的基本度量单位。把周角等分为360份，每一份就是1° 的角；把1° 的角等分成60份，每一份就是1分，记作1′；把1分的角等分成60份，每一份就是1秒，记作1″ 。 2.角的单位换算： 1°=60′，1′=()° ；1′=60″，1″=()′ ； 1°=3 600″，1″=()°；1周角=360° ，1平角=180° 注意：它们之间的换算是60进制，这与时间的时、分、秒之间的换算是一样的。 知识点14.用量角器作一个角等于已知角 条件 已知∠α ，用量角器作一个角，使它等于∠α 。 图形 作法 （1）用量角器量得∠α=70°。 （2）作射线OA 。 （3）用量角器作射线OB，使∠AOB=70°。 ∠AOB=70°=∠α ，∠AOB 就是所求作的角。 知识点15.比较角的大小（角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度有关） 1.度量法（数的比较）：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。 2.叠合法（形的比较）：将两个角的顶点及一条边重合,另一条边放在重合边的同侧,就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点O与O′ 重合,再让一条边OB与O′D重合,使另一条边OA和O′C落在OB（或O′D ）的同侧。 知识点16.角的分类 角的名称 定义 各种角之间的大小关系 直角 等于90°的角 （1）锐角<直角（直角可以用Rt∠表示，画图时常在直角的顶点处加上符号“┐ ”来表示这个角是直角）< 钝角< 平角< 周角。 （2）1周角=2平角=4 直角=360° ; 1平角=2直角=180°；1直角=90°。 锐角 小于直角的角 钝角 大于直角而小于平角的角 知识点17.角的和、差（两个角的和或差仍是一个角） 概念 表示 图示 两个角的差 如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差。 记作 ∠AOB=∠AOC−∠BOC 知识点18.用量角器作两个角的和差 条件 已知∠1与∠2，用量角器作∠1与∠2 的和。 图形 作法 用量角器量得∠1=60°，∠2=45°，计算：∠1+∠2=60°+45°=105°， 用量角器作∠AOB=105°。∠AOB=∠1+∠2，∠AOB 就是所求作的角。 知识点19.角平分线 角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。 如图,射线OC是∠AOB 的平分线。这时, ∠AOC=∠BOC=∠AOB （或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC ）。 注意：角的平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线。 教材延伸 角的三等分线 如图,射线OC,OD在∠AOB的内部,如果∠AOD=∠DOC=∠COB ,那么射线OC,OD是∠AOB 的三等分线。类似地,从一个角的顶点出发，把这个角分成n个相等的角的射线，叫作这个角的n 等分线，如四等分线、五等分线等。 知识点20.互余和互补的概念 名称 概念 数学语言 图示 互为 余角 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 若 ∠1+∠2=90^∘， 则∠1与∠2互余，∠1是∠2 的余角，∠2也是∠1 的余角。 互为 补角 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个 角是另一个角的补角。 若 ∠3+∠4=180^∘， 则∠3与∠4互补，∠3是∠4 的补角，∠4也是∠3 的补角。 注意：（1）两个角互余或互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。 （2）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角。 知识点21.余角和补角的性质 1.余角的性质：同角或等角的余角相等。 2.补角的性质：同角或等角的补角相等。 知识点22.方向角 1.方向角：一般地，方向角是以第一个方向（正南或正北）为角的始边向第二个方向（东或西）转动所形成的角。如图,射线OA 的方向是北偏东30°,射线OB 的方向是南偏西60°。 2.特殊角的表示：东北方向表示北偏东45°,西北方向表示北偏西45°,东南方向表示南偏东45°,西南方向表示南偏西45°。 注意：方向角通常先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东30°”一般不写成“东偏北60°”。 题型巩固 题型一、常见的几何体 1．（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列实物中，能抽象成圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查圆柱体的识别，根据常见几何体的特征逐项判断即可． 【详解】解：A，抽象出来是六棱柱，不合题意； B，抽象出来是球，不合题意； C，抽象出来是圆柱，符合题意； D，抽象出来是圆锥，不合题意； 故选：C． 题型二、组合几何体的构成 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 【答案】 16 14 【知识点】组合几何体的构成 【分析】本题考查的是立体图形，解决本题的关键是利用总的正方体个数减去看到的正方体个数，得到看不到的正方体的个数．看到的正方体个数直接数出来就可以了，看不到的正方体个数用总的正方体个数减去看到的正方体个数即可． 【详解】解：看到的正方体有（块， 总的正方体个数有（块， 看不到的正方体有（块． 故答案为：16，14． 题型三、几何体中的点、棱、面 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）一个棱柱有16个顶点，则这个棱柱是 棱柱． 【答案】八 【知识点】常见的几何体、几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查认识立体图形，掌握棱柱的形体特征是正确判断的前提． 根据顶点个数可知该棱柱的名称． 【详解】解：一个棱柱有16个顶点，则这个棱柱是八棱柱． 故答案为：八． 题型四、平面图形旋转后所得的立体图形 4．（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列各平面图形绕虚线旋转一周，能得到球的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键．根据每一个几何体的特征，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，故不符合题意； B、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，故符合题意； C、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是梭形，故不符合题意； D、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，故不符合题意； 故选：B． 题型五、点、线、面、体四者之间的关系 5．直升飞机螺旋桨一般由4片桨叶组成，直升飞机起飞时，螺旋桨旋转时向下推动空气，即向下施加一个作用力，直升飞机获得竖直向上的力，使得飞机能悬浮在空中．若把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了（    ） A．面动成体 B．线动成面 C．点动成线 D．面面相交成线 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，明确点动成线，线动成面，面动成体．根据点、线、面、体的关系解答即可． 【详解】解：若把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了线动成面． 故选：B． 题型六、平面图形形状的识别 6．（2022七年级上·浙江·专题练习）下列图形是正方形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】根据正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角，即可得出结果． 【详解】解：A．正方形； B．菱形； C．平行四边形； D．矩形； 故选：A． 【点睛】本题考查了认识平面图形，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键． 题型七、用七巧板拼图形 7．（2022七年级上·浙江·专题练习）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为 （取1.4）． 【答案】 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】先依次将原七巧板里面的各个图形的边长求出来，然后根据构成“衣服型”图形的每个图形的边长计算其周长即可． 【详解】解：如图： ∵七巧板里面的各个三角形均为等腰直角三角形， ∴所有锐角都等于45°， ∵方格图中的小正方形边长为1， ∴， ∴， ； 如图，当七巧板拼成“衣服型”时， 则“衣服型”的周长为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面图形，求出七巧板里面各个图形的边长是解题关键． 题型八、直线、射线、线段的联系与区别 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）延长线段到点C，下列说法正确的是（  ） A．点C在线段上 B．点C在直线上 C．点C不在直线上 D．点C在线段的延长线上 【答案】B 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题主要考查了线段、线段的延长线，直线的概念，理解线段、线段的延长线，直线的概念是解题的关键． 根据线段、线段的延长线，直线的概念，对题中的四个选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：∵延长线段到点C， ∴点C在线段的延长线上，点C在直线上， ∴选项A，C，D均不正确，选项B正确， 故选：B． 题型九、直线、线段、射线的数量问题 9．（25-26七年级上·浙江金华·月考）若、是火车行驶的两个站点，两站之间有3个车站，在这段线路往返行车，需印制（   ）种车票． A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了排列组合的应用． 计算总站点数，再求线段总条数，最后乘以2考虑往返车票． 【详解】解：∵总站点数包括A、B和3个中间站，共5个站点． ∴线段总条数为， ∵往返行车需两种车票， ∴车票种类为． 故选：D． 题型十、直线相交的交点个数问题 10．探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 【答案】(1)，， (2) (3) 【知识点】图形类规律探索、直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查了直线与直线间交点规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键． （1）根据题意结合图形即可解答； （2）利用题中方法代入数据计算即可； （3）把9条公路看作是9条直线，先求出9条直线两两相交时的交点的个数，再根据差是10进行分析，即可得解． 【详解】（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即； 平面内有4条直线，则最多有个交点，即； ； 若平面内有条直线，则最多有个交点，即； （2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时， 其交点的个数最多为（个）， 其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数； （3）解：把9条公路看作是9条直线，则9条公路两两相交时交点的个数为：， ， 则可以看作，在某一方向上有5条直线两两互相平行，其余4条直线不平行，如图： 题型十一、画出直线、射线、线段 11．（24-25七年级上·浙江杭州·月考）如图，不在同一直线上的四点，，，，．按下面的要求画图： (1)在图1中，画出线段，线段，并交于点； (2)在图2中，画射线，射线，并交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了作图---复杂作图，解题的关键是理解直线、射线、线段的定义． （1）根据线段的定义画出图形； （2）根据射线的定义画出图形． 【详解】（1）解：如图1中，线段，，点即为所求； （2）解：如图2中，射线，射线，点即为所求． 题型十二、点与线的位置关系 12．请按要求画图： (1)点A在直线l上，点B和点C都在直线l外； (2)在平面上任意画出A，B，C三个点，过点A，B画直线l．说明点C和直线l的位置关系． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，点C可能在直线l上，也可能在直线l外 【知识点】点与线的位置关系、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查点与直线的位置关系，画直线，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据点与直线的位置关系画图； （2）根据点与直线的位置关系分类画图． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示，点C可能在直线l上，也可能在直线l外． 题型十三、两点确定一条直线 13．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，在学校的劳动实践课程上，同学们体验插秧时发现：只要确定两个秧苗的位置，就能使同一行秩苗整齐的插在一条直线上，这样做的依据是（   ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．同角的余角相等 【答案】C 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查了两点确定一条直线，根据题意同一行秧苗在一条直线上，即可求解． 【详解】解：只要确定两个秧苗的位置，就能使同一行秧苗在一条直线上，其道理用几何知识解释是两点确定一条直线． 故答案为：C． 题型十四、两点之间线段最短 14．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，不在同一直线上的四点，，，，按照下面要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)在射线上取一点，使最小； (4)作出点的依据是_______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查画直线，射线，线段，两点之间线段最短，根据直线，射线，线段的定义即可解答，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线的定义画出图形； （2）根据射线的定义画出图形； （3）连接交于点，点即为所求； （4）根据两点之间，线段最短解决问题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，点即为所求； （4）解：作出点的依据是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 题型十五、两点间的距离 15．如图，已知线段，点C是上任一点，是的中点，是的中点，则的长度为 cm．    【答案】5 【知识点】两点间的距离 【分析】由已知条件可知，，又因为M是的中点，N是的中点，则． 【详解】解： 是的中点，是的中点， ， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 题型十六、作线段(尺规作图) 16．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，已知平面内有线段，和点，且，请按下列要求作图： (1)作射线，并在射线上取点，使得（请用无刻度的直尺和圆规作图，并保留作图痕迹，不写作法）： (2)在上取一点，使得最短，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析；两点之间，线段最短 【知识点】作线段(尺规作图)、两点之间线段最短、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则点即为所求． （2）结合线段的性质：两点之间线段最短，连接交于点，则点即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点， 则点即为所求； （2）解：如图，连接交于点， 则点即为所求． 理由：两点之间，线段最短． 题型十七、线段的和与差 17．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，为线段上两点，，且，则(　　) A．9 B．15 C．21 D． 【答案】A 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差 【分析】本题考查线段的和差，解题的关键是数形结合，列出方程；由题意得方程解方程可得． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 解得． 故选：A． 题型十八、线段中点的有关计算 18．（25-26七年级上·浙江金华·月考）已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据线段中点的定义求出，进而根据比即可求解； （2）分点在点左侧和右侧两种情况，根据线段的和差关系解答即可求解． 【详解】（1）解：，点是线段的中点， ， ， ； （2）解：当点在点左侧时，如图， ，， ； 当点在点右侧时，如图， ，， ； 综上，线段的长为或． 题型十九、线段n等分点的有关计算 19．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，C为线段的中点，，D是线段的三等分点，则的长是 ． 【答案】4或8/8或4； 【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查有关等分点的计算，根据中点得到，再分类讨论三等分点靠近B点或A点即可得到答案； 【详解】解：∵C为线段的中点，， ∴， ∵D是线段的三等分点， ①三等分点靠近B点时， ， ②三等分点靠近A点时， ， 故答案为：4或8． 题型二十、线段之间的数量关系 20．（24-25七年级上·浙江杭州·月考）如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定D点的位置； (2)比较线段的大小：________（填“”、“”或“”）； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)19 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差、线段之间的数量关系 【分析】本题考查线段长短的计算及作一条线段等于已知线段，对线段长进行大小比较以及对线段长度求值，结合图形求解是解题关键． （1）以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点D，即为所求； （2）由线段得出，即可得出结论； （3）由已知求出，即可得出的长． 【详解】（1）解：如图所示，以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点D，即为所求； （2）∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴ ∵ ∴． 题型二十一、与线段有关的动点问题 21．已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空） （2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC， ①求线段AM的值， ②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值 【答案】（1），；（2）①；②或1 【知识点】线段的和与差、与线段有关的动点问题 【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算可得； （2）①根据、的运动速度知，再由已知条件求得，所以； （3）分点在线段上时和点在线段的延长线上时分别求解可得． 【详解】解：（1）根据题意知，，， ，， ， ，， 故答案为：，； （2）①根据、的运动速度知：， ， ，即， ， ， ； ②当点在线段上时，如图， ， 又， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ， 又， ， ； 综上所述：或1． 【点睛】本题考查求线段的长短的知识，数轴上的动点问题，解题的关键是细心阅读题目，理清题意，利用数形结合及分类讨论的思想求解． 题型二十二、角的概念理解 22．（2022七年级上·浙江·专题练习）有 的两条 组成的图形叫做角．角也可以看成是一条 而形成的图形． 【答案】 公共端点 射线 射线绕着它的端点旋转 【知识点】角的概念理解 【分析】由有公共端点的两条射线组成的图形为角的静态定义，由一条射线绕着它的端点旋转得到的图形为角的动态定义．再根据角的动态定义和静态定义作答即可． 【详解】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 故答案为：公共端点，射线，射线绕着它的端点旋转． 【点睛】此题考查了对角的定义的掌握，要分清动态定义和静态定义，属于基本概念． 题型二十三、角的表示方法 23．（2022七年级上·浙江·专题练习）如图所示，写出图中符合下列条件的角． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以B为顶点的角； (3)图中所有小于平角的角． 【答案】(1)能用一个大写字母表示的角有， (2)以B为顶点的角有3个，分别为：（或，（或， (3)图中所有小于平角的角有：，，，，，， 【知识点】角的概念理解、角的表示方法 【分析】（1）根据图中以、为顶点的角只有一个即可得出结论； （2）根据以为顶点的角有3个，再根据角的表示方法即可得出结论； （3）根据角的表示方法即可得出结论． 【详解】（1）解：图中以、为顶点的角只有一个， 能用一个大写字母表示的角有，； （2）解：以为顶点的角有3个，分别为：（或，（或，； （3）解：图中所有小于平角的角有：，，，，，，． 【点睛】本题考查的是角的表示方法，解题的关键是熟知角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、表示，或用阿拉伯数字表示． 题型二十四、角的分类 24．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【答案】A 【知识点】角的分类 【分析】本题考查了角的倍分关系及锐角、钝角定义，根据角的分类及倍分关系逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，若为锐角，则为锐角，正确，故本选项符合题意； B、当时，若为钝角，则为锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； C、当时，若为锐角，则为锐角或钝角，原说法错误，故本选项不符合题意； D、当时，若为锐角，则为钝角或锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 题型二十五、钟面角 25．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，时钟在2点时，分针与时针所夹的角为．从12时到15时的3个小时中，分针与时针能构成的角时刻有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、钟面角 【分析】本题考查了钟面角、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先求出分针每分钟转动的角度为，时针每分钟转动的角度为，时钟在13点时，分针与时针所夹的角为；时钟在14点时，分针与时针所夹的角为；时钟在15点时，分针与时针所夹的角为，再分四种情况：①在12时到13时之间，②在13时到14时之间，③在14点时，④在14时到15时之间，分别建立方程，解方程即可得． 【详解】解：分针每分钟转动的角度为，时针每分钟转动的角度为，时钟在13点时，分针与时针所夹的角为；时钟在14点时，分针与时针所夹的角为；时钟在15点时，分针与时针所夹的角为． 设分钟后，分针与时针能构成的角， ①在12时到13时之间， 则和， 解得和， 所以在12时分和12时分的时刻，分针与时针能构成的角； ②在13时到14时之间， 则， 解得， 所以在13时分的时刻，分针与时针能构成的角； ③在14点时，分针与时针所夹的角为； ④在14时到15时之间， 则， 解得， 所以在14时分的时刻，分针与时针能构成的角； 综上，从12时到15时的3个小时中，分针与时针能构成的角的时刻共有5个， 故选：C． 题型二十六、角的单位与角度制 26．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）把化为以度为单位，结果是 【答案】 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了角的单位制换算．根据角的单位制换算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型二十七、角度的四则运算 27．（2024七年级上·浙江·专题练习） 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． 先计算乘法，再计算加减，即可求解． 【详解】 ． 故答案为：． 题型二十八、方向角的表示 28．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）小明的学校和家的位置如图所示，那么家应该在学校的（    ） A．北偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏东方向 D．南偏西方向 【答案】C 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查的是方向角的概念，解题的关键是数形结合．根据方位角的概念，结合图形即可求解． 【详解】解：从图中我们会发现小明家在学校的北偏东方向， 故选：C． 题型二十九、与方向角有关的计算题 29．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，射线的方向是北偏东20°，射线的方向是西北方向，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方向角的定义，解决本题的关键是计算出得度数．用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．根据方向角的定义，得到的度数，即可解答． 【详解】解：如图，   ∵射线的方向是西北方向， ∴ ∵射线的方向是北偏东20°， ∴ 即 故选：C 题型三十、角的比较 30．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【知识点】角的比较 【分析】先把化为，再与比较大小即可． 【详解】解：∵，而， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查的是角的单位换算，角的大小比较，熟记角的60进位制是解本题的关键． 题型三十一、角的度数大小比较 31．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、角的度数大小比较 【分析】本题考查了角的大小比较，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据度分秒的进制进行计算比较，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型三十二、三角板中角度计算问题 32．（24-25七年级上·浙江温州·期末）仅用一副如图所示的三角板进行拼接，可以准确拼得多个不同的钝角，其中一个钝角为 （写出一个即可）． 【答案】（或或或） 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】此题主要考查了三角尺中角的计算，理解题意，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．用的角和的角拼接，或用的角和的角拼接，或用的角和的角拼接，或用的角和的角拼接均可得到符合题意的角． 【详解】解：用的角和的角拼接可得到； 用的角和的角拼接可得到的角； 用的角和的角拼接可得到的角； 用的角和的角拼接可得到的角． 故答案为：（或或或）． 题型三十三、几何图形中角度计算问题 33．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，射线在的内部，，． (1)求的度数． (2)若另一条射线也在的内部且满足，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了几何中角度的计算，掌握角的和差关系是解题的关键． （1）根据计算得出结论； （2）分两种情况：当在内部时或当在内部时，分别根据角的和差计算即可； 【详解】（1）解：，， ． （2）解：， 当在内部时， ． 当在内部时， ． 综上所述，的度数为或． 题型三十四、实际问题中角度计算问题 34．钟面上4时30分，时针与分针的夹角是 度，15分钟后时针与分针的夹角是 度． 【答案】 45° 127.5° 【知识点】钟面角、实际问题中角度计算问题 【分析】根据时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°进行计算即可． 【详解】解：根据题意：钟面上4时30分，时针与分针的夹角是 ； 15分钟后时针与分针的夹角是 ． 故答案为：45°，127.5° 【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°是解题的关键． 题型三十五、角平分线的有关计算 35．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，平分，若内部存在一条射线，满足，则 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算；分两种情况画图，当在的右边时，当在的左边时，再进一步结合角平分线与角的和差运算可得答案． 【详解】解：如图，当在的右边时， ∵，平分， ∴， ∴， 如图，当在的左边时， ∴， 综上：为或； 故答案为：或 题型三十六、角n等分线的有关计算 36．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 题型三十七、求一个角的余角 37．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图，已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的单位与角度制、求一个角的余角 【分析】本题主要考查了余角和补角的有关计算，解题的关键是熟练掌握余角的定义，先根据，求出的度数，然后再求出的余角即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角的度数为： ， 故选：B． 题型三十八、求一个角的补角 38．（22-23七年级上·浙江台州·期末）若，则的补角等于 °． 【答案】50 【知识点】求一个角的补角 【分析】此题主要考查了余角和补角，正确得出余角和补角的关系是解题关键． 根据互为补角的两个角的和等于列式计算即可得解． 【详解】解：的补角， 故答案为：． 题型三十九、与余角、补角有关的计算 39．（2025七年级上·浙江金华·专题练习）如图，O为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，．求的度数． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2)的度数为 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角的定义，角平分线的定义，几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等角的余角相等得出，即可得出结果； （2）先求出，从而可得，再由平角的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： ∵O为直线上一点，且， ∴，． ∵， ∴， ∴是的平分线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型四十、同(等)角的余(补)角相等的应用 40．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图所示，，都是以O为顶点的直角，能解释的理由是（  ）    A．同角的余角相等 B．平角的定义 C．角平分线的定义 D．同角的补角相等 【答案】A 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了余角和补角，根据题意易得：，，然后根据同角的余角相等可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴（同角的余角相等）， 故选：A． 41．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2)①；②或或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】此题考查了角平分线的相关计算、角的和差、余角的性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意得到，，由等角的余角相等即可得到答案； （2）①先求出，得到，利用平角即可得到答案；②分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： ∵为直线上一点，且． ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线； （2）①∵，， ∴， ∴， ∴， 答：的度数为． ②∵， ∴当时，在的内部，是固定值， 当时，如图，沿着逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转，，， ∴ 当时，与重合，，， 当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同， ∴的大小不变， ∴的固定值为， 当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，， 当时，与重合， 当时， 在内部，的固定值为， 综上所述，当为固定值时，或或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 图形的初步知识 章节（22知识点回顾+40题型巩固） 目录 知识梳理 1.几何图形 2.图形间的联系 3.七巧板拼图 4.线段、射线和直线 5.直线的基本事实 6.比较线段的长短 7.作一条线段等于已知线段 8.线段的基本事实 9.线段的和与差 10.线段的中点 11.角及角的表示 12.平角和周角 13.角的单位换算 14.用量角器作一个角等于已知角 15.比较角的大小 16.角的分类 17.角的和、差 18.用量角器作两个角的和差 19.角平分线 20.互余和互补的概念 21.余角和补角的性质 22.方向角 题型巩固 一、常见的几何体 二、组合几何体的构成 三、几何体中的点、棱、面 四、平面图形旋转后所得的立体图形 五、点、线、面、体四者之间的关系 六、平面图形形状的识别 七、用七巧板拼图形 八、直线、射线、线段的联系与区别 九、直线、线段、射线的数量问题 十、直线相交的交点个数问题 十一、画出直线、射线、线段 十二、点与线的位置关系 十三、两点确定一条直线 十四、两点之间线段最短 十五、两点间的距离 十六、作线段(尺规作图) 十七、线段的和与差 十八、线段中点的有关计算 十九、线段n等分点的有关计算 二十、线段之间的数量关系 二十一、与线段有关的动点问题 二十二、角的概念理解 二十三、角的表示方法 二十四、角的分类 二十五、钟面角 二十六、角的单位与角度制 二十七、角度的四则运算 二十八、方向角的表示 二十九、与方向角有关的计算题 三十、角的比较 三十一、角的度数大小比较 三十二、三角板中角度计算问题 三十三、几何图形中角度计算问题 三十四、实际问题中角度计算问题 三十五、角平分线的有关计算 三十六、角n等分线的有关计算 三十七、求一个角的余角 三十八、求一个角的补角 三十九、与余角、补角有关的计算 四十、同(等)角的余(补)角相等的应用 知识梳理 知识点1.几何图形 1.定义：点、线、面、体称为几何图形。 注意： 几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其他属性，如质量，颜色等。 2.分类：   定义 举例 立体图形 图形所表示的各个部分不在同一个平面内，这样的几何图形称为立体图形。 长方体，圆柱，圆锥，球等。 平面图形 图形所表示的各个部分都在同一个平面内，称为平面图形。 如线段、角、三角形、圆等。 常见的立体图形的分类方法 （1） （2） 知识点2.图形间的联系 1.图形的构成元素：图形是由点、线、面构成的。 2.元素之间的关系 注意： 点无大小，线无粗细，面无厚薄。 知识点3.七巧板拼图 七巧板：七巧板又称“七巧图”“智慧板”，是中国古老的智力玩具。如图，七巧板由七块板组成，完整图案为一个正方形，由七块板可以变换出各种不同的图案。 知识点4.线段、射线和直线 1.概念 概念 特征 线段 连结两个点之间的笔直的线。 ①有两个端点；②可以度量；③可以比较长短。 射线 将线段向一个方向无限延长就形成了射线。 ①有一个端点，只向一方无限延长；②不能度量；③不能比较大小。 直线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线。 ①无端点，向两方无限延长；②不能度量； ③不能比较大小。 2.表示方法 （1）线段的表示方法： ①用表示线段的两个端点的大写字母表示（与字母顺序无关）； （线段延长线的表示： 反向延长线段AB至点C或延长线段BA至点C ） ②用一个小写字母表示。 （2）射线的表示方法： 用表示射线的端点和射线上另外任意一点的两个大写字母表示（表示端点的字母必须写在前面）。（端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线，两条射线为同一条射线必须满足：①端点相同；②延长的方向相同） （3）直线的表示方法： ①用表示直线上面任意两个点的大写字母表示（与字母顺序无关）； ②用一个小写字母表示。 3.点与直线的位置关系： 点与直线的位置关系 图示 记作 点在直线上 点A在直线l上或直线l 经过点A 。 点在直线外 点B在直线l外或直线l 不经过点B 。 辨析：线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示方法 线段AB或线段a 射线OM 直线AB或直线l 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一个方向无限延伸 向两个方向无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 线段向一个方向无限延长就成为射线,向两个方向无限延长就成为直线；射线向反方向无限延长就成为直线。 知识点5.直线的基本事实 基本事实：经过两点有一条而且只有一条（两层含义：（1）存在性，两点能确定一条直线；（2）唯一性，经过这两点的直线是“独一无二”的）直线。可以简单地说成：两点确定一条直线。 知识点6.比较线段的长短 1.度量法（数的比较）： 利用刻度尺量出两条线段的长度，然后比较它们的长短。 2.叠合法（形的比较）： 如图，用圆规把两条线段（如线段AB,CD ）叠在一起进行比较，步骤如下： （1）用圆规量取线段AB ； （2）将圆规上表示点A的尖与线段CD的端点C 重合； （3）若端点B落在线段CD的延长线上，则线段AB大于线段CD ，可记为AB>CD ；若端点B与端点D重合，则线段AB等于线段CD，可记为AB=CD ；若端点B落在线段CD上（不含点D），则线段AB小于线段CD ，可记为AB<CD 。 知识点7.作一条线段等于已知线段 1.尺规作图：在数学中,限定用无刻度的直尺和圆规作图，即是尺规作图。 2.作一条线段等于已知线段a （图1）的方法作法：如图2，（1）任意画一条射线AC ；（2）用圆规量取已知线段a 的长度；（3）在射线AC上截取AB=a 。线段AB 就是所求作的线段。（作图完毕后，必须写上结论） 图 2 图 1 知识点8.线段的基本事实 1.线段的基本事实：在所有连结两点的线中，线段最短。简单地说，两点之间线段最短。 2.两点间的距离：连结两点的线段的长度叫作这两点间的距离。 注意： 线段是图形，两点间的距离是线段的长度，两者不同。 知识点9.线段的和与差 两条线段的和 两条线段的差（两条线段的和或差仍是一条线段） 概念 如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和。 如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差。 条件 图形 作法 1.作射线AD 。 2.在射线AD 上截取AB=a 。 3.在射线BD 上截取BC=b 。 1.作线段AB=b 。 2.在线段AB上截取AC=a 。 结论 线段AC=AB+BC=a+b，线段AC 就是所求作的线段。 线段BC=AB−AC=b−a ，线段BC 就是所求作的线段。 知识点10.线段的中点 概念 点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C 叫作线段AB 的中点。 几何表述 因为点C是线段AB的中点，所以AB=2AC=2BC 或AC=BC=AB 。 图示 说明：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB 上。 教材延伸 线段的三等分点、四等分点。将线段AB分成相等的三条线段AM,MN,NB，点M，N即线段AB 的三等分点。同样还可以得到线段的四等分点等。如图所示。 类似地，还有线段的五等分点、六等分点等。 知识点11.角及角的表示 1.角的“静态”定义 定义 图示 解读 “静止” 的观点 由两条有公共端点的射线所组成的图形。 这个公共端点叫作这个角的顶点，这两条射线是角的两条边。 2.角的几何符号为“∠ ”，读作“角”，角的一般表示方法有以下四种： 表示方法 图示 记法 说明 用三个大写字母表示 ∠AOB 或∠BOA 字母O 表示顶点，要写在中间，A，B 表示角的两边上的点，用该表示方法可以表示任意一个角。 用一个数字 表示 ∠1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母。该表示方法形象、直观。 用一个希腊 字母表示 ∠α ,∠β 用角的顶点 字母表示 ∠O 当角的顶点处只有一个角时，可用这个顶点字母来表示。 知识点12.平角和周角 1.角的“动态”定义 定义 图示 解读 “运动” 的观点 由一条射线绕着它的端 点旋转而成的图形。 起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边。 注意：我们平时画角时，只画角的一部分，角的两边是两条射线。 2.平角与周角的定义 一条射线绕着它的端点旋转，当终边旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图1所示；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫作周角，如图2所示。 图2 图1 知识点13.角的单位换算 1.角的度量单位：度、分、秒是角的基本度量单位。把周角等分为360份，每一份就是1° 的角；把1° 的角等分成60份，每一份就是1分，记作1′；把1分的角等分成60份，每一份就是1秒，记作1″ 。 2.角的单位换算： 1°=60′，1′=()° ；1′=60″，1″=()′ ； 1°=3 600″，1″=()°；1周角=360° ，1平角=180° 注意：它们之间的换算是60进制，这与时间的时、分、秒之间的换算是一样的。 知识点14.用量角器作一个角等于已知角 条件 已知∠α ，用量角器作一个角，使它等于∠α 。 图形 作法 （1）用量角器量得∠α=70°。 （2）作射线OA 。 （3）用量角器作射线OB，使∠AOB=70°。 ∠AOB=70°=∠α ，∠AOB 就是所求作的角。 知识点15.比较角的大小（角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度有关） 1.度量法（数的比较）：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。 2.叠合法（形的比较）：将两个角的顶点及一条边重合,另一条边放在重合边的同侧,就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点O与O′ 重合,再让一条边OB与O′D重合,使另一条边OA和O′C落在OB（或O′D ）的同侧。 知识点16.角的分类 角的名称 定义 各种角之间的大小关系 直角 等于90°的角 （1）锐角<直角（直角可以用Rt∠表示，画图时常在直角的顶点处加上符号“┐ ”来表示这个角是直角）< 钝角< 平角< 周角。 （2）1周角=2平角=4 直角=360° ; 1平角=2直角=180°；1直角=90°。 锐角 小于直角的角 钝角 大于直角而小于平角的角 知识点17.角的和、差（两个角的和或差仍是一个角） 概念 表示 图示 两个角的差 如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差。 记作 ∠AOB=∠AOC−∠BOC 知识点18.用量角器作两个角的和差 条件 已知∠1与∠2，用量角器作∠1与∠2 的和。 图形 作法 用量角器量得∠1=60°，∠2=45°，计算：∠1+∠2=60°+45°=105°， 用量角器作∠AOB=105°。∠AOB=∠1+∠2，∠AOB 就是所求作的角。 知识点19.角平分线 角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。 如图,射线OC是∠AOB 的平分线。这时, ∠AOC=∠BOC=∠AOB （或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC ）。 注意：角的平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线。 教材延伸 角的三等分线 如图,射线OC,OD在∠AOB的内部,如果∠AOD=∠DOC=∠COB ,那么射线OC,OD是∠AOB 的三等分线。类似地,从一个角的顶点出发，把这个角分成n个相等的角的射线，叫作这个角的n 等分线，如四等分线、五等分线等。 知识点20.互余和互补的概念 名称 概念 数学语言 图示 互为 余角 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 若 ∠1+∠2=90^∘， 则∠1与∠2互余，∠1是∠2 的余角，∠2也是∠1 的余角。 互为 补角 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个 角是另一个角的补角。 若 ∠3+∠4=180^∘， 则∠3与∠4互补，∠3是∠4 的补角，∠4也是∠3 的补角。 注意：（1）两个角互余或互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。 （2）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角。 知识点21.余角和补角的性质 1.余角的性质：同角或等角的余角相等。 2.补角的性质：同角或等角的补角相等。 知识点22.方向角 1.方向角：一般地，方向角是以第一个方向（正南或正北）为角的始边向第二个方向（东或西）转动所形成的角。如图,射线OA 的方向是北偏东30°,射线OB 的方向是南偏西60°。 2.特殊角的表示：东北方向表示北偏东45°,西北方向表示北偏西45°,东南方向表示南偏东45°,西南方向表示南偏西45°。 注意：方向角通常先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东30°”一般不写成“东偏北60°”。 题型巩固 题型一、常见的几何体 1．（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列实物中，能抽象成圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 题型二、组合几何体的构成 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 题型三、几何体中的点、棱、面 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）一个棱柱有16个顶点，则这个棱柱是 棱柱． 题型四、平面图形旋转后所得的立体图形 4．（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列各平面图形绕虚线旋转一周，能得到球的是（   ） A． B． C． D． 题型五、点、线、面、体四者之间的关系 5．直升飞机螺旋桨一般由4片桨叶组成，直升飞机起飞时，螺旋桨旋转时向下推动空气，即向下施加一个作用力，直升飞机获得竖直向上的力，使得飞机能悬浮在空中．若把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了（    ） A．面动成体 B．线动成面 C．点动成线 D．面面相交成线 题型六、平面图形形状的识别 6．（2022七年级上·浙江·专题练习）下列图形是正方形的是（　　） A． B． C． D． 题型七、用七巧板拼图形 7．（2022七年级上·浙江·专题练习）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为 （取1.4）． 题型八、直线、射线、线段的联系与区别 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）延长线段到点C，下列说法正确的是（  ） A．点C在线段上 B．点C在直线上 C．点C不在直线上 D．点C在线段的延长线上 题型九、直线、线段、射线的数量问题 9．（25-26七年级上·浙江金华·月考）若、是火车行驶的两个站点，两站之间有3个车站，在这段线路往返行车，需印制（   ）种车票． A．5 B．10 C．15 D．20 题型十、直线相交的交点个数问题 10．探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 题型十一、画出直线、射线、线段 11．（24-25七年级上·浙江杭州·月考）如图，不在同一直线上的四点，，，，．按下面的要求画图： (1)在图1中，画出线段，线段，并交于点； (2)在图2中，画射线，射线，并交于点． 题型十二、点与线的位置关系 12．请按要求画图： (1)点A在直线l上，点B和点C都在直线l外； (2)在平面上任意画出A，B，C三个点，过点A，B画直线l．说明点C和直线l的位置关系． 题型十三、两点确定一条直线 13．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，在学校的劳动实践课程上，同学们体验插秧时发现：只要确定两个秧苗的位置，就能使同一行秩苗整齐的插在一条直线上，这样做的依据是（   ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．同角的余角相等 题型十四、两点之间线段最短 14．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，不在同一直线上的四点，，，，按照下面要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)在射线上取一点，使最小； (4)作出点的依据是_______________． 题型十五、两点间的距离 15．如图，已知线段，点C是上任一点，是的中点，是的中点，则的长度为 cm．    题型十六、作线段(尺规作图) 16．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，已知平面内有线段，和点，且，请按下列要求作图： (1)作射线，并在射线上取点，使得（请用无刻度的直尺和圆规作图，并保留作图痕迹，不写作法）： (2)在上取一点，使得最短，并说明理由． 题型十七、线段的和与差 17．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，为线段上两点，，且，则(　　) A．9 B．15 C．21 D． 题型十八、线段中点的有关计算 18．（25-26七年级上·浙江金华·月考）已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 题型十九、线段n等分点的有关计算 19．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，C为线段的中点，，D是线段的三等分点，则的长是 ． 题型二十、线段之间的数量关系 20．（24-25七年级上·浙江杭州·月考）如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定D点的位置； (2)比较线段的大小：________（填“”、“”或“”）； (3)若，，求的长． 题型二十一、与线段有关的动点问题 21．已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空） （2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC， ①求线段AM的值， ②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值 题型二十二、角的概念理解 22．（2022七年级上·浙江·专题练习）有 的两条 组成的图形叫做角．角也可以看成是一条 而形成的图形． 题型二十三、角的表示方法 23．（2022七年级上·浙江·专题练习）如图所示，写出图中符合下列条件的角． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以B为顶点的角； (3)图中所有小于平角的角． 题型二十四、角的分类 24．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 题型二十五、钟面角 25．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，时钟在2点时，分针与时针所夹的角为．从12时到15时的3个小时中，分针与时针能构成的角时刻有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型二十六、角的单位与角度制 26．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）把化为以度为单位，结果是 题型二十七、角度的四则运算 27．（2024七年级上·浙江·专题练习） 题型二十八、方向角的表示 28．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）小明的学校和家的位置如图所示，那么家应该在学校的（    ） A．北偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏东方向 D．南偏西方向 题型二十九、与方向角有关的计算题 29．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，射线的方向是北偏东20°，射线的方向是西北方向，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 题型三十、角的比较 30．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 题型三十一、角的度数大小比较 31．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若，，则 ．（填“”“”或“”） 题型三十二、三角板中角度计算问题 32．（24-25七年级上·浙江温州·期末）仅用一副如图所示的三角板进行拼接，可以准确拼得多个不同的钝角，其中一个钝角为 （写出一个即可）． 题型三十三、几何图形中角度计算问题 33．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，射线在的内部，，． (1)求的度数． (2)若另一条射线也在的内部且满足，求的度数． 题型三十四、实际问题中角度计算问题 34．钟面上4时30分，时针与分针的夹角是 度，15分钟后时针与分针的夹角是 度． 题型三十五、角平分线的有关计算 35．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，平分，若内部存在一条射线，满足，则 ． 题型三十六、角n等分线的有关计算 36．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 题型三十七、求一个角的余角 37．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图，已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 题型三十八、求一个角的补角 38．（22-23七年级上·浙江台州·期末）若，则的补角等于 °． 题型三十九、与余角、补角有关的计算 39．（2025七年级上·浙江金华·专题练习）如图，O为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，．求的度数． 题型四十、同(等)角的余(补)角相等的应用 40．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图所示，，都是以O为顶点的直角，能解释的理由是（  ）    A．同角的余角相等 B．平角的定义 C．角平分线的定义 D．同角的补角相等 41．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $