知识点9 一元二次方程根与系数的关系讲义-2026年初升高数学衔接

知识点9 一元二次方程根与系数的关系 一、前提条件 对于一元二次方程（），当判别式时，方程有实数根，此时根与系数的关系才适用。 二、根与系数的关系（韦达定理） 1. 若方程（）的两根为和，则： · 两根之和： 。例如，对于方程，，，两根之和。 · 两根之积： 。例如，上述方程中，两根之积 。 三、应用 1. 已知方程求两根的和与积：直接根据韦达定理，确定、、的值，代入公式计算。 2. 已知两根求方程：若已知两根，，则一元二次方程可写为 。 3. 验根：将求得的根代入韦达定理，看是否满足两根之和与两根之积的关系，以此检验根的正确性。 4. 求代数式的值：通过对代数式进行变形，将其转化为含有与的形式，再代入韦达定理的值进行计算。例如，求的值，可变形为，然后代入计算 。 专题训练 一、选择题 1. 已知方程的两根为、，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的两根之积是（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 二、填空题 3. 方程的两根之和为________，两根之积为________。 4. 若方程的两根之和为 -2，则________。 三、解答题 5. 已知一元二次方程的两根为、，不解方程，求的值。 6. 已知方程的两根为、，不解方程，求的值。 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，。 (1) 求的取值范围。 (2) 若，求的值。 8. 已知，是一元二次方程的两个根。 (1) 求的值。 (2) 求的值。 (3) 求的值。 9. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，。 (1) 求的取值范围。 (2) 若，求的值。 答案解析 1. 答案：A。解析：对于方程，，，根据韦达定理。 2. 答案：D。解析：由方程得，，根据韦达定理。 3. 答案：，。解析：对于方程，，，，所以，。 4. 答案：2。解析：由韦达定理得，解得。 5. 解：由题意得，，代入变形公式。 6. 解：由题意得，，则。 7. 解： (1) - 对于一元二次方程，其判别式，其中，，。因为方程有两个实数根，所以，即，，移项得，解得。 (2) - 由根与系数的关系可知，。已知，将，代入可得，移项得。又因为，所以符合条件。 8. 解： (1) - 由根与系数的关系可知，。 (2) 根据完全平方公式，将值代入可得。 (3) - 把展开得，进一步变形为。将，代入可得。 (4) - ，将，代入可得。 9. 解： (1) - 对于方程，其判别式。展开，则。因为方程有两个实数根，所以，即，移项得，解得。 (2) - 由根与系数的关系得，。将展开得，进一步变形为。把，代入可得：，，，移项得，解得。又因为，所以符合条件。 学科网（北京）股份有限公司 $