知识点7 因式分解 - 十字交叉相乘法讲义-2026年初升高数学衔接

知识点7 因式分解 - 十字交叉相乘法 一、适用形式 十字交叉相乘法主要用于二次三项式（）的因式分解。 二、原理与步骤 1. 原理： 将二次项系数分解为两个因数、，将常数项分解为两个因数、，使得，那么 。 2. 步骤： · 分解系数：把二次项系数分解成两个因数和，写在十字交叉线的左上角和左下角；把常数项分解成两个因数和，写在十字交叉线的右上角和右下角。 · 交叉相乘并求和：交叉相乘，即左上角的与右下角的相乘，左下角的与右上角的相乘，然后将这两个乘积相加，看是否等于一次项系数。如果等于，则因式分解成功；如果不等于，需要重新尝试对和的因数分解组合。 · 写出因式分解结果：当满足时，就可以分解为。 三、示例 1. 例1：分解因式 · 分解系数：二次项系数只能分解为，常数项可以分解为。 · 交叉相乘并求和： · 十字交叉排列如下： · 交叉相乘：，正好等于一次项系数。 · 写出因式分解结果：所以。 2. 例2：分解因式 · 分解系数：二次项系数分解为，常数项分解为 。 · 交叉相乘并求和： · 十字交叉排列如下： · · 交叉相乘：，等于一次项系数。 · 写出因式分解结果：所以。 四、注意事项 1. 对于二次项系数和常数项的因数分解可能有多种情况，需要逐一尝试，找到满足的组合。 2. 当、、中有负数时，要注意因数分解时符号的处理，确保交叉相乘并求和的结果准确。 专题训练 一、选择题 1. 用十字相乘法分解因式，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 分解因式，结果是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 用十字相乘法分解因式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 分解因式，结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 1. 分解因式 = ______。 2. 分解因式 = ______。 3. 若，则的值为______。 4. 分解因式 = ______。 5. 分解因式 = ______。 三、解答题 1. 用十字相乘法分解下列因式： · · · 2. 已知二次三项式，当时，它的值是；当时，它的值是，求、的值，并将该二次三项式分解因式。 答案解析 一、选择题 1. A 解析：对于，二次项系数，常数项，交叉相乘，所以，选A。 2. A 解析：对于，二次项系数，常数项，交叉相乘，所以，选A。 3. C 解析：将展开得，因为，所以，解得，则，选C。 4. A 解析：对于，二次项系数，常数项，交叉相乘，所以，选A。 5. A 解析：对于，二次项系数，常数项，交叉相乘，所以，选A。 二、填空题 1. 解析：二次项系数，常数项，交叉相乘，所以。 2. 解析：二次项系数，常数项，交叉相乘，所以。 3. 解析：将展开得，因为，所以。 4. 解析：二次项系数，常数项，交叉相乘，所以。 5. 解析：二次项系数，常数项，交叉相乘，所以。 三、解答题 1. · 解：对于，二次项系数，常数项，交叉相乘，所以。 · 解：对于，二次项系数，常数项，交叉相乘，所以。 · 解：对于，二次项系数，常数项，交叉相乘，所以。 2. 解： · 当时，，即，化简得 ①； · 当时，，即，化简得 ②； · ① + ②得：，解得； · 把代入①得：，，解得。 · 所以二次三项式为，分解因式： · 先将其变形为（各项同乘，方便用十字相乘法）。 · 二次项系数，常数项，交叉相乘，重新分解常数项，交叉相乘，再尝试，，交叉相乘，发现此二次三项式在有理数范围内不能用十字相乘法分解因式（判别式，无实数根）。 学科网（北京）股份有限公司 $