2026-2027学年初升高数学衔接资料：5.因式分解（三）讲义

第5讲 因式分解（三） 知识点1：换元法因式分解 知识点2：求根法分解因式 知识点3：拆项添项法因式分解 知识点4：双十字相乘法因式分解 知识点5：借助多项式的除法因式分解 知识点1：常见的公式如下 （1）a2－b2=__；（平方差公式） （2）a2±2ab+b2=__；（完全平方公式（两个数）） （3）a3±b3=__； （立方和差公式） （4）a3±3a2b+3ab2±b3=__；（完全立方公式） （5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=__；（完全平方公式（三个数）） 知识点2：因式分解的具体步骤 （1） 先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。 （2） 观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字相乘法。四项及以上则考虑分组分解。 （3） 检查因式分解是否分解完全。必须分解到不能分解位置。 在无特别说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。 知识点3：因式分解的方法 1.换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新.的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化 2.求根法法因式分解：关于x的二次三项式的因式分解 若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为. 3.拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项． 【题型1 待定系数法因式分解】 【典例1】（提高型）：分解因式. 【详解】解：设=， ∵=， ∴=， 对比左右两边相同项的系数可得，解得. ∴原式=. 【题型2 换元法因式分解】 【典例2】（提高型）：阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 【详解】解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： 因式分解：； 【详解】解法一：设， 则原式 ； 方法二：设， 则原式 ； 【题型3 关于x的二次三项式的因式分解】 若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为. 【典例3】把下列关于x的二次多项式分解因式： （1）； （2）． 【详解】解：（1）令=0，则解得，， ∴= =． （2）令=0，则解得，， ∴=． 【题型4 拆项添项法因式分解】 【典例4】拆项添项法因式分解：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项． ①______________________． ②______________________． 除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等． [综合应用]分解因式： ． 【详解】解：（1）① ； ② ； 综合应用： ；故答案为． 【题型5 拆项添项法因式分解】 【典例5】阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1) 因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 【详解】（1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴． （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意． 【题型6多项式的除法因式分解】 【典例6】材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： (1)观察可知，当 时，，可得 是多项式的一个因式．分解因式：______________________； (2)已知，其中为整式，请分解因式：______________________． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴多项式的一个因式是． 多项式的另一个因式可用下面的竖式除法求得： ． （2）解：，其中为整式， ∴要确定整式，则可用竖式除法： 为整式， ， 解得． ， ． 1. 十字相乘法或双十字乘法分解因式： （1） （2）. （3） 2.因式分解=______________________． 3.因式分解：______________________． 4.因.式分解：______________________． 5.在实数范围内进行因式分解______________________． 6．在实数范围内因式分解：______________________． 7.多项式的除法因式分解______________________． 8.多项式的除法因式分解______________________． 9.多项式的除法因式分解______________________． 第5讲 因式分解（三） 1.（1）； 解：原式= （2） 原式= （3）解：原式= 2.解：令，原式 回代： 3.【详解】（1）解：原式 ； 4．（2）解：原式 ． 5．【详解】解： 6．【详解】解：对于，将其看作关于的方程， 由求根公式得： ． 则 ． 7.因式分解： 8.如下列竖式所示． 则因式分解．， 9.如下列竖式所示． 因式分解． 学科网（北京）股份有限公司 $