2026-2027学年初升高数学衔接资料：4.因式分解（二）讲义

第4讲因式分解（二) 知识导航 知识点1：十字相乘法因式分解 知识点2：分组分解因式分解 色知识梳理 知识点1：十字相乘法因式分解 对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式. 二次项系数为1的二次三项式：2+p+qX+pg=X+p1X+q(常数项分解为两个 数的积，且这两个数的和等于一次项系数)； 二次项系数不为1的二次三项式：ax2+bx+c=a1x+C,a,x+c,（其中a,a,=a' c1c2=C,且a1C2+a2C1=b)。 知识点2：※二级结论（高频应用） 1.公因式的隐含提取：当多项式的首项系数为负数时，先提取“”号，再提取公因式，提取 后括号内各项要变号（如a+ab=-aa-b): 2.整体思想应用：把多项式中的某一部分看作一个整体，可视为一个“字母”提取公因式 或用公式（如x-y2-2x-y=x-yx-y-2 3.完全平方公式的特征：二次三项式满足“首平方、尾平方，首尾积的2倍在中央”，且 首尾符号相同（同正或同负）： 4.平方差公式的拓展：a-b=a2+b1a2-b=d+bla+ba-b(分解需彻底)： 5.因式分解的易错点： ①提公因式时漏项（如ax+ay-a=ax+y,漏提常数项“-a',正确结果为aX+y-1); ②公式法应用错误（如混淆平方差与完全平方公式，或符号错误）； ③分解不彻底（如x2-x=xx2-1,未继续分解x2-1,正确结果为xx+1x-1)。 题型精讲 动中 【题型1】十字相乘法因式分解（高中必备) 【典例1】【阅读与思考】请认真阅读下列材料，并完成相应的任务 分解因式2x2-x-6,我们可以按下面的方法解答. ①竖分二次项与常数项：2x2=2x·x,6=3×(-2). 2x ②交叉相乘，验中项： -2→2x.(-2)+3.x=-x ③横向写出两因式：(2x+3),(x-2). .2x2-x-6=(2x+3x-2) 我们把这种因式分解的方法形象地称为十字相乘法. 【任务】试用十字相乘法把下列各式分解因式： )+6r+5 22x+3r+1 B,6r2-5r-6 【详解】(a)解：原式r+1+5列x+1x5=(c+10x+5) =1×2x2+(1+2)x+1×1=(2x+1)(x+1) (2)解：原式 (3)解：原式2×3r+(-9+4)x+2x(-3)-(3x+22x-3) 【题型2】分组分解因式分解 【典例2】·阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提 公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如m2-n+2m-2n, 细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部 分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解 2-mn+2m-2n=(m2-mn+(2m-2n）=m(m-n)+2(m-n）=(m-n)(m+2） 了，过程为 将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”， 请在这种方法将下列多项式因式分解： a口-4r+3a-12.2mr产-0+2m-2n 【详解】(1)解：a3-4a2+3a-12 =(a3-4a2)+(3a-12) =a2(a-4)+3(a-4) =(a2+3)(a-4) (2)解：m2-n2+2m-2n =(m2-n2）+(2m-2n) =(m+n)(m-n)+2(m-n） =(m-n)(m+n+2) ☒ 随堂检测 中◆ 1.用十字相乘法将下列各式因式分解： (1)x+5xy-6y= (2)x-4a+2x+3a2+6a (3)x2-b(5x-a-6bl-a2= 42018x-2017×2019x-1= 2.将下列各式分解因式： (1)x2-5x+6= (2)10x2+x-21= (3)（x2-4x+7(x2-4x)+12= (4)6r2-x-15= (5)-3x2+13x+10 6)2+y-6y2= 7)3r+12y+9y= (8)4ry-5x2-9y2 3.因式分解： (a4(x-y-60-x)月 (22a+3b}-42a+3b)-12 4.分解因式，(a2+5aP+5(a2+5a)-6 x3-3x2+(a+2)x-2a 5.分组分解因式分解： I+Z-xZ-++x(t) -（i+x)e) (9-)b-(9+o)62) D9I-DEI+D-(T) :平图越58 4-亿+8-，91@ p-+E-() 越平图‘L -(xz-x)-（xz-zx)) 3c-9h+399-D℃（T)搏4-图9 9.因式分解 +2x-10e+2+24 (2)a+4ab+4bi-ac-2bc 第4讲因式分解（二)答案 1. 【答案】(1)(x)(+6) (2)(r3a)(ra-2) (3)(x+a3b)(xa2b)(4) (2018x+1)(x1) ①)解：原式X+(-y+6y)x+-y6y =(x)(xH60: (2)解：原式X+-3a-a+2x+-3al-a+2 =(x3a)(xa2): (3)解：原式=x-5bx+ab+6b2-a2 -x2-5bx+(3b-al(2b+al Fx2+-3b+aj+(-2b-a)x+(-3b+al(-2b-al =(x+a3b)(xa2b): (④解：原式2018x2-2018-12018+1x-1 20182x2-20182-1x-1 2018x2+1-20182x-1 =(20182x+1)(x1). 2.【解析】（①）x2-5x+6=(x-2)(x-3). (2)10x2+x-21=(2x+3)(5x-7). (3)(x2-4x°+7(x2-4x)+12 =(x2-4x+4)(x2-4x+3) =(x-2)2(x-1)(x-3). (4)6x2-x-15原式-(2x+33x-5): (5)-3x2+13x+10原式-3x-2)(x-5). (6)2+-6y2=r+m-62=(c+30-2) (7)3r+12w+9y原式-x+3y(3x+3y). (8)4y-5-y,原式原武y(x+1川4x2-9片 3. 【详解】(1)解：4(x-八-6y- =4(x-y)3-6(x-y)月 =2(x-y[2(x-y)-3] =2(x-y}(2x-2y-3). (2)解：(2a+3b-4(2a+36)-12 =(2a+3b+2)(2a+3b-6) 4.【详解】解.a+5aP+5(a+5a）-6 =(a2+5a-10(a2+5a+6) =(a2+5a-1)(a+2)(a+3) 5.【详解】解：原式=x3-3x2+ar+2x-2a =(x3-3x2+2x)+(ax-2a) =x(x2-3x+2)+a(x-2) =x(x-1)(x-2)+a(x-2) =(x-2)[x(x-1)+a] =(x-2)x2-x+a） 6.【详解】解：(1)2a2-6bc+4ab-3ac =(2a2-3ac)+(4ab-6bc) =a(2a-3c+2b(2a-3c) =(2a-3c)(a+2b) （2)(-2x°-22-2x-3 =(x2-2x+10(x2-2x-3) =(x-1)'(x+1)(x-3) 7.(1)(x+y)xy+x-4y) 2,4r-4x+y-2) 【详解】(1)解：y+r-30y+g2-42 =(x2y+y2）+(x2-3xy-4y2） =y(x+y)+(x+y)(x-4y) =(x+y)(y+x-4y) (2)解：16r-8x+2-y =16x2-y2-(8.x-2y) =(4x-y)(4x+y)-2(4x-y) =(4x-y)(4x+y-2) -2a(a2-6a+8) 8.【详解】(1)解：原式= =-2a(a-2)(a-4) (2)解：原式-Ba+b-2a-b =[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)] =(5a+b)(a+5b) (x2+1)2-(2x)2 (3)解：原式 =[(x2+1)+2x][(x2+1)-2x] =(x+1)2(x-1)2 (4)解：原式-(：+2w+y)2+)+1 =(x+y)2-2(x+y)+1 =(x+y-1)2 9.【详解】（a)+2-1r2+2+24 =(x2+2x-3(x2+2x-8) =(x-10(x+3x-2)(x+4); (2)a2+4ab+4b2-ac-2bc =(a+2b)2-c(a+2b) =(a+2b)(a+2b-c)