山东威海市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.与-无是同一象限角的是 6 A、11π B.、π 、8π 6 3 6 D.3 2.已知向量=(1,2)，b=(3,m),且(a+)∥a,则m= A.6 B.4 C.2 3. 在△ABC中，若AB=3,BC=√7，AC=2,则simA= A时 B.② CV3 V3 3 4.已知a,b,c是三条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则 A.若a⊥b,b⊥c,则a∥c B.若a⊥B,a⊥a,则a∥B C.若a∩B=a,b∥，b∥B,则a∥b D.若∥B,aca,bcB,则a∥b 5.已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为√，则该正四棱台侧 面与下底面所成角的大小为 A音 c D骨 6. 已知tan日=2，则 1cos(5+20 +c0s(2元-20= 9 A B-9 c号 D.、l0 3 7.已知三棱锥P-ABC的体积为24，D,E分别是PA,PB的中点，点F在棱PC上， CF=2FP,则三棱锥P-DEF的体积为 A.1 B.2 C.3 D.4 高一数学第1页（共4页） 8.在△ABC中，tanA+tanB=2tanC,AB=2,则△ABC面积的最大值为 A.4 B.2W3 C.2 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知函数f()=c0s(2x-),则 6 A.f(x)的最小正周期为元 B.y=f)的图象关于直线x=兀对称 12 cf在哈 1上单调递减 D.将函数y=sim2x图象上的所有点向右平移亚个单位，就可得到y=f(x)的图象 6 1 0.已知L,b,c为平面内的单位向量，若a,b不共线，：c),b:c三号，则 A.<L,b>=120° B.a+b=√3 C.(a+c)⊥b D.b-a=c 11.己知正四面体ABCD的棱长为2，P,O分别为棱AB,CD上的点，且PO⊥AB, 过PQ且平行于AC的平面记为a,则 A.P为AB的中点 B.存在PQ⊥BC C.直线P0与平面BCD所成的最大角的正弦值为Y 3 D.该正四面体的表面被a截得的图形周长的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆锥的母线长为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为 13.有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河，小船航行速度的大小为 16/h,方向为北偏西30°，受河水速度的影响，小船实际航行速度为正北方向， 则河水速度为向东 km/h 14.己知函数f()=sm(x+孕（ω>0）的一个零点为元，且在(5，列上单调递减，则方程 3)+)=2在（否，孕上所有根的和为 高一数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在平面四边形ABCD中，AB∥DC,AB=2DC,N为线段4C上一点，且=多 (1)用AB,AD表示AN,DN; 2)若AB=2,4D=B,AD-若，证明：AB1DN. 16.(15分) 如图，在四棱柱ABCD-AB,CD中，侧面ABBA是矩形，底面ABCD是菱形， ∠ADC=60°，M,N分别为CD,AB,的中点. A1 (1)证明：CN∥平面AAM: B (2)证明：平面AAM⊥平面ABBA. 17.(15分) 已知函数f(x)=1-2cos2x+2V3 sinxcosx. (1)求f(x)的单调递增区间： (2)求fx)在[0，]上的最值： (3)若f9=号，且0∈0，受，求sn0的值 高一数学第3页（共4页） 18.(17分) 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，将△DAC沿AC翻折至△PAC, E,F分别为AC,PB的中点. (1)若PB=√6. (i)证明：PE⊥BC; (i)求直线PE与AF所成角的正切值： (2)若三棱锥P-ABC的各顶点都在球O的球面上，球O的表面积 28x,求PB: 3 4 19.(17分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinB+sinC-sinA=:sin BsinC. (1)求A: (2)己知AB=2,AC=3,点P在线段BC上，设∠BAP=a,∠PAC=B(@≠0，B≠0) (i)若cosQ-2 BP cosB3,求 C (i)求 BP 为何值时， 取得最小值 PC 14 tana tan B 高一数学第4页（共4页）高一数学参考答案 一、选择题：每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 5 6 8 答案 B A D C C B D 二、选择题：每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABC BC ACD 三、填空题：每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案 √5 8 3 四、解答题： 15.(13分) 解：D因为B7DC,4B=20C,所以Dc证， 因为袋多所以而-c-+调=品西0 -4分 5 所以DN=N-4D=3AB-2AD 8分 10 (2)因为AB.AD=2×V5 x cos=3, 6 所BN亚品丽-=合-4D品4子-0,2分 10 10 可得AB⊥DN,所以AB⊥DN.-- --13分 16.(15分) 证明：(1)取AB的中点K,连接NK,CK, A 因为N,K分别为AB,AB的中点， 所以NK∥BB,NK=BB1,---- -2分 因为ABCD-AB,CD是四棱柱， 所以BB∥CC1,BB,=CC1, 可得NK∥CC,NK=CC1, 高一数学答案第1页（共6页） 所以四边形NKCC,为平行四边形，所以CN∥CK, --4分 因为底面ABCD是菱形，所以CD∥AB,CD=AB, 因为M,K分别为CD,AB的中点， 可得AK∥CM,AK=CM,所以四边形AKCM为平行四边形， 所以CK∥AM,-- -6分 可得CN∥AM,-- --7分 又因为CNg平面AAM,AMC平面AAM, 所以CN∥平面AAM. -8分 (2)因为底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，所以△ACD为等边三角形， 因为M为CD的中点，所以AM⊥CD,--- -9分 又因为CD∥AB,所以AM⊥AB,- --10分 因为侧面AB,BA是矩形，所以AALAB,且AA∩AM=A, 所以AB⊥平面AAM,- --13分 因为ABC平面AB,BA,所以平面AAM⊥平面AB,BA -15分 17.(15分) 解：（1)f(x)=1-2cos2x+2V3 sin.x cosx -3sin2x-cos2x=2sin(2x-, 3分 由-受+2km≤2x-名≤号+2m, .4分 62 解得-后≤≤智n, 所以)的单调递增区间为1石km号e刀 -5分 2)因为xe0原，所以晋2x名≤晋 -6分 当2x-若受即x号时，寸)取最大值2： -8分 当2x-君若即x=0时，f)取最小值-1 -------10分 (3)由了号=可得sm0-?- 高一数学答案第2页（共6页） 因为0e0,孕，所以6-若=(-若， -11分 -12分 因此血0=m0-争+爱 -13分 ,元3V5,4135+4 =sim(0-cos若+co(0-sm33 -------15分 18.(17分) 解：(1)(i)由题意知，△PAC和△BAC均为等边三角形，且E为AC的中点， 所以PE⊥AC,BE⊥AC,因为菱形ABCD的边长为2，所以PE=BE=√5，-2分 因为PB=√6，所以PB2=PE2+BE2,可得PB⊥BE, .-3分 又因为AC∩BE=E,所以PE⊥平面ABC,- --4分 因为BCC平面ABC,所以PE⊥BC.- -5分 (i)取EB的中点Q,连接AQ,FO, 因为P,Q分别是5，贴的中点，所以0∥m,0=P阳= 2 可得PE与AF所成角的大小等于Q与AF所成角的大小， -7分 由(i)知PE⊥平面ABC,所以FQ⊥平面ABC, 因为AQC平面ABC,所以FQ⊥AQ,- -8分 可得△AOF为直角三角形，所以tan∠A0=4 FO' 因为BB=5,Q为B的中点，所以0=5， 在Rt△1B0中，因为AB=1,所以40=AE+Q=7 1 可得40= 2, -10分 万 所以tan∠Ar0= FO V3 3 2 高一数学答案第3页（共6页） 因此直线PB与AP所成角的正切值为√ 12分 (2)设球O的半径为R,则28x=4R2,解得R= --13分 3 3 由(1)知AC⊥平面PBE,所以平面PAC⊥平面PBE,平面BAC⊥平面PBE, 因为平面PAC∩平面PBE=PE,平面BAC∩平面PBE=BE, 故在平面PBE内，过等边三角形△PAC和△BAC的中心分别作垂直于PE和BE的直线 I和L,则l⊥平面PAC,L⊥平面BAC, 可得1与的交点即为球心O,-- -14分 连接OE,设△BAC的中心为G, 则R2=4G2+0G=7,】 因为40=25，解得0G=1, B -15分 3 在Ri△0GB中，因为BG=5,所以tan∠0BG=OG-5, 3 EG 可得∠05G-胥所以∠PB-2∠0G-, 3 -16分 在△PEB中，由余弦定理可得PB2=6-6co 2π=9，所以PB=3. -17分 19.(17分) 解：(1)因为sinB+sin2C-sin2A=sin BsinC, 由正弦定理可得b2+c2-a2=bc,- --1分 所以os4=6+c2-d1 2’ -3分 2bc 因为04五，所以A=智 -4分 (2①因为a+A-香所以a-香A, 3 则cosa 2 C0sB+3 -sin B 2 1, 2 -tan B= …6分 cosB cos B cosB 22 高一数学答案第4页（共6页） 可得tanB= 5 9 -7分 在△APB和△APC中，由正弦定理可得BP AB PC AC sina sin∠APB’sinBsin∠APc，-9分 又因为∠APB+∠APC=π，所以sin∠APB=sin∠APC, BP 2sina 1 可得PC=3simP 2m子月X5B-如 18 3sinB 3sin B V3tanB33-11分 ()【法一】设那=xe>0,由()知C5anp BP 11 PC 3, 所以tanB= 5 -13分 3x+1 因为a+B-否所以tma=iam空A)=3-amE v33 3x+1= 3Vx ----14分 3 1+√3tanB 1+3 3x+4 3x+1 因此+，4=3+4+46x+D=4Wx+45+5V5 15分 tana tan B 33x 3 9x3 由均值不等式可得4W5x+45,5V5≥2,55_135 9x3 -16分 V33 当且仅当4W5x=4 ,即x=时等号成立， 9x 1+4 所以当BE=3时atam6的最小痘为3y3 3 ---17分 【法二】因为a+B= 3,所以taa=tam(-A)=3.-tame -12分 3 1+√3tanB 因此，1+4.1+5tame+4-Q+3tamp)m0+4W5-mP) tana tanB 3-tanB tan B tan B(3-tan B) -J3@aB-3tanp)+43 4W3 -5, -14分 3tan B-tan2B 3tan B-tan'B 因为0<B<管，所以0cm<5, 因为5ag-mn=-mA9+ 高一数学答案第5页（共6页） 所以0<v3tmp-tam'p≤3 ---15分 4W3 可得3anB-tam 。5≥名5，当且仅当m0=5时等号成立， --16分 3 BP111 此时由(i)知PC=3tanB33, 所以当时，d2+ ”tana+amn6的最小值为l33 --17分 高一数学答案第6页（共6页）