精品解析：湖南长沙市一中初级中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

湖南长沙市一中初级中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷 （时量：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（ ） A. B. C. D. 4. 在四边形中，对角线、相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ） A. a=5，b=12，c=13 B. C. ∠B=50°，∠C=40° D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5 6. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得A，C两点之间的距离为，B，D两点之间的距离为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 某青年创业伙伴公司现有10名员工，每人年收入数据如上表，则他们年收入数据的众数与中位数分别为（ ） 年收入/万元 4 6 8 10 人数/人 2 2 5 1 A. 8，6 B. 6，7 C. 8，8 D. 8，5 8. 将函数的图象沿轴向上平移个单位长度后，得到对应的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 古代数学文化 《九章算术》记载：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢．”意思是有一道墙，高9尺，墙顶长了一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸（1尺=10寸）；墙脚长着瓠，瓠蔓每天长1尺．问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇．瓜蔓与瓠蔓离地面的高度h（单位：尺）与生长时间x（单位：天）的函数图象如图所示，则由图可知两图象交点P的横坐标是（ ） A. B. 5 C. D. 6 二、填空题（本大题共6个小题） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 12. 直角三角形三边是3，4，x，那么x=_______ 13. 李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选___________同学． 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 90 93 98 98 方差 2 2 14. 对于一次函数的以下四个理解：①图象经过一、二、三象限；②点在该函数的图象上；③图象与直线平行；④图象与坐标轴围成的三角形面积为2．其中正确的结论是__________．（填写所有正确的代号） 15. 在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点C从点A沿x轴向右运动，连接，D为的中点，在点C的运动过程中，长的最小值为___________． 三、解答题（本大题共9个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 19. 如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）过点A作直线与y轴相交于P，且使，求直线的解析式． 20. 为了以赛促练，强健体魄，八年（1）班组织了一场跳绳比赛．参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人同台竞技．赛后，对两组的成绩进行了收集、整理、描述与分析，部分信息如下所示： a．两组成绩（单位：次）统计如下： 甲组：144，132，136，162，132，136，144，115，123，144； 乙组：125，138，149，128，138，134，128，133，146，148． 甲、乙两组数据的四分位数（单位：次）如下表： 组别 甲组 132 136 144 乙组 m n 146 请根据以上信息完成下列问题： （1）求表中m，n的值； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，图中A，B哪个反映的是甲组的成绩？ （3）请你根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 21. 已知一次函数，请回答下列问题： （1）当y随x的增大而减小时，求k的取值范围； （2）当时，该函数的图象经过哪几个象限？ 22. 4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折． （1）以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求y关于x的函数解析式； （2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？ 23. 如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，与相交于点G． （1）判断，的关系； （2）若，，求的长． 24. 定义：当，，，满足，且时，称点与点为一对“芙蓉点”．若某函数图象上至少存在一对“芙蓉点”，就称该函数为“芙蓉函数”．请你根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ①点与点___________是一对“芙蓉点”； ②判断：点的“芙蓉点”___________（选填“在”或“不在”）函数的图象上． （2）当点A在直线上运动时，求点A的“芙蓉点”B的横、纵坐标满足的数量关系． （3）若一次函数与（，都是常数，且）均是“芙蓉函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和． 25. 在矩形中，E为边上异于A、D的一个动点，将沿折叠，点A的对应点为F． （1）如图1，若设，则 （用含α的式子表示）；当点F恰好是的中点时，则 度． （2）如图2，交于点M，且平分． ①求证：是等腰三角形． ②当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南长沙市一中初级中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷 （时量：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案． 【详解】解：A. =2，故不符合题意； B. 是最简二次根式；符合题意 C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减和乘除运算．根据二次根式的加减和乘除运算法则计算即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； 故选：B ． 3. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据中间边长为的正方形面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角边为a和b的直角三角形的面积列式求解即可． 【详解】解：由题意得，中间小正方形的边长为，大正方形的边长为c， 则， ∴， ∴， 故选：A． 4. 在四边形中，对角线、相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答的关键． 根据平行四边形的判定逐项判断即可． 【详解】A、，， 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、，， 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； D、由，无法判定是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D 5. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ） A. a=5，b=12，c=13 B. C. ∠B=50°，∠C=40° D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定方法进行排除选项即可． 【详解】A、由a=5，b=12，c=13可得：，∴△ABC是直角三角形，不符合题意； B、由可得△ABC是直角三角形，故不符合题意； C、由∠B=50°，∠C=40°可得△ABC是直角三角形，故不符合题意； D、由∠A：∠B：∠C=3：4：5可设，所以∠A+∠B≠∠C，所以△ABC不是直角三角形，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定定理及勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的判定定理及勾股定理逆定理是解题的关键． 6. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得A，C两点之间的距离为，B，D两点之间的距离为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质， 作于E，于F，连接，交于点O，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由 得平行四边形是菱形，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图，作于E，于F，连接，交于点O， 由题意知，，， ∴四边形是平行四边形． ∵两张纸条等宽， ∴． ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形的面积为： 故选：C． 7. 某青年创业伙伴公司现有10名员工，每人年收入数据如上表，则他们年收入数据的众数与中位数分别为（ ） 年收入/万元 4 6 8 10 人数/人 2 2 5 1 A. 8，6 B. 6，7 C. 8，8 D. 8，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求众数和中位数．根据一组数据中出现次数最多的是众数；排序后，位于中间一位或两位的平均数为中位数，进行求解即可． 【详解】解：出现次数最多的是8，故众数为8； 第5个和第6个数据都为8，故中位数为：； 故选：C． 8. 将函数的图象沿轴向上平移个单位长度后，得到对应的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵函数的图象沿轴向上平移个单位长度后， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 9. 如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线都在直线的上方，即可求解． 【详解】解：设A点坐标为， 把代入， 得，解得， 则A点坐标为， 所以当时，， ∵函数的图象经过点， ∴时，， ∴不等式的解集为． 故选：B． 10. 古代数学文化 《九章算术》记载：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢．”意思是有一道墙，高9尺，墙顶长了一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸（1尺=10寸）；墙脚长着瓠，瓠蔓每天长1尺．问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇．瓜蔓与瓠蔓离地面的高度h（单位：尺）与生长时间x（单位：天）的函数图象如图所示，则由图可知两图象交点P的横坐标是（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为，然后列出相应的方程，求解即可． 【详解】解：设两图象交点的横坐标是，则： ， 解得， 两图象交点的横坐标是， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式确定x的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴二次根式的被开方数为非负数，得， 又是分式的分母，分母不能为，得，即， 综上可得． 12. 直角三角形三边是3，4，x，那么x=_______ 【答案】5或 【解析】 【详解】试题分析：由于直角三角形的斜边不能确定，故应分x为斜边与4为斜边两种情况，：当x为斜边时，x==5；当4为斜边时，x==． 故答案为5或 点睛：此题主要考查了直角三角形的性质，解题关键是要明确直角三角形的直角边和斜边，由此可知3、4为直角边和4为斜边两种情况，然后根据勾股定理求解. 13. 李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选___________同学． 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 90 93 98 98 方差 2 2 【答案】丁 【解析】 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛． 【详解】解：由表知四位同学中丙、丁的平均成绩较好， 又丁的方差小于丙， 所以丁的成绩好且稳定， 故答案为：丁． 14. 对于一次函数的以下四个理解：①图象经过一、二、三象限；②点在该函数的图象上；③图象与直线平行；④图象与坐标轴围成的三角形面积为2．其中正确的结论是__________．（填写所有正确的代号） 【答案】④ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．根据一次函数的系数与图象的关系，可判断①；求出时的函数值，可判断②；根据一次函数的k值可判断③；根据一次函数与坐标轴的交点，可判断④． 【详解】解：①函数的图象经过一、二、四象限，结论错误，不符合题意； ②当时，，即它的图象必经过点，不经过点，结论错误，不符合题意； ③函数中，中，两直线不平行，结论错误，不符合题意； ④当时，，当时，， ∴与坐标轴的交点为和，即该直线和两坐标轴围成的三角形面积为，结论正确，符合题意； 综上可得：正确的有④ 故答案为：④． 15. 在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是___________． 【答案】 甲 【解析】 【分析】设身高为x，跳跃高度为y，则比值为，即正比例函数中的k值，根据k值越大，图象越陡进行判断即可． 【详解】解：设每位同学的身高为x，跳跃高度为y， 根据题意得， ， 根据正比例函数的意义，k值越大，图象越陡， 如图，连接原点与甲、乙、丙、丁四点，观察图象可知，甲点与原点的连线最陡，  ∴甲同学的跳跃高度与自己身高的比值最大， ∴获胜的同学是甲． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点C从点A沿x轴向右运动，连接，D为的中点，在点C的运动过程中，长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，延长至点，使，连接，利用三角形中位线定理得出与的数量关系，根据垂线段最短确定最小时的位置，利用全等三角形性质求出的长，进而求出的最小值． 【详解】解：对于直线， 当时，；当时，，解得， ，， ，， 如图，延长至点，使，连接， ∵点D为的中点，点A为的中点， 是的中位线， ， 要使的长最小，则的长需最小， 如图，根据垂线段最短可知，当轴时，的长最小，此时， ， ， 在和中， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共9个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， 由勾股定理：， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，； 【小问2详解】 解：． 19. 如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）过点A作直线与y轴相交于P，且使，求直线的解析式． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，分别令，代入一次函数解析式即可求得点A，B的坐标； （2）根据题意可得，分情况讨论：点P在点O上方，点P在点O下方，利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， 令，则；令，则， ∴，． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∵过点A作直线与y轴相交于P，且使， ∴， 此时分情况讨论： ①当点P在点O上方时，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； ②当点P在点O下方时，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或． 20. 为了以赛促练，强健体魄，八年（1）班组织了一场跳绳比赛．参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人同台竞技．赛后，对两组的成绩进行了收集、整理、描述与分析，部分信息如下所示： a．两组成绩（单位：次）统计如下： 甲组：144，132，136，162，132，136，144，115，123，144； 乙组：125，138，149，128，138，134，128，133，146，148． 甲、乙两组数据的四分位数（单位：次）如下表： 组别 甲组 132 136 144 乙组 m n 146 请根据以上信息完成下列问题： （1）求表中m，n的值； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，图中A，B哪个反映的是甲组的成绩？ （3）请你根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 【答案】（1）128，136 （2）A （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查了中位数和四分位数，掌握中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）先将乙组数据从小到大排序，再计算出下四分位数和中位数即可； （2）根据箱线图和甲乙两组数据特征分析即可； （3）根据箱线图比较两组数据可知甲组成绩比较分散，即可得出结论． 【小问1详解】 解：将乙组的成绩从小到大排列为125，128，128，133，134，138，138，146，148，149， 所以，， 故答案为：128，136； 【小问2详解】 解：从表中可知，甲组的四分位数是， 而图中左边的箱线图（标记为A）的箱子下边缘在132、中位数在 136、上边缘在 144，并且其整体范围从约 115 到 162，与甲组数据对应， 因此A代表甲组的成绩． 【小问3详解】 解：甲组测试的成绩的方差更大， 理由如下：根据箱线图，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中，所以甲组测试的成绩的方差更大．（合理即可）． 21. 已知一次函数，请回答下列问题： （1）当y随x的增大而减小时，求k的取值范围； （2）当时，该函数的图象经过哪几个象限？ 【答案】（1） （2） 该函数图象经过第一、三、四象限 【解析】 【分析】（1）根据一次函数增减性，y随x增大而减小说明一次项系数小于0，列不等式求解得到k的取值范围； （2）当时，分别判断一次项系数和常数项的符号，再根据一次函数的图象性质判断函数图象经过的象限． 【小问1详解】 解：∵一次函数，y随x的增大而减小， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，，  ，即一次项系数为正数， 又，  ，  ，即常数项为负数，  ∵一次函数的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴该函数的图象经过第一、三、四象限． 22. 4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折． （1）以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求y关于x的函数解析式； （2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？ 【答案】（1）y甲＝0.8x； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意给出的等量关系即可求出答案． （2）先求出两书店所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱． 【详解】解：（1）甲书店：y＝0.8x， 乙书店：当时，y＝x， 当时，y＝100+0.6（x-100）=0.6x+40， 乙书店：． （2）令0.8x＝0.6x+40， 解得：x＝200， 当x＜200时，选择甲书店更省钱， 当x＝200，甲乙书店所需费用相同， 当x＞200，选择乙书店更省钱． 【点睛】本题考查一次函数和不等式的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系． 23. 如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，与相交于点G． （1）判断，的关系； （2）若，，求的长． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得出，再利用直角三角形两锐角互余和角度和差计算即可证得结论； （2）利用正方形的性质，勾股定理及三角形面积公式即可求得最终结果． 【小问1详解】 解：在正方形中，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 定义：当，，，满足，且时，称点与点为一对“芙蓉点”．若某函数图象上至少存在一对“芙蓉点”，就称该函数为“芙蓉函数”．请你根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ①点与点___________是一对“芙蓉点”； ②判断：点的“芙蓉点”___________（选填“在”或“不在”）函数的图象上． （2）当点A在直线上运动时，求点A的“芙蓉点”B的横、纵坐标满足的数量关系． （3）若一次函数与（，都是常数，且）均是“芙蓉函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和． 【答案】（1）①；②不在 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①根据“芙蓉点”的定义，设出所求点的坐标，列出方程求解； ②先求出点的“芙蓉点”，再代入函数判断是否在其图象上； （2）设出点A和点B的坐标，根据“芙蓉点”的定义列出方程，进而得到点B的横、纵坐标满足的数量关系； （3）先根据“芙蓉函数”的定义求出两个一次函数的表达式，再分别求出它们与两坐标轴围成的平面图形的面积，最后求和． 【小问1详解】 解：①根据题意可知，，， ∵点为， ∴，解得：；，解得：， ∴点与点是一对“芙蓉点”； ②设“芙蓉点”为，则，， ∴，， ∴点的“芙蓉点”为， 代入函数验证：当时，， ∴点的“芙蓉点”不在函数的图象上． 【小问2详解】 解：设点，点， ∵点A在直线上， ∴， 又∵点A与点B是一对“芙蓉点”， ∴，且， ∴， 将代入， 可得， ∴， 由可得， 将代入， 得， 即， ∴点A的“芙蓉点”B的横、纵坐标满足的数量关系为． 【小问3详解】 解：设一次函数上的一对“芙蓉点”为，， 则， ∴，即， ∵，在上， ∴， 将代入可得， 两式相减， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 对于，令，则；令，则， ∴它与两坐标轴围成的三角形面积为， 对于，令，则；令，则， ∴它与两坐标轴围成的三角形面积为， ∴， ∴这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和为． 25. 在矩形中，E为边上异于A、D的一个动点，将沿折叠，点A的对应点为F． （1）如图1，若设，则 （用含α的式子表示）；当点F恰好是的中点时，则 度． （2）如图2，交于点M，且平分． ①求证：是等腰三角形． ②当时，求的长． 【答案】（1）；30 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得：，从而得到，再结合线段垂直平分线的性质可得，即可求解； （2）①延长交于点N，证明，可得，从而得到，然后结合矩形的性质可得，从而得到，即可解答；②根据勾股定理可得，设，则，，过点E作于点Q，则，根据，可得，，然后在中， 根据勾股定理可求出x的值，即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴； ∵点F恰好是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ， ， ∵， ， ∴， 故答案为：；30； 【小问2详解】 ①证明：如图2，延长交于点N， ∵平分， ∴， 由翻折可知：， ∴， ， ∴， ∴， ， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴是等腰三角形； ②解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， 设，则， ∴， 如图2，过点E作于点Q，则， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴或（舍去）， ∴的长为； 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $