21.2一元二次方程的解 2026-2027学年人教版 九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“一元二次方程的解”，系统涵盖直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法五大解法。课堂导入可联系一元一次方程解法，通过对比引出新知识，搭建从已知到未知的学习支架，呈现各解法的定义、步骤及例题。 资料特色在于理论与应用结合，配方法拓展至比较大小、求最值等场景，培养学生抽象能力和运算能力。习题层次分明，从基础例题到变式练习，助力学生用数学思维解决问题，提升推理意识与应用意识。

21.2一元二次方程的解 【考点1直接开方法解一元二次方程】 【变式1】用开平方法解下列方程： （1）（x﹣3）2＝16； （2）4（t+4）2＝9； （3）2（n﹣）2﹣1＝0． 【分析】根据开平方法即可求出答案． 【解答】解：（1）∵（x﹣3）2＝16， ∴x﹣3＝±4， ∴x＝7或x＝﹣1． （2）∵4（t+4）2＝9， ∴（t+4）2＝， ∴t+4＝±， ∴t＝或t＝． （3）∵2（n﹣）2﹣1＝0， ∴（n﹣）2＝， ∴n﹣＝±， ∴n＝． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．（1）（x﹣2）2＝18； 【分析】（1）直接开平方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝18， 开平方得，， 解得，； 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 【变式1-1】用开平方法解下列方程： （1） （x﹣2）2＝18； （2）3（x+1）2﹣18＝0； （3）； （4）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2． 【分析】直接开平方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝18， 开平方得，， 解得，； （2）3（x+1）2﹣18＝0， （x+1）2＝6， x+1＝±， 所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． （3）， （2x+3）2＝16， 2x+3＝±4， ． （4）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2， x﹣3＝±（5﹣2x）， ∴x1＝，x2＝2． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的公式法和直接开平方法是解题的关键． 【考点2配方法解一元二次方程】 【变式1】解方程：（用配方法） （1）x2﹣2x﹣5＝0； （2）x2﹣4x＝9996； （3）x2﹣0.6x﹣0.16＝0； （4）2x2+3x﹣7＝0； （5）； （6）； （7）0.25x2+x﹣1＝0； （8）3x2﹣2＝4x； （9）x2﹣5ax+6a2＝0； （10）． 【分析】（1）根据完全平方公式进行配方求解即可； （2）根据完全平方公式进行配方求解即可； （3）根据完全平方公式进行配方求解即可； （4）根据完全平方公式进行配方求解即可； （5）根据完全平方公式进行配方求解即可； （6）根据完全平方公式进行配方求解即可； （7）根据完全平方公式进行配方求解即可； （8）根据完全平方公式进行配方求解即可； （9）根据完全平方公式进行配方求解即可； （10）根据完全平方公式进行配方求解即可． 【解答】解：（1）原方程配方可得： x2﹣2x+1﹣1﹣5＝0， （x﹣1）2﹣6＝0， （x﹣1）2＝6， ， ，； （2）x2﹣4x＝9996 x2﹣4x+4﹣4＝9996 （x﹣2）2﹣4＝9996 （x﹣2）2＝10000 x﹣2＝±100 x1＝102，x2＝﹣98； （3）原方程配方可得： x2﹣0.6x+0.09﹣0.09﹣0.16＝0， （x﹣0.3）2＝0.25， x﹣0.3＝±0.5， ； （4）原方程变形可得： ， ， ， ， ，； （5）原方程配方可得： ， ， ， ； （6）原方程整理得： ， ， ， ， ； （7）原方程变形可得： x2+4x﹣4＝0， x2+4x+4﹣4﹣4＝0， （x+2）2＝8， ， ，； （8）原方程整理得： 3x2﹣4x﹣2＝0， ， ， ， ， ，； （9）原方程配方可得： ， x1＝6a，x2＝﹣a； （10）原方程整理得： ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【例2.1】若代数式M＝10a2+b2﹣7a+8，N＝a2+b2+5a+1，则M﹣N的值（　　） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是负数 D．一定不是正数 【分析】先计算M﹣N，然后将结果变形，即可得到M﹣N的正负情况，本题得以解决． 【解答】解：∵M＝10a2+b2﹣7a+8，N＝a2+b2+5a+1， ∴M﹣N ＝（10a2+b2﹣7a+8）﹣（a2+b2+5a+1） ＝10a2+b2﹣7a+8﹣a2﹣b2﹣5a﹣1 ＝9a2﹣12a+7 ＝9a2﹣12a+4+3 ＝（3a﹣2）2+3≥3， ∴M﹣N一定是正数，一定不是负数， 故选：BC． 【点评】本题考查整式的加减、正数和负数，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【例2.2】已知a2+b2﹣4a+6b+13＝0，求a+b的值． 【分析】先利用配方法得到（a﹣2）2+（b+3）2＝0，再根据非负数的性质得a﹣2＝0，b+3＝0，解得a＝2，b＝﹣3，然后计算它们的和． 【解答】解：∵a2+b2﹣4a+6b+13＝0， ∴a2﹣4a+4+b2+6b+9＝0， ∴（a﹣2）2+（b+3）2＝0， ∴a﹣2＝0，b+3＝0， ∴a＝2，b＝﹣3， ∴a+b＝2﹣3＝﹣1． 【点评】本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质． 【变式2.2-1】已知a2﹣3a+b2﹣+＝0，求a﹣4的值． 【分析】将方程的坐标配方成两个完全平方的和的形式后即可求得a、b的值，从而求得代数式的值． 【解答】解：∵a2﹣3a+b2﹣+＝0， ∴a2﹣3a++b2﹣+＝0， ∴（a﹣）2+（b﹣）2＝0， 解得：a＝，b＝， ∴a﹣4＝﹣4×＝﹣． 【点评】本题考查了配方法的应用及非负数的性质，解题的关键是对方程的左边进行配方． 【变式2.2-2】已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0． （1）求a，b，c的值； （2）判断△ABC的形状． 【分析】（1）利用一次项的系数分别求出常数项，把50分成9、16、25，然后与（a2﹣6a）、（b2﹣8b）、（c2﹣10c）分别组成完全平方公式，再利用非负数的性质，可分别求出a、b、c的值； （2）利用勾股定理的逆定理可证△ABC实直角三角形． 【解答】解：（1）∵a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0， ∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0， 即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5； （2）∵32+42＝52， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形． 【点评】本题考查了配方法的应用、勾股定理、非负数的性质，解题的关键是注意配方法的步骤，在变形的过程中不要改变式子的值． 【变式2.2-3】已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值等于　4　 ． 【分析】首先把x2+y2当作一个整体，设x2+y2＝k，方程即可变形为关于k的一元二次方程，解方程即可求得k即x2+y2的值． 【解答】解：设x2+y2＝k ∴（k+1）（k﹣3）＝5 ∴k2﹣2k﹣3＝5，即k2﹣2k﹣8＝0 ∴k＝4，或k＝﹣2 又∵x2+y2的值一定是非负数 ∴x2+y2的值是4． 故答案为：4． 【点评】此题注意把x2+y2看作一个整体，然后运用因式分解法解方程，最后注意根据式子的形式分析值的取舍． 【变式2.2-4】已知x＝，y＝．则x2﹣5xy+y2的值为　5　 ． 【分析】先计算出x+y，xy，再利用完全平方公式表示x2﹣5xy+y2变形为（x+y）2﹣7xy，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵x＝，y＝， ∴x+y＝2，xy＝1， ∴x2﹣5xy+y2＝（x+y）2﹣7xy ＝（2）2﹣7×1 ＝12﹣7 ＝5． 故答案为5． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【例2.3】阅读理解：我们一起来探究代数式x2+2x+5的值， 探究一：当x＝1时，x2+2x+5的值为 　8　 ；当x＝2时，x2+2x+5的值为 　13　 ，可见，代数式的值因x的取值不同而变化． 探究二：把代数式x2+2x+5进行变形，如：x2+2x+5＝x2+2x+1+4＝（x+1）2+4，可以看出代数式x2+2x+5的最小值为 　4　 ，这时相应的x＝　﹣1　 ． 根据上述探究，请解答： （1）求代数式﹣x2﹣8x+17的最大值，并写出相应x的值． （2）把（1）中代数式记为A，代数式9y2+12y+37记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时x•y的值，若不能，请说明理由． 【分析】探究一：把x＝1和x＝2分别代入代数式x2+2x+5中，再进行计算即可得出答案； 探究二：先将代数式x2+2x+5配方后得：（x+1）2+4，可得结论； （1）将代数式﹣x2﹣8x+17配方后可得结论； （2）存在A＝B，列式可得x和y值，相乘可得x•y的值． 【解答】解：探究一： 当x＝1时，x2+2x+5＝12+2+5＝8； 若x＝2，x2+2x+5＝22+2×2+5＝13； 故答案为：8，13； 探究二： x2+2x+5＝（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4， ∵（x+1）2是非负数， ∴这个代数式x2+2x+5的最小值是4，此时x＝﹣1． 故答案为：4，﹣1； （1）∵﹣x2﹣8x+17＝﹣（x+4）2+33， ∴当x＝﹣4时，代数式﹣x2﹣8x+17有最大值是33； （2）∵A＝﹣x2﹣8x+17，B＝9y2+12y+37， 当A＝B时，则B﹣A＝0， ∴（9y2+12y+37）﹣（﹣x2﹣8x+17）＝0， 9y2+12y+4+x2+8x+16＝0， （3y+2）2+（x+4）2＝0， ∴3y+2＝0，x+4＝0， ∴x＝﹣4，y＝﹣， ∴x•y＝﹣4×（﹣）＝． 【点评】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答． 【变式2.3-1】利用配方求2x2﹣x+2的最小值． 【分析】把原式根据配方法化成：2x2﹣x+2＝2（x2﹣x）+2＝2+即可得出最小值． 【解答】解：∵2x2﹣x+2， ＝2（x2﹣x）+2， ＝2+≥， ∴2x2﹣x+2的最小值是． 【点评】本题考查了配方法的应用，难度不大，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【例2.4】用配方法证明代数式2x2﹣x+3的值不小于． 【分析】先用配方法把代数式2x2﹣x+3化成2+的形式，然后即可证明． 【解答】证明：2x2﹣x+3＝2（x2﹣x+）﹣+3， ＝2+≥， 即可证明代数式2x2﹣x+3的值不小于． 【点评】本题考查了配方法的应用，难度一般，关键是掌握用配方法求二次函数的最值． 【变式2.4-1】试用配方法说明：对于一切实数x，代数式2x2﹣8x+18的值不小于10． 【分析】先用配方法把代数式2x2﹣8x+18化成2（x﹣2）2+10的形式，然后即可证明． 【解答】证明：∵2x2﹣8x+18＝2（x﹣2）2+10≥10， ∴对于一切实数x，代数式2x2﹣8x+18的值不小于10． 【点评】本题主要考查了配方法的应用，关键是掌握完全平方公式的运用． 【变式2.4-2】（1）用配方法证明x2﹣4x+5的值不小于1； （2）用配方法求代数式﹣2x2+8x+2的最大值． 【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性证明； （2）先提公因式﹣2，再利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答． 【解答】（1）证明：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1， ∵（x﹣2）2≥0， ∴（x﹣2）2+1≥1． ∴x2﹣4x+5的值不小于1； （2）﹣2x2+8x+2＝﹣2（x2﹣4x+4）+8+2＝﹣2（x﹣2）2+10， ∵（x﹣2）2≥0， ∴﹣2（x﹣2）2≤0， ∴﹣2（x﹣2）2+10≤10， ∴代数式﹣2x2+8x+2的最大值为10． 【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 【考点3公式法解一元二次方程】 【变式1】判断下列一元二次方程的根的情况． （1）x2﹣2x﹣1＝0 （2）x（x+4）+5＝0． 【分析】（1）根据方程各项系数利用根的判别式即可得出Δ＝8＞0，从而得出方程有两个不相等的实数根； （2）根据方程各项系数利用根的判别式即可得出Δ＝﹣4＜0，从而得出方程没有实数根． 【解答】解：（1）在方程x2﹣2x﹣1＝0中， Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0， ∴方程x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根； （2）方程x（x+4）+5＝0可变形为x2+4x+5＝0， Δ＝42﹣4×1×5＝﹣4＜0， ∴方程x（x+4）+5＝0无实数根． 【点评】本题考查了根的判别式，根据方程根的判别式的符号确定方程解的情况是解题的关键． 【变式1-1】用公式法解下列方程： （1）2x2+5x﹣1＝0； （2）2x2﹣x﹣1＝0； （3）y2＝3y﹣2； （4）3x2﹣1＝6x； （5）2x2+5x﹣1＝0； （6）6x（x+1）＝5x﹣1． 【分析】（1）首先得出b2﹣4ac的值，进而利用求根公式得出答案； （2）首先得出b2﹣4ac的值，进而利用求根公式得出答案； （3）方程整理后，首先得出b2﹣4ac的值，进而利用求根公式得出答案； （4）方程整理后，首先得出b2﹣4ac的值，进而利用求根公式得出答案； （5）首先得出b2﹣4ac的值，进而利用求根公式得出答案； （6）方程整理成一般式，得出b2﹣4ac的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）2x2+5x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝5，c＝﹣1， ∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝33＞0， ∴x＝＝， 所以x1＝，x2＝； （2）2x2﹣x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0， ∴x＝＝， 所以x1＝1，x2＝﹣； （3）y2＝3y﹣2， 整理得y2﹣3y+2＝0， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝2， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0， ∴y＝＝， 所以y1＝2，y2＝1； （4）3x2﹣1＝6x， 整理得3x2﹣6x﹣1＝0， ∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣1）＝48＞0， ∴x＝＝， 所以x1＝1+，x2＝1﹣； （5）2x2+5x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝5，c＝﹣1， ∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝33＞0， ∴x＝＝， 所以x1＝，x2＝； （6）6x（x+1）＝5x﹣1， 整理得6x2+x+1＝0， ∵a＝6，b＝1，c＝1， ∴Δ＝12﹣4×6×1＝﹣23＜0， 方程没有实数解． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法﹣公式法，本题属于基础题型． 【考点4因式分解法解一元二次方程】 【变式1】下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①x2＝x ②x2﹣x+＝0 ③2x﹣x2﹣3＝0 ④（3x+2）2＝16 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】解一元二次方程具体用什么方法，要视题的情况而定． 【解答】解：①移项得x2﹣x＝0，方程左边因式分解得，x（x﹣1）＝0 ②方程左边因式分解得（x﹣）2＝0 ③整理得x2﹣2x+3＝0，此式应用求根公式法解方程 ④移项（3x+2）2﹣16＝0，左边因式分解得（3x+2+4）（3x+2﹣4）＝0． 故选：C． 【点评】本题考查了用因式分解法解一元二次方程．解题的关键是把方程化为ax2+bx+c＝0的形式后，观察方程的左边是否能分解因式，如果符合分解因式的特点即可用因式分解法解方程． 【变式1-1】已知方程x2﹣x﹣12＝0的两个根分别为4，﹣3，则这个方程可改写为（　　） A．（x+4）（x﹣3）＝0 B．（x﹣4）（x﹣3）＝0 C．（x﹣4）（x+3）＝0 D．（x+4）（x+3）＝0 【分析】根据十字相乘法求解即可． 【解答】解：∵方程x2﹣x﹣12＝0的两个根分别为4，﹣3， ∴这个方程可改写为（x﹣4）（x+3）＝0， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式1-2】用因式分解法解下列方程： （1）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0 （2）9x2﹣4＝0 （3）（3x﹣1）2﹣4＝0 （4）5x（x﹣3）＝（x﹣3）（x+1） 【分析】（1）根据提取公因式法，可分解因式，可得方程的解； （2）根据平方差公式，可分解因式，可得方程的解； （3）根据平方差公式，可分解因式，可得方程的解； （4）根据等式的性质，可得方程的右边为零，根据因式分解，可得方程的解． 【解答】解：（1）因式分解，得 （x﹣1）[（x﹣1）﹣2]＝0，于是，得 x﹣1＝0，x﹣3＝0， 解得x1＝1，x2＝3； （2）因式分解，得 （3x+2）（3x﹣2）＝0，于是，得 3x+2＝0，3x﹣2＝0， 解得x1＝﹣，x2＝； （3）因式分解，得 [（3x﹣1）+2][（3x﹣1）﹣2]＝0，于是，得 3x+1＝0，3x﹣3＝0， 解得x1＝﹣，x2＝1； （4）移项，得 5x（x﹣3）﹣（x﹣3）（x+1）＝0 因式分解，得 （x﹣3）[5x﹣（x+1）]＝0，于是，得 x﹣3＝0，4x﹣1＝0， 解得x1＝3，x2＝． 【点评】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解解法一元二次方程的关键是对方程因式分解将次转化成两个一元一次方程． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面 【考点5换元法解一元二次方程】 【变式1】若实数x满足方程（x2+x）•（x2+x﹣2）﹣15＝0那么x2+x的值为（　　） A．﹣3 B．5 C．﹣3或5 D．3或﹣5 【分析】设y＝x2+x，则原方程转化为关于y的新方程，通过解新方程来求y的值，即x2+x的值． 【解答】解：设y＝x2+x， 原方程变形为y（y﹣2）﹣15＝0， 整理得：y2﹣2y﹣15＝0， 解得：y1＝5，y2＝﹣3， 当y1＝5时，x2+x＝5， 即x2+x﹣5＝0， 此时Δ＝12﹣4×1×（﹣5）＝21＞0； 当y2＝﹣3时，x2+x＝﹣3， 即x2+x+3＝0， 此时Δ＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0； 此时方程x2+x+3＝0无解； ∴x2+x＝5． 故选：B． 【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键． 【变式1-1】已知实数x满足（x2﹣2x﹣1）2﹣4（x2﹣2x﹣1）﹣5＝0，那么x2﹣2x﹣1的值为　5或﹣1　 ． 【分析】设t＝x2﹣2x﹣1，然后利用因式分解法解关于t的一元二次方程． 【解答】解：设t＝x2﹣2x﹣1，则t2﹣4t﹣5＝0． 整理，得（t﹣5）（t+1）＝0． 所以t＝5或t＝﹣1． 即x2﹣2x﹣1的值为5或﹣1． 故答案为：5或﹣1． 【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 【变式1-2】若（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2的值为　3　 ． 【分析】设z＝x2+y2，则原方程可得z2﹣z﹣6＝0，解这个一元二次方程即可求得． 【解答】解：设z＝x2+y2，则原方程可得z2﹣z﹣6＝0， 解得z1＝3，z2＝﹣2， ∵x2+y2≥0， ∴x2+y2＝3， 故答案为3． 【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，关键是把x2+y2看成一个整体来计算，即换元法思想． 【例2】请阅读下列材料： 解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0． 解法如下： 将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2， 原方程可化为：y2﹣5y+4＝0， 解得y1＝1，y2＝4． （1）当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±； （2）当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 参照以上解法，解方程（x﹣1）4﹣5（x﹣1）2﹣6＝0． 【分析】设（x﹣1）2＝y，则原方程化为一元二次方程：y2﹣5y﹣6＝0，先解出y的值，再进一步解出x的值． 【解答】解：设（x﹣1）2＝y，则：y2﹣5y﹣6＝0， 解得：y1＝6，y2＝﹣1， （1）当y＝6时，（x﹣1）2＝6，解得，， （2）当y＝﹣1时，（x﹣1）2＝﹣1，此方程无实数根， ∴原方程的解是：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是关键． 【例3】解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法． 例题呈现 关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是？ 解法探讨 （1）小明的思路如表所示： 小明的思路 第1步把1、﹣2代入到第1个方程中求出m的值； 第2步把m的值代入到第1个方程中求出； 第3步用直接开平方法解第2个方程． （2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程a（x+m+2）2+b＝0中的“x+2”看作第1个方程中的“x”，则“x+2”的值是　1或﹣2　 ，从而更简单地解决了问题． （3）小亮的思路则是用二次函数与一元二次方程的联系，从函数图象平移的角度迅速求得了该方程的解是x1＝﹣1，x2＝﹣4　 ． 策略运用 （4）小明、小红和小亮认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们的方法完成解答． 已知方程（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状． 【分析】（1）根据题意利用待定系数法求解即可； （2）把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解； （3）根据二次函数的平移规律作答即可； （4）先根据方程有两个相等的实数根，求得方程的根，再根据根与系数的关系列出方程，找到a、b、c的关系，从而判断三角形的形状． 【解答】解：（1）由题意可得： 得， ∴m+1＝±（m﹣2）， 解得， ∴． ∴， 第2个方程可变形为， 即， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣4； （2）∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2， 由题意可得：则“x+2”的值为1或﹣2， 故答案为：1或﹣2； （3）函数y＝a（x+m）2+b的图象与x轴交于点（1，0）和（﹣2，0）， 函数y＝a（x+m+2）2+b的图象相当于将上述图象向左平移2个单位， ∴与x轴交于点（﹣1，0）和（﹣4，0）， ∴方程的解为x1＝﹣1，x2＝﹣4； 故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣4； （4）∵当x＝1时，（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0成立， ∴方程（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0必有一根是x＝1， ∴方程（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0的两根为x1＝x2＝1． ∴． ∴a2＝b2+c2．∴△ABC是一个直角三角形． 【点评】此题考查了用特殊方法解一元二次方程，正确进行计算是解题关键．声明：试题解析著作权属所经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/9 16:08:29；用户：付文金；邮箱：18587396759；学号：598269 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2一元二次方程的解 【考点1直接开方法解一元二次方程】 　　(1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根； 　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 　　　 　若，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点诠释： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 求下列x的值 （1）x2﹣25=0 （2）（x+5）2=16． 【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决． 解：（1）∵x2﹣25=0， ∴x2=25， ∴x=±5． （2）∵（x+5）2=16， ∴x+5=±4， ∴x=﹣1或﹣9．　　 【总结升华】应当注意，形如=k或（nx+m）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一． 【变式1】用开平方法解下列方程： （1） （x﹣3）2＝16； （2）4（t+4）2＝9； （3）2（n﹣）2﹣1＝0． 【变式1-1】用开平方法解下列方程： （1） （x﹣2）2＝18； （2）3（x+1）2﹣18＝0； （3）； （4）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2． 【考点2配方法解一元二次方程】 　　(1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　②将常数项移到方程的右边； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一化二移三配方四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 解方程：x2+4x﹣1=0． 【思路点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解． 【答案与解析】 解：∵x2+4x﹣1=0 ∴x2+4x=1 ∴x2+4x+4=1+4 ∴（x+2）2=5 ∴x=﹣2± ∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 【变式1】解方程：（用配方法） （1） x2﹣2x﹣5＝0； （2）x2﹣4x＝9996； （3）x2﹣0.6x﹣0.16＝0；（4）2x2+3x﹣7＝0； （5） ； （6）；（7）0.25x2+x﹣1＝0； （8）3x2﹣2＝4x； （9）x2﹣5ax+6a2＝0； （10）． 配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 【例2.1】（多选）1．若代数式M＝10a2+b2﹣7a+8，N＝a2+b2+5a+1，则M﹣N的值（　　） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是负数 D．一定不是正数 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 【例2.2】已知a2+b2﹣4a+6b+13＝0，求a+b的值． 【变式2.2-1】已知a2﹣3a+b2﹣+＝0，求a﹣4的值． 【变式2.2-2】已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0． （1）求a，b，c的值； （2）判断△ABC的形状． 【变式2.2-3】已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值等于　 　 ． 【变式2.2-4】已知x＝，y＝．则x2﹣5xy+y2的值为　 　 ． 3．用于求最值： 【例2.3】“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 阅读理解：我们一起来探究代数式x2+2x+5的值， 探究一：当x＝1时，x2+2x+5的值为 　 　 ；当x＝2时，x2+2x+5的值为 　 　 ，可见，代数式的值因x的取值不同而变化． 探究二：把代数式x2+2x+5进行变形，如：x2+2x+5＝x2+2x+1+4＝（x+1）2+4，可以看出代数式x2+2x+5的最小值为 　 　 ，这时相应的x＝　 　 ． 根据上述探究，请解答： （1）求代数式﹣x2﹣8x+17的最大值，并写出相应x的值． （2）把（1）中代数式记为A，代数式9y2+12y+37记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时x•y的值，若不能，请说明理由． 【变式2.3-1】利用配方求2x2﹣x+2的最小值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【例2.4】用配方法证明代数式2x2﹣x+3的值不小于． 【变式2.4-1】试用配方法说明：对于一切实数x，代数式2x2﹣8x+18的值不小于10． 【变式2.4-2】（1）用配方法证明x2﹣4x+5的值不小于1； （2）用配方法求代数式﹣2x2+8x+2的最大值． 【考点3公式法解一元二次方程】 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． 　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根； 　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根； 　　　 ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解 若，则原方程无实根. 1.用公式法解下列方程：x2+3x+1=0； (1) a=1，b=3，c=1 ∴b2﹣4ac=5>0 ∴x==．∴x1=，x2=． 【变式1】判断下列一元二次方程的根的情况． （1） x2﹣2x﹣1＝0 （2）x（x+4）+5＝0． 【变式1-1】用公式法解下列方程： （1）2x2+5x﹣1＝0； （2）2x2﹣x﹣1＝0； （3）y2＝3y﹣2； （4）3x2﹣1＝6x； （5）2x2+5x﹣1＝0； （6）6x（x+1）＝5x﹣1． 【考点4因式分解法解一元二次方程】 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 3．一元二次方程x2﹣4x=12的根是（　　） A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=6 解：方程整理得：x2﹣4x﹣12=0， 分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0， 解得：x1=﹣2，x2=6，故选B 【变式1】下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①x2＝x ②x2﹣x+＝0 ③2x﹣x2﹣3＝0 ④（3x+2）2＝16 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】已知方程x2﹣x﹣12＝0的两个根分别为4，﹣3，则这个方程可改写为（　　） A．（x+4）（x﹣3）＝0 B．（x﹣4）（x﹣3）＝0 C．（x﹣4）（x+3）＝0 D．（x+4）（x+3）＝0 【变式1-2】用因式分解法解下列方程： （1） （x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0 （2）9x2﹣4＝0 （3）（3x﹣1）2﹣4＝0 （4）5x（x﹣3）＝（x﹣3）（x+1） 【考点5换元法解一元二次方程】 【例1】【阅读材料】方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0是一个一元四次方程，我们可以把x2﹣1看成一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0①． 解方程①可得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，即x2＝2，∴； 当y＝4时，x2﹣1＝4，即x2＝5，∴． ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】 （1）方程x4﹣16＝0的解为　 　 ； （2）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，求x2+y2的值； （3）请仿照材料中的方法，解方程：（x2﹣3x）2﹣6（x2﹣3x）＝0． 【解答】解：（1）设n＝x2，则原方程可化为n2﹣16＝0，解得n1＝4，n2＝﹣4（舍去）， 当n＝4时，∴x2＝4，解得x1＝2，x2＝﹣2； 故答案为：x1＝2，x2＝﹣2； （2）设m＝x2+y2，则原方程可化为（m+1）（m+3）＝8， 解得m1＝﹣5，m2＝1， 又∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝1； （3）设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2﹣6y＝0， 解得y1＝0，y2＝6， 当y＝0时，x2﹣3x＝0，解得x1＝0，x2＝3， 当y＝6时，x2﹣3x＝6，解得，， ∴原方程的解为x1＝0，x2＝3，，． 【变式1】若实数x满足方程（x2+x）•（x2+x﹣2）﹣15＝0那么x2+x的值为（　　） A．﹣3 B．5 C．﹣3或5 D．3或﹣5 【变式1-1】已知实数x满足（x2﹣2x﹣1）2﹣4（x2﹣2x﹣1）﹣5＝0，那么x2﹣2x﹣1的值为　 　 ． 【变式1-2】若（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2的值为　 　 ． 【例2】请阅读下列材料： 解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0． 解法如下： 将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2， 原方程可化为：y2﹣5y+4＝0， 解得y1＝1，y2＝4． （1）当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±； （2）当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 参照以上解法，解方程（x﹣1）4﹣5（x﹣1）2﹣6＝0． 【例3】解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法． 例题呈现 关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是？ 解法探讨 （1）小明的思路如表所示： 小明的思路 第1步把1、﹣2代入到第1个方程中求出m的值； 第2步把m的值代入到第1个方程中求出； 第3步用直接开平方法解第2个方程． （2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程a（x+m+2）2+b＝0中的“x+2”看作第1个方程中的“x”，则“x+2”的值是　 　 ，从而更简单地解决了问题． （3）小亮的思路则是用二次函数与一元二次方程的联系，从函数图象平移的角度迅速求得了该方程的解是　 　 ． 策略运用 （4）小明、小红和小亮认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们的方法完成解答． 已知方程（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状． 学科网（北京）股份有限公司 $